16.3.2 第1课时 完全平方公式 教案 2025-2026人教版数学八年级上册

16.3.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程.
2.灵活运用完全平方公式进行计算.
3.培养学生观察、类比、发现、推理的能力.
重点：完全平方公式的推导及利用完全平方公式进行简单计算.
难点：完全平方公式的应用.
一块边长为am的正方形试验田，因需要将其边长增加bm，形成四块试验田，以种植不同的新品种（如图）.用不同的形式表示试验田的总面积，并进行比较.
直接求：总面积＝（a＋b）（a＋b）.
间接求：总面积＝a2＋ab＋ab＋b2.
你发现了什么？
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.
探究点一　完全平方公式的几何意义
【例1】有3张边长为a的正方形纸片，4张宽、长分别为a，b（b＞a）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片.从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取1张，把取出的这些纸片拼成1个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（　　）
A.a＋b B.2a＋b
C.3a＋b D.a＋2b
【解析】根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张宽、长分别为a，b（b＞a）的长方形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2＋4ab＋4b2＝（a＋2b）2，故拼成的正方形的边长最长可以为a＋2b.
【答案】D
探究点二　完全平方公式
【例2】如果x2＋ax＋121是一个完全平方式，那么a的值是（　　）
A.11　　　　　　　　B.±11
C.±22 D.22
【解析】∵x2＋ax＋121是一个完全平方式，
∴ax＝±2·x·11，解得a＝±22.
【答案】C
【方法总结】注意完全平方式有两个：a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2.根据题意得出ax＝±2·x·11.
【例3】计算：
（1）（3a＋b）2.　
（2）.
（3）（－3m－2n）2.
（4）982.
【解析】根据完全平方公式进行计算即可.
【解】（1）（3a＋b）2
＝（3a）2＋2×3a·b＋b2
＝9a2＋6ab＋b2.
（2）
＝
＝（2x）2－2×2x·＋
＝4x2－2x＋.
（3）（－3m－2n）2
＝（3m＋2n）2
＝（3m）2＋2×3m·2n＋（2n）2
＝9m2＋12mn＋4n2.
（4）982
＝（100－2）2
＝10000－400＋4
＝9604.
【方法总结】利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把已知数的底数拆成两数和或差的形式.
1.下列各式计算正确的是（　　）
A.（a－b）2＝a2－b2
B.（a＋b）2＝a2＋b2
C.（2x－y）2＝4x2－2xy＋y2
D.＝x2＋3x＋9
2.利用公式计算：
（1）（x＋4）（x－4）－（x－4）2.
（2）（m－n）2－（m＋n）2.
第1课时　完全平方公式
1.完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；
（a－b）2＝a2－2ab＋b2.
2.口诀记忆法：首平方，尾平方，二倍乘积项在中央.
3.语言表述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
本节课学习了完全平方公式及其应用.
　　本节课虽然算不上课本中的难点，但在乘法公式这一章中是个重点.学生需要熟练掌握公式的特点，以提高运算速度.授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的内容，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和特别需要注意的细节.然后再通过逐层深入地练习，巩固完全平方公式两种形式的应用.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）（x＋4）（x－4）－（x－4）2
＝x2－16－（x2－8x＋16）
＝x2－16－x2＋8x－16
＝8x－32.
（2）（m－n）2－（m＋n）2
＝（m2－2mn＋n2）－（m2＋2mn＋n2）
＝m2－2mn＋n2－m2－2mn－n2
＝－4mn.