3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及其应用
1.一个动圆P与定圆F:(x-3)2+y2=4相外切,且与直线l:x=-1相切,则动圆圆心P的轨迹方程为( )
A.y2=12x B.y2=8x C.y2=6x D.y2=4x
2.已知抛物线D:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在D上,过点P作准线l的垂线,垂足为A,若PA=AF,则PF=( )
A.2 B.2 D.4
3.已知过抛物线C:y2=2x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点,Q为AB的中点,P为C上一点,则PF+PQ的最小值为( )
A.
4.若点P(x,y)满足方程,则点P的轨迹是 .(填圆锥曲线的类型)
题组二 抛物线的标准方程和准线方程
5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(x0,3),且点M到C的焦点F的距离为3,则C的准线方程为 ( )
A.x=- B.x=-3 C.x=-1 D.x=-2
6.(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为( )
A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x
7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且MF=3,FM的延长线交y轴于点N,若M为线段FN的中点,则p=( )
A.2 B.2 C.4 D.6
题组三 直线与抛物线的位置关系
8.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A、B两点,若△AOF的面积是△BOF面积的2倍,则AB=( )
A.4 B.
9.设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点,则cos∠ACB= .
10.过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,且斜率为-1的直线l与抛物线交于A、B两点,AB=8.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过焦点F作直线l',交E于C、D两点,直线AC与BD的交点是否在一条直线上 若是,求出该直线的方程;若不是,说明理由.
能力提升练
题组一 抛物线的定义及标准方程的应用
1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,1)在C的内部,点B是C上的一个动点,且△ABF周长的最小值为4+,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M(M在第一象限),MN⊥l,垂足为N,MN交x轴于点E,直线NF交x轴于点D,若MD=2,则抛物线的方程是( )
A.x2=y B.x2=2y
C.x2=4y D.x2=8y
3.(多选题)设抛物线y2=8x的顶点为O,焦点为F,点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是( )
A.若MF=4,则OM=2
B.若MF=4,则O为线段MN的中点
C.若MF=8,则OM=4
D.若MF=8,则OM=3ON
4.(多选题)抛物线E:y2=4x的焦点为F,点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点,且有=xF·xN(xM>1),直线MF,NF与准线分别交于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.当xN=9时,MF=FA
B.当xM=2时,S△MFN∶S△ABF=4∶5
C.当xM=2时,AF∶BF=9∶5
D.当xM=3时,延长NM交准线于C,S△CBM∶S△ANF=5∶6
题组二 直线与抛物线的位置关系
5.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F,且与C交于A,B两点,以AB为直径的圆与y轴交于D,E两点,且DE=AB,则直线l的方程为( )
A.=0 B.x±y-1=0
C.2x±y-2=0 D.x±2y-1=0
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于A,B两点,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为M,∠MAF的平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若AB=16,则PQ=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7.(多选题)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线l交C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.C的准线方程为y=- B.直线AB与C相交
C.OP·OQ≥OA2 D.BP·BQ>BA2
8.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆=1的右焦点重合,抛物线C的动弦AB过点F,过点F且垂直于弦AB的直线交C的准线于点M,则下列结论正确的是( )
A.抛物线的标准方程为y2=4x
B.的最小值为2
C.过A,B分别作AA',BB'与准线垂直,则△A'FB'为直角三角形
D.△ABM的面积为定值
9.已知动点P在抛物线y2=4x上,过点P引圆C:(x-3)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB的最小值为 .
10.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点F到其准线的距离为2,直线l过点P(0,1)且与C交于A、B两点.
(1)求a的值及直线l的斜率的取值范围;
(2)若AF+BF=8,求直线l的方程.
11.已知拋物线C:y2=4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线,分别交抛物线C于点A,B和点C,D,AB,CD的中点分别为M,N.
(1)若直线AB的斜率为2,求直线MN的方程;
(2)求线段MN的中点E的轨迹方程.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y2=2px(p>0),两定点P(1,1),Q(1,4),点R在E上,且满足,过Q作一斜率存在的直线交E于A、B两点,连接BP并延长,交E于点C.
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)判断直线AC是否恒过定点,若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线的标准方程
基础过关练
1.A 圆F的圆心为F(3,0),半径为2,设动圆圆心P(x,y),半径为r,P到直线x=-1的距离为d,
则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得PF-2=r,d=r,
∴PF-d=2,∴PF=d+2,即P到F(3,0)的距离与P到直线x=-3的距离相等,
∴动圆圆心P的轨迹为以(3,0)为焦点的抛物线,
∴所求轨迹方程为y2=12x.故选A.
2.D 由题知F(1,0),准线l:x=-1,设准线与x轴的交点为C,则由抛物线的定义及已知得PA=AF=PF,则△PAF为等边三角形.
解法一:在Rt△ACF中,CF=2,∠AFC=60°,则AF=4,故PF=AF=4.
解法二:过F作FB⊥AP于点B,则B为AP的中点,因为AB=2,所以AP=4,所以PF=AP=4.
3.B 由题意得焦点F,准线方程为x=-,直线AB:y=,
由,消去y并整理得12x2-20x+3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,线段AB的中点Q的横坐标xQ=,
过Q作准线的垂线,垂足为点D,交抛物线于点P,
则PF+PQ=PD+PQ=QD=,
在抛物线C上任取点P',过P'作准线的垂线,垂足为D',连接P'F,P'Q,D'Q,
则P'F+P'Q=P'D'+P'Q≥D'Q≥QD,当且仅当点P'与点P重合时取等号,所以PF+PQ的最小值为.故选B.
4.答案 抛物线
解析 由,
得,
易知等式左边表示点P(x,y)到点(1,2)的距离,右边表示点P(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,即点P(x,y)到点(1,2)的距离与到直线3x+4y+12=0的距离相等,
又因为点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上,所以由抛物线的定义知,点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+12=0为准线的抛物线.
5.A 由已知得故抛物线C的准线方程为x=-,故选A.
6.AC ∵点P(4,-2)位于第四象限,∴设所求的抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),
∴4=2p·4或16=-2p·(-2),∴p=或p=4.
故所求的抛物线方程为y2=x或x2=-8y.故选AC.
7.C 过点M作MA⊥y轴于点A,交抛物线的准线于点B(图略),
由题意得F,设M,
由抛物线定义可知MF=MB==3,①
因为M为FN的中点,所以AM=OF,所以,②
由①②得p=4,故选C.
8.B 由题意得F(1,0),当直线l的斜率为0时,此时与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去;
设l:x=1+my,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,
因为△AOF的面积是△BOF面积的2倍,所以y1=-2y2,
则y1y2=-2=-4,所以y2=-,则y1=-2y2=2,
则4m=y1+y2=,解得m=,故x1+x2=,则AB=x1+x2+2=.故选B.
9.答案
解析 由题意得F(2,0),C(-2,0),直线l的方程为y=x-2,
设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0),
联立得y2-8y-16=0.
故y1=4+4,则x1=6+4,
故A(6+4),故AC=,
BC=,AB=x1+x2+4=16,
由余弦定理得cos∠ACB=.
10.解析 (1)由已知得直线l:y=-x+,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y得x2-3px+=0,
所以x1+x2=3p,AB=x1+x2+p=4p=8,解得p=2,故抛物线E的方程为y2=4x.
(2)由(1)可知y1+y2=-4,y1·y2=-4,F(1,0).
设l'的方程为x=my+1,C(x3,y3),D(x4,y4),
联立消去x得y2-4my-4=0,所以y3+y4=4m,y3·y4=-4.
直线AC的斜率为,
所以直线AC的方程为y-y3=(x-x3),即y=,①
同理可得直线BD的方程为y=②,
由①②得4(y1-y2+y3-y4)x=y1y2(y3-y4)+y3y4(y1-y2)=-4(y1-y2+y3-y4),
解得x=-1,所以直线AC与直线BD的交点都在x=-1上.
能力提升练
1.B 由已知得抛物线的准线方程为x=-,设为l,过点B作BM⊥l于M,过A作AH⊥l于H(图略).
由抛物线的定义可知BF=BM,
∴△ABF的周长为AB+AF+BF=AB+BM+AF≥AH+AF=4+,
易得AH=3+,
∴3+,∴p=2.故选B.
2.C 如图所示,过点F作FA⊥MN,垂足为A.
由题得∠AFM=30°,所以∠NMF=60°.
因为MF=MN,所以△MNF是等边三角形.
因为O是FB的中点,所以DF=DN,
所以MD⊥DF,所以FM==4.
所以MN=4,则AN=2.
所以AE=EN=1,则AE=OF=1,∴=1,∴p=2.
所以抛物线的方程是x2=4y.故选C.
3.ABD 由已知可得F(2,0),准线方程为x=-2.
对于A,设M(x1,y1),根据抛物线的定义得MF=x1+2=4,解得x1=2,可得=16,可得OM=,A正确;
对于B,由=16,得y1=±4,不妨设M(2,4),则直线OM的方程为y=2x,
令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O为线段MN的中点,B正确;
对于C,设M(x2,y2),根据抛物线的定义得MF=x2+2=8,
解得x2=6,则=48,可得OM=,C不正确;
对于D,由=48,可得y2=±4,不妨设M(6,4),
则直线OM的方程为y=x,令x=-2,得y=-,即N,
则ON=,所以OM=3ON,D正确.故选ABD.
4.ACD 抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则xA=xB=-1,
由=xF·xN(xM>1),得=xN(xM>1).
对于A,当xN=9时,xM=3,则=1,
∴MF=AF,故A正确;
对于B,当xM=2时,M(2,2),N(4,4),则FM==5,
设直线MF:x=my+1,把M(2,2)代入,可得m=y+1,
令x=-1,得y=-4),同理B,
则FA=,
因为∠AFB=∠MFN,所以sin∠AFB=sin∠MFN,
所以,故B错误;
对于C,由B知AF∶BF=6∶=9∶5,故C正确;
对于D,当xM=3时,xN=9,则N(9,6),∴MC∶NC=(3+1)∶(9+1)=2∶5,
∴S△CBM=S△CBN,∴S△CBM=S△NBM,由A知MF=AF,∴S△MFN=S△NFA,
NF∶FB=(9-1)∶[1-(-1)]=4∶1,∴S△MFN=S△NBM,∴S△NFA=S△NBM,
∴S△CBM∶S△NFA=S△NBM∶S△NBM=5∶6,故D正确.故选ACD.
5.A 分别过A,B向准线x=-1作垂线,垂足分别为A1,B1,取AB的中点M,作MN⊥y轴于点N(图略).
设AB=2r(2r≥4),
则2(MN+1)=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r,所以MN=r-1,
则DE=2r,即9r2-50r+25=0,
解得r=5或r=(舍去),则xM=4,
设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1+x2==8,解得k=±,
所以直线方程为y=±(x-1),即=0,
故选A.
6.D 易得焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,
由解得y=±2,则AB=4,不符合题意,
所以直线l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-1).
由消去y,化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0①,
Δ=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
则AB=x1+x2+2=4+=16,故k2=,解得k=±,
不妨取k=,A在第一象限,则直线l:y=(x-1),倾斜角为,所以∠MAF=,∠MAP=,
①式为=0,即x2-14x+1=0,解得x1=,
y1=,
tan,
所以MP=MA·tan)=4,
则yP=y1-4=2,所以P(-1,2).
由于x1+x2=14,y1+y2=4,故,所以Q(7,2),所以PQ=8.故选D.
方法技巧 求解直线和抛物线相交所得弦长问题,一定要注意的是判断直线的斜率是否存在.如果直线过抛物线的焦点,则可用AB=x1+x2+p来进行求解,其他情况用AB=来进行求解.
7.ACD 将点A(1,1)代入x2=2py,得p=,所以抛物线的方程为x2=y,故准线方程为y=-,故A正确.
kAB==2,所以直线AB的方程为y=2x-1,联立可得x2-2x+1=0,Δ=0,故直线AB与C相切,故B错误.
若l与y轴重合,则l与C只有一个交点,不合题意,舍去,
所以l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立得x2-kx+1=0,所以
所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,
又OP=,
所以OP·OQ==|k|>2=OA2,故C正确.
因为BP=|x2|,
所以BP·BQ=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,
又BA2=12+[1-(-1)]2=5,故D正确.故选ACD.
8.ABC 对于A,易知椭圆的右焦点为(1,0),即抛物线C的焦点F(1,0),可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,故A正确.
对于B,当直线AB的斜率不存在时,易得AB=2p=4,MF=2,所以=2;
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
则Δ=16(k2+1)>0,x1+x2=,x1x2=1,
可得AB=x1+x2+2=,
易知直线FM的方程为y=-(x-1),
由可得M,
则MF=,可得>2,故的最小值为2,故B正确.
对于C,由抛物线定义知AA'=AF,BB'=BF,则∠AA'F=∠AFA',∠BB'F=∠BFB',
又因为AA'∥OF∥BB',所以∠AA'F=∠A'FO,∠BB'F=∠B'FO,
可得∠A'FB'=(∠AFA'+∠A'FO+∠BFB'+∠B'FO)=90°,
故△A'FB'为直角三角形,故C正确.
对于D,当直线AB的斜率不存在时,AB=2p=4,MF=2,可得S△ABM=AB·MF=4;
当直线AB的斜率存在时,由B知AB=,
可得S△ABM=AB·MF=,显然不为定值,故△ABM的面积不为定值,故D错误.
故选ABC.
9.答案
解析 易得圆C的圆心为C(3,0),半径为1,
则四边形APBC的面积S=AB·PC=2S△APC=2××AP·AC=AP,所以AB=,
在Rt△PAC中,AP=,
所以AB=,
设P(x0,y0),由点P在抛物线上,可得=4x0,则PC2=(x0-3)2+-2x0+9=(x0-1)2+8,
当x0=1时,PC2取得最小值,最小值为8,所以AB的最小值为2.
10.解析 (1)因为抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点F到其准线的距离为2,所以=2,解得a=4.
所以抛物线方程为y2=4x,
设直线l的方程为y=kx+1,
联立消y得k2x2+(2k-4)x+1=0,由已知得方程有两个不等的实数解,
故k2≠0,且Δ=(2k-4)2-4k2>0,解得k<1且k≠0.
所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,0)∪(0,1).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1+x2=,
易知AF+BF=x1+x2+2=8,
所以+2=8,即3k2+k-2=0,解得k=-1或k=,所以直线l的方程为y=-x+1或y=x+1.
11.解析 (1)由已知得抛物线的焦点F(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-3x+1=0,则x1+x2=3,
所以AB中点M的横坐标为,纵坐标为2×=1,即M,
直线CD的方程为y=-(x-1),设C(x3,y3),D(x4,y4),
联立得x2-18x+1=0,则x3+x4=18,
所以CD中点N的横坐标为9,纵坐标为-×(9-1)=-4,即N(9,-4),
所以kMN=-,直线MN的方程为y+4=-(x-9),
化简得直线MN的方程为2x+3y-6=0.
(2)设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(x,y),
联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
得x1+x2=,
所以AB中点M的横坐标为1+,纵坐标为k1+-1=,即M,
将k换成-得N(1+2k2,-2k),
则MN的中点E的坐标为,
即x=1+-k,得y2=x-3,
所以线段MN的中点E的轨迹方程为y2=x-3.
12.解析 (1)(1,1)=(1,2),即R(1,2),
把R(1,2)代入y2=2px中,解得p=2.
所以抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)设过Q且斜率存在的直线方程为y-4=k(x-1),联立消去x,得ky2-4y+16-4k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,
易得直线BP的方程为,与y2=4x联立,消去x,得(y2-1)y2-(-4y2=0,
设C(x3,y3),则有y2y3=,得y3=,
则直线AC的方程为,即,得(y-y1),
则=4x+4,所以直线AC恒过定点(-1,0).
方法总结 解答直线与抛物线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形.强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
21(共16张PPT)
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点 F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线.
3.3 抛物线
知识点 1 抛物线的定义
知识 清单破
3.3.1 抛物线的标准方程
知识点 2 抛物线的标准方程
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程 x=- x= y=- y=
开口方向 向右 向左 向上 向下
特别说明:
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们到原点的距离都等于一次项 系数的绝对值的 ,即 = .
(3)抛物线的开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相同,即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,标准 方程的右端系数为正;开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反,即焦点在x轴(或y轴)的负半 轴上,标准方程的右端系数为负.
知识拓展
已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点,若OA⊥OB,则直线AB过定点(2p,0),反之也成立.
知识辨析
1.在抛物线的定义中,若去掉“F不在l上”,则点的轨迹还是抛物线吗
2.有人说:若抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则抛物线的焦点坐标为 ,对吗
3.抛物线的标准方程中,p的几何意义是焦点到准线的距离,它的大小与抛物线的开口大小有 关吗
一语破的
1.不是.若去掉该条件,则动点的轨迹是过定点F且垂直于直线l的一条直线.
2.不对.抛物线的焦点坐标是 .
3.有关.对于方程y2=2px(p>0),当x的值确定后,p值越大,|y|也越大,所以抛物线的开口也越大.
定点 1 抛物线的标准方程的求解
关键能力 定点破
1.定义法
根据抛物线的定义确定p的值,再结合焦点位置求出抛物线的方程.
2.待定系数法
(1)设方程:根据焦点位置(或开口方向),设出标准方程;
(2)列方程:根据条件建立关于参数p的方程;
(3)解方程:解关于参数p的方程,求出p的值;
(4)得方程:根据参数p的值,写出所求的标准方程.
若焦点位置不明确,一般需分四种情况讨论,若焦点在x轴上,可设其方程为y2=mx(m≠0), 若焦点在y轴上,可设其方程为x2=my(m≠0).
典例 根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)焦点在y轴上且过点(-1,-3);
(2)过点(4,-8);
(3)焦点在直线x-2y-4=0上.
解析 (1)由已知可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),把(-1,-3)代入得1=6p,故p= ,所以抛物线
方程为x2=- y.
(2)由已知可设抛物线的方程为y2=2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0),分别把点(4,-8)代入得64=8p1,16 =16p2,所以p1=8,p2=1,
所以抛物线的方程为y2=16x或x2=-2y.
(3)易知点(0,-2)和(4,0)在直线x-2y-4=0上,设抛物线方程为x2=-2p1y(p1>0)或y2=2p2x(p2>0),则
=2, =4,得p1=4,p2=8,
所以抛物线的方程为x2=-8y或y2=16x.
1.判断轨迹问题
用抛物线的定义可以判断与定点、定直线的距离有关的动点的轨迹是不是抛物线.
2.实现距离转化
利用抛物线的定义可以实现抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离的等价转化.“看 到准线想焦点,看到焦点想准线”是解决抛物线距离问题的有效途径.
3.解决最值问题
求解抛物线上一点P到焦点F的距离和到已知点M(M在抛物线内部)的距离之和的最小 值问题,通常利用抛物线的定义将点P到F的距离转化为点P到准线的距离,再利用三点共线 知识求解.
定点 2 抛物线定义的应用
已知抛物线上一点(x0,y0).
4.焦半径公式
标准方程 焦半径
y2=2px(p>0) x0+
y2=-2px(p>0) -x0
x2=2py(p>0) y0+
x2=-2py(p>0) -y0
典例 (1)已知动圆M与直线y=-2相切,且与定圆C:x2+(y-3)2=1外切,那么动圆圆心M的轨迹方程 为 ;
(2)已知M为抛物线y2=4x上的动点,F为抛物线的焦点,P(3,1),则MP+MF的最小值为 ;
(3)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(位于第一象限)到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率 为 .
x2=12y
4
解析 (1)解法一:由题意知,动点M到C(0,3)的距离比到直线y=-2的距离大1,
则动点M到C(0,3)的距离与到直线y=-3的距离相等,
根据抛物线的定义知M的轨迹是以直线y=-3为准线,点(0,3)为焦点的抛物线,
设抛物线方程为x2=2py(p>0),则 =3,解得p=6,故圆心M的轨迹方程为x2=12y.
解法二:设M(x,y),则 =|y+2+1|,变形为x2+y2-6y+9=y2+6y+9,则x2=12y,
故圆心M的轨迹方程为x2=12y.
(2)如图所示:
设点M在准线上的射影为D,由抛物线的定义知MF=MD,
要求MP+MF的最小值,即求MP+MD的最小值,当D,M,P三点共线时,MP+MD最小,且(MP+MD) min=D'P=3-(-1)=4.
(3)因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F间的距离MF=2p,
所以xM+ =2p,得xM= ,将xM= 代入y2=2px,得yM= p或yM=- p(舍去).
所以点M的坐标为 ,所以直线MF的斜率为 = .
1.判断直线与抛物线的位置关系与椭圆、双曲线一样,通常使用代数法,即将直线与抛物线的 方程联立,整理成关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0).
(1)当a≠0时,利用判别式解决:
Δ>0 相交;Δ=0 相切;Δ<0 相离.
(2)当a=0时,方程只有一个解x=- ,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.
注:若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切或直线与抛物线相交(此时直 线与抛物线的对称轴平行或重合).
2.直线与抛物线相交的弦长问题
若直线(斜率为k)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则AB= |x1-x2|=
定点 3 直线与抛物线的位置关系
|y1-y2|(k≠0).
典例 已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l:2x-3y+4=0与抛物线C交于M,N两点.
(1)若线段MN中点的纵坐标为3,求p的值;
(2)若MN= ,求p的值.
解析 设M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)联立 两式相减可得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),即p= · = ×3=2.
(2)联立 消去x,得y2-3py+4p=0,则Δ=9p2-16p>0,解得p> 或p<0(舍去),
由根与系数的关系得y1+y2=3p,y1y2=4p,
又直线l的斜率k= ,
所以MN= ·|y1-y2|= · = · = · = ,
故9p2-16p=4,解得p=2或p=- (舍去).
故p的值为2.
