16.1.2 幂的乘方与积的乘方 教案 2025-2026人教版数学八年级上册

16.1.2　幂的乘方与积的乘方
1.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算过程，进一步体会幂的意义.
2.了解幂的乘方与积的乘方的运算法则，并能解决一些实际问题.
3.在探索幂的乘方与积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和表达能力.
重点：理解幂的乘方与积的乘方的运算法则，并能熟练运用法则进行乘方运算.
难点：综合运用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则进行相关的运算.
地球、木星、太阳可以近似地看作球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
探究点一　幂的乘方
类型一　幂的乘方公式的运用
【例1】计算：
（1）（x4）6.
（2）（an＋1）2.
（3）[（－x）7]6.
（4）（－x2）3·（－x3）2.
【解析】根据幂的乘方法则，计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘，（1）（2）（3）可直接利用上述法则进行计算，而（4）是幂的混合运算，应先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法.
【解】（1）（x4）6＝x4×6＝x24.
（2）（an＋1）2＝a2（n＋1）＝a2n＋2.
（3）[（－x）7]6＝（－x）7×6＝（－x）42＝x42.
（4）（－x2）3·（－x3）2＝－x6·x6＝－x6＋6＝－x12.
【方法总结】注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，其相同点都是底数不变，不同点是同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算，而幂的乘方是转化为指数的乘法运算.
类型二　幂的乘方公式的逆用
【例2】已知am＝2，an＝3，求a3m＋2n的值.
【解析】根据同底数幂的乘法将a3m＋2n化成a3m·a2n，再根据幂的乘方化成（am）3·（an）2，代入求值即可.
【解】∵am＝2，an＝3，
∴a3m＋2n＝a3m·a2n＝（am）3·（an）2＝23×32＝8×9＝72.
【方法总结】根据已知条件求算式的值时，可以逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式，将所求式子转化为与已知条件相关的式子，再整体代入计算.
探究点二　积的乘方
类型一　积的乘方公式的运用
【例3】计算：
（1）.
（2）－（－3a2b3）4.
【解析】按照积的乘方的运算法则，把积中每一个因式分别乘方，注意符号也要乘方.
【解】（1）＝·（a3）2·b2＝a6b2.
（2）－（－3a2b3）4＝－（－3）4·（a2）4·（b3）4＝－81a8b12.
【方法总结】当底数中含有“－”时，应将其视为“－1”，作为一个因式进行乘方，防止遗漏.
类型二　积的乘方公式的逆用
【例4】计算：
（1）48×0.258.
（2）×.
【解析】此题如果先算乘方，运算量太大，注意到4×0.25＝1，－×＝－1，即两底数的积容易求出，而指数又是相同的，故可逆用积的乘方公式简便计算.
【解】（1）48×0.258＝（4×0.25）8＝18＝1.
（2）×＝＝（－1）2025＝－1.
【方法总结】利用积的乘方公式的逆用，可以使运算简单，当两个因式的指数不同时，可以把指数大的数拆成其中一个数的指数与另一个因式的指数相同的两个数，再逆用积的乘方公式.
1.（x4）2等于（　　）
A.x6 B.x8 C.x16 D.2x4
2.若xn＝2，yn＝3，则（xy）2n＝（　　）
A.6 B.12 C.24 D.36
3.计算：
（1）（－x3）2－x2·x4－（x2）3.
（2）－（x3）4＋3（x2）4·x4.
4.（1）已知4×8m×16m＝29，求m的值.
（2）已知2m＝3，2n＝4，求22m＋n的值.
16.1.2　幂的乘方与积的乘方
1.幂的乘方公式：（am）n＝amn（m，n为正整数）.
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
2.积的乘方公式：（ab）n＝anbn（n为正整数）.
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
本节课学习了幂的乘方与积的乘方及其相关的运算，并能运用公式求值.
　　本节课让学生经历从特殊到一般的过程，让学生归纳出幂的乘方与积的乘方的运算法则.在这个过程中，培养了学生的自主学习的意识.让学生充分交流各自的计算依据，发展学生的归纳能力和表达能力.教学时要注意学生因为对指数概念理解混淆可能发生的错误，纠正错误的方法是在教学中注意强调每一个公式得出的根据，在学生理解的基础上进行练习，做到计算正确、熟练.
答案
课堂训练
1.B　2.D
3.解：（1）原式＝x6－x6－x6＝－x6.
（2）原式＝－x12＋3x8·x4＝－x12＋3x12＝2x12.
4.解：（1）4×8m×16m＝22×（23）m×（24）m＝22×23m×24m＝22＋3m＋4m＝22＋7m.
∵4×8m×16m＝29，
∴22＋7m＝29，∴2＋7m＝9，解得m＝1.
（2）∵2m＝3，2n＝4，∴22m＋n＝（2m）2×2n＝32×4＝36.