专题强化练5练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练5　直线与圆锥曲线的位置关系
1.已知椭圆=1(a>b>0)的一条弦所在直线的方程是2x-y+5=0,弦的中点是M,则椭圆的离心率为　(　　)
A.
2.已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为,过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,DE=6,则△ADE的周长是(　　)
A.11　　　　B.12
C.13　　　　D.14
3.(多选题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线为l:y=-1,焦点为F,过点F的直线与C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,则下列结论正确的是(　　)
A.若y1+y2=5,则PQ=7
B.以PF为直径的圆与x轴相交
C.PF+4QF的最小值为9
D.过点M(1,0)且与C仅有一个公共点的直线有3条
4.(多选题)已知双曲线C:x2-=1,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若直线l过点F2,且与双曲线的右支交于M,N两点,则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的离心率为
B.若l的斜率为2,则MN的中点为(8,12)
C.若∠F1MF2=,则△MF1F2的面积为3
D.使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条
5.已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,与C交于A,B两点,线段AB的中点为M,过M作MN垂直于C的准线,垂足为N,则的最小值是　　　.
6.设过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)的直线l与双曲线的一条渐近线垂直相交于点A,则点A的横坐标可用a,c表示为　　　　;若l与另一条渐近线交于点B,且,则C的离心率为　　　　.
7.已知抛物线C:y2=4x,圆M:(x-3)2+y2=r2(r>0),圆M上的点到抛物线上的点的距离的最小值为.
(1)求圆M的方程;
(2)设P为直线x=-上一点,P的纵坐标不等于±.过点P作圆M的两条切线,分别交抛物线C于点A(x1,y1),B(x2,y2)和点Q(x3,y3),R(x4,y4),求证:y1y2y3y4为定值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　直线与圆锥曲线的位置关系
1.B　设直线2x-y+5=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则x1+x2=-,直线AB的斜率k==2.
由,
故椭圆的离心率e=.故选B.
2.C　∵e=,∴a=2c,∴b2=a2-c2=3c2,
∴b=c,∴椭圆C的方程为=1,
即3x2+4y2=12c2(*),∴A(0,c),
不妨设F1为左焦点,则F1(-c,0),F2(c,0).
∴,又DF1⊥AF2,∴,
∴直线DF1的方程为y=(x+c),代入(*)得13x2+8cx-32c2=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),∴x1+x2=-,
DE=·|x1-x2|=.
易知AF1=AF2=F1F2=2c,即△AF1F2是正三角形,
∴直线DF1为线段AF2的垂直平分线,
∴AD=DF2,AE=EF2,
∴△ADE的周长是AD+AE+DE=DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF2+DF1+EF1+EF2=4a=4×2c=8×=13.
3.ACD　由准线方程为y=-1,得p=2,故抛物线方程为x2=4y,焦点F(0,1),作PD⊥l于D,QN⊥l于N,由抛物线定义得PQ=PF+QF=PD+QN=y1+=y1+y2+p=5+2=7,故A正确;
PF=y1+1,所以以PF为直径的圆的半径r=,
线段PF的中点坐标为,线段PF的中点到x轴的距离是=r,所以以PF为直径的圆与x轴相切,故B错误;
易知直线PQ的斜率存在,设其方程为y=kx+1,代入抛物线方程可得x2-4kx-4=0,∴x1x2=-4,
∴y1y2==1,
∴PF+4QF=y1+4y2+5≥2+5=9,当且仅当y1=4y2时等号成立,故C正确;
当直线斜率不存在时,其方程为x=1,与抛物线只有一个公共点,
当直线斜率存在时,设其方程为y=k'(x-1),联立消去y得x2-4k'x+4k'=0,
令Δ=0,即16k'2-16k'=0,解得k'=0或k'=1,所以满足题意的直线共有3条,故D正确.故选ACD.
4.BCD　对于A,由双曲线方程得a=1,b=,故c=2,则e==2,故A错误.
对于B,由双曲线的方程知F1(-2,0),F2(2,0),则直线l的方程为y=2(x-2),
与双曲线方程联立,化简得x2-16x+19=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=16,故=8,
又y1+y2=2x1-4+2x2-4=2(x1+x2)-8=24,
所以=12,故MN的中点为(8,12),故B正确.
对于C,由题及双曲线定义得MF1-MF2=2,在△F1MF2中,由余弦定理可得cos∠F1MF2=,
即,
可得MF1·MF2=12,所以MF1·MF2·sin,故C正确.
对于D,当直线MN⊥x轴时,MF1=NF1,△MNF1为等腰三角形;
根据题意及双曲线的定义得MF1-MF2=2,NF1-NF2=2,所以MF1+NF1=4+MF2+NF2=4+MN,
不妨设M(x3,y3),N(x4,y4)(y3>0,y4<0),
若MF1=MN,则NF1=4,所以可得N,此时△MNF1为等腰三角形;
若NF1=MN,则MF1=4,所以可得M,此时△MNF1为等腰三角形.
综上,使△MNF1为等腰三角形的直线l有3条,故D正确.故选BCD.
5.答案　4
解析　易知准线方程为x=-1,F(1,0).
直线AB的斜率显然不为0,故设直线AB:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程与抛物线方程联立,消去x,得y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,
则yM==2m2+1,故M(2m2+1,2m),则N(-1,2m),
AB==4(m2+1),
NF2=(1+1)2+(0-2m)2=4+4m2=4(m2+1)=AB∈[4,+∞),
所以≥2,
当且仅当,即AB=4(m2+1)=8,即m=±时等号成立.
故的最小值为4.
6.答案　
解析　易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,不妨设过右焦点F(c,0)的直线l与渐近线y=x垂直,可得直线l的方程为y=-(x-c),
联立所以A.
联立
所以B,
因为,所以,化简得3c4-11a2c2+8a4=0,所以3e4-11e2+8=0,则e2=或e2=1(舍去),解得e=(负值舍去).
7.思路分析　(1)圆心M(3,0),任取抛物线上一点N(xN,yN)
MN≥2r=→圆M的方程.
(2)设切线方程为y-y0=k(x+)y1y2y3y4为定值.
解析　(1)由已知得M(3,0),任取抛物线上一点N(xN,yN),
所以MN=≥2,当且仅当xN=1时取等号,
所以MN的最小值为2.
所以圆M上的点到抛物线上的点的距离的最小值为2,所以r=,
所以圆M的方程为(x-3)2+y2=2.
(2)证明:设P(-,y0),由y0≠±知,过P所作圆M的切线的斜率均存在且均不为零.
设切线方程为y-y0=k(x+),即kx-y+(y0+k)=0,则,
整理得(14+6-2)=0,
不妨设直线AB的斜率为k1,直线QR的斜率为k2,
依题意知Δ1>0,所以k1+k2=-,
联立得y2-=0,
依题意知Δ2>0,
则y1y2=.
所以y1y2y3y4=+112
=+112
=+112
=+112=112,故y1y2y3y4为定值112.
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