专题强化练6练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练6　圆锥曲线中的最值、范围问题
1.已知椭圆=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若BF2+AF2的最大值为10,则b=(　　)
A.
C.2
2.已知P是椭圆C:=1上的动点,且与C的四个顶点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M在∠F1PF2的平分线上,且=0,则OM的取值范围是(　　)
A.(0,2)　　　　B.(0,2)
C.(0,3-2)　　　　D.(0,1)
3.记由双曲线C1:=1及C2:=1(a>0,b>0)的四个顶点构成的四边形的面积为S1,由其四个焦点构成的四边形的面积为S2,则当取得最大值时,双曲线C1的离心率为(　　)
A.
4.(多选题)M为抛物线C:x2=4y上的动点,动点N到点(0,2)的距离为NF(F是C的焦点),则下列结论正确的是(　　)
A.MN的最小值为3-
B.MF+NF的最小值为3-
C.MN+MF的最小值为4-
D.NF+MN的最小值为2
5.(多选题)已知F为椭圆C:=1的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,AD⊥x轴,垂足为D(异于原点),连接BD并延长,交椭圆C于另一点E,则(　　)
A.AB⊥AE
B.△ABD面积的最大值为4
C.△ABF周长的最小值为12
D.
6.(多选题)已知椭圆Γ:=1的左、右焦点分别为F1,F2,若P为Γ上一动点,记△PF1F2的内心为I,外心为M,重心为G,且△PF1F2的内切圆I的半径为r,△PF1F2外接圆M的半径为R,则(　　)
A.∠F1PF2的最大值为
B.r的最大值为
C.为定值
D.的最小值为2
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),若点P在双曲线C的渐近线上,且PF1=PF2,则△PF1F2面积的最大值为　　　　,实数a的最小值为　　　　.
8.已知P(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点,则x0+|2x0-y0+10|的最小值为　　　　.
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值;
(3)若线段AB的垂直平分线过点(1,0),求k的取值范围.
10.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,F为C的右焦点,直线l过点F,且与C的右支交于P,Q两点,当l垂直于x轴时,PQ=6.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点F且垂直于l的直线l'与双曲线交于M,N两点,求的取值范围.
11.已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,椭圆M与圆O:x2+y2=r2(r>0)相交于点A,B,C,D.
(1)当四边形ABCD的面积最大时,求圆O的半径;
(2)直线l:x=ty+m与(1)中的圆O相切,并与椭圆M相交于P,Q两点,求△OPQ面积的最大值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　圆锥曲线中的最值、范围问题
1.D　由已知得a=4.∵BF2+AF2+AB=4a=16,∴BF2+AF2=16-AB,
根据椭圆的几何性质可知当AB⊥x轴时,AB有最小值,此时BF2+AF2有最大值,为10,在方程=1中,令x=-c,则y=±,
∴(AB)min=.故选D.
2.D　由已知得a=3,b=2,c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),设直线F1M与PF2相交于点N,∵=0,∴PM⊥F1N,
又PM平分∠F1PF2,∴△F1PN是等腰三角形,
∴PF1=PN,点M为F1N的中点,
故OM=|PF1-PF2|=|PF1-a|=|PF1-3|,
设P(m,n),则|m|∈(0,3),则PF1=|m+9|,PF1∈(2,3)∪(3,4),∴OM∈(0,1),∴OM的取值范围是(0,1).故选D.
3.D　易知四个顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),四个焦点的坐标分别为(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),则S1=×2c×2c=2c2,
所以,当且仅当a=b时,等号成立.故当取得最大值时,a=b,所以c=a,所以双曲线C1的离心率为.
4.BCD　抛物线C的焦点为F(0,1),
设N(x,y),则,
整理得x2+y2-6y+7=0,即x2+(y-3)2=2,∴点N的轨迹是以(0,3)为圆心,为半径的圆,
设P(0,3),M(x1,y1),则y1≥0,,
∴当y1=1时,MP的值最小,为2,∴MN的最小值为2,故A错误;
NF的最小值为2-,MF的最小值为1,∴MF+NF的最小值为3-,故B正确;
MF的长等于点M到直线y=-1的距离,∴MN+MF的最小值为点P到直线y=-1的距离减去,即4-,故C正确;
设Q(0,2),则NF+(NQ+MN)≥MQ,
易得MQ=,当y1=0时,最小,为2,∴NF+MN的最小值为2,故D正确.故选BCD.
5.ABD　对于A,设A(m,n),则B(-m,-n),D(m,0),设E(x1,y1),
由题意可知m≠0,m≠x1,m+x1≠0,
则=1,两式相减得=0,
即,即kBE·kAE=-,
由kAB=,知kBE=kBD=kAB,
则kAB·kAE=-,所以kAB·kAE=-1,即AB⊥AE,故A正确.
对于B,由A知=1,不妨设点A在第一象限内,则m>0,n>0,
所以1=≥2,所以mn≤4,当且仅当m=2,n=2时取等号,故S△ABD=m×2n=mn≤4,故B正确.
对于C,椭圆C的左焦点为F(-2,设右焦点为F',则F'(2,0),根据椭圆的对称性可知BF=AF',
故△ABF的周长为2a+AB=8+AB.
因为AB不能与椭圆的短轴重合,所以AB>2b=4,故△ABF的周长大于8+4,故C错误.
对于D,由C的分析可知AF+BF=AF+AF'=2a=8,
故,当且仅当AF=时取等号,故D正确.
故选ABD.
6.ACD　对于A,在椭圆Γ中,a=2,b=,则c==1,即F1(-1,0),F2(1,0),
由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=4,F1F2=2c=2,
由基本不等式可得PF1·PF2≤=4,当且仅当PF1=PF2=2时,等号成立,所以在△PF1F2中,cos∠F1PF2=
=-1≥,
又0<∠F1PF2<π,所以0<∠F1PF2≤,即∠F1PF2的最大值为,故A正确;
对于B,r(PF1+PF2+F1F2)=3r,若r为△ABC的内切圆半径,则S△ABC=r·C△ABC
当点P为椭圆Γ的短轴端点时,取最大值,为,所以r=,即r的最大值为,故B错误;
对于C,如图,设△PF1F2的内切圆与三边F1F2,PF2,PF1分别相切于点A,B,C,
因为I为△PF1F2的内心,所以PB=PC,F1A=F1C,F2A=F2B,
所以PB=PC==1,
又G为△PF1F2的重心,
所以)·,即为定值,故C正确;
对于D,因为PF1·PF2sin∠F1PF2,
所以r=PF1·PF2sin∠F1PF2,
又=2R,所以R=,
则=
==≥2,所以的最小值为2,故D正确.故选ACD.
7.答案　8
解析　设P(x,y),由PF1=PF2得,
整理得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+y2=32,
所以点P(x,y)在圆(x-6)2+y2=32上,
则P(x,y)到x轴的最大距离为4,
所以△PF1F2面积的最大值为.
又渐近线y=±x与圆(x-6)2+y2=32有交点,
所以≤4,即36b2≤32(a2+b2),整理得a2≥,又a>0,所以a≥,所以实数a的最小值为.
8.答案　12-
解析　如图所示,过点P作直线l:2x-y+10=0的垂线,垂足为M,过点P作准线x=-1的垂线,垂足为G,且PG交y轴于Q,设抛物线的焦点为F,则F(1,0),
易得PM=,动点P到y轴的距离为PQ=|x0|=x0,
∴+x0=PM+PQ=PM+(PG-1)=PM+(PF-1),当且仅当F,P,M三点共线时,PM+PF有最小值,故PM+(PF-1)≥MF-1≥d-1(d为点F到直线l的距离).
又d=+x0≥-1,
∴,
∴x0+|2x0-y0+10|的最小值为12-.
9.解析　(1)由题设知故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l:y=kx+m,则,故4m2=3(1+k2),
联立消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
则Δ=36k2m2-12(m2-1)(1+3k2)>0,即1+3k2>m2,
即1+3k2>(1+k2),即9k2+1>0,显然成立.
所以xA+xB=-,
则AB=·|xA-xB|=,
所以△AOB的面积S=,
当且仅当9k2=,即k2=,即k=±时等号成立,
所以△AOB面积的最大值为.
(3)由(2)知xA+xB=-,则AB的中点坐标为-,设该点为G.
由AB的垂直平分线过点(1,0),得k≠0,且,整理得-1-3k2=2km,
所以=4k2m2,由(2)知1+3k2>m2,
所以<4k2(1+3k2),解得k2>1,即k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
10.解析　(1)依题意得c=2a,当l垂直于x轴时,PQ==6,即b2=3a,即c2-a2=3a,即4a2-a2=3a,所以a=1,b=,因此双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)由(1)知c=2,则F(2,0),设直线PQ的方程为x=my+2,与双曲线的方程联立,
消去x得(3m2-1)y2+12my+9=0.
当m=0时,直线l:x=2,l':y=0,不妨设P在第一象限内,N在右支上,则P(2,3),Q(2,-3),M(-1,0),N(1,0),则=-12.
当m≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),
因为直线PQ与双曲线右支相交,所以y1y2=<0,即m2<,
同理可得y3y4=,
依题意得)·(,
)·(,
y3y4
=
=-,
因为m2<,所以m2+,
则<-6,
所以)<-12.
综上,的取值范围为(-∞,-12].
11.解析　(1)根据题意可知e=,2b=2,
又a2=b2+c2,所以a=2,b=1,故椭圆M的方程为+y2=1,
联立
利用对称性可得四边形ABCD的面积S=4×2×,
又(r2-1)(4-r2)≤,当且仅当r2-1=4-r2,即r2=时取等号,
所以当S最大时,圆O的半径为.
(2)由(1)可知圆O:x2+y2=,
因为直线l与圆O相切,所以点O到直线l的距离d=,可得m2=(t2+1),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立消去x整理得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0,
所以Δ=4m2t2-4(t2+4)(m2-4)>0,得t2-m2+4>0,即t2-(t2+1)+4>0,得0≤t2<1,
由根与系数的关系得y1+y2=-,y1·y2=,
由弦长公式可知PQ=
=,
故S△OPQ=
=2×
=,0≤t2<1,
令t2+4=x,则4≤x<5,
所以S△OPQ=,
由4≤x<5,得,
则当时,S△OPQ最大,为,
即△OPQ面积的最大值为.
解题技法　破解解析几何中的最值与范围问题的模板
1.用定义与性质:利用抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等,椭圆或双曲线上的点到两焦点的距离之间的固定规律,以及圆锥曲线的性质,将所求问题进行合理转化;
2.建立目标关系式:利用已知条件与圆锥曲线的定义、几何性质,建立目标关系式;
3.建立目标函数:求最值(范围)问题时,根据平面几何中的最值的结论(如两点间线段最短等)或基本不等式,建立目标函数,利用函数的知识求解.
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