专题强化练7练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练7　圆锥曲线中的定点、定值问题
1.已知A,B是抛物线y2=4x上异于原点O的两点,则“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的(　　)
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.P为椭圆=1(a>b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则直线PA1与PA2的斜率之积为定值-,将这个结论类比到双曲线,得出的结论为:P为双曲线=1(a>0,b>0)上异于左、右顶点A1,A2的任意一点,则(　　)
A.直线PA1与PA2的斜率之和为定值
B.直线PA1与PA2的斜率之积为定值
C.直线PA1与PA2的斜率之和为定值
D.直线PA1与PA2的斜率之积为定值
3.(多选题)已知点P为双曲线C:-y2=1右支上一点,l1,l2为双曲线C的两条渐近线,过点P分别作PA⊥l1,PB⊥l2,垂足依次为A,B,过点P作PM∥l2交l1于点M,过点P作PN∥l1交l2于点N,O为坐标原点,则下列结论正确的是(　　)
A.PA·PB=　　　　B.OP≥AB C.3S△PAB=2S△PMN　　　　D.MN≥1
4.(多选题)已知P是椭圆C:=1(a>b>0)上的动点,离心率为e,椭圆的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,下列结论正确的是(　　)
A.若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2=-
B.若椭圆C上存在点M使=0,则e∈
C.当△F1PF2的面积最大时,∠F1PF2=120°,则e=
D.根据光学现象知道:从F1发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过F2,现有一束光线从F1发出并经椭圆反射,当光线第n次到达F2时,光线通过的总路程为4na
5.已知双曲线C:x2-y2=1,过点B(0,2)的动直线与C交于两点P,Q,若曲线C上存在某定点A使得kPA+kQA为定值λ,则λ2的值为　　　　.
6.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:+y2=1上的两个动点,且x1x2+4y1y2=0,O为坐标原点,则OA2+OB2=　　　　.
7.已知A,B分别是椭圆E:=1的左、右顶点,C,D是椭圆上异于A,B的两点,若直线AC,BD的斜率k1,k2满足k1=2k2,则直线CD过定点,且定点坐标为　　　　.
8.已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.
(1)若弦AB的中点为(2,2),求直线l的方程;
(2)若y1y2=-16,求证:直线l过定点.
9.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E的焦点为F1(-,0),且满足　　　　,椭圆E的上、下顶点分别为A,B,右顶点为D,直线l过点D且垂直于x轴.现有如下两个条件:
条件①:椭圆过点,条件②:椭圆的离心率为.
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上,并完成解答.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点Q在椭圆E上,且在第一象限内,直线AQ与l交于点N,直线BQ与x轴交于点M.则OM+2DN是不是定值 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
10.已知双曲线C:x2-y2=8的左焦点为F,过点F作直线l交C的左支于A,B两点.
(1)若,求l的方程;
(2)若点P(-4,2),直线AP交直线x=-2于点Q.设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,求证:k1-k2为定值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练7　圆锥曲线中的定点、定值问题
1.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+b(b≠0),
联立可得y2-4my-4b=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4b,
则+y1y2=b2-4b=b(b-4)(b≠0).
若=0,则b=4,则直线AB的方程为x=my+4,直线AB恒过定点(4,0);
若直线AB恒过定点(4,0),则b=4,于是=0.
所以“=0”是“直线AB恒过定点(4,0)”的充要条件.故选B.
2.D　设P(x0,y0),则=1,即·(-a2).
∵A1(-a,0),A2(a,0),
∴,
∴.故选D.
方法技巧　求定值问题的常见方法
1.直接推理计算,在计算过程中消去变量(参数),得到定值.
2.从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
3.ABD　对于A,设点P(m,n),则m2-3n2=3.双曲线C的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,不妨设l1:x-y=0.
所以PA·PB=,A中结论正确.
对于B,由题意可知PA⊥OA,PB⊥OB,则O,A,P,B四点共圆,且OP为该圆的一条直径,AB为该圆的一条弦,故OP≥AB,B中结论正确.
对于C,两条渐近线的斜率分别为-,则其夹角为,结合B知∠APB=,
故S△PAB=PA·PBsin∠APB=,
因为PM∥l2,所以∠PMA=,因为PA⊥OA,所以PM=,
同理PN=,
所以S△PMN=PM·PNsin∠MPN=·sin,则3S△PAB≠2S△PMN,C中结论错误.
对于D,由C知PM·PN==1,且∠MPN=,
在△MPN中,由余弦定理可得MN2=PM2+PN2-2PM·PN·cos∠MPN=PM2+PN2-1≥2PM·PN-1=1,当且仅当PM=PN=1时等号成立,D中结论正确.故选ABD.
4.AC　对于A,由已知得A(-a,0),B(a,0),设P(x0,y0),则),
则k1k2=,A正确;
对于B,设M'为C的短轴端点,则由已知得cos∠F1M'F2≤0,易得M'F1=M'F2=a,
则cos∠F1M'F2==1-2e2≤0,所以e2≥,又0对于C,设坐标原点为O,易知当P是椭圆的上顶点或下顶点时,△F1PF2的面积最大,此时∠F1PF2=120°,则∠OPF1=∠OPF2=60°,则e==sin 60°=,C正确;
对于D,当n=1时,光线通过的总路程为2a,D错误.故选AC.
5.答案　
解析　设A(m,n),lPQ:y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则m2-n2=1,
由可得(1-k2)x2-4kx-5=0,则x1+x2=,x1·x2=,
所以kPA+kQA=
=
=,
要使kPA+kQA为定值λ,则
可得故λ2=.
6.答案　5
解析　由已知得
①×②得),
由x1x2+4y1y2=0得x1x2=-4y1y2,则,
则16(1+,则=1.
①+②得)=4,
所以OA2+OB2==1+4=5.
7.答案　
解析　易知A(-2,0),B(2,0),则直线AC的方程为y=k1(x+2),直线BD的方程为y=k2(x-2).
设C(xC,yC),D(xD,yD),
联立消去y得(3+4-12)=0,
则xA+xC=,
∵k1=2k2,∴xC=,∴C,
联立消去y得(3+4-12)=0,
则xB+xD=,∴xD=,∴D,
故直线CD的方程为9k2x+(8-3)y+6k2=0,即8y+(9x+6)k2-3y=0,
当y=0,9x+6=0,即x=-,y=0时方程恒成立,故直线过定点.
方法总结　求解直线过定点问题的常用方法
(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;
(2)“一般推理,特殊求解”:设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;
(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或截距式方程y=kx+b来证明.
8.解析　(1)由于点(2,2)在抛物线内,且不在x轴上,
所以直线l的斜率存在,即x1≠x2,由
可得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
即=1,
则直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.
经检验直线l存在,且方程为y=x.
(2)证明:若直线l的斜率存在,设为k,
当k=0时,直线l与抛物线的交点仅有一个,不满足题意,故k≠0,设l的方程为y=kx+b,k≠0,与抛物线的方程联立,消去x可得y2-y+b=0,
可得y1y2=,即-16=,可得b=-4k,故直线l的方程为y=k(x-4),则直线l过定点(4,0).
若直线l的斜率不存在,可得x1=x2,
代入y2=4x,可得y1=2(不妨设A在x轴上方),则y1y2=-4x1=-16,即x1=4,
所以直线l的方程为x=4,也过定点(4,0).
综上,直线l过定点(4,0).
9.解析　(1)选择①,椭圆的长轴长2a==4,
则a=2,短半轴长b==1,所以椭圆E的方程为+y2=1.
选择②,由c=,得a=2,b==1,所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由(1)知A(0,1),B(0,-1),D(2,0),设Q(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,即=4.
直线l的方程为x=2,直线AQ的方程为y=x+1,直线BQ的方程为y=x-1,
于是得N,由题图知点N在x轴上方,因此DN=,
则OM+2DN==2,
所以OM+2DN为定值2.
10.解析　(1)由题意得,a2=b2=8,故c2=16,则双曲线C的左焦点为F(-4,0).
易知直线l的斜率存在.
当直线l的斜率为0时,方程为y=0,与双曲线C交在两支上,舍去.
当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=my-4,m≠0,
易求得双曲线的渐近线方程为y=±x,
故直线l的斜率>1或<-1,解得0<|m|<1,
联立消去x,得(m2-1)y2-8my+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=.
因为,所以y1=-3y2,
即y1+y2=-2y2=,故y2=-,
所以y1y2=-3,所以m2=,解得m=±.
故直线l的方程为y=±(x+4).
(2)证明:直线AP:y-2=k1(x+4),得Q(-2,2+2k1),
结合(1)可得k2=,
又k1=kPA=,
所以k1-k2=
=
=,
因为k1=,所以k1my1=y1-2,
又y1+y2=my1y2,
所以k1-k2==-2,为定值.
12