本章复习提升练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视圆的一般方程表示圆的条件致错
1.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心为　　　　.
2.已知a>0,b>0,若直线2x+y-2=0平分圆x2+y2-2ax-4by+1=0,则的取值范围是　　　　.
易错点2　忽视特殊点、特殊直线致错
3.已知等腰三角形ABC的顶点为A(4,2),底边的一个端点为B(5,3),则另一个端点C的轨迹方程为　　　　.
4.已知圆C:x2+y2-4y+3=0.
(1)求过点(3,1)且与圆C相切的直线方程;
(2)过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A,B,求线段AB的中点M的轨迹方程.
易错点3　忽视隐含条件致错
5.(多选题)若方程=k(x-1)+2有两个不等实根,则k的取值可以是(　　)
A.
6.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为坐标原点.
(1)试写出圆C的标准方程;
(2)求证:△OAB的面积为定值;
(3)设直线y=-2x+4与圆C交于M,N两点,若OM=ON,求圆C的标准方程.
思想方法练
一、数形结合思想在圆的方程中的应用
1.已知点P是圆M:(x-2)2+(y-2)2=2上的动点,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且AB=2,则||的最大值是(　　)
A.3+2
2.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+(y-2)2的取值范围为　　　　　　　　.
二、函数与方程思想在圆的方程中的应用
3.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与　　　　,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点.从①直线x+2y+7=0相切;②圆(x-3)2+y2=20关于直线2x-y-1=0对称;③圆(x-3)2+(y-2)2=5的外公切线的长为这3个条件中任选一个,补充在上面的横线处并回答下列问题.
(1)求圆A的方程;
(2)当MN=2时,求直线l的方程.
4.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(3,0),B(3,4).
(1)求△OAB的内切圆E的标准方程;
(2)过曲线y=x2-4x上一点M作圆E的切线,切点分别为H,Q,求
cos∠HMQ的最小值.
三、分类讨论思想在圆的方程中的应用
5.已知圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,圆C2均相切,P是△MC1C2的内心,且,则a=(　　)
A.9　　　　B.11　　　　C.17或19　　　　D.19
6.已知圆O:x2+y2=4,过定点A(1,1)作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1交圆O于P1(x1,y1),P3(x3,y3)两点,l2交圆O于P2(x2,y2),P4(x4,y4)两点.
(1)若P1P3=2,求直线l1的方程;
(2)求证:x1+x2+x3+x4为定值.
四、转化与化归思想在圆的方程中的应用
7.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的取值范围;
(2)求的最大值和最小值.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,4)与直线l:y=x-1,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.
(1)若点P(2,2)在圆C上,求圆C的方程;
(2)若圆C上存在点M,使3MO=MA,求圆心C的横坐标的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.答案　(-2,-4)
解析　由题意得a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2,
当a=-1时,方程化为x2+y2+4x+8y-5=0,此时D2+E2-4F=16+64+20>0,
此方程表示圆(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为(-2,-4),半径为5.
当a=2时,方程化为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,
此时D2+E2-4F=1+4-4×=-5<0,方程不表示圆,
综上,圆心为(-2,-4).
2.答案　
解析　由圆的一般方程得圆心为(a,2b),4a2+16b2-4>0,即a2+4b2-1>0易错点,
因为直线2x+y-2=0平分圆,所以圆心(a,2b)在直线上,即2a+2b-2=0,即a=1-b①,
将①代入a2+4b2-1>0,得b2-2b+1+4b2-1>0,
即b(5b-2)>0,因为b>0,所以b>,
又a=1-b>0,所以b<1,即b∈.
则,
令t=,则t∈,原式=,
因为函数y=t+在t∈上单调递减,所以t+,所以,
所以.
易错警示　关于圆的一般方程,解题时易忽视D2+E2-4F>0导致错误.如第1题易缺少对D2+E2-4F符号的检验而误得到圆心坐标为(-2,-4)或;第2题易因忽略D2+E2-4F>0而误得到b∈(0,1).
3.答案　x2+y2-8x-4y+18=0(除去点(3,1),(5,3))
解析　设底边的另一个端点C的坐标为(x,y),则,
化简可得x2+y2-8x-4y+18=0①,
因为A,B,C三点构成三角形,所以三点不共线,
当A,B,C三点共线时,kAB==1,
由直线的点斜式方程可得直线AB的方程为y-2=1×(x-4),即x-y-2=0②,由①②得
所以点C的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+18=0(除去点(3,1),(5,3)).
易错警示　解决与圆有关的轨迹问题时,要注意检验是不是所有的点都在轨迹上,如果有不符合的点要排除.如本题中容易忽视排除点(3,1),(5,3)导致错误.
4.解析　(1)由已知得圆心C(0,2),半径为1,
易知过点(3,1)的直线斜率存在,
设直线方程为y=k1(x-3)+1,即k1x-y-3k1+1=0,
则=1,解得k1=0或k1=-,
故所求的直线方程为y=1或y=-(x-3)+1,即y=1或3x+4y-13=0.
(2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x,y),
联立消去y得(1+k2)x2-4kx+3=0,
则x1+x2=,
因为直线l与圆C交于不同的两点A,B,所以Δ=16k2-12(1+k2)>0,所以k2>3,
由消去k得x2+y2-2y=0,
因为k2>3,所以y=;
当直线l的斜率不存在时,线段AB的中点为(0,2),符合x2+y2-2y=0.
故线段AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-2y=0,y∈.
易错警示　利用待定系数法求圆的切线时,通常设切线方程为点斜式,点斜式使用的前提是斜率存在,不要默认直线斜率存在而忽略了斜率不存在的情况;而对于圆的方程的求解,求得的结论要注意结合图形进行检验,要注意一些特殊情况是否符合.
5.BC　方程=k(x-1)+2有两个不等实根,
即函数y=的图象和直线y=k(x-1)+2有2个交点.
y=,即x2+y2=1(y≥0),表示以原点为圆心,1为半径的上半圆(位于x轴及x轴上方的部分),
直线y=k(x-1)+2,即kx-y+2-k=0的斜率为k,且经过点(1,2),
当直线和半圆相切时,
由=1得k=;
当直线经过点(-1,0)时,由0=k(-1-1)+2得k=1.
数形结合可得k的取值范围为.
故选BC.
易错警示　判断方程表示的曲线时,要注意方程成立的前提条件,对应的曲线也要除去一部分,本题中要注意y=中y≥0的条件.
6.解析　(1)设圆的半径为r.因为圆心为C(t∈R,t≠0),且圆过原点,所以r2=t2+,所以圆的标准方程为(x-t)2+(t∈R,t≠0).
(2)证明:由(1)知,圆的标准方程为(x-t)2+,令x=0,得yB=,令y=0,得xA=2t,
则S△OAB==4,所以△OAB的面积为定值.
(3)由OM=ON可知MN的垂直平分线过原点,
又弦的垂直平分线必过圆心,故直线OC与直线y=-2x+4垂直,则有kOC·(-2)=-1,即·(-2)=-1,解得t=±2,所以圆心C(2,1)或C(-2,-1),
则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,圆心到直线2x+y-4=0的距离d=,直线与圆不相交,故舍去.
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
易错警示　审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下研究其他问题.
思想方法练
1.D　圆M的圆心为M(2,2),半径为,圆C的圆心为C(-1,-1),半径为2,如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,
易知D为AB的中点,∴BD=,且,则问题转化为求||的最大值.
利用向量知识求||的最值,思路不容易找到,而利用点D的轨迹,作出图形辅助求解比较简单,体现了数形结合思想.
∵CB=2,∴CD==1,∴点D的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=1,
则|+1,
故||的最大值为2×(4+2.故选D.
2.答案　[11-4]
解析　方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
直接对式子x2+(y-2)2求解比较困难,思路也不容易找到,而利用其几何意义,作出图形辅助求解,则比较简单,体现了数形结合思想.
x2+(y-2)2可看作圆上一点与点(0,2)的距离的平方,由图可知,此式在点(0,2)与圆心(2,0)所连直线与圆的两个交点B,A处分别取得最大值与最小值,
又圆心到点(0,2)的距离为,
所以[x2+(y-2)2]max=(2,
[x2+(y-2)2]min=(2.
故x2+(y-2)2的取值范围为[11-4].
思想方法　数形结合思想在圆的方程一章中主要体现在两个方面:一方面在遇到求代数式的取值范围时,通常赋予其几何意义,通过斜率公式、距离公式等把代数式的取值转化为圆上的点与某点连线的斜率或它到某点(直线)的距离的取值,再结合圆的相关知识解决问题;另一方面是确定点的轨迹是圆,通过画出圆利用圆的知识解决问题.
3.解析　(1)选①:因为圆A与直线x+2y+7=0相切,
所以圆A的半径为,
因此圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
选②:因为圆A与圆(x-3)2+y2=20关于直线2x-y-1=0对称,
所以两个圆的半径相等,因此圆A的半径为2,
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
选③:设圆(x-3)2+(y-2)2=5的圆心为P(3,2),两圆的一条外公切线为m,
两圆的圆心A,P与两圆的一条外公切线m的示意图如下:
则CD=PE=,
设圆A的半径为r,则(r-)2=(-1-3)2+(2-2)2,解得r=2(r=0舍去),
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)由(1)可知3个条件所得的圆A的方程都是(x+1)2+(y-2)2=20,
当l的斜率不存在时,直线方程为x=-2,
把x=-2代入(x+1)2+(y-2)2=20中,得y=2±,
显然2+,符合题意.
当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
利用圆心到直线的距离公式建立关于k的方程求解k,体现了方程思想.
故圆心A(-1,2)到直线l的距离为,
因为MN=2,所以=20,解得k=,故l的方程为3x-4y+6=0.
综上,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2.
4.解析　(1)设圆E的切线OA,AB分别交圆于S,T两点,圆E的半径为r,连接ES,ET,如图,
易证四边形ESAT是正方形.
∴SA+AT=2r=OA+AB-OB=3+4-=2,∴r=1,∴E(2,1),∴圆E的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
(2)设∠HMQ=2θ,M(x0,y0),
由△HEM≌△QEM可知∠HME=∠QME=θ,
则cos 2θ=1-2sin2θ=1-,
∴当EM2最小时,cos 2θ最小.
∵M(x0,y0)在曲线y=x2-4x上,
∴y0=-4x0=(x0-2)2-4,∴(x0-2)2=y0+4,
通过圆的方程进行坐标代换,从而将EM2表示成关于y0的二次函数,利用二次函数求最值,体现了函数思想.
∴EM2=(x0-2)2+(y0-1)2=y0+4+(y0-1)2=,
∴cos 2θ≥1-2×,即cos∠HMQ的最小值为.
思想方法　本章中函数思想主要体现在将要研究的问题借助圆的方程实现坐标代换或三角换元,从而建立坐标的函数关系或构造三角函数,进一步结合函数的图象与性质求解,常用于解决有关求最值、讨论参数的取值范围等问题;方程思想是根据圆的方程或相关公式将问题中的数量关系转化为方程模型并加以解决.
5.C　圆C1的圆心C1(-3,0),半径R1=a,圆C2的圆心C2(3,0),半径R2=1,因为a>7,所以圆心距C1C2=6设△MC1C2内切圆的半径为r0,因为P为△MC1C2的内心,且,所以×C1C2×r0,得C1M+C2M=3C1C2.
设圆M的半径为r,
题目中没有说明动圆M与圆C1,圆C2相切的类型,所以需要分情况讨论求解.
当动圆M内切于圆C1,且与圆C2外切(r有C1M=R1-r=a-r,C2M=R2+r=1+r,所以C1M+C2M=a+1,所以3C1C2=18=a+1,得a=17;
当动圆M内切于圆C1,圆C2内切于动圆M时,
有C1M=R1-r=a-r,C2M=r-R2=r-1,所以C1M+C2M=a-1,所以3C1C2=18=a-1,得a=19.
综上可得,a=17或a=19.故选C.
6.解析　(1)圆心为O(0,0),半径r=2,
由P1P3=2,可得O到直线l1的距离d=,
经过定点的直线方程一般设为点斜式,但考虑到点斜式的适用情况是斜率存在,故对斜率是否存在展开讨论.
当l1的斜率不存在时,直线方程为x=1,此时O(0,0)到直线l1的距离为1,不合题意;
当l1的斜率存在时,设其方程为y-1=m(x-1),即mx-y-m+1=0,则,所以m=-1,
所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)证明:∵OA=直线l1,l2的斜率是否存在不确定,需要分类讨论求解.
当l1与x轴垂直时,l2与x轴平行,此时x1+x3=2,x2+x4=0,所以x1+x2+x3+x4=2;
当l2与x轴垂直时,l1与x轴平行,此时x1+x3=0,x2+x4=2,所以x1+x2+x3+x4=2;
当l1的斜率存在且不为0时,设其方程为y=k(x-1)+1(k≠0),
联立消去y得(1+k2)x2+(2k-2k2)x+k2-2k-3=0,所以x1+x3=,
同理可得x2+x4=,所以x1+x2+x3+x4=2.
综上所述,x1+x2+x3+x4为定值2.
思想方法　分类讨论思想是很重要也很常用的一种思想方法,确定分类的标准是解题关键.在直线与圆的方程的有关问题中,有些需要设出直线方程,此时要考虑相关直线的斜率是否存在;遇到直线与圆、圆与圆的位置关系类问题时,要脑中有图并对应上不同的代数形式,即点到直线的距离、两圆心的距离和半径之间的大小关系,同时考虑两圆圆心的位置等.
7.解析　(1)x2+y2-4x-14y+45=0化成标准形式为(x-2)2+(y-7)2=8,该方程表示圆心为C(2,7),半径为2的圆,
将问题转化为直线与圆的位置关系.
令t=m+2n,可将其看成直线方程,且该直线与圆有公共点,
则圆心到直线的距离d=≤2,
解得16-2≤t≤16+2,
所以m+2n的取值范围是[16-2].
(2)记Q(-2,3),表示直线MQ的斜率,设为k,
所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
将问题转化为直线与圆的位置关系.
因为直线与圆有公共点,所以≤2,可得2-≤k≤2+.
所以的最大值为2+,最小值为2-.
8.解析　设圆心C(a,a-1),则圆C的方程为(x-a)2+(y-a+1)2=1.
(1)因为点P(2,2)在圆C上,所以(2-a)2+(2-a+1)2=1,解得a=2或a=3,
故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-2)2=1.
(2)设M(x0,y0),则(x0-a)2+(y0-a+1)2=1,
由于3MO=MA,A(0,4),
利用坐标将长度关系转化为点与圆的位置关系,从而将问题转化为两圆的位置关系,体现了转化与化归思想.
所以3,
化简得,
从而M(x0,y0)在以(记为N)为圆心,为半径的圆上,
故M(x0,y0)为圆N:x2+与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1的公共点,
即圆N:x2+与圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1相交或相切,
从而≤NC≤,即,
解得-≤a≤0或≤a≤2,
故圆心C的横坐标的取值范围为.
思想方法　本章中转化与化归思想主要体现在将点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题,将具有特殊结构的代数式、函数、方程等,通过其几何意义转化为与圆的方程、距离公式等有关的问题进行解决.
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