2.2 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系
1.若点P(a,b)在圆O:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆O的位置关系为( )
A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定
2.设m∈R,则直线l:mx+y-2m-1=0与圆x2+y2=5的位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.相交
3.已知点M(-1,0),N(1,0),若某直线上存在点P,使得=0,则称该直线为“相关点直线”.给出下列直线:①y=x+3;②y=x;③y=2;④y=2x+1,其中为“相关点直线”的是( )
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
4.若曲线(x+x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,则m的取值范围是 .
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点M(-2,0),N(1,0),动点P满足=2.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若直线l过点M,且点N到l的距离为1,求l的方程,并判断l与动点P的轨迹的位置关系.
题组二 直线与圆相切问题
6.圆A:x2+y2-4x=0在点P(1,-)处的切线l的方程为( )
A.x+y-4=0
C.x-y+2=0
7.已知动点P在直线3x+4y-10=0上,过点P作圆O:x2+y2=1的一条切线,切点为A,则PA的最小值为( )
A.1 B. D.2
8.过坐标原点O作圆(x-3)2+(y-4)2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB=( )
A.
9.已知圆O1:x2+(y-2)2=1,圆O2:(x-3)2+(y-4)2=4,过x轴上一点P分别作两圆的切线,切点分别是M,N,当PM+PN取最小值时,点P的坐标为 .
10.已知圆C经过A(1,4),B(5,0)两点,且在x轴上的截距之和为2.(圆在坐标轴上的截距指圆与坐标轴交点的横(纵)坐标)
(1)求圆C的标准方程;
(2)圆M与圆C关于直线x-y+1=0对称,求过点(3,0)且与圆M相切的直线方程.
题组三 圆的弦长与中点弦
11.已知☉O的圆心是坐标原点O,且被直线x-=0截得的弦长为2,则☉O的方程为( )
A.x2+y2=4 B.x2+y2=8
C.x2+y2=12 D.x2+y2=16
12.已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=16,直线l过点P(2,3),且与圆C交于A,B两点,若点P为线段AB的中点,则直线l的方程为( )
A.x+3y-11=0 B.3x+y-9=0
C.x-3y+7=0 D.3x-y-3=0
13.已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l过点A(1,1),且交圆C于P,Q两点,则弦长PQ的取值范围是 ( )
A.[,4]
C.[2,2,4]
14.已知直线l:3x-4y+5=0与圆C:x2+y2-6x-2y+a+5=0相切.
(1)求实数a的值及圆C的标准方程;
(2)已知直线m:kx-y+2=0与圆C相交于A,B两点,若△ABC的面积为2,求直线m的方程.
15.在以下这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.
①圆经过点C(3,4);②圆心在直线x+y-2=0上;③y轴被圆截得的弦长为8,且圆心M的坐标为整数.
已知圆M经过点A(-1,2),B(6,3),且 .
(1)求圆M的方程;
(2)求以N(2,1)为中点的弦所在直线的方程.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系
1.实数x,y满足x2+y2+2x=0,则的取值范围是( )
A. B.(-∞,0]∪
C. D.(-∞,-1]∪
2.已知A(a,0),B(a+3,0),直线x+y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,则a的值为( )
A.-6 B.-2或6 C.2或-6 D.-2
3.(多选题)已知曲线C:x=与直线l:y=x+m,则下列结论正确的是( )
A.曲线C为y轴右边的半圆(含y轴上的点)
B.若曲线C与直线l有且仅有一个公共点,则0C.若曲线C与直线l有两个不同的公共点,则2-2D.若曲线C与直线l没有公共点,则m>2+2或m<2-2
4.过直线l:x-y+4=0上任意一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点 ,记线段AB的中点为Q,则点Q到直线l的距离的最小值为 .
题组二 圆的切线与弦长问题
5.已知圆C:(x-4)2+y2=16,点A是直线x-y+4=0上的一个动点,过点A作圆C的两条切线,切点分别为P,Q,则线段PQ的长度的取值范围是( )
A.[4,4,8]
6.(多选题)已知直线l:x+y-5=0,圆C:(x-1)2+y2=2,若点P为直线l上的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.直线l与圆C相交
B.若点Q为圆C上的动点,则PQ∈[,+∞)
C.与直线l平行且被圆C截得的弦长为2的直线为x+y+-5=0或x+y--5=0
D.圆C上存在两个点到直线l的距离为
7.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4,则下列结论正确的是( )
A.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+10=0
B.过点P作圆O的切线,切点分别为M,N,则直线MN的方程为x+2y-4=0
C.过点P作圆O的切线,切点分别为M,N,则PM=3
D.过点P的直线m与圆O相交于A,B两点,若∠AOB=90°,则直线m的方程为x-y+2=0或7x-y-10=0
8.已知圆C:(x-1)2+y2=1,直线l:y=k(x+1),若l与x轴交于点A,过l上一点P作圆C的切线,切点为T,且PA=PT,则k的取值范围是 .
9.直线ax+y-a-1=0与圆C:x2+(y-3)2=25交于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,设切线的交点为M,则点M的轨迹方程为 .
10.已知圆C经过坐标原点O和点(2,2),且圆心在x轴上.
(1)求圆C的方程;
(2)直线l1经过点A(4,1),且l1与圆C相交所得的弦长为2,求直线l1的方程;
(3)直线l2经过点A(4,1),且l2与圆C相切,求直线l2的方程.
题组三 直线与圆位置关系的综合应用
11.(多选题)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,1)射出,经x轴反射,下列结论正确的是( )
A.圆C关于x轴对称的圆的方程为x2+y2+4y+3=0
B.若反射光线所在直线平分圆C的周长,则入射光线所在直线的方程为3x-2y-4=0
C.若反射光线所在直线与圆C相切于A,与x轴相交于点B,则PB+BA=2
D.若反射光线所在直线与圆C交于M,N两点,则△CNM面积的最大值为
12.设m∈R,圆M:x2+y2-2x-6y=0,若动直线l1:x+my-2-m=0与圆M交于点A,C,动直线l2:mx-y-2m+1=0与圆M交于点B,D,则AC+BD的最大值是 .
13.已知M(x,y),A(1,2),B(-2,-1),且MA=MB,点Q(-2,2).
(1)求MQ的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值;
(3)求y-x的最大值和最小值.
14.已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上,该圆与直线3x-4y+7=0相切,且截y轴所得的弦长为2,圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,O为坐标原点,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行 如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
2.2 直线与圆的位置关系
基础过关练
1.C 因为点P(a,b)在圆O:x2+y2=1内,所以a2+b2<1,设圆心O到直线ax+by=1的距离为d,则d=>1,所以直线ax+by=1与圆相离.故选C.
2.C 直线l的方程可化为m(x-2)+y-1=0,
由所以直线l恒过点(2,1),设为A.
又22+12=5,即点A在圆x2+y2=5上,
所以过点A的直线l与圆相交或相切.故选C.
3.B 由题意可知,点P的轨迹是以坐标原点为圆心,1为半径的圆,其方程是x2+y2=1.
解法一:把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,则Δ=9-4×4=-7<0,∴直线与圆相离,
∴直线y=x+3不是“相关点直线”.
同理,通过联立直线和圆的方程,可得直线y=x,y=2x+1与圆相交,直线y=2与圆相离,所以②④符合题意.故选B.
解法二:圆心(0,0)到直线y=x+3,即x-y+3=0的距离为>1,∴直线与圆相离,∴直线y=x+3不是“相关点直线”.
同理,通过比较圆心到直线的距离与半径的大小,可得直线y=x,y=2x+1与圆相交,直线y=2与圆相离.所以②④符合题意.故选B.
解题关键 点P在直线上且=0,说明点P也在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切,所以问题转化为判断直线与圆的位置关系.
4.答案 ∪(2,+∞)
解析 因为曲线(x+x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,
所以直线x+x-y-2=0均与圆x2+(y-m)2=m2相交,且两直线的交点(-,-5)不在该圆上,
则解得m<-或-或m>2,故m的取值范围是∪(2,+∞).
5.解析 (1)设P(x,y),由=2得,整理得(x-2)2+y2=4.
故动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4.
(2)圆(x-2)2+y2=4的半径r=2,圆心坐标为(2,0),设为C,
显然直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,点N到l的距离为=1,解得k=±,
所以l的方程为y=±(x+2),即x±2y+2=0,
所以圆心C到l的距离为,因为6.A 解法一:易知切线斜率存在,设切线l的方程为y+=k(x-1).易知圆心A(2,0),半径r=2,
所以A到l的距离d==r=2,
所以k=-,即切线l的方程为x+y+2=0.故选A.
解法二:将圆A的方程化为标准形式为(x-2)2+y2=4,
易知点P(1,-)在圆A上,则在点P处的切线l的方程为(x-2)(1-2)-y=4,化简得x+y+2=0.
规律总结 本题解法二用到以下结论:若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.这个结论在解小题时可以直接应用.
7.C 由题可知圆心O(0,0),半径r=1,
设P(x0,y0),则3x0+4y0-10=0,即y0=,
故PA=,
则当x0=时,PA取得最小值,为.
故选C.
8.A 解法一:圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为(3,4),半径r=1,记M(3,4).连接OM,AM,BM(图略),则OM=,所以S△AOM=OA·AM=OM·,所以AB=.故选A.
解法二:易得直线AB的方程为(0-3)(x-3)+(0-4)×(y-4)=1,即3x+4y-24=0.圆心(3,4)到直线AB的距离为,所以AB=2×.故选A.
方法技巧 本题解法二中求直线AB的方程时,用到了以下结论:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
9.答案 (1,0)
解析 如图所示:
设P(t,0),则PM+PN=
=
=,
取A(0,-),
则PM+PN=PA+PB≥AB,当且仅当A,P,B三点共线时,取等号,
此时kAB=,直线AB的方程为y+x,令y=0,得x=1,所以P(1,0).
10.解析 (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
令y=0,得x2+Dx+F=0,则x1+x2=-D=2(x1,x2为圆C与x轴交点的横坐标),得D=-2,
则圆C的方程为x2+y2-2x+Ey+F=0.将A(1,4),B(5,0)代入可得
解得
所以圆C的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.
(2)由(1)知圆心C(1,0),设M(a,b),
∵M(a,b)与C(1,0)关于直线x-y+1=0对称,
∴则圆M的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=16,
若过点(3,0)的直线斜率不存在,则方程为x=3,
此时圆心M到直线x=3的距离为3+1=4,满足题意;
若过点(3,0)且与圆M相切的直线斜率存在,设其方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
则圆心M到直线kx-y-3k=0的距离为=4,解得k=,
所以切线方程为=0,即3x-4y-9=0.
综上,所求直线的方程为x=3或3x-4y-9=0.
11.B 原点到直线x-=0的距离d=,
设☉O的半径为r,则 2,解得r=2,故☉O的方程为x2+y2=8.故选B.
12.B 解法一:由已知得C(-1,2),所以kCP=.
因为P(2,3)为弦AB的中点,所以CP⊥AB,所以kAB=-3,
所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故选B.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则(x1+1)2+(y1-2)2=16①,
(x2+1)2+(y2-2)2=16②,
因为P(2,3)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=6,
所以①-②整理得=-3,
所以直线l的斜率为-3,
所以直线l的方程为y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故选B.
13.D 圆心C(2,0),半径r=2,因为(1-2)2+12=2<4,所以点A(1,1)在圆内.
当l过圆心C时,弦长PQ取最大值4,
当l⊥AC时,圆心C到l的距离最大,为AC=,此时弦长PQ取最小值,为2,故弦长PQ的取值范围为[2,4].故选D.
14.解析 (1)将圆C的方程化为标准形式,得(x-3)2+(y-1)2=5-a,故圆心C(3,1),半径为.
因为l与圆C相切,所以,解得a=1,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=4.
(2)设圆心C到直线m的距离为d,则AB=2,所以S△ABC=AB·d=d=2,解得d=.由d=,解得k=-1或k=.
所以直线m的方程为x+y-2=0或x-7y+14=0.
15.解析 选条件①.
(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由题意得
所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.
(2)由(1)知圆心M(3,-1),则直线MN的斜率kMN==-2,
故弦所在直线的斜率k=-,
所以弦所在直线的方程为y-1=(x-2),即y=x.
选条件②.
(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由题意得
所以圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.
(2)同条件①.
选条件③.
(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由题意得
因为y轴被圆所截得的弦长为8,
所以方程y2+Ey+F=0有两个不等的实数根y1,y2,
且|y1-y2|==8,即E2-4F=64,
由 可得D=-6,E=2,F=-15或D=-,
又因为圆心M的坐标为整数,所以D=-6,E=2,F=-15.
故圆M的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.
(2)同条件①.
能力提升练
1.C x2+y2+2x=0可化为(x+1)2+y2=1,-1,
令=t,化简得tx-y+1-t=0,所以问题转化为直线tx-y+1-t=0与圆(x+1)2+y2=1有交点,
即≤1,解得0≤t≤,所以-1≤-1≤.故选C.
2.B 设P(x,y),由PB=2PA可得(x-a-3)2+y2=4(x-a)2+4y2,整理可得(x-a+1)2+y2=4,
故点P的轨迹是以(a-1,0)为圆心,2为半径的圆.
直线x+y=1上存在唯一一点P,使得PB=2PA,等价于直线x+y=1与圆(x-a+1)2+y2=4相切,则=2,解得a=-2或a=6.故选B.
3.AC 将x=变形得x2=4y-y2,即x2+(y-2)2=4(x≥0),所以曲线C是以(0,2)为圆心,2为半径的圆在y轴及其右侧的部分,A正确.
易知直线l的斜率为1,如图所示.
l与曲线C有一个交点有两种情况:
①l位于l1与l2之间(包括l1不包括l2),
若l位于l1,则l过点(0,4),此时4=0+m,得m=4;若l位于l2,则l过原点,此时0=0+m,得m=0,所以0②l与曲线C相切,则=2,解得m=2+2或m=2-2,
又m为l在y轴上的截距,所以m=2-2.
综上,当l与曲线C有且仅有一个公共点时,0当l与曲线C有两个公共点时,l位于l2与l3之间(包括l2不包括l3),故2-2当l与曲线C没有公共点时,l位于l1上方或l3下方,故m>4或m<2-2,D错误.
故选AC.
4.答案 (-1,1);
解析 设P(x0,y0),则y0=x0+4,
由题意可得直线AB的方程为(x0-0)(x-0)+(y0-0)·(y-0)=4,即x0x+y0y=4,又y0=x0+4,∴直线AB的方程为x0(x+y)+4y-4=0,
故直线AB过定点(-1,1).
设Q(x,y),M(-1,1),
由=0,得(x+1)x+(y-1)y=0,
整理得点Q的轨迹方程为,
因为点到直线l:x-y+4=0的距离d=,
所以直线l与圆相离,
所以点Q到直线l的距离的最小值为.
5.C 如图,根据切线的性质可知PQ=2PD,PQ⊥AC,PC⊥PA.
易知圆心C(4,0),半径r=4.
所以PC=4,PA=.
又S△APC=PC·PA=AC·PD,
所以PD=,则PQ=2PD=8.
又点C(4,0)到直线x-y+4=0的距离d=,
所以AC≥d=4,所以0<,
所以4≤PQ=8<8.故选C.
6.BD 易知圆心C(1,0),半径r=.对于A,圆心C(1,0)到直线l:x+y-5=0的距离d=,故l与圆C相离,A错误.
对于B,圆C上的点到l的最小距离为d-r=,故PQ∈[,+∞),B正确.
对于C,设与l:x+y-5=0平行的直线方程为x+y+m=0(m≠-5),记为l',
则圆心到直线l'的距离d'==1,所以d'==1,解得m=-1±,
故直线l'为x+y+-1=0或x+y--1=0,C错误.
对于D,由于圆C上的点到直线l的最小距离为d-r=,最大距离为d+r=3,故圆C上存在两个点到直线l的距离为,D正确.
故选BD.
7.D 易知圆心O(0,0),半径r=2.对于A,当直线的斜率不存在时,其方程为x=2,圆心O到直线的距离d=2=r,所以直线x=2是过点P的圆的切线;
当直线的斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴圆心O到直线的距离d==2,解得k=,此时直线的方程为3x-4y+10=0.
∴过点P的圆的切线方程为x=2或3x-4y+10=0,故A错误.
对于B,易知直线MN的方程为(2-0)·(x-0)+(4-0)·(y-0)=4,即x+2y-2=0,故B错误.
对于C,∵OP==4,故C错误.
对于D,易知AB=2,
∴圆心到直线m的距离d'=,
显然直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k'(x-2),即k'x-y-2k'+4=0,
∴d'=,解得k'=1或k'=7,
∴直线m的方程为x-y+2=0或7x-y-10=0,故D正确.
故选D.
8.答案
解析 由题意得A(-1,0),圆心C(1,0),半径r=1,设P(x0,y0),
则PT=,
因为PA=PT,所以,整理得-1=0,
则点P的轨迹方程为x2-6x+y2-1=0,即(x-3)2+y2=10,表示圆心为(3,0),半径为的圆,
所以存在PA=PT,即直线l与圆(x-3)2+y2=10有交点,
所以,整理得k2≤,解得-≤k≤.
故k的取值范围为.
9.答案 x-2y-19=0
解析 由ax+y-a-1=0易知该直线过定点(1,1),圆C:x2+(y-3)2=25的圆心为C(0,3),设M(x,y),A(m,n),N(1,1),
则=(m-1,n-1),
由于CA⊥AM,AN⊥CM,
因此=x(m-1)+(y-3)(n-1)=0,
化简得mx+ny-3y+3n=m2+n2,mx+ny-x-3n-y+3=0,
两式相减得x-2y+6n-3=m2+n2①,(得到两动点坐标的关系式)
又因为A(m,n)在圆x2+(y-3)2=25上,所以m2+n2-6n=16②,(相关动点坐标满足的关系式)
将②代入①可得x-2y-19=0,
故点M的轨迹方程为x-2y-19=0.
解题模板 本题求动点的轨迹方程,由直线方程为ax+y-a-1=0易知该直线过定点(1,1),与圆C:x2+(y-3)2=25交于A,B两点,所以A,B两点都是动点,多动点问题通常利用代入法求轨迹方程,一般步骤为设所求动点为(x,y),相关动点为(x1,y1),将动点(x1,y1)满足的关系式代入动点(x,y)与(x1,y1)满足的坐标关系式,消去x1,y1,得到动点(x,y)满足的关系式,即动点(x,y)的轨迹方程.
10.解析 (1)设圆心C的坐标为(a,0),
依题意得|a|=,
即a2=a2-4a+8,解得a=2,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)由题意知圆心C到直线l1的距离为=1,
由题意知l1的斜率存在.
设直线l1的方程为y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,则=1,解得k=或k=0,
∴直线l1的方程为4x-3y-13=0或y-1=0.
(3)由(1)知圆心C(2,0),半径r=2.
①当l2的斜率不存在时,方程为x=4,则圆心C到直线l2的距离d=2=r,此时直线l2与圆C相切,符合题意;
②当l2的斜率存在时,设其方程为y-1=k1(x-4),即k1x-y-4k1+1=0,
则圆心C到l2的距离d==r=2,解得k1=-,∴直线l2的方程为3x+4y-16=0.
综上,直线l2的方程为x-4=0或3x+4y-16=0.
11.ABD 对于A,由圆C的方程知圆心C(0,2),半径r==1,
∴圆C关于x轴对称的圆的圆心为(0,-2),半径为1,
∴所求圆的方程为x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,A正确;
对于B,∵反射光线所在直线平分圆C的周长,∴反射光线所在直线经过圆心C(0,2),
∴入射光线所在直线经过点(0,-2),设为C',
∴kC'P=,
∴入射光线所在直线的方程为y=x-2,即3x-2y-4=0,B正确;
对于C,易知反射光线所在直线经过点P(2,1)关于x轴的对称点(2,-1),设为P',
∴PB+BA=P'B+BA=P'A.
∵P'A=,C错误;
对于D,设∠CMN=θ,
则圆心C(0,2)到反射光线所在直线的距离d=sin θ,
∴MN=2=2cos θ,
∴S△CNM=MN·d=sin θcos θ=sin 2θ,
则当θ=时,(S△CNM)max=,D正确.故选ABD.
12.答案 2
解析 圆M:x2+y2-2x-6y=0可化为(x-1)2+(y-3)2=10,
∴其圆心为M(1,3),半径r=.
由直线l1:x+my-2-m=0,即x-2+m(y-1)=0,可知l1过定点(2,1),记E(2,1),
由直线l2:mx-y-2m+1=0,即m(x-2)-y+1=0,可知l2过定点E(2,1).
∵1×m+m×(-1)=0,∴l1⊥l2,如图,设线段AC和BD的中点分别为F,G,则四边形EFMG为矩形,
设MF=d,0≤d≤ME=,则MG=,
则AC+BD=2)≤2,
当且仅当10-d2=5+d2,即d=时取等号.
13.解析 因为MA=MB,所以,
整理得(x+5)2+(y+4)2=36,所以点M的轨迹是以(-5,-4)为圆心,6为半径的圆.
(1)因为点(-5,-4)与点Q(-2,2)之间的距离为,
所以MQ的最小值为3-6,最大值为3+6.
(2)设=k,则 kx-y-2k+2=0,由题意知直线kx-y-2k+2=0与圆(x+5)2+(y+4)2=36有交点,所以≤6,解得0≤k≤,
所以,最小值为0.
(3)设y-x=b,则x-y+b=0,
当直线x-y+b=0与圆M相切时,截距b取到最值,所以=6,解得b=1-6或b=1+6,
所以y-x的最大值为1+6,最小值为1-6.
14.
思路分析 (1)设出圆的方程,利用待定系数法,根据已知条件建立方程组求解.
(2)
解析 (1)设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0,r>0),
由题意知
又圆C的面积S=πr2<13,∴a=1,r=2,
∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,假设存在满足题意的直线l,设直线l的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.
∵直线l与圆C相交于不同的两点,
∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,
解得k<1-或k>1+.
又x1+x2=-,
∵四边形OADB是平行四边形,∴线段OD过线段AB的中点,且线段AB与线段OD互相平分,
易知线段AB的中点坐标为,
∴点D的坐标为(x1+x2,y1+y2),
∴kOD=,
又MC的斜率为=-3,解得k=.
由于k=,故不存在满足题意的直线l.
29(共29张PPT)
设圆M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).圆心M(a,b)到直线l的距离 d= .由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式
为Δ.
2.2 直线与圆的位置关系
知识点 直线与圆的位置关系
必备知识 清单破
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
几何法 dr
代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
知识辨析
1.直线与圆有公共点,则直线与圆有怎样的位置关系
2.若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解,对吗
3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程一定无 解,对吗
4.过不在圆内的一点,一定可以作圆的两条切线,对吗
一语破的
1.若直线与圆有且仅有一个公共点,则直线与圆相切;若直线与圆有两个公共点,则直线与圆 相交.
2.对.若直线与圆相交,则它们必有公共点,而公共点的坐标是直线方程与圆的方程的公共解, 所以直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.
3.对.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆相离,所以直线与圆没有公共点,因此直线方 程与圆的方程没有公共解,所以直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.
4.不对.不在圆内的点,可能在圆上,也可能在圆外.当点在圆上时,只能作圆的一条切线;当点在 圆外时,可以作圆的两条切线.
判断直线与圆的位置关系主要有几何法和代数法两种方法,几何法侧重图形的几何性 质,代数法步骤简单,但计算量较大,具体解题时要根据题目特点合理选择.
另外,也可以用定点法判断,即若直线恒过定点且定点在圆内,则直线与圆相交.该法有一定的 局限性,若定点在圆上或在圆外,则需利用代数法或几何法进行讨论.
定点 1 直线与圆的位置关系的判断
关键能力 定点破
典例 已知直线l:mx-y-m-1=0,圆C:x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线l与圆C:
(1)相离 (2)相切 (3)相交
解析 解法一(代数法):联立 消去y得x2+(mx-m-1)2-4x-2(mx-m-1)+1=0,整
理得(1+m2)·x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,
因为1+m2≥1,所以Δ=4(m2+2m+2)2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4).
(1)若直线与圆相离,则Δ=4m(3m+4)<0,即- (2)若直线与圆相切,则Δ=4m(3m+4)=0,即m=0或m=- ,故直线与圆相切时,m的值为0或- .
(3)若直线与圆相交,则Δ=4m(3m+4)>0,即m>0或m<- ,故直线与圆相交时,m的取值范围为
∪(0,+∞).
解法二(几何法):将方程x2+y2-4x-2y+1=0化为标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,易知圆心坐标为(2,1), 半径r=2.
则圆心到直线l的距离d= = .
(1)若直线与圆相离,则d>r,即 >2,解得- .
(2)若直线与圆相切,则d=r,即 =2,解得m=0或m=- ,故直线与圆相切时,m的值为0或- .
(3)若直线与圆相交,则d0或m<- ,故直线与圆相交时,m的取值范围为
∪(0,+∞).
1.点P在圆上
(1)直接法:先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为- (k≠0),由直线的点
斜式方程可得切线方程为y-y0=- (x-x0).如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在,则由图形
可直接得切线方程为x=x0或y=y0.
(2)待定系数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即 得切线方程.注意此时切点与圆心的纵坐标不相等.
注:过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论:
①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;
②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
定点 2 过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法
③若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D· +
E· +F=0.
2.点P在圆外
(1)通常用待定系数法,其求法同1中的待定系数法.当用此法只求出一个方程时,另一个方程 应为x=x0,因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不 用联立方程的方法求解k.
(2)过圆外一点的切线有两条,可熟记下列结论:
①若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方 程为x0x+y0y=r2;
②若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线 AB的方程为(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
③若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则直线AB的方程为x0x+y0y+D· +E· +F=0.
典例1 已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,且A,B 为切点,则直线AB经过定点 .
(1,2)
解析 设P(9-2b,b),易得直线AB的方程为(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x-9=0,令 解得
故直线AB经过定点(1,2).
典例2 已知点P(2,3),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=2.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程.
解析 由题意得圆心C(1,2),半径r= .
(1)解法一:∵(2-1)2+(3-2)2=2,∴P在圆C上.
∵kPC= =1,∴切线的斜率k=- =-1,
∴过点P的圆C的切线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
解法二:易知过点P的切线斜率存在,故可设切线方程为y-3=k(x-2),则由 得
(k2+1)x2-(4k2-2k+2)x+4k2-4k=0,则Δ=[-(4k2-2k+2)]2-4(k2+1)(4k2-4k)=0,即k2+2k+1=0,
∴k=-1.
∴过点P的圆C的切线方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>2,∴M在圆C外.
易知过点M的切线斜率存在,故可设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
∴圆心C到切线的距离d= = = ,解得k= ,
∴切线方程为y-1= (x-3)或y-1= (x-3),即x+( -2)y-1- =0或x-( +2)y+ -1=
0.
过圆外一点P,可作圆的两条切线,我们把点P与切点所连线段的长称为切线长.切线长可 由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长为 .
定点 3 切线长的求法
典例 已知圆心C在直线y=x上且圆C过点A(-2,5),B(5,4).
(1)求圆C的方程;
(2)若D在直线y=x+10上,过D作圆C的切线,求切线长的取值范围.
解析 (1)由题意可设圆的圆心C(a,a),半径为r,
易知AC=BC=r,所以(a+2)2+(a-5)2=(a-5)2+(a-4)2,解得a=1,
所以半径r=AC=5,
所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=25.
(2)过点D向圆C作切线DM(如图所示),
则DM2=DC2-MC2=DC2-r2,
要使切线长最短,则DC最短,易知DC的最小值为点C到直线y=x+10的距离.
又点C到直线y=x+10的距离d= =5 ,所以(DM)min= = =5.
所以切线长的取值范围为[5,+∞).
1.直线与圆相交的弦长的求法
定点 4 弦长与中点弦问题
几何法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+ 求解
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,则求出交点坐标,然后用两点间的距离公式计算弦长
弦长
公式法 设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得弦长l= |x1-x2|
= 或l= |y1-y2|= (k≠0)
2.解决与中点弦有关问题的方法
(1)利用根与系数的关系求出中点坐标;
(2)设出弦的两个端点的坐标,利用点在圆上得到两个方程,通过作差求出弦所在直线的斜率, 此法即为点差法;
(3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直解决问题.
典例1 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)证明:无论m为何值,直线l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R)都与圆C相交;
(2)若过点P(1,0)的直线l'与圆C相交于A,B两点,求△ABC的面积的最大值,并求此时直线l'的方 程.
思路点拨 (1)证明直线l过圆内一点即可.(2)设出l'的方程,由几何法表示出弦AB的长,再由三 角形面积公式,结合函数知识求最值.
解析 (1)证明:直线l的方程可化为m(x-y+1)-2x+y+1=0,
由 解得 所以直线l恒过点(2,3),
由(2-3)2+(3-4)2=2<4,可得点(2,3)在圆内,即直线l恒过圆内一点,
所以无论m为何值,直线l都与圆C相交.
(2)易知直线l'的斜率存在,且不为0,
故设直线l'的方程为x=my+1(m≠0),变形为x-my-1=0,
圆心C到直线l'的距离d= = ,所以AB=2 =2 .
设△ABC的面积为S,则S2= = · ,
令t= ,可得S2=4t-t2,当t=2时,S2有最大值,所以△ABC的面积的最大值为2,
由2= ,得7m2-8m+1=0,解得m=1或m= ,符合题意,
所以直线l'的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.
典例2 已知圆C:x2+(y+4)2=4.
(1)过点P(2,4)作圆的切线,求切线的方程;
(2)是否存在直线l与圆C相交于M,N两点,且使得点D(-1,-3)为线段MN的中点 若存在,求出直 线l的方程;若不存在,请说明理由.
解析 (1)当过点P的切线斜率存在时,设其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0.
由圆心C(0,-4),半径r=2,可得圆心C到切线的距离为 =2,解得k= ,
此时切线的方程为y-4= (x-2),即15x-8y+2=0.
当过点P的切线的斜率不存在时,易知过点P的圆C的切线方程为x=2.
综上,过点P的切线方程为15x-8y+2=0或x=2.
(2)存在满足条件的直线l.
解法一:由弦MN的中点为D(-1,-3),可知CD⊥MN,且直线CD的斜率为 =-1,
所以直线l的斜率为1,则直线l的方程为y+3=x+1,
即x-y-2=0,
所以存在满足条件的直线l,其方程为x-y-2=0.
解法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠x2,
则 +(y1+4)2=4①, +(y2+4)2=4②,
②-①,化简可得 =- .
因为点(-1,-3)是MN的中点,所以x1+x2=-2,y1+y2=-6,
所以直线l的斜率k= =- =- =1,
所以存在满足条件的直线l,其方程为y+3=x+1,即x-y-2=0.
利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关 知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的有:
①关于x,y的一次分式形式常转化为直线的斜率;
②关于x,y的一次式常转化为直线的截距;
③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离等.
(2)将待求式转化成函数解析式,利用函数的性质解决.
(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目
标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.
定点 5 与圆有关的最值问题
典例 已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析 解法一:(1)令4x-3y=m,则 可以看作直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直
线在x轴上的截距最大(或最小).由此可知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m分别取得最大 值和最小值.
如图1,由圆心(0,0)到直线4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得 =2,即|m|=10,故m=
±10,故mmax=10,mmin=-10.
即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.
(2)令 =k,则k表示圆x2+y2=4上一点P(x,y)与点(-2 ,-2)的连线所在直线的斜率.
由图2知,当直线y+2=k(x+2 )与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值.
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,
解得k=0或k= .
故kmax= ,kmin=0,
即 的最大值为 ,最小值为0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则 表示圆上一点P(x,y)与点(4,-3)间的距离.如图3,易得点(4,-3)与圆心
(0,0)间的距离为5,故( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,即dmax=49,dmin=9,故(x-4)2+(y+3)2的最大值为
49,最小值为9.
解法二:因为点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点,
所以令 θ∈[0,π].
(1)4x-3y=8cos θ-6sin θ=10cos(θ+φ),其中tan φ= ,
因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以4x-3y的最大值为10,最小值为-10.
(2)令 =k,则 =k,整理得sin(θ-α)= ,其中tan α=k,则由正弦函数的值域可
得 ≤1,解得0≤k≤ ,即 的最大值为 ,最小值为0.
(3)(x-4)2+(y+3)2=(2cos θ-4)2+(2sin θ+3)2=29+20sin(θ-β),其中tan β= .
因为-1≤sin(θ-β)≤1,
所以(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最小值为9.
