4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念 4.2.2 等差数列的通项公式
基础过关练
题组一 等差数列的概念
1.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),则数列{an}( )
A.是公差为1的等差数列
B.是公差为的等差数列
C.是公差为2的等差数列
D.不是等差数列
2.(多选题)若数列{an}为等差数列,则下列说法中正确的有( )
A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an为等差数列
B.数列a2,a4,a6,…,a2n为等差数列
C.数列{anan+1}为等差数列
D.数列{an+an+1}为等差数列
3.已知数列{an},{bn}满足bn=an+an+1,则“{an}为等差数列”是“{bn}为等差数列”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4.已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p,q∈R).
(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列
(2)求证:数列{an+1-an}是等差数列.
题组二 等差中项
5.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
6.若a>0,b>0,a,b的等差中项是1,且α=a+,则α+β的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身构成等差数列,则这个正实数是 .
题组三 等差数列的通项公式及其应用
8.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是( )
A.a6 B.a4 C.a10 D.a12
9.已知数列{an}满足a1=2,+1(n∈N*),则an=( )
A.
10.已知{an}是等差数列,{nan}是递增数列,则( )
A.a1>0 B.a2<0 C.a3>0 D.a4<0
11.已知等差数列{an}的各项均为正数,首项与公差相等,若,则a2 023=( )
A.6 069 B.6 079 C.6 089 D.6 099
12.已知等差数列{bn}的首项为2,公差为8,在{bn}中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an},则数列{an}的通项公式为an= .
13.在数列{an}中,已知a1=,且 n∈N*,恒成立,则a10= .
14.(1)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-,记bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.
题组四 等差数列的性质及其应用
15.在等差数列{an}中,a1=3,a100=36,则a2+a3+a98+a99=( )
A.39 B.76 C.78 D.117
16.在等差数列{an}中,已知a4+a8=20,a7=12,则a5=( )
A.4 B.6 C.8 D.10
17.古时候人们通过用圭表测量日影长度来确定节气,一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长(单位:尺)依次成等差数列,若冬至、立春、春分时的日影长之和为31.5尺,小寒、雨水、清明时的日影长之和为28.5尺,则谷雨时的日影长为( )
A.8.5尺 B.7.5尺 C.6.5尺 D.5.5尺
18.已知等差数列{an}满足a1=4,a3+a5=+1,则a7= .
19.已知在递增的等差数列{an}中,a3a7=55,a4+a6=16.
(1)求a3和a7;
(2)求{an}的通项公式.
能力提升练
题组一 等差数列的定义、通项公式及其应用
1.在数列{an}中,sin(an+1-an)·sin(an+1+an)=,则该数列项数的最大值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.已知{an}为等差数列,数列{bn}满足a1+b1=2,anbn=2n2-n(n∈N*),且5a4=7a3,则bn=( )
A.
3.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=( )
A.80 B.100 C.120 D.143
4.已知数列{an}满足ak+1+ak=4k+3(k∈N*),则a1+a2 020=( )
A.4 040 B.4 043 C.4 046 D.4 049
5.定义:在数列{an}中,若=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“等比差数列”.已知{an}为“等比差数列”,且a1=a2=1,a3=3,则a5= ,= .
6.已知数列{an}满足an+1=(n∈N*),且a1=3.
(1)求a2,a3,a4;
(2)证明:数列是等差数列,并求an.
7.已知数列{an}的各项均为非负实数,且 n≥2,n∈N*,均有an+1=an-an-1+n.
(1)若a1,a2,a3成等差数列,证明:存在无穷多个正整数k,使得ak=k;
(2)若a2a2 022=1,求a2 023的最大值.
题组二 等差数列的性质及其应用
8.已知等差数列{an}的首项与公差d均为正数,且lg a1,lg a3,lg a6成等差数列,则lg a1,lg a3,lg a6的公差为( )
A.lg d B.lg D.lg(3d)
9.已知等差数列{an}为递增数列,若=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d为 .
10.已知函数f(x)=x3+3x2+5x+1,设数列{an}的通项公式为an=-2n+7,则f(a1)+f(a2)+…+f(a9)= .
11.若数列{an}满足=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+…+b2 020=20 200,则b2b2 019的最大值是 .
题组三 等差数列的综合应用
12.已知数列{an}的首项为1,an+1=使an≤2 021对任意的n≤k(k∈N*)恒成立的k的最大值为( )
A.1 209 B.1 211 C.1 213 D.1 215
13.若数列{cn}满足cn+1=,则称{cn}为 “平方递推数列”.已知数列{an}是 “平方递推数列”,且a1>0,a1≠1,则( )
A.{lg an}是等差数列 B.{lg an+1-lg an}是等差数列
C.{anan+1}是 “平方递推数列” D.{an+1+an}是 “平方递推数列”
14.已知数列{an}满足a1=4,an=(n≥2,n∈N*),若bn=·(nan-6),且存在n∈N*,使得4bn+m-6m2≥0成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.[1-]
C. D.
15.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
基础过关练
1.B 由2an+1=2an+1得an+1=an+,即an+1-an=,
又a1=2,∴数列{an}是以2为首项,为公差的等差数列,故选B.
2.ABD 设等差数列{an}的公差为d.
A中,2an+1-2an=2(an+1-an)=2d(常数),A中说法正确.
B中,a2(n+1)-a2n=a1+(2n+1)d-[a1+(2n-1)d]=2d(常数),B中说法正确.
C中,n≥2时,anan+1-an-1an=an(an+1-an-1)=2and,
当d=0时,2and=0(常数),此时数列{anan+1}为等差数列;当d≠0时,2and=2a1d+2(n-1)d2(不是常数),此时数列{anan+1}不是等差数列,C中说法不正确.
D中,n≥2时,an+an+1-(an-1+an)=an+1-an-1=2d(常数),D中说法正确.故选ABD.
3.答案 充分不必要
解析 若{an}是等差数列,设其公差为d1,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{bn}是等差数列,充分性成立.
若{bn}是等差数列,设其公差为d2,则bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,
不能推出{an}是等差数列,必要性不成立.
故“{an}为等差数列”是“{bn}为等差数列”的充分不必要条件.
4.解析 (1)若{an}是等差数列,则an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q是一个与n无关的常数,所以2p=0,即p=0,所以当p=0,q∈R时,数列{an}是等差数列.
(2)证明:由(1)知an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,是一个与n无关的常数,所以数列{an+1-an}是等差数列.
5.B 由已知得
所以m和n的等差中项为=3.
6.C 因为a,b的等差中项是1,所以a+b=2.
又因为α=a+,且a>0,b>0,
所以α+β=a+≥3+=4,当且仅当a=b=1时取等号,所以α+β的最小值为4.故选C.
7.答案
解析 设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N),则这个正实数为x+y.
由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x,
当y=0时,x=0,x+y=0,不符合要求;当y=1时,x=;当y=2时,x=;当y≥3时,x=≥1,不符合要求.
综上所述,这个正实数是.
8.A 设等差数列{an}的公差为d,由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0.故选A.
9.B 记bn=,则bn+1=bn+1,b1==1,故数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,故bn=1+(n-1)=n,所以an=1+.故选B.
10.C 设等差数列{an}的公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,n∈N*,
∵{nan}是递增数列,∴(n+1)an+1>nan,n∈N*,
即(n+1)(a1+nd)>n[a1+(n-1)d],
化简可得a1+2nd>0,即a2n+1>0,
当n=1时,a3>0,C正确,无法判断A,B,D是否正确,故选C.
11.A 设等差数列{an}的公差为d(d>0),则an=a1+(n-1)d=nd,
因为),
所以)+…+(,所以d=3,
所以a2 023=2 023×3=6 069,故选A.
12.答案 2n
解析 设数列{an}的公差为d.由题意可知a1=b1,a5=b2,于是a5-a1=b2-b1=8.
因为a5-a1=4d,所以4d=8,解得d=2.
故an=2+(n-1)×2=2n.
13.答案
解析 依题意可得,
∵,
∴=…==1,故数列=2为首项,d=1为公差的等差数列,
∴=2+(n-1)×1=n+1,即an=,故a10=.
14.解析 (1)令cn=log2(an-1),则c1=log2(a1-1)=1,c3=log2(a3-1)=3,
故等差数列{log2(an-1)}的公差为=1,所以cn=n,即log2(an-1)=n,故an=2n+1.
(2)由an+1=4-得bn+1-bn=,
又b1=,所以数列{bn}是首项为,公差为的等差数列,所以bn=,即,得an=2+.
15.C 由等差数列的性质得a2+a3+a98+a99=(a2+a99)+(a3+a98)=2(a1+a100)=2×(3+36)=78.故选C.
16.C 由等差数列的性质可得a4+a8=a7+a5,∴a5=20-12=8.故选C.
17.D 设从冬至起,这十二个节气的日影长(单位:尺)依次成等差数列{an},设其公差为d,
由题可知
所以d=a5-a4=9.5-10.5=-1,
所以a9=a5+4d=9.5-4=5.5,即谷雨时的日影长为5.5尺,故选D.
18.答案 -2
解析 由题意得a3+a5=2a4=+1,∴a4=1,则a1+a7=2a4=2,∴a7=-2.
19.解析 (1)由已知得
解得
又{an}为递增数列,所以a3=5,a7=11.
(2)设数列{an}的公差为d(d>0),
由(1)知d=,
所以数列{an}的通项公式为an=5+(n-3)×.
能力提升练
1.C sin(an+1-an)·sin(an+1+an)
=,
所以{sin2an}为等差数列,公差为,
所以sin2an=sin2a1+(n-1)×≤1,
所以≤1-sin2a1≤1,故n≤11,所以nmax=11.故选C.
2.B 令n=1,得a1b1=1,又a1+b1=2,∴a1=b1=1.
设{an}的公差为d,由5a4=7a3得5a1+15d=7a1+14d,故d=2a1=2,则an=a1+(n-1)d=2n-1.
故bn==n.故选B.
3.C 因为an+1=an+2+1,所以an+1+1=(+1,即an+1+1=(+1)2,
等式两边开方可得+1,即=1,所以数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列,
所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,
所以a10=102+20=120.故选C.
4.B 由ak+1+ak=4k+3可得ak+2+ak+1=4(k+1)+3,两式相减可得ak+2-ak=4,
即相邻的奇数项或偶数项成等差数列,且公差为4,
故a2 020=a2+×4=4 036+a2,即a1+a2 020=a1+a2+4 036,
当k=1时,a2+a1=4+3=7,因此a1+a2 020=7+4 036=4 043.故选B.
5.答案 105;3 363
解析 由题意得=2,则=2,
则数列=1,公差为2的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*),
所以=2n+1,则=(2n+1)(2n-1)=4n2-1(n∈N*),
所以=4×32-1=35,则a5=35a3=35×3=105,且=4×292-1=3 363.
6.解析 (1)由题意得a2=.
(2)因为an+1=(n∈N*),所以an+1-2=,
则
=,故,又a1=3,所以=1,
所以数列是首项为1,公差为的等差数列.
所以,
故an=.
方法点津 用构造法求等差数列的通项公式是很常见的一种方法,常见的构造技巧如下:(1)当数列{an}满足an+1=kan+b时,常用待定系数法构造成an+1+m=k(an+m)的形式;(2)当递推公式是分式形式时,常采用取倒数的方法;(3)当数列{an}满足an+1=ban+cn时,常通过等式两边同除以cn+1得到am+1=kam+d的形式,再利用(1)中的方法构造求解.
7.解析 (1)证明:由an+1=an-an-1+n得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an,
则an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6,
故{an}中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列,
又a1,a2,a3成等差数列,故2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,
所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a1+5,
又an+6=an+6,∴an+6m=an+6m(m∈N),
当n=2时,a2+6m=2+6m,当n=5时,a5+6m=5+6m,
所以对于ak=k,当k=6m+2或k=6m+5(m∈N)时,等号恒成立.
(2)由(1)可知a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,
又an+6m=an+6m(m∈N),
所以a2 022=a6+2 016=2 025-a3,a2 023=a1+2 022,
又a2a2 022=1,所以a2==a3+a1-2,则a1=+2 025-a3-2 023,
又因为数列{an}的各项均为非负实数,所以a3≥0,即2 025-a3≤2 025,
由对勾函数的单调性易知当2 025-a3=2 025时,(a1)max=2,
所以(a2 023)max=(a1)max+2 022=2 024.
8.C 由题可得a3=a1+2d,a6=a1+5d,
因为lg a1,lg a3,lg a6成等差数列,
所以2lg a3=lg a1+lg a6=lg(a1a6),
所以=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d),
所以a1d=4d2,又因为d>0,所以a1=4d,
则lg a3-lg a1=lg(6d)-lg(4d)=lg,故选C.
9.答案 1
解析 由=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10.
又a1+a10=a5+a6=11,a1
所以a1=1,a10=10,所以d==1.
10.答案 36
解析 f(x)=(x+3)3-4(x+3)+4,令y=x3-4x,其定义域为R,关于原点对称,
又,所以y=x3-4x是奇函数,其图象的对称中心为(0,0),
所以曲线f(x)的对称中心为(-3,4),
即f(x)+f(-6-x)=8,
因为an=-2n+7,所以数列{an}为等差数列,a5=-3,
所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=-6,
则f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=8,f(a5)=f(-3)=4,
所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=4×8+4=36.
11.答案 100
解析 由数列为“调和数列”,可得=bn+1-bn=d(n∈N*,d为常数),
∴数列{bn}是公差为d的等差数列,
∵b1+b2+…+b2 020=20 200,且b1+b2 020=b2+b2 019=b3+b2 018=…=b1 010+b1 011,
∴1 010(b2+b2 019)=20 200,∴b2+b2 019=20.
又b2>0,b2 019>0,
∴b2+b2 019≥2,即b2b2 019≤=100,当且仅当b2=b2 019=10时取等号,
∴(b2b2 019)max=100.
12.B 由已知得数列{an}中的项为1,6,11,6,11,16,11,16,21,16,21,26,21,26,31,…,
观察发现这些项可按1,6,11,16,21,…;6,11,16,21,26,…;11,16,21,26,31,…的规律将原数列分为三个等差数列:
当n=3m+1,m∈N时,数列为1,6,11,16,21,…,即an=,
当n=3m+2,m∈N时,数列为6,11,16,21,26,…,即an=,
当n=3m+3,m∈N时,数列为11,16,21,26,31,…,即an=,
易得a1 209=2 021,a1 210=2 016,a1 211=2 021,a1 212=2 026>2 021,
所以满足an≤2 021对任意的n≤k(k∈N*)恒成立的k的最大值为1 211.故选B.
13.C 对于A、B,因为{an}是 “平方递推数列”,所以an+1=.
又a1>0,a1≠1,所以an>0,an≠1,则lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,
所以{lg an}和{lg an+1-lg an}都不是等差数列,所以A、B不正确.
对于C,因为an+2an+1==(an+1an)2 ,所以{anan+1}是 “平方递推数列”,所以C正确.
对于D,因为an+2+an+1=≠(an+1+an)2 ,
所以{an+1+an}不是 “平方递推数列”,所以D不正确.故选C.
14.D ∵an=(n≥2,n∈N*),
∴anan-1=4(an-1-1)(n≥2,n∈N*).
令cn=,
∴cn-cn-1=(n≥2,n∈N*).
又c1=,∴数列{cn}是以-为首项,-为公差的等差数列,
∴cn=-,即,
∴an=,∴bn=·(nan-6)=,
∵存在n∈N*,使得4bn+m-6m2≥0成立,∴4(bn)max+m-6m2≥0.
令则3≤n≤4,n∈N*,
∴n=3或n=4,
∴(bn)max=b3=b4=.
∴1+m-6m2≥0,即6m2-m-1≤0,
解得-≤m≤,
∴实数m的取值范围是.故选D.
15.解析 (1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*),得=3(n≥2,n∈N*).
因为=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.
(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=(n∈N*).
(3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N*恒成立,所以+3n-2≥λ,即λ≤对任意的n≥2,n∈N*恒成立.
令f(n)=(n≥2,n∈N*),则只需满足λ≤f(n)min即可.
因为f(n+1)-f(n)=
=,
所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)又因为f(2)=,所以λ≤.
所以实数λ的取值范围为.
20(共18张PPT)
4.2 等差数列
知识点 1 等差数列的概念
必备知识 清单破
4.2.1 等差数列的概念 4.2.2 等差数列的通项公式
1.等差数列的通项公式
一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有an=a1+(n-1)d.这就是等差数列{an}的通项公式,其中a1 为首项,d为公差.
2.等差数列与一次函数的关系
由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一 些等间隔的点,其中,点的横坐标是正整数,a1-d是直线在y轴上的截距,公差d是该直线的斜率, 即自变量每增加1,函数值增加d.
知识点 2 等差数列的通项公式
如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A= ,我们把A= 叫作a和b的等差中项.
知识点 3 等差中项
性质1:若{an}是公差为d的等差数列,则an=am+(n-m)d(n,m∈N*,m≠n),d= .
性质2:若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an,特别地,若k+l=2p,则ak+al=2ap.
性质3:若{an}是等差数列,其公差为d,则{a2n}也是等差数列,其公差为2d.
性质4:若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列.
性质5:若{an}是等差数列,其公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.
性质6:若{an}是等差数列,其公差为d,则当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递 减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.
知识点 4 等差数列的常用性质
知识辨析
1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列吗
2.等差数列的定义用符号可以表示成an-an-1=d或an+1-an=d,这两个关系式在任何条件下都适用 吗
3.等差数列的通项公式一定是关于n的一次函数吗
4.等差数列{an}中必有a2+a3=a5吗
一语破的
1.不一定.差是同一个常数时才是等差数列.
2.不是.使用关系式an-an-1=d时,要保证n∈N*且n≥2,使用关系式an+1-an=d时,要保证n∈N*.
3.不一定.等差数列的通项公式中变量n的系数d可以等于0,且变量n∈N*.
4.不是.在使用等差数列的性质:若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an时,要注意等式两边项 的个数必须相同,一般情况下,a2+a3=a1+a4≠a5.
判断一个数列是不是等差数列的常用方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}是等差数列,注意要保证条件中 最小的n值满足a2-a1=d这一关键条件.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列(注意此 方法一般不用作证明).
定点 1 等差数列的判定(证明)
关键能力 定点破
典例1 已知数列{an}满足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),证明数列{an}为等差数列.
证明 (等差中项法)由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,
两式相减并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).
由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,
即2an=an-1+an+1,
因此an是an-1与an+1的等差中项,
故数列{an}为等差数列.
典例2 在数列{an}中,a1= ,2an+1an=an-an+1.
(1)求a2,a3;
(2)证明数列 为等差数列,并求数列{an}的通项公式.
思路点拨 (1)把n=1,2分别代入数列的递推公式即可求出a2,a3.
(2)把递推公式变形,通过两边同除以an+1an,得到后一项与前一项的差为同一个常数,进而得证, 再写出通项公式.
解析 (1)因为2an+1an=an-an+1,
所以当n=1时,2a2a1=a1-a2,则2a2× = -a2,即 a2= ,解得a2= ,
当n=2时,2a3a2=a2-a3,则2a3× = -a3,即 a3= ,解得a3= .
(2)因为2an+1an=an-an+1,所以 - =2,又 =3,所以数列 是以3为首项,2为公差的等差数列,
故 =3+(n-1)×2=2n+1,则an= (n∈N*).
1.求等差数列通项公式的常见方法
(1)基本量法:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1,d,即可得出数列的通项公式;
(2)待定系数法:设通项公式为an=An+B,利用条件构建方程组,求出A,B,即可得数列的通项公 式;
(3)利用等差数列的性质:若{an}为等差数列,则可利用d= (n,m∈N*,m≠n)求出公差d,即
可得出数列的通项公式,一般已知数列中的两项时用这种方法较简便.
2.利用递推关系进行转化,构造等差数列,常见的转化形式如下
(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.
(2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
定点 2 等差数列通项公式的求解及应用
(3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列,其中c为常数.
(4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
(5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
典例1 (1)已知等差数列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}满足a1=2,(n-1)an=nan-1+n(n-1)(n≥2),求{an}的通项公式.
解析 (1)解法一:由题意得
解得 或
∵d>0,∴a1=-8,d=2,
∴数列{an}的通项公式为an=2n-10.
解法二:由题意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,则
解得 或
又d>0,∴a2=-6,a6=2,∴d= =2,
∴数列{an}的通项公式为an=-6+(n-2)×2=2n-10.
解法三:由解法二知a4=-2,
则a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2.
∵d>0,∴d=2,
∴数列{an}的通项公式为an=-2+(n-4)×2=2n-10.
(2)当n≥2时, - =1,又 =2,
∴ 是首项为2,公差为1的等差数列,
∴ =2+(n-1)×1=n+1,∴an=n(n+1).
∴{an}的通项公式为an=n(n+1).
典例2 已知各项均不为零的数列{an}满足 = an+1(n∈N*),a1=1.证明:数列 为等差数
列,并求数列{an}的通项公式.
思路点拨 观察式子的结构特征,等式两边取倒数构造等差数列,进而求通项公式.
解析 由 = an+1两边取倒数得 = ,∴ = + ,即 - = ,
∴ 是首项为 =1,公差为 的等差数列,
∴ =1+(n-1)× = ,∴an= .
技巧点拨 构造等差数列求通项公式时,需要认真观察给定式子的结构,记住常见的构造类 型,做到熟能生巧,如本题中所给递推公式为分式形式,则考虑用取倒数构造等差数列.
借助等差数列{an}的性质:若m+n=p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整数)可以 解决有关项的问题,可以简化计算,但不一定每道题都能用,能用此性质的题都应具有一定的 特征,所以解决等差数列的有关问题时,应先考虑性质,若不能应用性质,再利用基本量求解.
定点 3 等差数列性质的应用
典例 已知等差数列{an}的公差d大于零,且a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c,使数列{bn}为等差数列 若存在,求出实数c
的值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)因为数列{an}为等差数列,
所以a3+a4=a2+a5=22.
联立 解得 或
因为公差d>0,所以a3所以d=a4-a3=4,
所以数列{an}的通项公式为an=9+(n-3)×4=4n-3.
(2)假设存在非零实数c,使数列{bn}为等差数列,则必有2b2=b1+b3.
由题意,得b1= ,b2= ,b3= ,其中c≠0,
所以 ×2= + ,即2c2+c=0,
解得c=- 或c=0(舍去).
将c=- 代入bn= ,整理得bn=2n,此时{bn}为等差数列,即存在非零实数c=- ,使数列{bn}为
等差数列.