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1.一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
2.代数形式: =q(q是常数且不为0,n≥2,n∈N*)或 =q(q是常数且不为0,n∈N*).
4.3 等比数列
知识点 1 等比数列的概念
4.3.1 等比数列的概念 4.3.2 等比数列的通项公式
必备知识 清单破
一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有an=a1qn-1,这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1
为首项,q为公比.
当q>0且q≠1时,an=a1qn-1= ·qn可以看成关于n的指数型函数.
知识点 2 等比数列的通项公式
若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项,此时G2=ab.
知识点 3 等比中项
1.单调性
知识点 4 等比数列的性质
a1>0 a1<0
0
q=1 {an}是常数列,不具有单调性 q>1 单调递增 单调递减
q<0 {an}是摆动数列,不具有单调性 2.常用性质
(1)若{an}是等比数列,且m+n=s+t=2k,m,n,s,t,k∈N*,则am·an=as·at= .
(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数
列,公比为qk.
特别地,等比数列的奇数项、偶数项分别组成一个等比数列,新数列的公比为原公比的
平方.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn}, 仍是等比数
列.
(4)若数列{an}是各项均为正数的等比数列(公比为q),则数列{logaan}(a>0且a≠1)是公差为
logaq的等差数列.
知识辨析
1.若数列{an}满足 =4n,则数列{an}是等比数列吗
2.存在一个数列既是等差数列又是等比数列吗
3.2和8的等比中项是4吗
4.等比数列{an}中,a2a3a12=a4a6a7成立吗
一语破的
1.不是.4n不是一个非零常数,所以数列{an}不是等比数列.
2.存在.非零常数列既是等差数列又是等比数列.
3.不是.应该是±4,可以说4是2和8的等比中项.
4.成立.等比数列的性质:若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),则am·an=as·at,可以推广使用,即若m+n+…+k=s
+t+…+r(m,n,…,k,s,t,…,r∈N*),则有am·an·…·ak=as·at·…·ar(等式两边项的个数要相同).
定点 1 等比数列的判定(证明)
关键能力 定点破
判断一个数列是不是等比数列的方法
(1)定义法:若数列{an}满足 =q(q是常数且不为0,n≥2,n∈N*)或 =q(q是常数且不为0,n
∈N*),则{an}是等比数列;
(2)等比中项法:对于数列{an},若 =anan+2(an≠0,n∈N*),则{an}是等比数列;
(3)通项公式法:若数列的通项公式是形如an=k·qn(k,q是不为0的常数),则数列{an}是等比数列.
其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是不是等比数列的依据.
典例 已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.
(1)若数列{an}为等差数列,求Sn;
(2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列{an+bn}和{an-bn}均为等比数列.
解析 (1)由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1,
又a1=2,b1=1,所以a2=4.
因为数列{an}为等差数列,所以该数列的公差为a2-a1=2,
所以Sn=2n+ ×2=n2+n.
(2)证明:当n≥2时,an=a1+2Tn-1,
因为Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,
同理可得bn+1=bn+2an.
则an+1+bn+1=3(an+bn),所以 =3(n≥2),①
又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5,
所以 = =3,满足①式,
所以数列{an+bn}是以3为首项,3为公比的等比数列.
因为an+1-bn+1=-(an-bn),所以 =-1(n≥2)②,又 = =-1,满足②式,
所以数列{an-bn}是以1为首项,-1为公比的等比数列.
易错警示 用 =q(q是常数且不为0,n≥2)证明等比数列时,要保证 =q,否则不满足等比
数列的定义.
1.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四个量:a1,q,n,an,可知三求一.
2.等比数列通项公式的变形
(1)an=amqn-m(m,n∈N*):表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意
一项an;
(2)qn-m= (m,n∈N*):表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q.
3.构造等比数列求通项公式
当数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等
比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有:
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列 为等
定点 2 等比数列通项公式的求解及应用
比数列;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2
-a1≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列.
(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为an+1- =c 或将递推公式两边同除以dn+1化为
(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.
(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为an+1- =c +dn,即(2)型.
典例1 已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求数列{an}的通项公式.
解析 设等比数列{an}的公比为q.
解法一:由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),
即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q= ,
故an=a1qn-1=q-6·qn-1= .
解法二:由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7,
则a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),
从而q= ,故an=qn-7= .
解法三:由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,知a4,a5+a7,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),
易知a4,a6同号,所以a4+a6≠0,
所以q= ,故an=a7qn-7=qn-7= .
典例2 (1)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为an
= ;
(2)若数列{an}满足an+1=λan+3n,且数列 是等比数列,则实数λ的值为 .
0或2
解析 (1)由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即 =3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3
为首项,3为公比的等比数列,
所以an+1+an=3×3n-1=3n,则 + · = .
不妨令cn= ,则cn+1+ cn= ,
所以cn+1- =- ,即 =- ,
又c1- = - = ,所以数列 是首项为 ,公比为- 的等比数列,
所以 - =cn- = × ,
所以an= .
(2)①若λ=0,则 = ,可得 -1=- ,此时数列 为等比数列;
②若λ≠0,在等式an+1=λan+3n两边同时除以3n+1可得 = + = · + ,
因为数列 为等比数列,所以可设 -1= · ,则 -1= · - ,
即 = · - +1,
则1- = ,解得λ=2.
综上所述,λ=0或λ=2.
1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方法,则需建立
关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的有关性质(如若m+n=p+q
(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq)来求解,那么会简化运算过程.
2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
定点 3 等比数列性质的应用
典例 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解析 (1)由等比数列的性质,化简条件得 +2a6a8+ =49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7.
(2)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]=log395=10.
规律总结 利用等比数列的性质解题时要充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列
项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念 4.3.2 等比数列的通项公式
基础过关练
题组一 等比数列的概念及其应用
1.已知a,b,c,d成等比数列,给出下列三个数列:(1)a2,b2,c2,d2;(2)ab,bc,cd;(3)a-b,b-c,c-d,其中一定是等比数列的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(多选题)已知数列{an},{bn}都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是( )
A.{anbn} B.{an+bn} C. D.{an-bn}
题组二 等比数列的通项公式
3.已知正项等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7,则q+d=( )
A.4 B.0
C.-4 D.2
4.已知等比数列{an}的首项为3,则“a9A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知{an}为等比数列,公比q≠1,a1=,且3a1,2a2,a3成等差数列,则通项公式an= .
6.已知数列{an}的前n项和为Sn, n∈N*,都有Sn=,若1题组三 等比中项
7.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则=( )
A.± C.1 D.±1
8.已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
9.已知等差数列{an}(an≥0)的前n项和为Sn,若,S3+1,S9成等比数列,则的最小值为 .
题组四 等比数列的性质
10.在等比数列{an}中,a4a5=2,a8a9=32,则a6a7=( )
A.64 B.±8 C.-8 D.8
11.在等比数列{an}中,a7=6,则a5+4a9的最小值是( )
A.12 B.24 C.36 D.48
12.已知正项等比数列{an}中,a2a2 023=4,则log2a1+log2a2+…+log2a2 024=( )
A.1 012 B.2 024
C.21 012 D.22 024
13.(多选题)已知数列{an}为等比数列,则( )
A.数列a2,a4,a8成等比数列
B.数列a1a2,a3a4,a5a6成等比数列
C.数列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列
D.数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列
能力提升练
题组一 等比数列的概念、通项公式及其应用
1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则a6=( )
A.220 B.224 C.21 024 D.24 096
2.已知等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为( )
A.32 B.16 C.128 D.64
3.已知数列{an}满足a1=1,a2=,则a5=( )
A.2-12 B.2-10 C.2-9 D.2-8
4.(多选题)已知数列{an},{bn}的项数均为k(k为确定的正整数,k≥2),若a1+a2+…+ak=2k-1,b1+b2+…+bk=3k-1,则( )
A.a1=1
B.{bn}中可以有(k-1)项为1
C.为公比的等比数列
D.是以2为公比的等比数列
5.(多选题)已知数列{an}满足an+2an-1=kn,n∈N*,n≥2,则( )
A.当k=0且a1≠0时,{an}是等比数列
B.当k=1时,是等比数列
C.当k=-2时,是等差数列
D.当k=-3且a1=-3时,是等比数列
6.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,且满足a4=27,an+1=2Sn+c,则( )
A.q=3
B.c=1
C.a1=3
D.若bn=,则当b1b2…bn最小时,n=7
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=5,{bn}是等比数列,满足anbn=(n+1)2n,则Sn= .
8.已知数列{an}对任意n∈N*满足an+1=.
(1)如果数列{an}为等差数列,求a1;
(2)如果a1=,
①是否存在实数λ,使得数列为等比数列 如果存在,请求出所有λ的值;如果不存在,请说明理由;
②求数列{an}的通项公式.
题组二 等比数列的性质及综合应用
9.记等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1·a5·a12为确定的常数,则下列各数为常数的是( )
A.T7 B.T8 C.T10 D.T11
10.若{an}为等差数列,Sn是其前n项和,且S11=π,{bn}为等比数列,b5·b7=,则tan(a6+b6)=( )
A.
11.(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项积为Tn,且a1>1,a89a90>1,(a89-1)·(a90-1)<0,则下列结论正确的是( )
A.0B.a89a91>1
C.T90是{Tn}中最大的项
D.使Tn>1成立的最大正整数n等于178
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S11>S10>S12,若bn=2 02,数列{bn}的前n项积为Tn,则使Tn>1的最大正整数n为 .
13.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2=27,且a5+6a4=a2a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2log3an,Sn是数列{bn}的前n项和,求使得Sn≥270成立的正整数n的最小值.
14.设同时满足条件:①≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常数)的无穷数列{bn}叫作P数列,已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an-1)(a为常数,且a≠0,a≠1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+1,若数列{bn}为等比数列,求a的值,并证明数列为P数列.
答案与分层梯度式解析
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
基础过关练
1.C 设数列a,b,c,d的公比为q(q≠0),则a,b,c,d均不为0,且=q,
对于(1),=q2,故a2,b2,c2,d2成等比数列,且公比为q2;
对于(2),=q2,因此ab,bc,cd成等比数列,且公比为q2;
对于(3),a-b=a(1-q),b-c=b(1-q)=aq(1-q),c-d=aq2(1-q),当q≠1时,a-b,b-c,c-d成等比数列,且公比为q,但当q=1时,a-b=b-c=c-d=0,不是等比数列.故选C.
2.AC 设数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2(q1,q2≠0).
对于A,=q1q2,数列{anbn}为等比数列,A满足条件;
对于B,不妨取an=(-1)n,bn=(-1)n+1,满足{an},{bn}都是等比数列,但an+bn=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n-(-1)n=0,故数列{an+bn}不一定是等比数列,B不满足条件;
对于C,,故为等比数列,C满足条件;
对于D,不妨取an=(-2)n,bn=2n,满足数列{an},{bn}都是等比数列,
当n=2k,k∈N*时,an-bn=(-2)n-2n=(-2)2k-22k=4k-4k=0,故数列{an-bn}不一定是等比数列,D不满足条件.故选AC.
3.A 由(负值舍去),故q+d=4.
故选A.
4.B 设等比数列{an}的公比为q,
由a91,∴q>1或q<-1,
当q<-1时,a11-a14=3q10(1-q3)>0,即a11>a14,充分性不成立;
当a111,则q8故“a95.答案 ·3n-1
解析 由题意得4a2=3a1+a3,即4a1·q=3a1+a1q2,∴q2-4q+3=0,解得q=1或q=3,又q≠1,∴q=3,∴an=·3n-1.
6.答案 4
解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),
即an=-2an-1,又a1=S1=,所以a1=-1,
所以{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,则an=-(-2)n-1,Sn=,
因为17.D 由题意得a==±2,所以的值为±1,故选D.
易错警示 同号的两个数的等比中项有两个,且它们互为相反数,不能默认是正数.
8.A 设{an}的公差为d.因为a1=-8,a2=-6,所以d=a2-a1=2,则an=2n-10,
所以a4=-2,a5=0,设a1,a4,a5都加上x,得到的三个新数依次为x-8,x-2,x,
则(x-8)x=(x-2)2,解得x=-1.故选A.
9.答案 5
解析 由题意得(S3+1)2=S9,所以(3a2+1)2=(a1+a9),即(3a2+1)2=3a5,
故+3≥5,
当且仅当a2=时取等号,则的最小值为5.
10.D 设{an}的公比为q(q≠0).由等比数列的性质得(a6a7)2==(a4a8)(a5a9)=a4a5a8a9=64,
由a6a7=a4a5q4=2q4>0,可得a6a7=8.故选D.
11.B 设{an}的公比是q,则a9=a7q2,a7=a5q2.
因为a7=6>0,所以a5>0,a9>0.
由等比数列的性质可得a5a9==36,
则a5+4a9≥2=4a7=24,当且仅当a5=4a9=12时,等号成立.故选B.
12.B 由等比数列的性质得a1a2 024=a2a2 023=a3a2 022=…=a1 012a1 013=4,
故log2a1+log2a2+…+log2a2 024=log2(a1a2…a2 023a2 024)
=log2[(a1a2 024)(a2a2 023)…(a1 012a1 013)]=log241 012=1 012log24=1 012×2=2 024.故选B.
13.BD 设等比数列{an}的公比为q,
由等比数列的性质知=q4,当q≠±1时,q2≠q4,故A错误;
易知数列中每项都不为0,且=q4,故B正确;
当数列{an}为1,-1,1,-1,1,…时,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C错误;
易知数列的每项都不为0,且=q3,故D正确.故选BD.
能力提升练
1.C 由an+1=,得an>0,故ln an+1=4ln an,又a1=2,
故{ln an}是首项为ln 2,公比为4的等比数列,则ln an=4n-1·ln 2,所以ln a6=45·ln 2=ln 21 024,
故a6=21 024.
故选C.
2.D 设等比数列{an}的公比为q.
由题意得,
从而a1+a3=a1+a1q2=a1=10,解得a1=8,故an=a1qn-1=24-n,则数列{an}是递减数列,
令an≥1,得n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23×22×21×20=23+2+1+0=64.故选D.
3.D 由题意得数列,公比为4的等比数列,∴,
当n≥2时,an=·a1=×4n-4×4n-5×…×4-2×1=,
∵n=1时,21-8+7=1=a1,∴an=,故a5=225-40+7=2-8.故选D.
4.AC 由题意可得a1+a2+…+ak=2k-1①,a1+a2+…+ak-1=2k-1-1②,k≥2,
①-②得ak=2k-1,k≥2,同理可得bk=2×3k-1,k≥2,
对于A,a1+a2=22-1=3,a2=2,所以a1=1,故A正确;
对于B,b1+b2=32-1=8,b2=2×3=6,所以b1=2,当n≥2时,bn=2×3n-1>2,故B错误;
对于C,D,,所以当k≥2时,为公比的等比数列,故C正确,D错误.故选AC.
5.ACD 对于A,当k=0时,an+2an-1=0,即an=-2an-1,又a1≠0,∴=-2,∴{an}为等比数列,A正确;
对于B,当k=1时,an+2an-1=1,∴an=-2an-1+1,
则an-,当a1-=0时,不是等比数列,B错误;
对于C,当k=-2时,an+2an-1=(-2)n,则=1,则=1,
∴是以1为公差的等差数列,C正确;
对于D,当k=-3时,an+2an-1=(-3)n,则=1,则+1,
∴,
又-3=-2≠0,∴为公比的等比数列,D正确.故选ACD.
6.ABD 因为an+1=2Sn+c,所以an=2Sn-1+c(n≥2),两式相减得an+1=3an(n≥2,n∈N*),
故{an}的公比q=3,A正确;
由a4=27,得a1·33=27,解得a1=1,C错误;
an=3n-1,在an+1=2Sn+c中,令n=1,得a2=2S1+c=2a1+c=2+c=3,解得c=1,B正确;
bn=,则=3>1,且b1=,则bn+1>bn>0恒成立,
故数列{bn}是以为首项,3为公比的等比数列,且为递增数列,
令bn=<1,得3n<6 069,由37=2 187<6 069,38=6 561>6 069,可得n≤7,
即b17.答案
解析 设等比数列{bn}的公比为q,由题意知q=2,
∵S5=5a3=5,∴a3=1,则b3==32,
∴b1=8,bn=8·2n-1=4·2n,
故anbn=an·4·2n=(n+1)2n,∴an=,
∴Sn=.
8.解析 (1)由an+1=,可得a2=,
由{an}为等差数列,可得a1+,
当a1=0时,an=0,符合条件;
当a1≠0时,1+,整理得4-5a1+1=0,解得a1=或a1=1,
当a1=1时,an=1,符合条件;
当a1=时,a2=,此时a4=,
a3-a2≠a4-a3,不满足{an}为等差数列,舍去.
综上可得,a1=0或a1=1.
(2)①当a1=时,,
假设存在满足题意的λ,则,即λ,
所以,解得λ=1,所以,
又因为≠0,所以数列是首项为-,公比为的等比数列,
故存在实数λ=1符合题意.
②由①知,所以an=.
9.D 设等比数列{an}的公比为q,则a1·a5·a12=a1·a1q4·a1q11=(a1q5)3为确定的常数,即a6为确定的常数.
T7=a1a2…a6a7=,不符合题意;
T8=a1a2…a7a8=,不符合题意;
T10=a1a2…a9a10=(a5a6)5,不符合题意;
T11=a1a2…a10a11=,为确定的常数,符合题意.
故选D.
10.D 因为{an}为等差数列,故S11=π,所以a6=,
因为{bn}为等比数列,b5·b7=,所以b6=±,
当b6=时,tan(a6+b6)=tan;
当b6=-时,tan(a6+b6)=tan.
所以tan(a6+b6)=,故选D.
11.AD 由a89a90>1,得·q177>1,所以q(a1·q88)2>1,所以q>0,
又a1>1,(a89-1)(a90-1)<0,所以a89>1,a90<1,所以0由得0由T90=T89·a90,0T178=a1·a2·…·a178=(a1·a178)·(a2·a177)·…·(a89·a90)=(a89·a90)89>1,
T179=a1·a2·…·a179=(a1·a179)·(a2·a178)·…·(a89·a91)·a90=<1,故D正确.
故选AD.
12.答案 21
解析 设等差数列{an}的公差为d,因为S11>S10>S12,所以a11=S11-S10>0,a11+a12=S12-S10<0,故a12<0,故d=a12-a11<0,
则=2 02=2 023d<1,易知bn>0,故bn故{bn}为各项均为正数的等比数列,且是递减数列.
又b11=2 02>1,b12=2 02<1,b11b12=2 02<1,
故b1>b2>…>b11>1>b12>b13>…,
所以T20=b1×b2×…×b20=b1×(b2b20)×…×(b10b12)×b11=b1>1,
T21=b1×b2×…×b21=(b1b21)×(b2b20)×…×(b10b12)×b11=>1,
T22=b1×b2×…×b22=(b1b22)×(b2b21)×…×(b11b12)=(b11b12)11<1,
所以T23=T22b23<1,即使Tn>1的最大正整数n为21.
13.解析 (1)设等比数列{an}的公比为q,依题意得an>0,则q>0.
由a2=27,且a5+6a4=a2a3,
得a2q3+6a2q2=q,即q2+6q-27=0,
解得q=-9(舍去)或q=3.
所以数列{an}的通项公式为an=27×3n-2=3n+1(n∈N*).
(2)由(1)得bn=2log3an=2log33n+1=2(n+1),则bn+1-bn=2(n+2)-2(n+1)=2.
所以数列{bn}是首项为b1=2×2=4,公差为2的等差数列,
则Sn==n2+3n,
令Sn≥270,得n2+3n-270≥0,
解得n≤-18(舍去)或n≥15(n∈N*).
故使得Sn≥270成立的正整数n的最小值为15.
规律总结 正项等比数列中,各项的对数构成等差数列,等差数列中,各项的指数幂构成等比数列,利用此关系可以实现等比数列与等差数列的转化.解题时要注意等比数列必须各项为正才可以取对数.
14.解析 (1)当n=1时,a1=S1=(a1-1),∴a1=a.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),整理得=a,
即数列{an}是以a为首项,a为公比的等比数列,
所以an=a·an-1=an.
(2)由(1)知,bn=+1
=,(*)
由数列{bn}是等比数列,得=b1b3,
故,
即,解得a=,
再将a=代入(*)式,得bn=3n.
所以,满足条件①,
又由于,所以存在M≥满足条件②.
故数列为P数列.
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