专题强化练3练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练3　隐圆问题
1.已知圆C的半径为1,圆心在直线l:y=x+3上,点A(-1,0),B(1,0),若圆C上存在点P,使得PA2+PB2=10,则圆心C的横坐标a的取值范围为(　　)
A.[-3,-2]　　　　B.[-3,0]　　　　C.[-2,-1]　　　　D.[-1,0]
2.已知O为坐标原点,C(1,0),B(2,0),点P是直线l:x+y-3=0上的动点,A为平面内一点,且∠ACB=2∠AOB,则∠APC的最大值为(　　)
A.
3.已知圆C:(x-1)2+y2=2,直线l:y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P引圆的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则实数k的取值范围是(　　)
A.∪[0,+∞)　　　　
B.∪[0,1)
C.∪[1,+∞)　　　　
D.
4.已知A,B是圆M:(x-2)2+y2=1上不同的两个动点,AB=,O为坐标原点,则||的取值范围是(　　)
A.[2-]
C.[4-]
5.已知直线l1:x-my-2=0(m∈R)与l2:mx+y-2=0交于点A,点B是圆(x+2)2+(y+3)2=2上的动点,O为坐标原点,则AB的最大值为(　　)
A.3
6.设平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,且·(b-c)=0,则|c|的最小值为(　　)
A.
7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,若直线y=k(x-1)+2上存在两个点Pi(i=1,2),过动点Pi作圆O的两条切线,A,B为切点,满足,则k的取值范围为(　　)
A.∪(0,+∞)
C.(0,1)　　　　D.(-∞,0)∪(1,+∞)
8.已知点A(-1,0),B(3,0),动点P满足PA2+PB2=26.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)直线l过点Q(-2,3)且与点P的轨迹只有一个公共点,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
专题强化练3　隐圆问题
1.B　由已知得圆心C(a,a+3),则圆C:(x-a)2+(y-a-3)2=1,
设P(x,y),由PA2+PB2=10,得(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=10,即x2+y2=4,所以点P在圆x2+y2=4上.
依题意知圆C与圆x2+y2=4有交点,则2-1≤≤2+1,解得-3≤a≤0,
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[-3,0].
故选B.
2.C　由∠ACB=2∠AOB及同弧所对的圆心角是圆周角的2倍知,
点A在以C为圆心,OC=1为半径的圆上.
当AP与圆C相切时,∠APC最大,此时sin∠APC=,当CP⊥l时,CP最小,sin∠APC最大,∠APC最大,此时CP=,sin∠APC=,
所以∠APC的最大值为.
故选C.
3.A　由题意得圆心C(1,0),半径r=,设P(x,y),切点分别为A,B,连接PA,PB,则PA⊥PB,且PA=PB,
连接AC,BC,由切线性质知PA⊥AC,PB⊥BC,所以四边形PACB为正方形,
连接PC,得PC=2,则点P的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆,其方程为(x-1)2+y2=4,
将直线l的方程化为一般式方程为kx-y-2=0,
要想存在点P满足题意,只需直线l与圆(x-1)2+y2=4有交点即可,则≤2,解得k≥0或k≤-,故实数k的取值范围是∪[0,+∞).
故选A.
4.C　圆M的圆心坐标M(2,0),半径R=1,
设圆心M到直线AB的距离为d,则AB=2,
即2,解得d=,
设线段AB的中点为N,则MN=d=,
∴点N的轨迹是以M(2,0)为圆心,为半径的圆,∴N的轨迹方程为(x-2)2+y2=,
∵||,OM=2,
∴OM-≤||≤OM+,
即2-≤||≤2+,即||的取值范围为 [4-].故选C.
5.C　由题意可得l1过定点(2,0),l2过定点(0,2),记M(2,0),N(0,2).由1×m+(-m)×1=0知l1⊥l2,又l1与l2交于点A,∴点A在以MN为直径的圆上,且此圆的圆心为(1,1),半径r1=,故此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,记该圆为C.
圆(x+2)2+(y+3)2=2的圆心为(-2,-3),半径r2=,记D(-2,-3),
∵CD=,∴圆C与圆D外离,
∴AB的最大值为CD+r1+r2=5+2.故选C.
6.A　建立如图所示的平面直角坐标系,
不妨令a==(1,0),b=,因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,
所以xB=2cos,所以b=),
设c==(x,y),则a-c=,b-c=(-1-x,-y),
由·(b-c)=0,得-y)=0,即-2-x+x2+y2-y=0,
即=3,
故点C的轨迹是以为圆心,为半径的圆,记D,又OD==1,
所以|c|=||≥-1.故选A.
7.B　设Pi(m,n),连接PiO,设∠APiO=∠BPiO=θ,
则PiO=,sin θ=,
所以cos∠APiB=cos 2θ=1-2sin2θ=1-,
又PiA=PiB=,
所以=PiA·PiBcos∠APiB=()2·,
令m2+n2=t(t>0),则(t-1),解得t=4或t=.
因为Pi(m,n)在圆O外,所以t=舍去,
即Pi(m,n)在以原点为圆心,2为半径的圆上,
因为直线y=k(x-1)+2上存在两个点Pi(i=1,2),
所以直线y=k(x-1)+2与圆x2+y2=4有2个交点,
所以<2,解得k<-或k>0.
综上,k的取值范围是∪(0,+∞).故选B.
8.解析　(1)设P(x,y),则(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=26,
整理得x2-2x+y2=8,即点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=9.
(2)由题知直线l与圆(x-1)2+y2=9相切,
当l的斜率存在时,不妨设l:y=k(x+2)+3,即kx-y+2k+3=0,
则圆心(1,0)到l的距离d==3,解得k=0,此时直线l的方程为y=3;
当l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,此时直线l与圆相切.
综上所述,满足题意的直线l的方程为x=-2或y=3.
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