3.3.2 抛物线的几何性质
基础过关练
题组一 抛物线的几何性质及其应用
1.抛物线y=x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离为( )
A.4 B.2 C. D.1
2.(教材习题改编)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )
A.8
3.已知线段AB是抛物线y2=4x的一条弦,且AB的中点M在直线x=1上,则点A的横坐标( )
A.有最大值,无最小值
B.无最大值,有最小值
C.无最大值,无最小值
D.有最大值,有最小值
4.已知抛物线C的顶点是坐标原点O,焦点F在y轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若=-12,则抛物线C的方程为( )
A.y2=8x B.y2=4x
C.x2=8y D.x2=4y
5.写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程: .
①C的顶点在坐标原点;
②C的对称轴为坐标轴;
③C的焦点到其准线的距离为.
题组二 抛物线几何性质的综合应用
6.已知mn≠0,则方程mx2+ny2=1与ny2=mx在同一坐标系内对应的图形编号可能是( )
A.①④ B.②③
C.①② D.③④
7.如图1,某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成,为了更好地利用热效能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面,防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离,已知口径长为40 cm,防护罩宽为15 cm,则顶点O到防护罩外端CD的距离为( )
图1 图2
A.25 cm B.30 cm
C.35 cm D.40 cm
8.已知抛物线W:y2=2px的焦点F关于原点O的对称点为A.若以F为圆心的圆经过点A且与W交于点B,C,则下面结论正确的是( )
A.△BOC一定是钝角三角形
B.△BOC可能是锐角三角形
C.△ABC一定是钝角三角形
D.△ABC可能是锐角三角形
能力提升练
题组 抛物线几何性质的综合应用
1.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ⊥l,垂足为Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NRF=60°,则( )
A.∠FQP=60° B.QM=1
C.FP=4 D.FR=2
2.设抛物线y2=4x的准线与x轴交于点K,过点K的直线l与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作x轴的平行线交抛物线于点N.已知△NAB的面积为2,则直线l的斜率为( )
A.± D.±2
3.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,且,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为5,则准线l的方程为( )
A.x=-
C.x=-2 D.x=-1
4.(多选题)已知A,B是抛物线C:y2=6x上的两动点,F是C的焦点,下列说法正确的是( )
A.直线AB过焦点F时,以AB为直径的圆与C的准线相切
B.直线AB过焦点F时,AB的最小值为6
C.若坐标原点为O,且OA⊥OB,则直线AB过定点(3,0)
D.与抛物线C分别相切于A,B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点,则点N在抛物线C的准线上
5.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于A、B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.若AB=8,则点M到y轴的距离为4
B.过点(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
C.P是准线上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则FP=6
D.9AF+BF≥16
6.已知抛物线M:x2=4y,圆C:x2+(y-3)2=4,在抛物线M上任取一点P,向圆C作两条切线PA和PB,切点分别为A,B,则的取值范围是 .
7.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,E的准线交x轴于点K,过K的直线l与拋物线E相切于点A,且交y轴正半轴于点P,△AKF的面积为2.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过点P的直线交E于M,N两点,过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T,点H满足.证明:直线HN过定点.
答案与分层梯度式解析
3.3.2 抛物线的几何性质
基础过关练
1.A 把A(x0,2)代入抛物线方程中,得2=,解得x0=±4,
因为该抛物线的对称轴为y轴,所以抛物线y=x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离为4,
故选A.
2.A 由抛物线的对称性知等边三角形另外两个顶点关于x轴对称,
设另外两个顶点的坐标分别为(m>0),
∴tan 30°=,解得m=4,
故这个等边三角形的边长为2m=8.故选A.
3.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知当点A在原点时,其横坐标有最小值,为0;
当点B在原点时,点A的横坐标有最大值,由=1,得x1=2,即点A的横坐标的最大值为2.
故选D.
4.C 根据题意设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则F,
易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立可得x2-2pkx-p2=0,
∴x1x2=-p2,y1y2=,
又=-12,∴x1x2+y1y2=-12,∴-p2+=-12,∴p=4,
故抛物线的方程为x2=8y.
5.答案 y2=x或y2=-x或x2=y或x2=-y(写出一个即可)
解析 由①②可知C的方程为抛物线的标准方程,由③可知p=,
所以抛物线C的方程可以为y2=x或y2=-x或x2=y或x2=-y(写出一个即可).
6.B 方程ny2=mx(mn≠0)表示焦点在x轴上的抛物线,④不符合要求.
当m,n>0时,方程mx2+ny2=1表示椭圆或圆,抛物线的开口向右,③符合要求.
当m,n<0时,方程mx2+ny2=1不表示任何图形.
当m>0,n<0时,方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,抛物线开口向左.
当m<0,n>0时,方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线,抛物线开口向左,①不符合要求,②符合要求.故选B.
7.C 以顶点O为坐标原点,射线OF所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,
设轴截面边界曲线AOB所在抛物线方程为y2=2px(p>0),
则F,因为点A在抛物线上,所以400=2p,又p>0,所以p=10,则O到CD的距离d=+30=35(cm),
所以顶点O到防护罩外端CD的距离为35 cm.故选C.
8.A 设p>0,B位于第一象限,C位于第四象限,
由题意得F,
则圆的方程为+y2=p2,与y2=2px联立,解得则B,
则有xB=xC=xF,则BF⊥AF,则tan∠BOF==2,
根据对称性得tan∠BOC=tan 2∠BOF=<0,
又因为∠BOC∈(0,π),所以∠BOC∈,所以△BOC一定是钝角三角形,故A正确,B错误.
又因为AF=BF=p,且AF⊥BF,所以△ABF为等腰直角三角形,故∠BAF=,根据对称性知∠BAC=,则△ABC为直角三角形,故C,D错误.故选A.
能力提升练
1.ACD 如图所示,连接MF,QF,设准线l与x轴的交点为H.
易知焦点F(1,0),准线l:x=-1,∴FH=2,PF=PQ.
∵M,N分别为PQ,PF的中点,∠NRF=60°,
∴MN∥QF,∠QFH=∠NRF=60°.
∵PQ⊥l,∴PQ∥OR,∴∠FQP=∠QFH=60°,A正确.
∵PQ=PF,∴△PQF为等边三角形,
∵QH⊥HF,∴QF=2FH=4,
∴FP=PQ=QF=4,C正确.
∴MF⊥PQ,∴四边形QMFH为矩形,
∴QM=FH=2,B错误.
∵PQ∥OR,MN∥QF,∴四边形QMRF为平行四边形,
∴FR=QM=2,D正确.故选ACD.
2.A 易得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,则K(-1,0).
显然直线l的斜率存在且不为0,设其方程为x=ty-1(t≠0),与y2=4x联立,化简并整理得y2-4ty+4=0.
由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4,
∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.
∵M是AB的中点,∴M(2t2-1,2t).
过点M且平行于x轴的直线为y=2t,与抛物线的交点为N(t2,2t),∴MN=t2-1.
又∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),∴|y1-y2|=4,
∴△NAB的面积S=MN·|y1-y2|=2()3=2,得t2=2(满足Δ>0),解得t=±.
∴直线l的方程为x=±y-1,即y=±(x+1),
∴直线l的斜率为±.故选A.
3.D 解法一:由题意知F,准线l的方程为x=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,由,得,即x2=(3p-2x1),①
由题意知直线AB的斜率存在且不为0,
设直线AB的方程为y=k(k≠0),代入抛物线方程,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,
所以x1x2=,②
联立①②,得2-3px1+p2=0,
解得x1=p或x1=(舍去),所以|y1|=p,
易知四边形AA1CF是直角梯形,所以·|y1|=5,
将x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D.
解法二:不妨设A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,则AF=,
因为,所以,解得cos θ=,则sin θ=,
易知四边形AA1CF是直角梯形,其中CF=p,AA1=AF=p,AC=AFsin θ=p·p,所以四边形AA1CF的面积为,解得p=2(舍负),所以准线l的方程为x=-1,故选D.
导师点睛 AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的倾斜角为α,则有下列结论成立:
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)AF=x1+.
(3)AB=x1+x2+p=.
4.ABD 对于A,设线段AB的中点为M,分别过点A,B,M向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,M1(图略),
则由抛物线的定义可得AF=AA1,BF=BB1,则MM1=,
所以以AB为直径的圆与C的准线相切,故A正确.
对于B,易得F,
由题意可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x得y2-6my-9=0,则Δ=(-6m)2+36=36m2+36>0恒成立.
y1+y2=6m,y1y2=-9,则x1+x2=my1+=6m2+3,
所以AB=x1+x2+3=6m2+6,当且仅当m=0时,AB取到最小值6,故B正确.
对于D,先证抛物线C在点处的切线方程为x=,
联立消去x得y2-2y0y+=(y-y0)2=0,
可知方程组只有一个解,即直线x=与抛物线C相切,
可知抛物线C在点A,B处的切线方程分别为x=,
联立即点N,
结合B可得,所以点N在抛物线C的准线x=-上,故D正确.
对于C,由题意可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+a,A,y1y2≠0,
则,
若OA⊥OB,则+y1y2=0,解得y1y2=-36或y1y2=0(舍去),
联立消去x可得y2-6my-6a=0,
则y1y2=-6a=-36,解得a=6,
此时Δ=(-6m)2+4×36=36m2+144>0,符合题意,
所以OA⊥OB,则直线AB过定点(6,0),故C错误.
故选ABD.
5.CD 由题意得 p=2,则抛物线C:y2=4x,所以焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=AF+BF=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,
又M为线段AB的中点,所以M,所以点M到y轴的距离为=3,故A错误.
对于B,若过点(0,1)的直线斜率不存在,则该直线为y轴,易知y轴与抛物线C相切;
若过点(0,1)的直线的斜率为零,则直线的方程为y=1,联立
此时直线y=1与抛物线C只有一个交点;
若过点(0,1)的直线的斜率存在且不为零,设该直线的方程为y=kx+1,
联立可得k2x2+(2k-4)x+1=0,则解得k=1,
即直线y=x+1与抛物线C只有一个公共点,故满足条件的直线共有三条,故B错误;
对于C,过点Q作准线的垂线,垂足为Q',则QQ'=QF,
设准线与x轴交于点D,则△PQ'Q∽△PDF,
因为,所以,
则Q'Q=,则xQ=QQ'-1=,所以|yQ|=,
即Q'D=,所以PD=4,则PF==6,故C正确.
对于D,设直线AB的方程为x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
显然Δ>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2==1,
所以=1,
所以9AF+BF=(9AF+BF)
=10+≥10+2=16,
当且仅当,即AF=,BF=4时取等号,故D正确.故选CD.
6.答案 (-4,0]
解析 由已知得圆心C(0,3),半径r=2.
设点P(x0,y0),则=4y0,
PC2=-2y0+9=(y0-1)2+8,
在Rt△PAC中,
cos2∠PCA=,
易知∠ACB=2∠PCA,则cos∠ACB=2cos2∠PCA-1=-1,
则|cos∠ACB=4-4,
因为y0≥0,所以当y0=1时,取得最大值,为-4=0,又>0,所以>-4.
所以的取值范围是(-4,0].
7.解析 (1)由题可知F,准线方程为x=-,
因为直线l的斜率存在且不为0,所以设l的方程为x=my-,
联立消去x,得y2-2pmy+p2=0,
因为l与E相切,所以Δ=4p2(m2-1)=0,所以m=1或m=-1,
因为直线l与y轴正半轴交于点P,所以m=1,
因此y2-2py+p2=0,所以y=p,所以A,
故AF⊥KF,所以S△AKF=p2=2,所以p=2(负值舍去),所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)证明:由(1)知A(1,2),l:y=x+1,所以P(0,1),
因为过点P的直线交E于M,N两点,所以MN的斜率存在且不为零,
设MN的方程为y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),联立消去x,得ky2-4y+4=0(k≠0),
则Δ=16(1-k)>0,所以k<1且k≠0,y1+y2=y1y2=.
易得直线OA:y=2x,令x=x1,得y=2x1,所以T(x1,2x1),
因为,所以H(x1,4x1-y1),所以kNH=,
所以直线NH的方程为y-y2=(x-x2),
所以y=
=,
因为4x1x2-x1y2-x2y1=4×[y1y2-(y1+y2)]=0,
所以直线NH的方程为y=x,所以NH恒过定点(0,0).
16(共19张PPT)
知识点 1 抛物线的几何性质
知识 清单破
3.3.2 抛物线的几何性质
标准方程
(p>0) y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
离心率 e=1
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1.焦点弦的概念
过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦.
2.通径
过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物 线的通径长为2p,是所有焦点弦中最短的弦.
定点 2 抛物线的焦点弦
3.有关抛物线焦点弦的结论
如图,已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均 垂直于准线,直线AB的倾斜角为θ.
则有:(1)AB=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)AF= ,BF= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;
(6)以AB为直径的圆与准线相切;
(7)A,O,B'共线,A',O,B共线;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)抛物线在A,B处的切线互相垂直且交点在准线上.
知识拓展
1.圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等 于常数e的点的轨迹,其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲 线的准线.
当01时,它是双曲线;当e=1时,它是抛物线.
椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆或双曲线,与焦点F1(-c,0),
F2(c,0)对应的准线方程分别为x=- ,x= .
2.阿基米德三角形:圆锥曲线的弦AB与过弦的端点的两条切线围成的△PAB叫作阿基米德三 角形.
抛物线阿基米德三角形的常用性质:
(1)当AB过焦点时,点P在准线上且PA⊥PB,PF⊥AB;
(2)当点P在准线上时,AB过焦点,底边AB的中线所在直线平行或重合于对称轴,且S△PAB的最小 值为p2.
知识辨析
1.抛物线的标准方程有四种形式,它们的离心率都相等吗
2.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是x=- 吗
3.如何区分曲线是抛物线还是双曲线的一支
4.“直线与抛物线只有一个交点”是“直线与抛物线相切”的充分必要条件吗
一语破的
1.相等.抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的比值,因为两个距离 相等,所以离心率都是1.
2.不是.将抛物线化成标准方程为x2= y(a≠0),所以其准线方程为y=- .
3.曲线的延伸趋势不相同,当抛物线y2=2px(p>0)上的点趋于无穷远时,抛物线接近于与x轴平 行;当双曲线上的点趋于无穷远时,双曲线接近于它的渐近线.
4.不是.当直线与抛物线有一个交点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行(或 重合);当直线与抛物线相切时,直线与抛物线有一个交点.因此“直线与抛物线只有一个交 点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.
定点 1 抛物线几何性质的应用
关键能力 定点破
涉及抛物线的几何性质的问题,常画出图形,结合抛物线的定义求解,通过图形可以直观 地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征.
典例 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,AB=2 ,求
抛物线的方程.
解析 由已知得,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在x轴负半轴上,故可设抛物线方 程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,
∴点A与点B关于x轴对称,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 ,
∴|y1|=|y2|= ,代入x2+y2=4,得x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1, )或A(±1,- ),
代入抛物线方程,得3=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线的方程是y2=3x或y2=-3x.
解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论,并灵活运用.知识点2中有关焦 点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的,在实际应用中不能盲目套用.
定点 2 抛物线的焦点弦问题
典例 已知抛物线y2=4x,经过其焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于M,N两点,且MF= 3NF,则k= .
解析 解法一:分别过M,N两点作准线的垂线,垂足分别为P,Q,过N向PM作垂线,垂足为S,设 NF=m(m>0),则MF=3m,
由抛物线的定义得MP=MF=3m,NQ=NF=m,
所以MS=2m,MN=m+3m=4m,
则sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°,
故直线l的倾斜角为60°,
所以k=tan 60°= .
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则θ∈ ,
由于MF= ,NF= ,且MF=3NF,
所以 = ,解得cos θ= ,
所以θ= ,所以k=tan θ= .
学科素养 情境破
素养解读
圆锥曲线的定点问题主要是曲线系(直线系)过定点问题,反映的是数学对象的本质属性,常见的具有圆锥曲线的性质背景的题目有蒙日圆、阿基米德三角形等;定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或代数表达式的值等和参数无关,是一个确定的值,这类问题的综合性比较强,常涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,同时与函数、不等式、方程、平面向量等知识紧密联系,解决此类问题需要有较强的运算能力和图形识别能力,能准确进行数与形的转换,合理猜想并仔细推理论证,在求解论证的过程中培养学生数学抽象和数学运算的核心素养.
素养 在解决圆锥曲线定点、定值问题中培养学生数学抽象和数学运算的核心素养
例题 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2 ,离心率为 .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)一条动直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,O为坐标原点,△OMN的面积为 ,求证:OM 2+
ON 2为定值.
典例呈现
主编点评 本题第(2)问是定值问题,题设条件没有给出这个定值,那么我们可以这样思考:由 于这个定值对符合要求的一些特殊情况必然成立,因此我们可以根据特殊情况先找到这个定 值,明确了解决问题的目标,然后进行一般情况下的推理证明.
解题思路 (1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),则2b=2 ,e= = ,
所以b= , = = = = ,
解得a= ,c=1,
故椭圆C的标准方程为 + =1.
(2)证明:当直线l的斜率不存在时,不妨设l:x=n,- 将x=n代入椭圆方程 + =1,
可得y=± ,- 不妨设M ,N ,
则S△OMN= ·MN·|n|=|n| = ,
化简可得4n4-12n2+9=0,解得n=± ,
此时M ,N ,
故OM2+ON2= +12+ +(-1)2=5.
当直线l的斜率存在时,不妨设l:y=kx+m(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
联立 消去y整理得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,
Δ=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-6)>0,则2+3k2>m2,
由根与系数的关系得
易得点O到直线l的距离为 ,
MN= ·
= ·
= ·
= · ,
所以S△OMN= · · · = ,
整理得(3k2-2m2+2)2=0,所以3k2+2=2m2>m2,满足题意,
所以x1+x2= ,x1x2= ,
故y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2· +km· +m2= -1,
则OM2+ON2= + + +
=(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y1y2
= -2· + -2
= - + - +2
= = =5.
综上,OM2+ON2为定值5.
思维升华
解决定点、定值问题可以直接推理求出定点、定值,也可以从特殊情形、极限状态、图形的 对称性等方面入手猜测结论,再证明这个点(值)与变量无关,要设定合理的变量,准确把握各 变量间的数量关系,充分利用题目信息,合理变形,另外,在解题过程中经常会用到设而不求整 体代换的思想和消元思想.
