综合拔高练练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

综合拔高练
高考真题练
考点1　椭圆的定义、标准方程及几何性质
1.(2023新课标Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　)
A.
2.(2022全国甲文,11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为(　　)
A.=1　　　　
C.+y2=1
3.(2022全国甲理,10)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　)
A.
4.(2023全国甲理,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　)
A.
考点2　双曲线的定义、标准方程及几何性质
5.(2023全国甲理,8)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(　　)
A.
6.(2023天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为(　　)
A.=1
C.=1
7.(多选题)(2022全国乙理,11)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=,则C的离心率为(　　)
A.
8.(2022全国甲文,15)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　.
9.(2023新课标Ⅰ,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,,则C的离心率为　　　　.
考点3　抛物线的定义、标准方程及几何性质
10.(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　)
A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4
11.(多选题)(2022新高考Ⅱ,10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则　(　　)
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
12.(2023全国乙理,13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　　　　.
考点4　直线与圆锥曲线的位置关系及综合问题
13.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　)
A.
14.(2023全国乙理,11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　)
A.(1,1)　　　　B.(-1,2) C.(1,3)　　　　D.(-1,-4)
15.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)
A.p=2　　　　B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切　　　　D.△OMN为等腰三角形
16.(2022新高考Ⅱ,16)已知直线l与椭圆=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为　　　　　　　.
17.(2023天津,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且|A1F|=3,|A2F|=1.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设点P是椭圆C上一动点(不与顶点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程.
18.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
19.(2023全国甲理,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4.
(1)求p;
(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且=0,求△MFN面积的最小值.
20.(2022新高考Ⅱ,21)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±x.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①M在AB上;②PQ∥AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
高考模拟练
应用实践
1.圆锥曲线具有统一定义,即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线,当01时,轨迹为双曲线.若方程m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲线是双曲线,则m的取值范围为(　　)
A.(0,8)　　　　B.(8,+∞)
C.(0,5)　　　　D.(5,+∞)
2.在抛物线y2=8x上有三点A,B,C,F为其焦点,且F为△ABC的重心,则AF+BF+CF=(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.12
3.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为(　　)
A.
4.已知点F1,F2分别为椭圆C:)的左、右焦点,点M在直线l:x=-a上运动,若∠F1MF2的最大值为60°,则椭圆C的标准方程是(　　)
A.=1
C.=1
5.(多选题)抛物线有如下光学性质:平行或重合于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后会经过焦点,反之,由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行或重合于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一束平行于x轴的光线沿直线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射,最后沿直线l2射出,则下列结论中正确的是(　　)
A.kPQ=-　　　　B.x1x2=1
C.PQ=　　　　D.l1与l2之间的距离为4
6.(多选题)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,△PF1F2的面积为6,则(　　)
A.点P的横坐标为 B.△PF1F2的周长为16
C.△PF1F2的内切圆的半径为 D.△PF1F2的外接圆的半径为
7.(多选题)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P为双曲线右支上的一点,过点P的直线l与右支交于另一点Q,且与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,则(　　)
A.点P到两条渐近线的距离之积为定值
B.为定值
C.PF1·PF2D.PA=BQ
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点P(4,6),且离心率为2.
(1)求C的方程;
(2)过点P作y轴的垂线,交直线l:x=1于点M,交y轴于点N.设点A,B为双曲线C上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=2,求.
9.已知椭圆C1:=1和抛物线C2:y2=-2px(p>0),点F为C1的右焦点,点H为C2的焦点.
(1)过点F作C2的切线,切点为S,若SH=,求抛物线C2的方程;
(2)过点H的直线l交C2于P,Q两点,点M满足(O为坐标原点),且点M在线段x=1上,记△PQM的面积为S1,△PFH的面积为S2,求的取值范围.
迁移创新
10.某高校学生决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏,如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过O的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫(设为Q点)在直线l上运动,机器鼠(设为P点)的位置始终满足:A,B两点同时发出信号,机器鼠接收到A点的信号比B点的信号晚秒(注:信号每秒传播v0米).在t0时刻,测得机器鼠与点O的距离为4米.
(1)以O为原点,直线AB为x轴建立如图所示的直角坐标系,求t0时刻机器鼠所在位置的坐标;
(2)游戏设定:机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域内运动,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,那么它是否有“被抓”的风险
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
高考真题练
1.A　由e2=e1得,因此,结合a>1,得a=.故选A.
2.B　由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),
所以=(a,-b),
所以=-a2+b2=-1①,
因为椭圆C的离心率为,所以,即1-②,联立①②可得a2=9,b2=8,故椭圆C的方程为=1.
故选B.
考场速解　由椭圆的离心率e=,得e2=,把各选项中的a2,b2的值分别代入,可排除C,D选项,再把A,B选项中椭圆的A1,A2,B的坐标求出来,计算即可选出正确选项.
3.A　设P(x0,y0),x0≠±a,则Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=,得,
因为P(x0,y0)在C上,所以=1,得),所以,故C的离心率e=.
故选A.
4.B　解法一:由椭圆方程知a=3,b=,则c=.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,即m+n=6,所以2mn=36-(m2+n2)①.
在△F1PF2中,=cos∠F1PF2,即②.将①代入②得m2+n2=21.
因为OP为边F1F2上的中线,所以|m2+n2+mn=,
所以|OP|=.
解法二:设∠F1PF2=2θ,0<θ<,所以=b2tan θ根据椭圆焦点三角形的结论知,若△PF1F2为椭圆的焦点三角形,则=
b2tan,
由cos∠F1PF2=cos 2θ=,解得tan θ=,
由椭圆方程可知a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,
所以,所以=3,则,
因此OP=.
故选B.
解后反思　本题解法一是常规解法,解决椭圆或双曲线的焦点三角形问题时,常设出两焦半径的长度,结合圆锥曲线定义和题中给出的其他条件得到方程组,从而得到两焦半径之间的数量关系.针对运算目标进行整体运算是减少运算量的常用手段,体现了更强的运算目的性.圆锥曲线的定义常与解三角形结合,解题时,注意向量法在解三角形中的应用;解法二运用了椭圆中的二级结论,记住常用的二级结论有时对解选择题或填空题有很大帮助.
5.D　∵e==4.
由题意知与圆相交的渐近线方程为y=x,即y=2x,即2x-y=0.
由已知得圆心坐标为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d=,
∴|AB|=2,故选D.
6.D　不妨设P位于第一象限,O为坐标原点.如图,
易得F2(c,0),双曲线的过点P的渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,
所以|PF2|==b,所以b=2.
设∠POF2=θ,则tan θ=,
所以|OP|=a,
因为c·yP,所以yP=,
所以tan θ=,所以xP=,所以P,
因为F1(-c,0),所以,
所以(a2+2)=4a,所以a=,所以双曲线的方程为=1.故选D.
7.AC　依题意可设双曲线的焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2.
①如图1,当两个交点M,N分别在双曲线两支上时,设切点为P,连接OP,则OP⊥MN,
易知OP=a,OF1=c,PF1=b,
过点F2作F2Q⊥MN,垂足为Q,
则F2Q∥OP,由三角形相似易知F2Q=2a,QF1=2b,
∵cos∠F1NF2=,∴sin∠F1NF2=,
∴NF2=,
∴NF1-NF2=QF1+NQ-NF2=2b+=2a,
即3a=2b,∴e=.
②如图2,当两个交点M,N均在左支上时,同①易得NF2=,F1Q=2b,
∴NF1=+2b=2a,即a=2b,
∴e=.故选AC.
图1图2
考场速解　本题还可以根据选项设出双曲线的标准方程,再结合题意判断cos∠F1NF2=是否成立,如A选项中由e=-y2=1.
8.答案　2(答案不唯一,只要1解析　易知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
由直线y=2x与双曲线C无公共点,可得≤2,即≤4,所以e=,
又因为e>1,所以19.答案　
解析　解法一:因为,所以A,B,F2三点共线,且F2在A,B之间,设|AF2|=2x,则|BF2|=3x,|BF1|=3x,|AB|=5x,
又因为,所以|AF1|==4x,
由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=4x-2x,则a=x,
因为∠BF2F1+∠AF2F1=π,|F1F2|=2c,所以结合余弦定理得cos∠BF2F1+cos∠AF2F1==0,解得c=a,所以离心率e=.
解法二:依题意得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),
因为,所以(x0-c,y0)=-(-c,t),则x0=t,即A.
又,所以·(c,t)=t2=0,则t2=4c2,
又点A在C上,所以=1,整理得=1,即=1,
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),
整理得25c4-50a2c2+9a4=0,则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,
又e>1,所以e=.
10.D　易知抛物线C的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,
∵点M在C上,∴M到准线x=-2的距离为|MF|,
又M到直线x=-3的距离为5,∴|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.
11.ACD　由题意知F.设FM的中点为N,则xA=xN=p,又点A在抛物线上,
所以=2pxA=2p·p2(yA>0),
所以yA=p,故kAB=,故A正确;
易知,
所以,所以|BF|=p,
易知|BF|=xB+,所以xB=,
又点B在抛物线C上,所以=2pxB=2p·p2,
所以|OB|2=p2≠=|OF|2,故B错误;
|AB|=xA+xB+p=p>2p=4|OF|,故C正确;
易得A,
所以p2<0,又O,A,B三点不共线,
所以∠AOB为钝角,
p2<0,
又M,A,B三点不共线,所以∠AMB为钝角,所以∠OAM+∠OBM
=360°-∠AMB-∠AOB<180°,故D正确.故选ACD.
12.答案　
解析　因为点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,
所以5=2p,即p=,
所以抛物线C:y2=5x的准线方程为x=-,故A到C的准线的距离为1-.
13.C　易知F1(-,0),
联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,
则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2设F1到直线AB的距离为d1,F2到直线AB的距离为d2,
则d1=,
=2,解得m=-或m=-3(舍去),故选C.
14.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则kAB=,AB的中点坐标为,
设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,
则k=,
∵A,B在双曲线上,∴两式作差整理得kABk=9,
对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-=1联立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-288<0,错误;
对于B,可得k=-2,则kAB=-,与x2-=1联立消去y,得45x2+2×45x+61=0,Δ=-2 880<0,错误;
对于C,可得k=3,则kAB=3,∴lAB:y=3x,与双曲线的渐近线重合,故lAB与双曲线无交点,错误,故排除A、B、C,故选D.
解后反思　直线与双曲线的位置关系过于复杂,因此高考对直线与双曲线位置关系的考查往往限于比较特殊的情况.本题属于中点弦问题,在解决本题的过程中需要运用中点坐标公式、斜率公式等相关知识对条件和设问进行分析,运用点差法得到斜率之间的关系,运用判别式法验证直线与双曲线的位置关系.
15.AC　∵直线y=-(x-1)过焦点=1,
∴p=2,故A正确.
抛物线方程为y2=4x.
联立消去y,整理得3x2-10x+3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,
∴|MN|=|x1-x2|
=2,故B错误.
由对称性,不妨设M在x轴上方,如图,取MN的中点D,过M,N,D分别作l的垂线,垂足分别为M',N',D',则|DD'|=|MN|,
∴以MN为直径的圆和l相切,故C正确.
由B、C选项分析可知M,
∴|OM|=,显然|OM|≠|ON|≠|MN|,
∴△OMN不是等腰三角形,故D错误.故选AC.
素养评价　本题以抛物线为载体,求解与焦点弦有关的几何性质,体现了综合性.通过“利用已知条件求方程”考查观察、分析问题的能力;通过“利用抛物线及直线方程求焦点弦的长”考查运算求解能力;通过“判断准线与以焦点弦为直径的圆的位置关系”考查数形结合思想;通过“从边或角的角度判断三角形形状”考查直观想象的能力,是教材习题的具体体现和拓展.
16.答案　x+=0
解析　解法一:取AB的中点E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则①-②,整理可得,即kOE·kAB=-,其中O为坐标原点,
根据题意,设直线AB:y=kx+m,k<0,m>0,
令x=0,得y=m,令y=0,得x=-,
所以M,N(0,m),所以E,
所以,所以k=-,
因为|MN|=2,所以|MN|2=+m2=2m2+m2=12,所以m=2,
所以直线AB的方程为y=-x+2,
即l的方程为x+=0.
解法二:取AB的中点E,则E也为MN的中点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+m,k<0,m>0,则M,
因为|MN|=2,所以|OE|=,其中O为坐标原点.
联立消去y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0,
Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x1+x2=-,
所以xE=-,又E,所以-.
因为k<0,m>0,所以k=-,
又|OE|=,所以m=2.
故直线AB:y=-x+2,即x+=0.
17.解析　(1)设椭圆的半焦距为c(c>0).
依题可得
又a2=b2+c2,所以b=,
所以椭圆C的方程为=1,离心率e=.
(2)依题意可得过点A2(2,0)的直线A2P不平行于坐标轴,设其方程为x=my+2(m≠0),
联立直线A2P与椭圆C的方程得
消去x,可得(3m2+4)y2+12my=0,
设P(xP,yP),又A2(2,0),
所以0+yP=-,则yP=-,
设Q(0,yQ),
因为直线A2P交y轴于点Q,所以yQ=-,
.
又,所以2,
解得m=±,
所以直线A2P的方程为x=±y+2,
即3x+y-6=0或3x-y-6=0.
18.解析　(1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c,
由题意知c=2,则a=2,
所以b2=c2-a2=(2)2-22=16,
所以双曲线C的方程为=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1<-2,x2<-2,y1>0>y2,P(x,y),
由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,
由消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,
易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,
则y1+y2=,故y1+y2=y1y2.
易知A1(-2,0),A2(2,0),
则直线MA1:,直线NA2:,
联立消去y得y2,即x=-2=-1,即点P在定直线x=-1上.
19.解析　(1)联立消去x得y2-4py+2p=0.
由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,
∴|AB|=,
∴p=2或p=-(舍).
(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立消去x得y2-4my-4n=0,
Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,
y1+y2=4m,y1y2=-4n,
∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2,
=(x2-1,y2),
∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,
①②联立可得+n>0,解得n≠1,
又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-2或n≥3+2.
S△MFN=(x1+1)(x2+1)
=(2n2-4n+2)=(n-1)2.
又∵n≤3-2或n≥3+2,
∴当n=3-2时,(S△MFN)min=(2-2.
20.解析　(1)由题意可得=2,故a=1,b=,所以C的方程为x2-=1.
(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0.
设直线PQ的方程为y=kx+t(k≠0),将y=kx+t代入C的方程得(3-k2)x2-2ktx-t2-3=0,
则x1+x2=,又因为x1>x2>0,
所以3-k2<0,所以x1-x2=.
由题意得
(**)-(*),得y1-y2=2(x1+x2),
而y1-y2=(kx1+t)-(kx2+t)=k(x1-x2),
故2(x1+x2),
解得xM=.
(*)+(**),得2yM-(y1+y2)=(x1-x2),
而y1+y2=(kx1+t)+(kx2+t)=k(x1+x2)+2t,
故2yM=k(x1+x2)+(x1-x2)+2t,
解得yM=xM.
因此,点M的轨迹为直线y=x,其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②作为条件:由PQ∥AB得直线AB的方程为y=k(x-2),
不妨令点A在直线y=x上,
则解得xA=.
同理可得xB=.
此时xA+xB=.
而点M的坐标满足
解得xM=,
故M为AB的中点,则|MA|=|MB|.
若选择①③作为条件:显然直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=m(x-2)(m≠0),不妨令点A在直线y=x上,
则解得xA=.
同理可得xB=.
此时xM=.
又点M在直线y=x上,所以,
解得k=m.因此PQ∥AB.
若选择②③作为条件:由PQ∥AB得直线AB的方程为y=k(x-2),
不妨令点A在直线y=x上,
则解得xA=.
同理可得xB=.
设AB的中点为C,则xC=.由于|MA|=|MB|,故点M在线段AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-(x-xC)上.
将该直线方程与y=x联立,解得xM==xC,
yM==yC,即M恰为AB的中点.故点M在直线AB上.
高考模拟练
1.C　由m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲线为双曲线可知m>0,
等式两边同时开方得=|2x-y+3|,整理可得,
即动点(x,y)到定点(0,-1)的距离与到定直线2x-y+3=0的距离的比值为常数,
由圆锥曲线的统一定义知,方程表示双曲线时,>1,即,故02.D　∵F为△ABC的重心,
∴),
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),易求得F(2,0),
∴=(x3-x1,y3-y1).
∵(x2-x1+x3-x1),
∴x1+x2+x3=6.∴AF+BF+CF=x1+x2+x3+6=12.故选D.
3.A　设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,F1F2=2c,PF1>PF2.
根据椭圆及双曲线的定义得
所以PF1=a1+a2,PF2=a1-a2,
在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos,
化简得=4c2,即=4,
又e1>0,e2>0,故4=≥2,当且仅当,即e1=时,等号成立,
∴,则e1e2≥,
所以椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.故选A.
4.B　由题意知F1(-c,0),F2(c,0),
设直线MF1,MF2的倾斜角分别为α,β,
由椭圆的对称性,不妨设M(-a,t)(t>0),
则tan α=,tan β=,且∠F1MF2=β-α,
所以tan∠F1MF2=tan(β-α)=,当且仅当t=,即t=时取等号,
又tan∠F1MF2的最大值为=tan 60°=,
所以c=3,从而a2=c2+3=12,
故椭圆C的标准方程为=1.故选B.
5.BC　由抛物线的光学性质可知,直线PQ过焦点F(1,0),设直线PQ:x=my+1,
将x=my+1代入y2=4x得y2-4my-4=0,则y1y2=-4,
所以(y1y2)2=16x1x2=16,所以x1x2=1,故B正确;
因为点P与M均在直线l1上,且l1∥x轴,所以y1=1,则x1=,则点P的坐标为,
由y1y2=-4得y2=-4,故x2==4,
则点Q的坐标为(4,-4),则kPQ=,故A错误;
由抛物线的定义可知PQ=x1+x2+p=,故C正确;
∵l1与l2平行,∴l1与l2之间的距离d=|y1-y2|=5,故D错误.
故选BC.
6.BCD　对于A,F1F2· |yP|=×6×|yP|=6,解得|yP|=2,又=1,所以,所以xP=±,故A错误;
对于B,△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=2a+2c=10+6=16,故B正确;
对于C,设△PF1F2的内切圆的半径为r,则×(PF1+PF2+F1F2)×r,
又PF1+PF2+F1F2=16,=6,所以r=,故C正确;
对于D,在△PF1F2中,由PF1·PF2·sin∠F1PF2=6,得PF1·PF2=,
又F1-2PF1·PF2cos∠F1PF2=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2-2PF1·PF2cos∠F1PF2,
故4c2=4a2-2×,整理得=4a2-4c2,即=64,即3+3cos∠F1PF2=8sin∠F1PF2,
又sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1,所以sin∠F1PF2=,
设△PF1F2的外接圆的半径为R,
由正弦定理知=2R,即=2R,解得R=,故D正确.故选BCD.
7.ACD　由双曲线方程知其渐近线方程为x±2y=0,
设P(xP,yP),P到渐近线x-2y=0的距离分别为d1,d2,
则d1·d2=,故A正确.
易得|·||·cos∠AOB,
因为P为双曲线右支上一点,位置不确定,所以的长度也不确定,所以不是定值,故B错误.
易知F1(-,0),
所以PF1=,
所以P·P]·[(xP-xP)·(,
又因为=1,所以P·P+4①.
又因为PO4=(+1②,
所以①-②得P·P+3,
又因为xP≥,所以P·P+3<0,
所以PF1·PF2设A(xA,yA),B(xB,yB),Q(xQ,yQ),
不妨设A在渐近线x-2y=0上.
当直线l的斜率不存在时,设直线方程为x=n(n>),由题意知PA=BQ.
当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,与-y2=1联立可得(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0,
所以xP+xQ=,
联立可得xA=,
联立可得xB=,
所以xA+xB=.
所以xP+xQ=xA+xB,所以线段PQ与线段AB的中点相同,所以PA=BQ,故D正确.故选ACD.
8.解析　(1)由题意得e==2,即c=2a,则a2+b2=c2=4a2,即b2=3a2,则双曲线方程为=1,
∵双曲线经过点P(4,6),∴=1,得a2=4,
∴C的方程为=1.
(2)由题意得M(1,6),N(0,6),设A(x1,y1),B(x2,y2).
解法—:若直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+m,
联立消去y可得(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,则3-k2≠0,Δ=12(m2-4k2+12)>0,
且x1+x2=,
则k1+k2=
==2,
整理可得(m-4k+2)(x1+x2)+(2k-2)x1x2-8m+16=0,
即(m-4k+2)·+(2k-2)·-8m+16=0,
化简得m2-12m-8k2-12k+2km+36=0,
即(m-2k-6)(m+4k-6)=0,
易知直线AB不过点P(4,6),所以m+4k-6≠0,所以m-2k-6=0,
所以直线AB:y=k(x+2)+6,恒过定点(-2,6),记为Q.
若直线AB的斜率不存在,则x1=x2,y1+y2=0.
则k1+k2==2,
解得x1=x2=-2,所以直线AB的方程为x=-2,也过点Q(-2,6).
故直线AB恒过定点Q(-2,6).
设点M到直线AB的距离为d1,点N到直线AB的距离为d2,故.
解法二:易知直线AB不过点P(4,6),
所以可设其方程为m(x-4)+n(y-6)=1.
由=1可得=1,
即(y-6)2-3(x-4)2+[12(y-6)-24(x-4)]=0,
即(y-6)2-3(x-4)2+[12(y-6)-24(x-4)]·[m(x-4)+n(y-6)]=0,
得(12n+1)(y-6)2+(12m-24n)(x-4)(y-6)-(24m+3)(x-4)2=0,
左、右两边同时除以(x-4)2,得(12n+1)+(12m-24n)·-(24m+3)=0,
此方程可看作关于变量的一元二次方程,
则Δ=(12m-24n)2+4(12n+1)(24m+3)>0,
k1+k2==2,解得m=-.
所以直线AB的方程为-·(x-4)+n(y-6)=1,恒过定点(-2,6),记为Q,
设点M到直线AB的距离为d1,点N到直线AB的距离为d2,故.
9.解析　(1)由题意可知F(1,0),H.
易知过点F的C2的切线的斜率存在且不为0,故设切线方程为y=k(x-1),
联立切线方程与抛物线方程,消去y可得k2x2-(2k2-2p)x+k2=0.(*)
令Δ=(2k2-2p)2-4k4=-8k2p+4p2=0,所以p=2k2,
则方程(*)可化为k2x2+2k2x+k2=0,即x2+2x+1=0,所以x=-1,
所以S(-1,±),故SH=,
所以p=,所以抛物线C2的方程为y2=-x.
(2)设直线PQ的方程为x=-,
联立直线PQ的方程与抛物线的方程,消去x可得y2+2pty-p2=0,
故yP+yQ=-2pt,yPyQ=-p2,从而yP=.
因为,所以xM=-y0,故=4p.
因为-,p>0,所以0连接OP,则S1=S△POQ+S△POM=S△POQ=p·p2·,
S2=FH·|yP|=(p+2)·,
所以.
故.
10.解析　(1)由题意得A(-5,0),B(5,0),
∵机器鼠接收到A点的信号比B点的信号晚秒,
∴机器鼠到A点的距离比到B点的距离多v0×=8米,则PA-PB=8∴P点轨迹是以A,B为焦点,实轴长为8的双曲线的右支,
∴P点轨迹方程为=1(x≥4),
∵在t0时刻,测得机器鼠与点O的距离为4米,即OP=4,∴P(4,0),
即t0时刻机器鼠所在位置的坐标为(4,0).
(2)由题意得直线l:y=x,
与直线l平行且距离不超过1.5米的直线的方程设为y=x+m,
由得7x2+32mx+16m2+144=0,
则Δ=1 024m2-28(16m2+144)=576m2-4 032,
∵|m|≤,∴Δ<0,
∴直线y=x+m=1(x≥4)无交点,故机器鼠没有“被抓”的风险.
素养评析　本题第(1)问比较基础,要求学生用数学知识解决实际生活情境中的问题,即通过对“猫捉老鼠”游戏的描述构建双曲线模型,用双曲线的知识求出问题的解,考查数学抽象的核心素养;第(2)问要求学生在关联的情境中抽象出数学问题,即将“机器鼠”是否被抓抽象成直线与双曲线的位置关系的数学问题,这是解题的关键步骤,考查数学抽象的核心素养.
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