专题强化练4练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练4　圆锥曲线的离心率
1.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M,直线MF与另一条渐近线交于点N,若M是FN的中点,则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　D.3
2.已知椭圆C:=1(a>b>0),长轴为A1A2,过椭圆上一点M向x轴作垂线,垂足为P,若,则椭圆C的离心率为(　　)
A.
3.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为D,若MD>F1F2-MF1恒成立,则C的离心率的值可能为(　　)
A.
4.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是(　　)
A.e1e2=2　　　　B.=2
C.
5.已知椭圆方程为=1(a>b>0),若在该椭圆中截得的最大矩形的面积的范围是,则椭圆离心率
的范围是(　　)
A.
C.
6.(多选题)已知F1,F2是椭圆=1(a1>b1>0)和双曲线=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则以下结论正确的是　　(　　)
A.=4c2
C.≥1+=1
7.如图所示,椭圆E的中心为坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,左、右焦点分别是F1,F2,延长B1F2交A2B2于点P,若∠B1PA2是钝角,则椭圆E的离心率e的取值范围是　　　　.
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF2⊥x轴,过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线,与直线PF1交于点A,若点A在圆O:x2+y2=a2上,则C的离心率为　　　　.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　圆锥曲线的离心率
1.B　不妨设左焦点为F1,由题意可知∠MOF=∠NOF1,
又因为M是FN的中点,OM⊥FN,所以∠MOF=∠MON,所以3∠MOF=π,所以∠MOF=,
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
所以=tan∠MOF=,因为a2+b2=c2,所以e==2.故选B.
2.B　不妨设A1(-a,0),A2(a,0),M(x0,y0),则=1,P(x0,0),
则A1P=|x0+a|,A2P=|x0-a|,MP=|y0|,
所以,
易知代入椭圆方程可得=1,化简可得a2=3b2,
则离心率e=.
故选B.
3.A　由已知得F1(0,c),F2(0,-c),渐近线方程为y=±x.过点F2作F2E⊥OD,垂足为E(图略).
则EF2==b.
由双曲线的定义可得MF1-MF2=2a,故MF1=MF2+2a,
所以MD+MF1=MD+MF2+2a≥EF2+2a=b+2a,即MD+MF1的最小值为2a+b,当且仅当F2,M,D三点共线时取等号,
因为MD>F1F2-MF1恒成立,所以MD+MF1>F1F2恒成立,即2a+b>2c恒成立,
所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,
所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得14.D　因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,
所以OF1=OP=OF2=c,所以PF1⊥PF2,
记椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,PF1=m,PF2=n,
则由椭圆和双曲线的定义可得m+n=2a1①,m-n=2a2②,
①2+②2可得2(m2+n2)=4(),
由勾股定理知m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,
整理得=2,即=2,所以.
故选D.
5.C　不妨设矩形为ABCD,对角线AC所在直线的方程为y=kx(k>0),
联立=1,解得x2=,
所以矩形ABCD的面积S=4|xy|==2ab,当且仅当k=时取等号,
所以b2≤2ab≤b2,则b≤a≤b,即b2≤a2≤b2,
所以(a2-c2)≤a2≤(a2-c2),
即
故e∈.
故选C.
6.AC　不妨设P在第一象限.
对于A,由椭圆和双曲线的定义得
由余弦定理得P-2·PF1·PF2·cos,
所以(a1+a2)2+(a1-a2)2-2×(a1+a2)×(a1-a2)×=4c2,化简可得=4c2,故A正确;
对于B,因为
又因为=4c2,所以)=4c2,所以,所以=4c2不一定成立,故B错误;
对于D,因为=4c2,所以=1,所以=1,故D错误;
对于C,由D可知=1,所以≥1+2,当且仅当,即时取等号,故C正确.故选AC.
7.答案　
解析　结合题图易知∠B1PA2是向量的夹角.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,a>0,b>0,c>0,
则=(-c,-b),∵∠B1PA2为钝角,∴-ac+b2<0,又b2=a2-c2,∴a2-ac-c2<0,∴e2+e-1>0,解得e<或e>,又08.答案　
解析　由题意知F2(c,0),将x=c代入=1中,
得=1,则y=±,即PF2=,
由PF2⊥x轴可知P在双曲线右支上,则PF1-PF2=2a,故PF1=2a+.
设PQ为∠F1PF2的平分线,由题意知F2A⊥PQ,
则PA=PF2,即PA=,而PF1=PA+AF1=2a+,
故AF1=2a,
由点A在圆O:x2+y2=a2上,得OA=a.
又OF1=c,所以cos∠PF1F2=,
在△AOF1中,OA2=O-2OF1·AF1cos∠PF1F2,
即a2=c2+4a2-2c·2a·,结合b2=c2-a2,
即得3a4-4a2c2+c4=0,即e4-4e2+3=0,
解得e2=3或e2=1(舍),故e=(负值舍去),
即C的离心率为.
解题技法　求椭圆或双曲线的离心率的方法
(1)定义法:由已知条件列出关于a、c的式子或找出a,b,c之间的关系,求得a、c的值,再代入e=求解.
(2)齐次式法:由已知条件,结合a2,b2,c2之间的关系列出关于a、b、c的式子,然后两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的式子求解.
(3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率.
注意:椭圆中e的范围是01.
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