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1.代数法:设两圆的方程分别为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的
是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下列表中的标准进行 判断.
2.几何法:设两圆的半径分别为r1,r2,圆心距为d,按下列表中的标准进行判断.
2.3 圆与圆的位置关系
知识点 圆与圆的位置关系及其判断
必备知识 清单破
知识辨析
1.两圆方程联立,若方程组有两组解,则两圆相交,对吗
2.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么
3.若两圆相切,则两圆有且仅有一条公切线吗
4.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若C1C25.设圆C1与圆C2的半径分别为r1,r2,若两圆没有公共点,则一定有C1C2>r1+r2吗
一语破的
1.对.若方程组有两组解,则以这两组解为坐标的点是两圆的公共点,所以两圆相交.
2.相切(即内切或外切).
3.不是.若两圆内切,则两圆有且仅有1条公切线;若两圆外切,则两圆有3条公切线.
4.不一定.当C1C2|r1-r2|,则两圆相交;若C1C2=|r1-r2|,则两圆内切;若C1C2<|r1-r2|,则 两圆内含.
5.不一定.若两圆没有公共点,则两圆外离或内含,即C1C2>r1+r2或C1C2<|r1-r2|.
1.几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两 圆的位置关系,这是在解析几何中常用的方法.
2.代数法:将两圆的方程联立,得到方程组,解方程组,根据方程组解的组数判断两圆的位置关 系.
定点 1 两圆位置关系的判断
关键能力 定点破
典例 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+4x=0.
(1)当m=2时,判断圆C1和圆C2的位置关系;
(2)是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含 若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.
解析 (1)当m=2时,圆C1的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=9,则C1(2,-2),半径r1=3,
圆C2的标准方程为(x+2)2+y2=4,则C2(-2,0),半径r2=2,
∴圆心距d= =2 ,
又r1+r2=5,r1-r2=1,∴r1-r2∴圆C1和圆C2相交.
(2)不存在.理由如下:
圆C1的方程可化为(x-m)2+(y+2)2=9,则C1(m,-2),半径r1=3.由(1)知C2(-2,0),半径r2=2.
假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,则圆心距d= <3-2,即(m+2)2<-3,此不
等式无解.故不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.
1.两圆相切包括内切和外切,若只知道相切,则需分内切、外切两种情况讨论,再根据两圆的 圆心距与半径的关系列方程解决问题.
2.求两圆公切线问题的关键
(1)判断两圆的位置关系;
(2)设公切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程,求出参数值得切线 方程;
(3)可通过作图解决,画图要标准,做到“草图不草”.
定点 2 两圆相切问题
典例 已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为
.
y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0
解析 圆O1的圆心为O1(-1,-3),半径r1=1;
圆O2的圆心为O2(3,-1),半径r2=3,则O1O2=2 >r1+r2,所以两圆外离,两圆有四条公切线.
当公切线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则有
解得 或 或
所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.
当公切线的斜率不存在时,易知其方程为x=0.
所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0.
1.两圆的公共弦所在直线的方程的求法
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0).
联立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就 是经过两圆交点的直线方程.
故当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线 的方程.
当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程.
定点 3 两圆的公共弦问题
当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.
若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方 程.
2.两圆公共弦长的求法
(1)代数法:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法
①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程;
②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离;
③利用勾股定理求出公共弦长.
3.求经过两圆交点的圆的方程的方法
一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -
4F2 >0) 交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),再由其他 条件求出λ即得圆的方程.
典例 已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在直线x-y-1=0上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.
思路点拨 (1)由圆C1与y轴相切于(0,3),得圆心C1在直线y=3上,结合圆心C1在直线x-y-1=0上 求出圆心为(4,3).根据圆C1与y轴相切可得半径r=4,从而求出圆的方程.
(2)由圆C1与圆C2的方程作差求出直线MN的方程,利用半弦长、半径、弦心距之间的关系求 出公共弦长.
解析 (1)因为圆C1与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上,
又因为圆心在直线x-y-1=0上,所以圆心为直线y=3与x-y-1=0的交点,联立 解得
可得圆心坐标为(4,3),
又因为圆C1与y轴相切于点(0,3),故圆C1的半径r=4,
所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)由(1)知,圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
两式作差可得两圆公共弦所在直线的方程为2x+3y-4=0,
圆心C1(4,3)到直线2x+3y-4=0的距离d= = ,
所以两圆的公共弦长为2 =2× =2 .
易错警示 只有在两圆相交的前提下,求两圆公共弦所在的直线方程时,才能让两圆的方程 相减得公共弦所在的直线方程.
隐圆问题
有些与圆有关的题目中,题设条件没有明确给出圆的相关信息,而是隐藏在题目条件中, 因此在解决这类问题时,需要通过分析、转化已知条件发现圆的定义(或圆的方程),从而利用 圆的相关知识来求解,我们称这类问题为隐圆问题.
破解隐圆问题最关键的是定隐圆,定隐圆一般有以下几种方法:
①用定义定隐圆:利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆;
②用垂直关系定隐圆:若动点P与两定点A,B的连线的夹角为直角,则可知动点的轨迹为圆(不 包括A,B两点).具体表现形式为kPA·kPB=-1.
③用向量关系式定隐圆:两定点A,B,动点P 满足 · =0,确定隐圆.
专题疑难 突破
足PA=λPB,当λ>0 且λ≠1 时,点P的轨迹就是阿波罗尼斯圆.
除了上述五种方法外,还存在“四点共圆”模型,常见的有两种情形:一是四边形的对角互补; 二是共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等(即同弧所对的圆周角相等).
④用勾股定理定隐圆:两定点A,B,动点P 满足PA2+PB2=AB2,确定隐圆.
⑤用阿波罗尼斯圆定隐圆:在平面上给定相异的两点A,B,设点P 与点A,B 在同一平面内,且满
典例1 已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切
点分别为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为 .
解析 由题意得圆M的半径为1,圆心为(a,a-4),圆O的半径为1,
连接OP,OA,因为直线AP,BP均为圆O的切线,且∠APB=60°,所以OA=1,∠APO=30°,
所以OP=2OA=2,根据圆的定义知点P在圆x2+y2=4上,记为圆E,
因为点P既在圆E上,又在圆M上,所以圆E与圆M一定有公共点,所以2-1≤ ≤2+1,
解得2- ≤a≤2+ ,所以实数a的取值范围是 .
典例2 在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化 时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为 .
解析 解法一:由题意得直线l1经过定点(0,2),记为A,直线l2经过定点(2,0),记为B,且l1⊥l2,所以 点P在以AB为直径的圆上,记为圆C,
则圆C的圆心为(1,1),半径r= .
因为圆心C到直线x-y-4=0的距离d= =2 ,
所以点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为d+r=3 .
解法二:当k=0时,易得点P(2,2),则点P到直线x-y-4=0的距离为2 ;
当k≠0时,解方程组 得两直线交点P的坐标为 ,
所以点P到直线x-y-4=0的距离d= = ,
显然当d取得最大值时k为正数,则有 = ≤ ,当且仅当k=1时取“=”,所以
≤ =3 .
综上可知,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3 .
典例3 已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足 · =3,则实数a的取
值范围是 .
[-2,1]
解析 设M(x,y),则 =(-1-x,-y), =(1-x,-y).因为 · =3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2=
4,表示圆.
又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以两圆必有交点,
所以2-1≤ ≤1+2,
即1≤ ≤3,解得-2≤a≤1.
典例4 已知O为原点,A(2,0),B(-1,0),若MA= MO,则MB的最大值为 .
思路点拨 由题干条件知满足阿波罗尼斯圆的定义,利用其确定隐圆求最值.
解析 设M(x,y),由MA= MO,得(x-2)2+y2=2(x2+y2),即(x+2)2+y2=8,记为圆C.
所以M在圆心为C(-2,0),半径r=2 的圆上.
又BC=1,所以(MB)max=BC+r=1+2 .
典例5 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上是否存在点P, 使得PA2+PB2=12 若存在,求点P的个数;若不存在,请说明理由.
解析 圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心C(2,0),半径为2.
设P(x,y)满足PA2+PB2=12,则PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,
即x2+(y-1)2=4,所以点P在圆心为(0,1),半径为2的圆上.
因为|2-2|< <2+2,
所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,即在圆C上存在点P,使得PA2+PB2=12,且点P的个数为2.
素养解读
直线与圆在实际生活中的应用问题,本质是把实际问题转化为数学问题,即数学建模.解 题的关键在于能够在实际问题的情境中,运用数学思维进行分析,发现情境中的数量关系,提 出数学问题,进而解决数学问题,运用的主要方法是解析法,即通过图形特点建立合适的平面 直角坐标系,用坐标和方程表示图形中的相关要素,选择合适的数学模型表达要解决的几何 问题,进而通过代数运算解决问题.在将实际问题通过解析法转化为数学问题的过程中,培养 学生数学建模的核心素养.
学科素养 情境破
素养 在研究直线与圆的应用问题中培养学生数学建模的核心素养
例题 甲、乙两人同时从半径为3 km的圆形社区中心出发,甲向正东方向走,乙向正北方向走. 甲出发不久,因有事改变前进方向,斜着沿切于社区周界的方向前进,后来恰好与乙相遇,甲、 乙两人的速度都一定,其比为3∶1,问甲、乙两人在何处相遇
典例呈现
信息提取
关键信息 信息提取
半径为3的圆形社区 圆的方程为x2+y2=9
甲斜着沿切于社区周界的方向前进 甲的前进方向所在直线与圆相切
甲、乙两人相遇,求相遇点(乙在正北方向前进) 求切线与y轴交点的纵坐标
解题思路 以社区中心为原点,正东、正北方向分别为x,y轴的正方向,建立直角坐标系,如图,
设甲、乙两人的速度分别为3v km/h,v km/h,甲出发x0小时后,在P点改变前进方向,又经过y0小 时在Q点与乙相遇,则P(3vx0,0),Q(0,v(x0+y0)),则OP=3vx0千米,PQ=3vy0千米,OQ=v(x0+y0)千米.
因为OP2+OQ2=PQ2,
所以(3vx0)2+[v(x0+y0)]2=(3vy0)2,
整理得(x0+y0)(5x0-4y0)=0.
又因为x0+y0>0,所以5x0=4y0①,
所以kPQ= =- ②,
将①代入②得kPQ=- ,
设直线PQ的方程为y=- x+b(b>0).
切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值即为所求,故问题转化为“当直线y=- x+b
与圆x2+y2=9相切时,求直线的纵截距”.
由圆心到切线的距离等于半径得 =3,所以b= .
因此,甲、乙两人相遇的地点在离社区中心正北 km处.
思维升华
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
(2)建系:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.2.3 圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一 圆与圆的位置关系
1.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3条公切线,则a=( )
A.-3 B.3 C.3或-3 D.5
2.(教材习题改编)已知圆C1:x2+y2=r2(r>0),圆C2:(x+3)2+(y-4)2=4,若C1与C2有公共点,则r的最小值为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
3.在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为3,且与点B(3,8)的距离为1的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.已知点A(0,0),B(2,0),圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点Pi(i=1,2)满足=3,则r的取值范围是 .
题组二 两圆的公共弦与公切线
5.(教材习题改编)(多选题)圆O1:x2+y2-2x+2y-2=0与圆O2:x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦的长为,则a的值可以为 ( )
A.±2 B.±
6.(多选题)已知两圆C1:x2+y2=4与C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法不正确的是( )
A.若两圆相切,则r=3
B.若两圆的公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,则r=5
C.若两圆的公共弦长为2,则r=
D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=4
7.已知圆C1:x2+y2-4x-16=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0,则圆C1与圆C2的公切线方程是 .
8.已知圆C:(x-2)2+y2=4,点P在直线x-y-1=0上运动,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若直线AB过定点M,则点M的坐标为 .
9.已知圆M:x2+y2-2x-6y-1=0和圆N:x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)当m取何值时,两圆外切
(2)当m=45时,求两圆的公共弦所在的直线方程和公共弦的长.
题组三 圆与圆的位置关系的综合运用
10.(多选题)已知圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0交于A,B两点,则( )
A.线段AB的中垂线方程为x+y=0
B.直线AB的方程为x+y-3=0
C.公共弦AB的长为2
D.所有经过A,B两点的圆中,面积最小的圆是圆C1
11.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,使得∠APB=90°,则实数a的值是( )
A.2- C.2-或2+
能力提升练
题组一 圆与圆的位置关系
1.(多选题)已知圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是( )
A.当r=1时,圆C1与圆C2有4条公切线
B.当r=2时,直线y=1是圆C1与圆C2的一条公切线
C.当r=3时,圆C1与圆C2相交
D.当r=4时,圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+
2.已知直线l:x-2y-1=0与圆C:x2+y2+2ax+2y+a2+1=0始终有公共点,则圆C与圆M:x2+y2-ax+a2=0的位置关系为( )
A.相交 B.外离 C.外切 D.内切
3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=9和两点
A(t,0),B(-t,0)(t>0),若圆C上至少存在一点P,使得<0,则实数t的
取值范围是( )
A.(2,8) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(1,3)
4.若直线l:mx+y-3m-2=0与圆M:(x-5)2+(y-4)2=25交于A,B两点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:(x+2m)2+y2=9的位置关系是 ( )
A.内切 B.外离 C.外切 D.相交
5.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在点M,且点M关于直线x+y+1=0的对称点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,则r的取值范围是( )
A.[+2]
C.[+2]
6.已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=4外切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为 .
7.在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心C在直线l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
题组二 两圆的公共弦与公切线
8.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P,且点P在直线mx-ny-2=0上(m>0,n>0),则mn的最大值是( )
A.
9.(多选题)如图,点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上的一段圆弧,是以BC为直径的圆上的一段圆弧,是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,则下列结论正确的是( )
A.曲线Ω与x轴围成的图形的面积为
B.的公切线的方程为x+y-1-=0
C.所在圆的公共弦所在直线的方程为x-y=0
D.所在圆截直线y=x所得弦的长为
10.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)证明圆C1与圆C2外切,并求过切点的两圆公切线的方程;
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
题组三 圆与圆的位置关系的综合应用
11.已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,圆C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则PM+PN的最小值为( )
A. C.2 D.3
12.设点A(1,0),B(4,0),动点P满足2PA=PB,设点P的轨迹为C1,圆C2:(x+)2+(y-3)2=4,C1与C2交于点M,N,Q为直线OC2上一点(O为坐标原点),则=( )
A.4 B.2
13.设点P为直线2x+y-2=0上的点,过点P作圆C:x2+y2+2x+2y-2=0的两条切线,切点分别为A,B,当四边形PACB的面积取得最小值时,直线AB的方程为 .
14.定义圆的反演点:若点M在圆O外,过M作圆O的两条切线,两切点的连线与OM的交点就是M的反演点;若点M在圆O内,则连接OM,过点M作OM的垂线,在该垂线与圆O的两个交点处分别作圆O的切线,切线的交点即为M的反演点.已知圆O:x2+y2=4,点M(1,3),则M的反演点的坐标为 .
15.已知圆C1:x2+y2+6x-2y+6=0和圆C2:x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0).
(1)若圆C1与圆C2相交,求r的取值范围;
(2)若直线l:y=kx+1与圆C1交于P,Q两点,且=4,求实数k的值;
(3)若r=2,设M为平面上的点,且满足:存在过点M的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点M的坐标.
答案与分层梯度式解析
2.3 圆与圆的位置关系
基础过关练
1.C 由题意得,圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16的圆心为C2(4,a),半径r2=4,因为两圆有3条公切线,所以两圆外切,则C1C2=r1+r2,即=5,解得a=±3.故选C.
规律总结 圆与圆的位置关系与公切线条数
位置关系 内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数 0 1 2 3 4
2.B 由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径为r,圆C2的圆心为C2(-3,4),半径为2,则C1C2==5,
∵C1与C2有公共点,
∴|r-2|≤C1C2≤r+2,
又r>0,∴3≤r≤7,故r的最小值为3.故选B.
3.D 与点A(1,2)距离为3的点的轨迹是以A(1,2)为圆心,3为半径的圆,与点B(3,8)距离为1的点的轨迹是以B(3,8)为圆心,1为半径的圆,
则所求直线即为两圆的公切线,
因为AB=>1+3=4,
所以两圆外离,有4条公切线,所以符合题意的直线有4条.故选D.
4.答案 (3,7)
解析 设P(x,y),则=(-x,-y)·(2-x,-y)=x2-2x+y2=3,变形得(x-1)2+y2=4,
故点P在以点(1,0)为圆心,2为半径的圆上,
要使圆M上恰有两点Pi(i=1,2)满足=3,
则圆(x-1)2+y2=4与圆M有两个交点,故|r-2|<5.CD 两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,
易得圆O1的圆心为O1(1,-1),半径为2,
因为点O1到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距离d=,
所以d=,
解得a=±1或a=±.故选CD.
6.ACD 由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径为r,则C1C2=5,
对于A,当两圆外切时,C1C2=r1+r,即5=2+r,解得r=3;当两圆内切时,C1C2=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故两圆相切时,r=3或r=7,故A中说法错误;
对于B,两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为6x-8y+r2-29=0,
又因为公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中说法正确;
对于C,圆心C1(0,0)到直线6x-8y+r2-29=0的距离d=,
因为两圆的公共弦长为2,所以2,所以d=1,
所以=1,解得r2=19或r2=39,即r=或r=,故C中说法错误;
对于D,若两圆在交点处的切线互相垂直,则满足r2+,即r2+4=25,所以r=,故D中说法错误.故选ACD.
易错警示 本题A选项容易出错,当已知两圆相切时,要分内切和外切两种情况讨论.
7.答案 2x+y+6=0
解析 圆C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圆心为C1(2,0),半径r1=2,
圆C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圆心为C2(0,-1),半径r2=.
因为圆心距C1C2==r1-r2,所以两圆内切.
联立所以两圆切点的坐标为(-2,-2),
又,所以公切线的斜率为-2,
所以公切线的方程为y-(-2)=-2(x+2),即2x+y+6=0.
解题模板 当两圆外切时,有一条内公切线,且垂直于两圆的连心线;当两圆内切时,有一条外公切线,且垂直于两圆的连心线.求切线方程时,可先联立两圆方程求出切点坐标,再利用垂直关系求出公切线的斜率,进而得到方程.
8.答案 (-2,4)
解析 由题意得圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,设P(t,t-1),
由题意知A,B在以PC为直径的圆上,该圆的方程为,
化简得x2+y2-(t+2)x-(t-1)y+2t=0,
与圆C的方程(x-2)2+y2=4相减,得直线AB的方程为(2-t)x-(t-1)y+2t=0,即t(-x-y+2)+2x+y=0,
由
所以直线AB过定点M(-2,4).
9.解析 设圆M的半径为r1,圆N的半径为r2.将两圆的方程化为标准形式,分别为M:(x-1)2+(y-3)2=11,N:(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61),
则圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=.
(1)当两圆外切时,满足MN=r1+r2,即,解得m=25+10.
(2)当m=45时,=4,则4-,所以两圆相交,
则两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,
圆心M(1,3)到直线4x+3y-23=0的距离d==2,所以公共弦的长为2.
10.BD 设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2.将两圆方程化为标准形式为C1:,C2:(x-1)2+(y-1)2=2,
圆心分别为C1,C2(1,1),半径分别为r1=.
由圆的性质可知,线段AB的中垂线过圆心C1,C2,则线段AB的中垂线的斜率为=1,方程为y-1=x-1,即x-y=0,A错误;
将两圆方程相减得直线AB的方程为x+y-3=0,B正确;
圆心C2到直线AB的距离d=,
所以AB=2,C错误;
易知经过A,B两点的圆中,以AB为直径的圆的面积最小,
因为AB=2r1,所以圆C1即是以AB为直径的圆,故D正确.
11.C 圆C的圆心为C(1,1),半径r=2,
由点A(a,0),B(-a,0)(a>0)可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,
设该圆为圆O,则圆心为O(0,0),半径R=a,
若点P满足∠APB=90°,则P在圆O上,
由圆C上有且仅有一点P使得∠APB=90°,得圆C与圆O相切,
则两圆内切或两圆外切易错点,即OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又a>0,所以a=2-或a=2+.故选C.
能力提升练
1.ABD 由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(3,3),半径为r,故C1C2=3.
当r=1时,C1C2>2=r1+r,所以两圆外离,故有4条公切线,A正确;
直线y=1是圆C1的切线,当r=2时,圆心C2到直线y=1的距离d=2=r,即直线y=1是圆C2的切线,B正确;
当r=3时,C1C2>4=r1+r,即两圆外离,C错误;
当r=4时,r-r1=3将两圆方程作差得(x-3)2+(y-3)2-(x2+y2)=15,整理得2x+2y-1=0,即y=-x+,D正确.
2.B 由题意得圆C的圆心为C(-a,-1),半径r1=|a|(a≠0),圆M的圆心为M,半径r2=|a|.
因为直线l与圆C始终有公共点,所以|a|,解得a≥,
因此CM=a,
所以圆C与圆M外离.故选B.
3.B 由题得圆C的圆心为C(3,4),半径r=3,
因为圆C上至少存在一点P,使得<0,
所以∠APB>90°,
所以圆C与圆O:x2+y2=t2(t>0,O为坐标原点)相交、内切或内含,则OC<3+t,
又因为OC==5,所以5<3+t,解得t>2.
所以实数t的取值范围是(2,+∞).故选B.
4.B 直线l的方程可变形为m(x-3)+y-2=0,所以直线l过定点(3,2),记为P,圆M的圆心M(5,4),半径为5.
因为(3-5)2+(2-4)2<25,所以P(3,2)在圆M内.
当弦AB最短时,l⊥PM,
又kPM==1,所以-m=-1,解得m=1,
此时圆N的方程是(x+2)2+y2=9,圆心为N(-2,0),半径为3.
则MN=,
因为>5+3=8,所以圆M与圆N外离.故选B.
5.D 设圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4关于直线x+y+1=0对称的圆为C0:(x-a)2+(y-b)2=4,
则
故C0:(x+2)2+(y+3)2=4.
由题意可知,圆C0:(x+2)2+(y+3)2=4与圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交点,
圆C0与圆C2的圆心分别为C0(-2,-3),C2(-1,-1),半径分别为2,r,
则C0C2=,
则满足|r-2|≤≤r+2,解得-2≤r≤+2.
∴r的取值范围是[+2].故选D.
6.答案 4
解析 将圆C的方程化为标准方程为(x-1)2+y2=1-m,圆心为C(1,0),半径为(m<1),
圆(x+3)2+(y+3)2=4的圆心为(-3,-3),半径为2,
因为两圆外切,所以,解得m=-8,
所以圆C的半径为3,
因为圆心C(1,0)到直线5x+12y+8=0的距离为=1,
所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为3+1=4.
7.解析 (1)联立即两直线的交点C的坐标为(3,2),
则圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1,
当过点A的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,不是圆C的切线;
当过点A的直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
要想该直线为圆C的切线,则=1,解得k=±,
所以切线方程为=0或=0.
(2)由题可得点C(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,
设点M(x,y),因为MA=2MO,所以,化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,
所以点M在以点(-1,0)为圆心,2为半径的圆上,设D(-1,0).
因为点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,
所以|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3,解得≤a≤2,
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
8.D 将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,整理得k(x+y)-2y-4=0,令所以点P(2,-2),代入mx-ny-2=0,得m+n=1,所以mn≤,当且仅当m=n=时等号成立,所以mn的最大值为.故选D.
9.BC 所在圆的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)2+y2=1.
由题意得曲线Ω与x轴围成的图形的面积为=π+2,故A中结论错误;
设的公切线的方程为y=kx+b(k<0,b>0),则=1,所以k=-1,b=1+,
所以的公切线的方程为y=-x+1+,即x+y-1-=0,故B中结论正确;
由x2+(y-1)2=1与(x-1)2+y2=1作差得x-y=0,即公共弦所在直线的方程为x-y=0,故C中结论正确;
所在圆的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),
圆心(-1,0)到直线y=x的距离d=,
则所求弦长为2×,故D中结论错误.
故选BC.
10.解析 (1)由圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0可得(x+2)2+(y-2)2=13,
由圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0可得(x-4)2+(y+2)2=13,
因此两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(4,-2),
两圆的半径r1=r2=,
因为C1C2==r1+r2,所以两圆外切.
由两式相减得3x-2y-3=0,故过切点的两圆公切线的方程为3x-2y-3=0.
(2)易知直线C1C2经过切点,且直线C1C2的方程为,即2x+3y-2=0.
由故切点为(1,0),设为M.
与两圆相切于点M(1,0)的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线C1C2:2x+3y-2=0上,
设圆心为P(a,b),半径为r,
则
所以r2=PM2=,
故所求圆的方程为(x+4)2+.
11.D 将两圆的方程化为标准形式,分别为C1:(x-2)2+(y-2)2=1,C2:(x-1)2+y2=1.
设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心为C'2(a,b).
依题意得解得
因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.如图所示.
∵C1C'2==5,
∴(PM+PN)min=C1C'2-2=3,故选D.
12.C 设点P(x,y),则2,
化简得动点P的轨迹C1的方程为x2+y2=4,
联立
解得不妨设M(-,1),N(0,2),
如图所示,由平面几何知识可得||cos∠QMN=|,故|·||cos∠QMN=||·)2+(2-1)2]=2.故选C.
13.答案 2x+y-1=0
解析 由题意得圆心C(-1,-1),半径r=2,
易知S四边形PACB=2S△PCA,又AC⊥AP,∴S四边形PACB=2×·AC·AP=AC·AP=2AP=2,
∴要想S四边形PACB取得最小值,只需CP取得最小值.当CP的长为圆心C到直线2x+y-2=0的距离,即CP与直线2x+y-2=0垂直时,CP取得最小值,
此时kCP=,又C(-1,-1),
∴直线CP:y+1=(x+1),即x-2y-1=0,
由即P(1,0),
∴线段CP的中点为,
又,
∴以CP为直径的圆的方程为x2+,
由得2x+y-1=0,故直线AB的方程为2x+y-1=0.
14.答案
解析 圆O的圆心为O(0,0),半径r=2.
因为OM=>2,所以点M在圆O外,
过M作圆O的两条切线,设两切点分别为A,B,则A,B在以OM为直径的圆上,
易得该圆方程为,
与圆O的方程相减,得公共弦AB所在直线的方程为x+3y-4=0,
易得直线OM的方程为y=3x,由所以M的反演点的坐标为.
15.解析 (1)圆C1的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=4,则圆心C1(-3,1),半径r1=2,圆C2的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=r2(r>0),则圆心C2(4,5),半径为r,
∴C1C2=,
∵圆C1与圆C2相交,∴|r-2|<∴r的取值范围为(+2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立消去y,整理得(1+k2)x2+6x+5=0,
由题意得Δ=36-20(1+k2)>0,得k∈,
又x1+x2=-,所以+6=4,解得k=,
因为k∈,所以k=.
(3)由已知得直线l1与l2的斜率均存在且不为0.
设M(m,n),直线l1:y-n=k1(x-m),则直线l2:y-n=-(x-m),
即l1:k1x-y+n-k1m=0,l2:-m=0,
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,且两圆的半径相等,
所以圆心C1到直线l1的距离与圆心C2到直线l2的距离相等,
则,
化简得(2-m-n)k1=m-n-3或(m-n+8)k1=m+n-5,
关于k1的方程有无穷多解,
则
解得所以点M的坐标为.
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