专题强化练9练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练9　数列求和
1.在各项均为正数的无穷等差数列{an}中,公差d≠0,若数列的前n项和为Sn,则(　　)
A.S2n=
C.S2n<　　　　D.以上均不对
2.已知函数f(x)=(x-1)3+2,数列{an}为等比数列,an>0,且a1 009=e,则f(ln a1)+f(ln a2)+…+f(ln a2 017)=(　　)
A.　　　　B.2 017　　　　C.4 034　　　　D.8 068
3.设数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(n∈N*),令bn=(log2a2n)2·sin,则数列{bn}的前100项和为(　　)
A.-4 950　　　　B.-5 000　　　　C.-5 050　　　　D.-5 250
4.(多选题)已知数列{an}满足a1+3a2+…+3n-1an=n·3n+1(n∈N*),设数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}为等差数列
B.Sn=3n2+6n
C.数列{(-1)nan}的前100项和为300
D.数列{|an-20|}的前20项和为284
5.等差数列{an}中,a1=5,a4=-1,设数列{|an|}的前n项和为Sn,则Sn=　　　　.
6.在等比数列{an}中,a2=2,a5=16,则2a2+3a3+…+10a10=　　　　.
7.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b2=3b1=9,bn≠0,且=bnbn+2,设cn=+(-1)nbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)数列{cn}满足cn=
答案与分层梯度式解析
专题强化练9　数列求和
1.B　由已知得,则Sn=+…+=,
则S2n=,
因为{an}的各项均为正数,所以a2n+1>a1>0,a1a2n+1=(an+1-nd)(an+1+nd)=,
所以S2n=.故选B.
2.C　令f(ln a1)+f(ln a2)+…+f(ln a2 017)=S①,
则f(ln a2 017)+f(ln a2 016)+…+f(ln a2)+f(ln a1)=S②,
由a1a2 017=a2a2 016=…==e2,
得ln a1+ln a2 017=ln a2+ln a2 016=…=ln e2=2,
又f(x)+f(2-x)=(x-1)3+2+(1-x)3+2=4,
故f(ln a2 017)+f(ln a1)=f(ln a2 016)+f(ln a2)=…=4,
所以①+②得2S=2 017×4,则S=4 034.故选C.
3.B　由题意得数列{a2n-1}是以1为首项,1为公差的等差数列,即a2n-1=n,数列{a2n}是以2为首项,2为公比的等比数列,即a2n=2n,
因此bn=(log22n)2·sin,
显然的周期为4,
则b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n=(4n-3)2sin=(4n-3)2-(4n-1)2=8-16n,
令cn=b4n-3+b4n-2+b4n-1+b4n,则cn=8-16n,易知数列{cn}是等差数列,
所以数列{bn}的前100项和即为数列{cn}的前25项和,为=-5 000.
故选B.
4.ABC　设bn=3n-1an,则b1+b2+…+bn=n·3n+1①,
当n≥2时,b1+b2+…+bn-1=(n-1)·3n②,
①-②得bn=(2n+1)·3n,
当n=1时,b1=a1=9适合上式,则bn=(2n+1)·3n=3n-1an,解得an=3(2n+1),
所以an+1-an=6,故数列{an}是以9为首项,6为公差的等差数列,
则Sn==3n(n+2)=3n2+6n,故A、B正确;
数列{(-1)nan}的前100项和M=3[(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+201)]=3×2×50=300,故C正确;
|an-20|=|6n-17|=n∈N*,
则{|an-20|}的前20项和N=11+5+1+7+13+…+103=16+=952,故D错误.
故选ABC.
5.答案　
解析　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Tn,
则a4-a1=3d=-6,解得d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=7-2n,Tn==6n-n2.
故|an|=
因此当n≤3时,Sn=Tn=6n-n2,
当n≥4时,Sn=a1+a2+a3-(a4+a5+…+an)=T3-(Tn-T3)=2T3-Tn=2×(6×3-32)-6n+n2=n2-6n+18.
综上可得,Sn=
6.答案　9 216
解析　设等比数列{an}的公比为q,
由题可得则an=2n-1,
令2a2+3a3+…+10a10=2×21+3×22+4×23+…+10×29=m,①
①×2,得2×22+3×23+…+9×29+10×210=2m,②
①-②,得2×21+(22+23+24+…+29)-10×210=-m,
则-m=2×21+-10×210=-9×210=-9 216,
所以m=9 216.
7.解析　(1)当n≥2时,Sn-1=(n-1)2,则Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1=an,
又n=1时,S1=a1=1,适合上式,∴an=2n-1.
(2)∵bn≠0,且,∴数列{bn}是等比数列,设其公比为q.
又b2=3b1=9,∴q==3,∴bn=3×3n-1=3n,
∴cn=+(-3)n,
∴Tn=c1+c2+…+cn
=+(-3)+(-3)2+…+(-3)n
=[1-(-3)n].
8.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得
∴an=2n-1,n∈N*.
∵Tn+,
当n=1时,b1=T1=0,
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-,
又b1=0不符合该式,
∴bn=
(2)ci=c1+c2+c3+c4+c5+c6+…+cn+…+c2n
=-a1+b2-a3+b4-a5+b6-…-a2n-1+b2n
=-(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)
=-
=-2n2+n+,
令Fn=+…+①,
则+…+②,
①-②得+…+,
∴Fn=.
综上,.
解题技法　数列求和的常用方法有以下几种
(1)公式法:直接用等差、等比数列的求和公式计算.
(2)分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,求和时可用分组求和法分别求和,然后相加、减.
(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求和.
(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,用错位相减法求和.
(5)倒序相加法:如果一个数列中,与首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之和,可用倒序相加法求和.
(6)并项求和法:将数列中具有某种函数性质或运算性质的项并在一起,通过计算并项后的和找到一些规律,然后利用规律求出相应数列的和.
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