(共19张PPT)
知识点 椭圆的几何性质
必备知识 清单破
3.1.2 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性 对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴长为2a,短轴长为2b
离心率 e= (0
知识拓展
1.椭圆的通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫作椭圆的通径,通径长为 .
2.焦半径:椭圆上的任一点P(x0,y0)与焦点F1 或F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径.记r1= PF1,r2=PF2,则
①当焦点在x轴上时,r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②当焦点在y轴上时,r1=a+ey0,r2=a-ey0.
3.焦点弦:过焦点的直线与椭圆相交形成的弦.焦点弦中通径最短.
4.最大角:已知椭圆C: + =1(a>b>0),F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右
顶点,P是椭圆上的动点,当P为C的上(下)顶点时,∠F1PF2最大且∠APB最大.
知识辨析
1.椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点吗
2.若椭圆的中心在原点,顶点在坐标轴上,则一定能根据椭圆顶点的坐标判断椭圆焦点的位置 吗
3.椭圆的离心率e决定着椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁;e越小,椭圆越圆,这种说法正确吗
一语破的
1.不一定是.椭圆的顶点是椭圆与其对称轴的交点.若椭圆的方程是标准方程,则此时椭圆的 对称轴是坐标轴,顶点可看作椭圆与坐标轴的交点.
2.不一定.当椭圆的中心在原点时,若只知道椭圆的一个顶点坐标,或一条坐标轴上的两个顶 点坐标,无法判断焦点的位置;若知道不在同一条坐标轴上的两个顶点的坐标,则可判断焦点 位置.
3.正确.由e= = 可知,e越大, 越小,椭圆越扁;e越小, 越大,椭圆越圆.
1.已知椭圆方程,确定椭圆的几何性质的步骤
(1)将所给方程化成标准形式;
(2)判断焦点所在的坐标轴;
(3)确定a,b,由a2=b2+c2求出c,从而确定相关性质.
2.利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,通常用待定系数法:
(1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为 + =k1(k1>0,a>b>0)或 + =
k2(k2>0,a>b>0).
(2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为 + =1(a2>b2>k).
定点 1 椭圆的几何性质及其应用
关键能力 定点破
典例 (1)求两个顶点分别为(3,0),(-3,0),离心率为 的椭圆的标准方程;
(2)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方程.
解析 (1)若焦点在x轴上,则a=3,由 = ,得c=2 ,∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆的标准方程为 +y2=1;
若焦点在y轴上,则b=3,将 = 代入b2=a2-c2中,得a2- a2=9,∴a2=81,
∴椭圆的标准方程为 + =1.
故椭圆的标准方程为 +y2=1或 + =1.
(2)解法一:设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),由题意得c= =4,
又椭圆过点( ,- ),所以由椭圆的定义知2a= + =4
,所以a=2 ,故b2=a2-c2=4.
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
解法二:设所求椭圆的方程为 + =1(k<9),把点( ,- )代入,得 + =1,解得k
=5或k=21(舍).
所以所求椭圆的标准方程为 + =1.
求椭圆离心率的两种方法
(1)若已知a,c,则可直接利用e= 求解;若已知a,b(或b,c),可由a2=b2+c2求出c(或a),再代入e= 求
解;
(2)若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,由a2=b2+c2转化为关于a,c的齐次方程 或不等式,然后两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,解得e的值或范围,最 后结合0定点 2 椭圆离心率的求解
典例 (1)若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,求椭圆的离心率;
(2)已知椭圆C: + =1(a>b>0),点F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,在椭圆C上存在点P,且P
在以原点O为圆心, c为半径的圆上,求椭圆离心率的取值范围.
解析 (1)不妨设该椭圆的焦点在x轴上,根据题意得椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成等 边三角形,如图,
则∠BF1F2=60°,tan∠BF1F2= = = ,
所以b= c,由a2=b2+c2=3c2+c2=4c2,得e2= = ,因为0(2)因为P在以原点为圆心, c为半径的圆上,所以b≤ c≤a,
又 c≤a e≤ ,b≤ c ≤3 ≤3 ≤2 e≥ ,所以 ≤e≤ .
故椭圆离心率的取值范围是 .
与椭圆有关的最值问题的常用解法
(1)利用定义将其转化为几何问题,解题时可结合椭圆的几何性质、平面几何中的定理、性 质等进行求解.特别地,椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值 为a+c,最小值为a-c.
(2)利用换元法将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围.
定点 3 与椭圆有关的最值问题
典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,离心率e= ,长轴长为4,过点F的直线l与椭
圆交于M,N两点(非长轴端点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点Q(0,2),求线段MQ长度的取值范围;
(3)延长MO交椭圆C于点P,求△MNP的面积的最大值.
思路点拨 (1)利用长轴长及离心率求出a,c,再利用b2=a2-c2求出b2,从而求得椭圆方程.(2)设点 M(x0,y0),利用两点间距离公式,结合点在椭圆上及变量的范围,即可求得MQ长度的范围.(3)设 直线l的方程为x=my+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与椭圆的方程,利用根与系数的关系表示
出线段MN的长,结合点到直线的距离,表示出三角形的面积,最后根据基本不等式求面积的最 大值.
解析 (1)由题意得2a=4,∴a=2.
又∵e= = ,∴c= ,∴b2=a2-c2=1.
∴椭圆C的方程为 +y2=1.
(2)设M(x0,y0),则 + =1,y0∈[-1,0)∪(0,1],
∴MQ= = = ,y0∈[-1,0)∪(0,1].
结合二次函数的性质可知,线段MQ长度的取值范围是[1,2 )∪ .
(3)设直线l的方程为x=my+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立 消去x,得(4+m2)y2+2 my-1=0.
易知Δ>0,y1+y2= ,y1y2= ,
∴MN= = .
又原点O到直线l的距离d= ,
∴P到直线l的距离为2d= ,
∴S△MNP= MN·2d= .
令 =t,则m2=t2-1,t≥1,则S△MNP= = ≤ =2,当且仅当t= 时,取等号.
所以△MNP的面积的最大值是2.
1.解决定点问题,需要注意两个方面
(1)抓“特值”,涉及的定点多在两条坐标轴上,所以可以从斜率不存在或斜率为0的特殊情况 入手找出定点,为解题指明方向.
(2)抓“参数之间的关系”,定点问题多是直线过定点,其实质就是求解直线方程中参数之间 的关系,所以要熟悉直线方程的特殊形式,若直线方程为y=kx+b,则直线恒过点(0,b),若直线方 程为y=k(x-a),则直线恒过点(a,0).
2.定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,解决定值问题的常用方法:
(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
定点 4 与椭圆有关的定点、定值问题
典例 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点和上顶点均在直线x+y- =0上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A(2,1),若过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM和直线AN的斜率 分别为k1和k2,求证:k1+k2为定值.
思路点拨 (1)求出直线与坐标轴的交点坐标,可得椭圆的右焦点和上顶点坐标,进而得c,b,再 由a2=b2+c2求出a2,从而得椭圆方程.(2)设直线方程为y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),将直线方程与椭 圆方程联立,结合根与系数的关系计算k1+k2即可.
解析 (1)对于x+y- =0,当x=0时,y= ,当y=0时,x= ,
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线x+y- =0上,所以b= ,c= ,所以a2=b2+c2=6,
所以椭圆的方程为 + =1.
(2)证明:易知B(3,0)在椭圆外,因为过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点,
所以直线l的斜率一定存在,设其方程为y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),
由 得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0,则Δ=144k4-4(1+2k2)(18k2-6)>0,得-1 ,x1x2= ,
所以k1+k2= +
=
=
=
= =-2.3.1.2 椭圆的几何性质
基础过关练
题组一 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m= ( )
A.1 B. D.2
2.椭圆=1和椭圆=1(0A.等长的长轴 B.相等的焦距
C.相等的离心率 D.等长的短轴
3.设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,∠CBA=45°,AB=4,BC=,则椭圆的焦距为( )
A.
4.(多选题)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则( )
A.PF1+PF2=2 B.离心率e=
C.短轴长为2,长轴长为2 D.∠F1PF2不可能是钝角
题组二 由椭圆的几何性质求标准方程
5.与椭圆=1有相同焦点,且满足短半轴长为2的椭圆方程是( )
A.=1
C.=1
6.已知P是椭圆=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离心率为,则椭圆的方程为( )
A.+y2=1
C.=1
7.已知F,A分别为椭圆的一个焦点和短轴的一个端点,椭圆的长轴长是10,且cos∠OFA=,则椭圆的方程为( )
A.=1或=1
C.=1或=1
8.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=1(a>b>0)的面积是8π,长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,则椭圆的方程为( )
A.=1
C.=1
题组三 求椭圆离心率的值(或范围)
9.已知椭圆=1(a>b>0)上存在点P,使得PF1=3PF2,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.
10.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.
C.
11.已知椭圆C:=1(a>b>0),斜率为2的直线与椭圆交于M,N两点,且MN的中点坐标为(1,-1),则椭圆C的离心率是( )
A.
12.在△ABC中,AC⊥BC,sin A=,以A,C为焦点且经过点B的椭圆的离心率记为e1,以B,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率记为e2,则= .
题组四 椭圆几何性质的应用
13.如图,椭圆C:=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=( )
A.20 B.15 C.36 D.30
14.(多选题)如图所示,用一个与圆柱底面所成的角θ=的平面截圆柱,所得截面是一个椭圆,已知圆柱底面圆的半径为2,则( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的标准方程可以是=1
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2
15.若F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点,且PQ=F1F2,则四边形PF1QF2的面积为 .
16.(2024浙江嘉兴八校联盟期中)给定椭圆C:=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径是的圆为椭圆C的准圆.已知椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C和其准圆的方程;
(2)若点A,B是C的准圆与x轴的两个交点,P是C上的一个动点,求的取值范围.
能力提升练
题组 椭圆的几何性质及其应用
1.已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为( )
A.+y2=1
C.=1
2.已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长,交椭圆C于点B,若BF1∶BF2=7∶3,则椭圆C的离心率为( )
A.
3.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为2,它与y轴的一个交点坐标是(0,-),过点P的直线与椭圆C交于A,B两点,且满足=0,若M为直线AB上任意一点,O为坐标原点,则OM的最小值为( )
A.1 B.
4.已知F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,若E上存在不同的两点A,B,使得,则椭圆E的离心率的取值范围为( )
A.(-1)
C.(0,3-2,1)
5.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)与直线l:x-y-1=0交于A,B两点,记直线l与x轴的交点为E,点E,F关于原点对称,若∠AFB=90°,则( )
A.2a2+b2=a2b2
B.椭圆C过四个定点
C.存在实数a,使得AB=3
D.AB<
6.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其中F1F2=2c,直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点,则下列说法中正确的有( )
A.若AB的中点为M,则kOM·k=
B.△ABF2的周长为4a
C.若AB的最小值为3c,则椭圆的离心率e=
D.若=3c2,则椭圆的离心率的取值范围是
7.已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点A1,A2为其长轴的两个端点,点P为椭圆C上异于A1,A2的一点,则直线PA1和PA2的斜率之积等于 .
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,斜率为正的直线l与椭圆C交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于P,Q两点,且,则直线l的斜率为 .
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点A(0,-2),且离心率为,右焦点为F.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点M满足2(O为坐标原点),在椭圆C上是否存在点B(异于C的顶点),使得直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点 若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.
10.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A(-2,0),过点R(1,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于M,N两点,连接AM,AN,分别交直线x=3于P,Q两点,若直线PR、QR的斜率分别为k1、k2,则k1·k2是不是定值 若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
3.1.2 椭圆的几何性质
基础过关练
1.C 由题意得a=,b=m,c=1,∠F1AO=(O为坐标原点),则tan ,所以m=.故选C.
2.B 椭圆=1的焦点在y轴上,且a==4.椭圆=1的焦点在x轴上,且a=5,b=3,c=4,所以两个椭圆有相等的焦距.由于03.A 不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,a=2.过C作CD⊥AB,垂足为D.由BC=,∠CBA=45°,可得CD=BD=1,则C(1,1)或C(1,-1),又C在椭圆上,所以=1,解得b2=,所以c=,所以焦距2c=.故选A.
4.ACD 由椭圆方程知a=,b=1.
对于A,PF1+PF2=2a=2,故A正确;
对于B,c==1,故离心率e=,故B错误;
对于C,短轴长为2b=2,长轴长为2a=2,故C正确;
对于D,PF1+PF2=2≥2,故PF1·PF2≤2,
当且仅当PF1=PF2=时等号成立,
故cos∠F1PF2=≥0,故D正确.故选ACD.
5.A 因为椭圆=1的焦点坐标为(±,0),
所以所求椭圆的焦点坐标为(±,0),即c=,
因为所求椭圆的短半轴长为2,所以b=2,
所以a2=b2+c2=20+5=25,
故所求椭圆的方程为=1.故选A.
6.C 设椭圆的半焦距为c,则c>0,由题意可得=1.故选C.
7.C 当焦点在x轴上时,cos∠OFA=,
因为2a=10,所以a=5,c=4,则b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为=1;
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为=1.
故选C.
8.A 由已知得=ab,则ab=8①,
由长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,得=2b②,
联立①②得b2=8,a2=24,故椭圆的方程为=1.故选A.
9.D 由椭圆的定义得PF1+PF2=2a,
因为PF1=3PF2,所以PF1=a,
而PF1-PF2≤F1F2=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,
即a≤2c,即a≤2c,则e=,又010.B 根据椭圆的对称性,不妨设焦点在x轴上的椭圆的标准方程为=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0),M(x0,y0),
由=0得(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=0,即=0,即,
∵点M(x0,y0)在椭圆内部,∴<1,则b2)-a2b2<0,即,
要想该不等式恒成立,只需2a2-<0,即2a2c2又011.B 设M(x1,y1),N(x2,y2),因为M,N在椭圆C上,
所以两式相减得b2(y1+y2)(y1-y2)+a2(x1+x2)(x1-x2)=0,①
因为MN的中点坐标为(1,-1),直线MN的斜率为2,所以x1+x2=2,y1+y2=-2,=2,则①式为-4b2+2a2=0,即-4(a2-c2)+2a2=0,即2c2=a2,
所以e=.故选B.
12.答案
解析 由题意可设BC=3,AC=4,则AB=5,以线段AC的中点为原点,以AC所在直线为x轴,过线段AC的中点且垂直于AC的直线为y轴建系,则以A,C为焦点且经过点B的椭圆方程为=1(a1>b1>0),以线段BC的中点为原点,以BC所在直线为x轴,过线段BC的中点且垂直于BC的直线为y轴建系,则以B,C为焦点且经过点A的椭圆方程为=1(a2>b2>0),
由椭圆定义可得2a1=AB+BC=5+3=8,2c1=AC=4,则a1=4,c1=2,故e1=.
同理可知2a2=AB+AC=5+4=9,2c2=BC=3,则a2=,故e2=,所以.
13.D 由题意知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称.
设椭圆的左焦点为F1,连接P1F1,由已知得a=6,
则P1F+P5F=P1F+P1F1=2a,同时P2F+P4F=2a,P3F=a,∴P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=5a=30.
故选D.
14.BCD 设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径,
由cos,得a=4,A不正确;
显然b=2,则c=,离心率e=,B正确;
当以椭圆长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时,椭圆的标准方程为=1,C正确;
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-2,D正确.故选BCD.
15.答案 8
解析 由已知及对称性得四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,所以=PF1·PF2,
由椭圆定义与勾股定理知
可得PF1·PF2=8.所以四边形PF1QF2的面积为8.
16.解析 (1)由题意知c=,且a=,可得b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1,其准圆方程为x2+y2=4.
(2)设P(m,n)(-≤m≤),则+n2=1,
不妨设A(2,0),B(-2,0),所以=(m+2,n),
所以-3,
又-≤m≤,所以-3∈[-3,-1],
所以的取值范围是[-3,-1].
能力提升练
1.D 由题意知,即3a2=4c2,根据椭圆的定义,可得PF1+PF2=2a,又因为∠F1PF2=,且△F1PF2的面积等于3,所以P=4c2,且PF1·PF2=6,则P=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的方程为=1.故选D.
2.C 由椭圆定义可得BF1+BF2=2a,
又BF1∶BF2=7∶3,所以BF2=,
因为A为椭圆的上顶点,所以AF1=AF2=a,所以AB=AF2+BF2=a,
在△ABF1中,由余弦定理得cos∠F1AB=,
在△AF1F2中,由余弦定理得F1-2AF1·AF2·cos∠F1AF2,
即4c2=a2+a2-a2=a2,所以,
故椭圆C的离心率为.故选C.
3.B 由题意得2a=2,则a==2,∴椭圆C的标准方程为=1,
∵在椭圆内,可知直线AB与椭圆总有两个交点,
∵=0,∴点P为线段AB的中点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,则x1+x2=3,y1+y2=1,
由=0,
则(x2+x1)(x2-x1)+3(y2+y1)(y2-y1)=0,
即3(x2-x1)+3(y2-y1)=0,
故=-1,即直线AB的斜率为-1,
∴直线AB的方程为y-,即x+y-2=0,
∵M为直线AB上任意一点,
∴OM的最小值为点O到直线AB的距离,
∴(OM)min=.故选B.
4.D 延长AF1交椭圆于A1,根据椭圆的对称性,得,则,
设直线AA1的方程为x=my-c,A(x1,y1),A1(x2,y2),
联立消去x,整理得(b2m2+a2)y2-2b2mcy-b4=0,
则y1+y2=,
由,得y1=-y2,所以-,得y2=,
则y1=-,
由y1y2=-,
可得,
整理得m2=>0,
则(3+2)a2>0,即)2,∴椭圆的离心率e=,
又0∴椭圆的离心率的取值范围是(3-2,1).故选D.
5.ABC 设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,故Δ=4a4-4(a2+b2)·(a2-a2b2)=4a2b2(a2+b2-1)>0,则a2+b2>1,
由根与系数的关系得易得E(1,0),所以F(-1,0),又∠AFB=90°,所以=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(x1-1)(x2-1)=2x1x2+2=0,所以x1x2==-1,即2a2+b2=a2b2,所以=1,即椭圆过定点(1,),故A正确,B正确;
由弦长公式得AB=·|x1-x2|=,由2a2+b2=a2b2得b2=>0,则a2>1,所以,则有AB=2,因为a2>1,所以AB的取值范围为(2,4),故C正确,D错误.故选ABC.
6.BD 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则k=,可得kOM=,
由A,B在C上,得,即,所以kOM·k=,故A错误;
对于B,直线l恒过点(-c,0),即左焦点F1,
所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a,故B正确;
对于C,直线l所过的定点F1(-c,0)在椭圆内部,故l与椭圆相交,
联立消去y可得(a2k2+b2)x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,
则x1+x2=-,
则AB=
=2
=
=
=
=,
令t=k2≥0,可知f(t)=在[0,+∞)上单调递减,无最小值,故C错误;
对于D,=(c-x1,-y1),则-c2=3c2,可得=4c2,
由=1,可得,则=4c2,整理得,又-a≤x1≤a,
所以0≤≤a2,即0≤4c2-b2≤c2,则0≤4c2-(a2-c2)≤c2,
所以0≤5c2-a2≤c2,即4c2≤a2≤5c2,即4e2≤1≤5e2,解得≤e≤,故D正确.故选BD.
7.答案 -3或-
解析 若a>b>0,则不妨取A1(0,-a),A2(0,a),
设P(x0,y0)(x0≠0),由P在椭圆C上,得=1,即),
所以,
∵,即,
故=-3;
若b>a>0,则不妨取A1(-b,0),A2(b,0),
设P(x1,y1)(x1≠±b),由点P在椭圆C上,得=1,则),
则,
∵,即,
故,
故直线PA1和PA2的斜率之积为-3或-.
8.答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k(k>0),点A在第一象限,
∵,∴AP=PQ=QB,且A,B,P,Q四点共线,
∴xP-x1=xQ-xP=x2-xQ,yP-y1=yQ-yP=y2-yQ,
又∵xQ=0,yP=0,∴x1=-2x2,y1=-y2,
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,
∴=1,
两式相减可得=0,即,
∴,
又k=,
∴=-k,
∴-k2=-,又k>0,∴k=.
9.解析 (1)由题意可知
故椭圆C的标准方程为=1.
(2)假设存在满足题意的点B,则由题意可得直线AB和直线MP的斜率均存在.
设直线AB的方程为y=kx-2,k≠0,
联立消去y可得(2k2+1)x2-8kx=0,
解得x=0或x=,则点B.
因为P为AB的中点,A(0,-2),所以P.
由2,F(2,0)可得M(1,0),
所以直线MP的斜率为.
因为直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥MP,
所以k·=-1,整理得2k2-2k+1=0,方程无实数解.所以不存在满足题意的点B.
10.解析 (1)由题意得
故椭圆C的方程为=1.
(2)设l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x,得(m2+2)y2+2my-3=0,
所以y1+y2=,
由A、M、P三点共线可知kAM=kAP,即,所以yP=,同理可得yQ=,
故k1k2=
=
=,
因此k1·k2为定值-.
20