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知识点 1 双曲线的几何性质
知识 清单破
3.2.2 双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
图形
几何性质 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
中心 O(0,0)
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,长度为2a,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,长度为2b
渐近线 直线y=± x 直线y=± x
离心率 e= ,e∈(1,+∞)
知识拓展
1.双曲线的通径:过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫作通径, 其长度为 ,通径是过双曲线的一个焦点与同侧双曲线的一支相交所得弦中最短的一条.
2.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是b.
3.双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上任意一点M到左焦点距离的最小值为a+c;到右焦点距离的
最小值为c-a.
4.焦半径:双曲线上一点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作双曲线 的焦半径,记r1=PF1,r2=PF2.
(1)对于 - =1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=
-ex0+a.
(2)对于 - =1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=
-ey0+a.
知识点 2 两类特殊的双曲线
知识辨析
1.双曲线 - =1(a>0,b>0)与 - =1(a>0,b>0)的渐近线相同吗
2.双曲线的离心率越大,其开口越大,对吗
3.有相同渐近线的两条双曲线的离心率一定相等吗
一语破的
1.不一定.双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近
线方程为y=± x,若a=b,则两双曲线的渐近线相同;若a≠b,则两双曲线的渐近线不同.
2.对.因为e= = = ,若a一定,则当e增大时,b增大,从而双曲线的开口变大.
3.不一定.不妨设两条双曲线具有共同的渐近线y=±mx(m>0),则它们的方程分别为 -x2=λ1和
-x2=λ2(λ1≠λ2),若λ1,λ2同号,则它们的离心率相等,若λ1,λ2异号,则当且仅当m=1时,它们的离心
率相等.
定点 1 双曲线的几何性质及其应用
关键能力 定点破
1.由双曲线的方程研究其几何性质的步骤
(1)将双曲线的方程化为标准方程;
(2)根据标准方程确定焦点的位置,求出a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,进而写出双曲线的几何性质.
2.根据双曲线的几何性质求其标准方程
(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点位置不明 确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线的方程为mx2+ ny2=1(mn<0).
(2)常见双曲线方程的设法
①渐近线为y=± x的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为
Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).
②与双曲线 - =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,λ≠1,a>0,b>0).
③与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0,a>0,b>0)或
- =λ(λ>0,a>0,b>0),要注意由离心率不能确定焦点位置.
④与椭圆 + =1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(b2<λ
典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)渐近线方程为y=± x,经过点P(2,2);
(2)焦点在x轴上,离心率为 ,且过点(2, );
(3)实轴长为2,且与椭圆 + =1共焦点.
解析 (1)设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0),将P(2,2)代入,解得λ=-12,
所以双曲线的标准方程为 - =1.
(2)由e= = ,得c= a,
又b2=c2-a2=( a)2-a2=a2,故a=b,
故可设双曲线的方程为 - =1(a>0),把点(2, )代入,得 - =1,解得a2=2,
所以双曲线的标准方程为 - =1.
(3)设双曲线方程为 - =1(4<λ<8).
因为实轴长为2,所以8-λ=1,解得λ=7.
所以双曲线的标准方程为x2- =1.
双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质,需注意以下几点 以双曲线
- =1(a>0,b>0)为例 :
(1)渐近线的斜率 与离心率e的关系: = ,e= .
(2)已知渐近线方程为y=mx(m>0)求离心率时,若焦点的位置不确定,则双曲线的离心率有两种 可能.
(3)求双曲线离心率的方法
①公式法:直接求出a,c或找出a,b,c之间任意两个的关系,代入公式e= = 计算.
②构造法:根据已知条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的方程(不等式),两边同时除以a的最高次
定点 2 双曲线的渐近线与离心率
幂,转化为关于e的关系式,再结合e∈(1,+∞)得出结果.求解范围时,注意利用图形中的不等关 系(如三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点的距离的范围等).
③特例法:通过特殊值或特殊位置求解.
典例 (1)已知双曲线Γ: - =1(a>0)的一条渐近线方程是y=3x,则双曲线Γ的离心率为 ;
(2)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F2且斜率为 的直线l与
双曲线的右支交于A,B两点,则该双曲线的离心率的取值范围为 .
(1,2)
解析 (1)由已知可得双曲线的焦点在x轴上,b=9,一条渐近线方程为y= x=3x,
所以a=3,c= =3 ,
所以离心率e= = = .
(2)双曲线的渐近线方程为y=± x,
由于过点F2且斜率为 的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,所以 < ,
因此e= = = = <2,
又e>1,所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,2).3.2.2 双曲线的几何性质
基础过关练
题组一 根据双曲线的标准方程研究其几何性质
1.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是( )
A.16 B.
2.(多选题)已知双曲线C:=1,则下列说法正确的是( )
A.C的实轴长为2
B.若C的两条渐近线相互垂直,则m=2
C.若C的一个焦点为(2,0),则m=2
D.若m=2,则C上的点到焦点距离的最小值为2
3.(多选题)设F1,F2分别是双曲线C:=1的左、右焦点,且F1F2=4,则下列结论正确的有( )
A.m=2
B.存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点
C.C的虚轴长是
D.C的离心率是
题组二 由双曲线的几何性质求其标准方程
4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-2,实轴长为4,则C的标准方程为( )
A.y2-=1
C.=1
5.(教材习题改编)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±2y=0,且C过点(4,1),则C的方程为( )
A.=1
C.=1
6.与椭圆C:=1共焦点且过点P(2,)的双曲线的标准方程为( )
A.=1
C.=1
7.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直,且交E于A,B两点,|AF2-AF1|=4.
(1)求E的方程;
(2)设点P为线段AB的中点,求直线OP的方程.
题组三 双曲线的渐近线
8.若双曲线C:=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-2=0相互垂直,则C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积S=( )
A.2 D.8
9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的一条渐近线l的垂线,垂足为A,且A在第一象限,并与C交于点B,若,则l的斜率为 ( )
A.2 B.1 C.
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的虚轴的一个端点为D,F1,F2分别是C的左、右焦点,直线x=2a与C交于A,B两点.若△ABD的重心在以F1F2为直径的圆上,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x
C.y=±x
11.(多选题)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为-y2=1
B.双曲线C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点
D.焦点到渐近线的距离为1
题组四 双曲线的离心率
12.过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点,这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A. D.4
13.设F1,F2是椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=60°,若椭圆的离心率e1∈,则双曲线的离心率e2的取值范围是( )
A.(1,] C.[,+∞)
14.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若AF2=BF2,则双曲线C的离心率为( )
A.
15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线C为等轴双曲线,且过点P(2,),求双曲线C的方程;
(2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与C的右支交于点M,△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形,求双曲线C的离心率.
能力提升练
题组 双曲线的几何性质及其应用
1.若双曲线C:=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的焦距为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为x-2y=0,左焦点在直线x+y+=0上,A,B分别是左、右顶点,点P为右支上位于第一象限的动点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(,+∞) C.(2,+∞) D.(1,+∞)
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于A、B两点,且,则该双曲线的离心率为( )
A.
4.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1>PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为( )
A.
5.已知F1,F2分别是双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点,点C在x轴上,,BF2平分∠F1BC,则双曲线Γ的渐近线方程为( )
A.y=±x
C.y=±x
6.已知圆C1:x2+y2=b2(b>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0),在C2上存在一点P,过点P作圆C1的两条切线,切点分别为A、B,且∠APB=,则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A. B. C.(1,] D.[,+∞)
7.(多选题)过双曲线C:=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点,则( )
A.存在四条直线l,使AB=6
B.存在直线l,使弦AB的中点为(4,1)
C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为=1
D.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l斜率的取值范围是
8.(多选题)随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要的作用,双曲线的光学性质是:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1,F2分别为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>2)作直线l交x轴于M,交y轴于点N,则( )
A.C的渐近线方程为y=±x
B.过点F1作F1H⊥AM于H,则OH=2
C.点N的坐标为
D.四边形AF1NF2的面积的最小值为2
9.已知双曲线C:x2-2y2=1的左、右顶点分别为A,B,点P(x,y)是双曲线C在第一象限内的点,则的取值范围为 .
10.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,a2+b2=1,O为坐标原点,过F的直线l与C的右支交于A,B两点.
(1)若b<,求C的离心率e的取值范围;
(2)若∠AOB恒为锐角,求C的实轴长的取值范围.
11.已知椭圆C1:+y2=1与双曲线C2:=1(a>0,b>0)有共同的左、右焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为2.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若曲线C1与C2在第一象限内的交点为P,求证:∠F1PF2=90°;
(3)过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,与椭圆C1交于C,D两点,记△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求的最小值.
答案与分层梯度式解析
3.2.2 双曲线的几何性质
基础过关练
1.C 双曲线方程可化为=1,易知k<0,所以双曲线的焦点在y轴上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2,又因为虚轴长是实轴长的2倍,所以2×4=2,解得k=-16.故选C.
2.BC 由题意知a=,则实轴长为2a=2,A错误;
渐近线方程为y=±x,若两条渐近线相互垂直,则-=-1,∴m=2,B正确;
由(2,0)为焦点,知c=2,则2+m=c2=4,得m=2,C正确;
若m=2,则双曲线C:=1,故C上的点到焦点距离的最小值为c-a=2-,D错误.
故选BC.
3.AD 由于双曲线的焦点在x轴上,所以m>0,
由于F1F2=4,所以2c=4,c=2,则m+m=c2=4,故m=2,A正确;
由m=2得双曲线的方程为=1,则a=b=,所以虚轴长为2,离心率为,故C错误,D正确;
易得渐近线的方程为y=±x,斜率为±1,由于直线y=2x+t的斜率为2>1,所以不存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点,B错误.
故选AD.
4.C 由题意知双曲线的焦点在y轴上,2a=4,-=-2,即a=2,b=1,故C的标准方程为-x2=1.故选C.
5.B 因为双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,
所以可设C的方程为x2-4y2=λ(λ≠0),把点(4,1)代入得λ=42-4×1=12,
所以C的方程为x2-4y2=12,即=1.故选B.
方法技巧 若题目中已知双曲线的渐近线方程为Ax±By=0,求双曲线的标准方程时,标准方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某点坐标求解.
6.C 解法一:易得椭圆C中c=3,记F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF1-PF2|=|=2a,
所以a=,所以b=,所以双曲线的标准方程为=1,故选C.
解法二:由题意可设双曲线的标准方程为=1(16<λ<25),
把点P(2,)代入,得=1,解得λ=22或λ=13(舍去),
∴双曲线的标准方程为=1.
方法技巧 与椭圆=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为=1(b2<λ7.解析 (1)因为|AF2-AF1|=4,所以2a=4,即a=2.
因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直,
所以-,所以b=1,
所以E的方程为-y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则P=2,则kOP=,
又点A,B在双曲线E上,所以
两式相减得=0,
两边同时除以(x2-x1)(x2+x1),并整理得kOP·kAB=.
又kAB=2,a=2,b=1,所以kOP=,所以直线OP的方程为y=x.
8.C 由题意得双曲线的这条渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得2×3-2a=0,解得a=3,∴c2=a2+b2=13,∴双曲线的焦点坐标为(,0),易知虚轴的一个顶点坐标为(0,2),∴S=.故选C.
9.B 由题意得渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,点F(c,0),则FA==b,
因为,所以B为线段AF的中点,则BF=,
设双曲线C的左焦点为F1,则BF1=2a+,
在△BFF1中,cos∠BFF1=,
又AF⊥OA,所以cos∠BFF1=,所以a=b,故l的斜率为1,故选B.
10.D 由题意知虚轴的端点为(0,±b),不妨取D(0,b),A在x轴上方,
联立则A(2a,b),
所以△ABD重心的坐标为,即,
易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,
因为△ABD的重心在以F1F2为直径的圆上,所以=c2=a2+b2,所以,所以C的渐近线方程为y=±x.故选D.
11.ACD 设双曲线C的方程为Ax2+By2=1(AB<0),将点(3,)代入可得9A+2B=1①,
因为渐近线方程为y=±x,所以±,所以②.
由①②解得A=,B=-1,故双曲线的方程为-y2=1,A正确.
由A可知a=,b=1,c=2,所以离心率e=,B错误.
双曲线的焦点坐标为(±2,0),其中(2,0)在双曲线y=ex-2-1上,C正确.
焦点(2,0)到渐近线x±3y=0的距离为=1,D正确.故选ACD.
12.B 双曲线的渐近线方程为y=±x,令x=a,得y=±b,
不妨取A(a,-b),B(a,b),左焦点为F1(-c,0),
∵△ABF1为正三角形,
∴,即=3,即=3,∴4a=2c,∴e=2.故选B.
13.B 不妨设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆及双曲线的定义得
在△MF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60°=,
两边同时除以c2得=4,
因为e1∈,所以,所以∈(1,3],所以∈[1,3),则e2∈(1,].
故选B.
14.A 过F2作F2N⊥AB于点N(图略),
设AF2=BF2=m,则AF1=m-2a,BF1=2a+m,
∴AB=BF1-AF1=4a,AN=2a,F1N=m,
由题意知∠BF1F2=30°,∴在Rt△F1NF2中,F2N=F1F2sin 30°=c,F1N=F1F2cos 30°=c,
在Rt△ANF2中,AN2+N,
即(2a)2+c2=(c)2,即2c2=4a2,∴e=.故选A.
15.解析 (1)由题意可知a=b,
把点P(2,)代入方程得=1,解得a2=1,故双曲线C的方程为x2-y2=1.
(2)解法一: 易知△OMF是等腰直角三角形,OF=c,
过M作MA⊥x轴于点A,则A,
设左焦点F1(-c,0),由双曲线的定义知MF1-MF=2a,
∴2a=c,故e=.
解法二:同解法一得M,
∵点M在C上,
∴=1,即=4,整理得e4-6e2+4=0,解得e2=3±,
∵e>1,∴e=.
能力提升练
1.A 易知双曲线的渐近线方程为y=±x,不妨设直线y=x,即ax-2y=0被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以圆心(2,0)到直线ax-2y=0的距离为,解得a2=12,又a2+4=c2,所以c2=16,c=4,故该双曲线的焦距为2c=8.故选A.
2.D 由双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,得a=2b,
在x+y+=0中,令y=0,得x=-,故左焦点为(-,0),则c=,结合c2=a2+b2得a=2,b=1,
故A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),x>2,y>0,则k1·k2=,
因为P在第一象限内,所以k1>0,k2>0,则k1+k2≥2=1,显然k1≠k2,故等号不成立,即k1+k2>1.故选D.
3.B 由题意得双曲线的右焦点为F(c,0),渐近线方程为bx±ay=0,
∵=0,∴OB⊥BF,故F到渐近线的距离为BF==b,
∴OB==a,AB=2BF=2b,
则tan∠AOB=,tan∠FOB=,tan 2∠FOB=,
由∠AOB=π-2∠FOB,得tan∠AOB+tan 2∠FOB=0,即=0,解得=2,
则=3,∴离心率e=.故选B.
4.C 设椭圆的长轴长为2a1(a1>0),双曲线的实轴长为2a2(a2>0),由题意可知F1F2=F2P=2c,不妨设点P在第一象限内,
由椭圆及双曲线的定义得F1P+F2P=2a1,F1P-F2P=2a2,∴F1P+2c=2a1,F1P-2c=2a2,两式相减,可得4c=2a1-2a2,即a1-a2=2c,
则≥4+2=6,当且仅当,即c=2a2时取等号,∴的最小值为6,故选C.
5.D 因为,所以△F1AF2∽△F1BC.
在双曲线中,易知F1F2=2c,则F2C=6c,设AF1=t,则BF1=4t,AB=3t.
由BF2平分∠F1BC及角平分线定理可知,
所以BC=3BF1=12t,所以AF2=BC=3t.
由双曲线定义知AF2-AF1=2a,即3t-t=2a,解得t=a.
由BF1-BF2=2a,得BF2=4t-2a=2t=2a,
所以AB=AF2=3a,即△ABF2是等腰三角形.
由余弦定理知cos∠F1BF2=,
即,化简得11a2=3c2,所以8a2=3b2,则双曲线Γ的渐近线方程为y=±x.故选D.
6.B 连接OB,OA,OP,则OA⊥AP,由切线长定理可知PA=PB,易证得△AOP≌△BOP,
所以∠APO=∠BPO=∠APB=,则OP=2OA=2b,
设P(x,y),且|x|≥a,则y2=-b2,
OP=2b==a,
所以,故e=,
故选B.
7.ACD 由已知得a=2,b=,c=3,对于A,双曲线的通径为=5<6,实轴长为2a=4<6,故有四条直线l满足题意,故A正确.
对于B,假设存在满足题意的直线l,设其方程为y-1=k(x-4),与=1联立,得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,易知Δ>0恒成立.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·,又AB的中点为(4,1),
所以所以k=5,所以l的方程为y-1=5(x-4),由于右焦点(3,0)不在该直线上,故不存在这样的直线l,故B错误.
对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为=λ(λ≠0),
把点(8,10)代入得λ=-4,所以该双曲线的标准方程为=1,故C正确.
对于D,设直线l的方程为x=my+3.
联立得(5m2-4)y2+30my+25=0,易知Δ>0恒成立.
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=.
若A、B都在该双曲线的右支上,则yAyB=<0,
即5m2-4<0,解得,即直线l的斜率的取值范围是,故D正确.故选ACD.
解后反思 求解本题要熟记两个结论:一是双曲线的通径,即过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫通径,其长为,它是过双曲线焦点的弦中最短的一条;二是与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0,a>0,b>0).
8.ABD 对于A,由已知可得a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故A正确.
对于B,易得kAM=,
所以直线AM的方程为y=,
联立化简得x2-2x0x+=0,由于Δ=4=0,所以直线AM为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知AM平分∠F1AF2,
延长F1H与AF2交于点E(图略),则AH垂直平分F1E,即H为F1E的中点.
又O是F1F2的中点,所以OH=(AF1-AF2)=a=2,故B正确.
对于C,设N(0,yN),则,
整理可得-yN+4yN=4y0.
又=1,所以,所以-(4+4)yN+4yN=4y0,解得yN=-,所以N,故C错误.
对于D,,
当且仅当|y0|=,即y0=±1时,等号成立.
所以四边形AF1NF2的面积的最小值为2,故D正确.
故选ABD.
9.答案 (,+∞)
解析 由双曲线方程可知A(-1,0),B(1,0),
则kPB=,
∵点P(x,y)在双曲线上,
∴x2-2y2=1,
∴kPA·kPB=,且有kPA>0,kPB>0,
令kPA=m,则kPB=(m>0),
则+m≥2,当且仅当m=,即m=时等号成立,
∵双曲线渐近线的斜率为±,∴m≠,
∴的取值范围为(,+∞).
10.解析 (1)因为b<,所以b2<,因为a2+b2=1,所以c=1,a2=1-b2>,所以a>,
则e=,又e>1,
所以C的离心率e的取值范围是(1,).
(2)易知F(1,0),直线l的斜率不为0,所以可设其方程为x=my+1.
联立得[a2(m2+1)-m2]y2+2m(a2-1)·y-(a2-1)2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,
由于A,B两点均在C的右支上,故y1y2<0,即a2(m2+1)-m2>0,即m2<.
则=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m2+1)·+m·+1
=.
由∠AOB恒为锐角,得>0,即m2a2(1-a2)-a4+3a2-1>0恒成立.
由于a2(1-a2)>0,所以只需-a4+3a2-1>0成立即可,
解得,
结合0所以C的实轴长的取值范围是(-1,2).
11.解析 (1)因为椭圆C1:+y2=1与双曲线C2:=1(a>0,b>0)有共同的左、右焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为2,
所以
故双曲线C2的标准方程为-y2=1.
(2)证明:联立所以点P,易知F1(-,0),
则,则=0,∴∠F1PF2=90°.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).当直线l的斜率不存在时,易得AB=,CD=1,此时.
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-),与椭圆方程联立,消去y,得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0,
则x3+x4=,
由弦长公式得CD=.把直线方程y=k(x-)与双曲线方程联立,消去y,得(1-2k2)x2+4k2x-6k2-2=0,
则x1+x2=,
由弦长公式得AB=.因为直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,所以解得k2>,故AB=.
设原点到直线l的距离为d,
∴∈(,+∞).
综上可知,.
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