16.3.1 平方差公式 教案 2025-2026人教版数学八年级上册

16.3　乘法公式
16.3.1　平方差公式
1.经历平方差公式的探索及推导过程.
2.掌握平方差公式的结构特征.
3.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：理解并运用平方差公式化简计算.
难点：灵活运用平方差公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x＋1）（x－1）.
（2）（m＋2）（m－2）.
（3）（2m＋1）（2m－1）.
探究点一　平方差公式的几何背景
【例1】在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②.这两个图形的面积关系用等式表示是　　　　　　.
【解析】图①中阴影部分的面积为a2－b2，图②中梯形的面积＝（2a＋2b）（a－b）÷2＝（a＋b）（a－b），两图形的阴影面积相等，据此即可解答.
【解】a2－b2＝（a＋b）（a－b）
【方法总结】平方差公式的几何表示，用梯形的面积表示出图形阴影部分的面积，再用等式表示出来即可.
探究点二　平方差公式
【例2】运用乘法公式计算：
（1）2024×2026.　　（2）（－3a＋2b）（3a＋2b）.
【解析】符合平方差公式的直接用平方差公式计算，不符合的可以先转化为平方差公式的形式，再进行计算.
【解】（1）2024×2026
＝（2025－1）×（2025＋1）
＝20252－12
＝4100625－1
＝4100624.
（2）（－3a＋2b）（3a＋2b）
＝（2b）2－（3a）2
＝4b2－9a2.
【方法总结】运用平方差公式要先观察是不是符合公式的特征，然后再进行计算.
1.下列多项式为平方差的是（　　）
A.a2－b2 B.a2＋b2
C.a2－2b D.2a－b2
2.计算：
（1）a2（a＋b）（a－b）＋a2b2.
（2）（2x－5）（2x＋5）－2x（2x－3）.
16.3.1　平方差公式
1.平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2.
2.文字语言表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
本节课学方差公式的推导及其应用.
　　本节课学方差公式的应用，关键是让学生掌握平方差公式的特征，能够判断哪些式子能用平方差公式，但还有少部分学生不能准确地找出公式中的a，b.当公式中的a，b是式子时，部分学生出现忘记加括号的错误，如：（2a＋b）（2a－b）＝2a2－b2.在以后例题的学习中要强调这个问题，在板书时加括号也可用不同颜色的粉笔加以强调并说明.
答案
课堂训练
1.A
2.解：（1）a2（a＋b）（a－b）＋a2b2
＝a2（a2－b2）＋a2b2
＝a4－a2b2＋a2b2
＝a4.
（2）（2x－5）（2x＋5）－2x（2x－3）
＝（2x）2－52－（4x2－6x）
＝4x2－25－4x2＋6x
＝6x－25.