本章复习提升练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹方程时忽略隐含条件致错
1.已知F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是△PF1F2的重心,则点G的轨迹方程为(　　)
A.x2+9y2=1　　　　B.x2+9y2=1(y≠0)
C.=1(y≠0)
2.已知两定点F1(-,0),满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两个不同的点.
(1)求曲线E的方程;
(2)求实数k的取值范围;
(3)若AB=6,求直线AB的方程.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清致错
3.(多选题)已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则(　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0,n>0时,方程表示两条直线
D.方程不能表示抛物线
4.已知向量=(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足-d2),其中O是坐标原点,k是参数.
(1)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足≤e≤,求k的取值范围.
易错点3　忽略圆锥曲线焦点位置的多种情况致错
5.设m为正实数,椭圆C:=1的长轴的两个端点分别是A1,A2,若椭圆C上存在点P满足∠A1PA2=120°,则m的取值范围是(　　)
A.(0,1]∪[9,+∞)　　　　B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,]∪[4,+∞)　　　　D.(0,]∪[9,+∞)
6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.
易错点4　忽略对斜率是否存在进行讨论致错
7.已知椭圆+y2=t,点P(0,1),若椭圆上存在不同的两点A,B满足,则实数t的取值范围是　　　　.
思想方法练
一、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
1.已知焦点分别在x,y轴上的两个椭圆C1,C2,且椭圆C2经过C1的两个顶点与两个焦点,设椭圆C1,C2的离心率分别是e1,e2,则(　　)
A.>1
C.<1且>1
2.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点到左焦点F(-c,0)的距离与左焦点F到直线x=-的距离相等,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦的长为3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l过点F,且不与坐标轴垂直,与椭圆C相交于P,H两点,线段PH的垂直平分线与x轴交于点B.
①当BF=时,求直线l的倾斜角的正弦值;
②求证:PH=4BF.
二、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
3.(多选题)已知抛物线C:x2=2y的焦点为F,准线为l,A,B是C上异于点O的两点(O为坐标原点),则下列说法正确的是(　　)
A.若A,F,B三点共线,则AB的最小值为2
B.若AF=,则△AOF的面积为
C.若OA⊥OB,则直线AB过定点(2,0)
D.若∠AFB=60°,过AB的中点D作DE⊥l于点E,则的最小值为1
三、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
4.已知圆锥曲线=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的值的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
5.已知椭圆E:=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为,过椭圆右焦点F的直线l与E交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.B　∵F1,F2分别为椭圆E:+y2=1的左、右焦点,∴F1(-2,0).
设G(x,y),P(m,n),则
∵点P为椭圆E上的动点,∴+n2=1,∴x2+9y2=1.又P与F1,F2不共线,∴n≠0,∴y≠0.
∴△PF1F2的重心G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0).故选B.
易错警示　求解与圆锥曲线方程有关的问题时,要注意其中字母的不同范围与对应曲线的关系.另外在求解动点的轨迹问题时,要注意是否存在隐含条件,不能扩大或缩小变量的取值范围.如本题中,易忽略题中的隐含条件:P与F1,F2共线时,P,F1,F2三点不能构成三角形.
2.解析　(1)由双曲线的定义可知,曲线E是以F1(-,0)为焦点的双曲线的左支,且c=,
又PF2-PF1=2a=2,所以a=1,b==1,所以曲线E的方程为x2-y2=1(x≤-1).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,
因为直线与双曲线左支交于两点,
所以解得-故k的取值范围为(-,-1).
(3)由(2)及弦长公式得AB=|x1-x2|
==
=2,
整理并化简得28k4-55k2+25=0,解得k2=或k2=,
因为-易错警示　题目条件为PF2-PF1=2,没有绝对值,故曲线E为双曲线的左支,求解时很容易忽略这一点,进而缺少x1+x2<0,x1x2>0两个限制条件而导致结果错误.
3.BCD　取m=n=1,此时方程表示圆,故A错误;
当mn<0时,方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故B正确;
当m=0,n>0时,方程表示两条直线y=±,故C正确;
方程不含有一次项,故它不能表示抛物线,故D正确.故选BCD.
4.解析　(1)由已知得A(2,0),C(0,1),B(2,1),设M(x,y),则=(x-2,y-1),d=|y-1|,
∴=x(x-2)+(y-1)2=x2-2x+(y-1)2,
代入-d2),整理得(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0,即为动点M的轨迹方程.
当k=1时,表示直线y=0;当k=0时,表示圆;当k>1时,表示双曲线;当0(2)由(1)及≤e≤得M点的轨迹为椭圆(x-1)2+=1,
当0所以≤k≤,即≤k≤.
当k<0时,e2=,
结合e∈,得,
所以-1≤k≤-.
综上,k的取值范围是.
5.B　若椭圆焦点在x轴上,则0要使椭圆上存在点P满足∠A1PA2=120°,则当P位于短轴的端点时,∠A1PA2≥120°,则∠A1PO≥60°(O为坐标原点),
则tan∠A1PO=≥tan 60°=,解得0若椭圆焦点在y轴上,则m2>3,即m>,
要使椭圆上存在点P满足∠A1PA2=120°,则当P位于短轴的端点时,∠A1PA2≥120°,则∠A1PO≥60°,
则tan∠A1PO=≥tan 60°=,解得m≥3.
综上,m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).故选B.
6.答案　2或
解析　由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
易知其中一条渐近线的倾斜角为60°(如图1所示)或30°(如图2所示),均符合题意,
　　 图1　　　　　　　　　　图2
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=,
即.
又b2=c2-a2,所以=3或,
所以e2=4或e2=,所以e=2或e=.
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,有,所以,可得到e=或e=2.
综上,双曲线的离心率为2或.
易错警示　椭圆和双曲线都有焦点在x轴上和y轴上两种情形,当题目条件中没有明确指出或不能判断出焦点的位置时,要分情况讨论,不要默认焦点在某条坐标轴上而出现漏解的情况.这两道题中都容易默认焦点在x轴上,而忽略在y轴上的情况.
7.答案　(1,4]
解析　当直线AB的斜率不存在时,由P(0,1),
及,得A(0,),且),解得t=4.
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(1+9k2)x2+18kx+9-9t=0,则Δ=(18k)2-4(1+9k2)(9-9t)>0,
x1+x2=,
又,所以3x1=-x2,所以,
所以,所以t=4-,
易知k2>0,所以0<<3,所以t=4-∈(1,4),
又点P(0,1)在椭圆+y2=t的内部,所以+121,所以t∈(1,4).
综上,t∈(1,4].
思想方法练
1.A　设椭圆C1的方程为=1(a1>b1>0),半焦距为c1,椭圆C2的方程为=1(a2>b2>0),则a2=b1,b2=c1,
由椭圆的离心率及已知条件列出关于e1和a1,b1及e2和a1,b1的方程,体现了方程思想.
所以,
因为a2>b2,所以b1>c1,所以,所以2,即<2,则0<1-<1,即0<<1,
令t=,把看成关于t的对勾函数,用对勾函数的单调性研究的取值范围,体现了函数思想.
令t=,则,由对勾函数的性质可知y=t+上单调递减,故.故选A.
2.解析　(1)根据题意列出关于a,b,c的方程组,求得a,b,c的值,体现了方程思想.
由题意可得
所以椭圆C的方程为=1.
(2)由题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),P(x1,y1),H(x2,y2),线段PH的中点为M,
联立整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,则Δ>0,x1+x2=,
所以y1+y2=,所以M,
所以线段PH的垂直平分线方程为y-,
令y=0,可得x=,所以B.
①当BF=时,1-,解得k=±1,
故直线l的倾斜角为,
所以直线l的倾斜角的正弦值为sin.
②证明:PH=,
BF=1-,所以PH=4BF.
思想方法　在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,一般的解题思路是联立直线与圆锥曲线的方程,消去x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,利用Δ与0的关系和根与系数的关系求参数的范围,这是很明显的方程思想的体现,另外在求离心率、标准方程或一些几何元素时,也会列出一些方程或不等式,这都体现了方程思想.函数思想主要体现在求范围时通过构造函数,利用函数的性质求解.
3.ABD　对于A,易知抛物线C的焦点为F,
由题意得直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立可得x2-2kx-1=0,则Δ=4k2+4>0,x1+x2=2k,x1x2=-1,则y1y2=,
易知y1>0,y2>0,所以AB=y1+y2+1≥2+1=2,
当且仅当y1=y2=时,等号成立,故AB的最小值为2,A正确;
对于B,设A(xA,yA),
利用抛物线的定义,将AF的长转化为A到准线的距离,即A的纵坐标与的和.
由AF=yA+,可得yA=1,所以=2yA=2,
则|xA|=,所以S△AOF=OF·|xA|=,B正确;
对于C,易知直线AB的斜率存在,
设其方程为y=k'x+b,A(x3,y3),B(x4,y4),
因为直线AB不过原点,所以b≠0,
联立可得x2-2k'x-2b=0,则Δ=4k'2+8b>0,x3x4=-2b,所以y3y4==b2,
因为OA⊥OB,所以=x3x4+y3y4=-2b+b2=0,解得b=2或b=0(舍去),
将线段垂直转化为相应向量的数量积为0,进而将几何问题代数化.
所以直线AB的方程为y=k'x+2,故直线AB过定点(0,2),C错误;
对于D,过点A作AA1⊥l于点A1,过点B作BB1⊥l于点B1,设AF=m,BF=n,所以DE=,
因为AB2=m2+n2-2mncos∠AFB=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn≥(m+n)2-=DE2,当且仅当m=n时,等号成立,
所以AB≥DE,则的最小值为1,D正确.故选ABD.
思想方法　转化与化归思想在解析几何中常见的运用:一方面是抛物线定义的应用,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化,另一方面是将几何图形中一般的点或图形转化为特殊的点或图形,将代数形式转化为几何图形,利用椭圆、双曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当转化,将平面几何条件转化为解析条件等.
4.C　由3x2-10x+3=(3x-1)(x-3)=0,得x=或x=3,即e=或e=3.
根据e的不同取值进行分类讨论.
当e=时,曲线为椭圆,
由于椭圆方程不能确定焦点位置,故分焦点在x轴上和在y轴上两种情况分别求解.
当椭圆的焦点在x轴上时,0当椭圆的焦点在y轴上时,m>4,则,可得m=,满足条件.
当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,故=9,可得m=-32,满足条件.综上,m有3个不同的值.故选C.
5.解析　(1)将C(0,1)代入椭圆方程得b=1,又,故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:直线l与椭圆有两个交点,则直线l的斜率可能不存在,可能为0,也可能存在且不为0,所以需分这三种情况证明∠OMA与∠OMB相等.
当l与x轴重合,即l的斜率为0时,∠OMA=∠OMB=0°.
当l与x轴垂直,即l的斜率不存在时,直线OM为线段AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴既不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=,
由y1=kx1-k,y2=kx2-k,
可得kMA+kMB=,
联立消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,
所以kMA+kMB=0,所以直线MA,MB的倾斜角互补,
所以∠OMA=∠OMB.
综上可得,∠OMA=∠OMB.
思想方法　在圆锥曲线中,分类讨论思想的应用主要体现在以下几方面:一是圆锥曲线的焦点位置不确定时,方程可能也就不确定,求标准方程时需要对焦点位置进行讨论;二是在研究直线与圆锥曲线的位置关系时,直线的斜率可能存在,可能为0,也可能存在且不为0,要注意对其进行讨论等.
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