第5章 导数及其应用
5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
基础过关练
题组一 函数的平均变化率
1.函数f(x)=x2+2在区间[1,3]上的平均变化率为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.某物体运动的位移s与时间t的函数关系为s(t)=t2+1,则这个物体在时间段[1,2]内的平均速度为( )
A.2 B.
3.函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数在下列几个区间内的平均变化率最大的一个是( )
A.[x1,x2] B.[x2,x3] C.[x1,x3] D.[x3,x4]
4.已知函数f(x)=2x2+3x-5.
(1)求f(x)在[4,5]上的增量Δy和平均变化率;
(2)求f(x)在[4,4.1]上的增量Δy和平均变化率;
(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义.
题组二 平均变化率的应用
5.若函数f(x)=ln(x+1),则f(1),的大小关系为( )
A.f(1)<
C.
6.在某室内,空气中微生物密度c(mg/m3)与开窗通风换气时间t(min)的关系如图所示.则下列时间段内,空气中微生物密度变化的平均速度最快的是( )
A.[5,10] B.[5,15] C.[5,20] D.[5,35]
7.(多选题)已知甲、乙两人服用某药物后,血管中的药物浓度c(mg/mL)与时间t(h)的关系如图所示,则下列结论正确的是( )
A.在t1时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B.在[t1,t2]时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率大于乙
C.在[t2,t3]时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2]和[t2,t3]时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同
答案与分层梯度式解析
第5章 导数及其应用
5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
基础过关练
1.A 由题意得=4,故选A.
2.B 物体在时间段[1,2]内的平均速度为.
故选B.
3.D 由题图得f(x)在[x1,x2]上的平均变化率P1=>0,
在[x2,x3]上的平均变化率P2=<0,
在[x1,x3]上的平均变化率P3=<0,
在[x3,x4]上的平均变化率P4=>0,
结合函数y=f(x)的图象,可得P2
4.解析 (1)Δy=f(5)-f(4)=2×52+3×5-5-(2×42+3×4-5)=21,所以平均变化率=21.
(2)Δy=2×4.12+3×4.1-5-(2×42+3×4-5)=1.92,所以平均变化率=19.2.
(3)在(1)中,,它表示过曲线y=f(x)上两点(4,39)与(5,60)的直线的斜率;
在(2)中,,它表示过曲线y=f(x)上两点(4,39)与(4.1,40.92)的直线的斜率.
5.C 作出函数f(x)=ln(x+1)的图象,如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点所连直线的斜率随着x的增大而减小.
由1<2<3,得,即f(1)>,故选C.
6.C 设直线t=5,t=10,t=15,t=20,t=35与曲线的交点分别为A,B,C,D,E,连接AB,AC,AD,AE(图略).
由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD,所以[5,20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选C.
7.AC 对于A,在t1时刻,两图象相交,说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同,A正确;
对于B,在[t1,t2]时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同,都为,B错误;
同B知C正确;
对于D,在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率分别为,显然不相同,D错误.故选AC.
5(共17张PPT)
函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 .
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
第5章 导数及其应用
5.1 导数的概念
知识点 1 平均变化率
必备知识 清单破
知识点 2 曲线上一点处的切线
知识点 3 瞬时速度与瞬时加速度
1.函数在一点处的导数
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值 = 无
限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数(也称为 瞬时变化率),记作f '(x0).通常又可表示为f '(x0)= .
函数y=f(x)在x=x0处的导数还可以记作y' .
2.导数的几何意义
导数f '(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率.
3.导函数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化,因
知识点 4 瞬时变化率——导数
而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f '(x).
在不引起混淆时,导函数f '(x)也简称为f(x)的导数.
瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,即v(t)=S'(t);
瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数,即a(t)=v'(t).
f(x)在x=x0处的导数f '(x0)就是导函数f '(x)在x=x0处的函数值.
知识辨析
1.Δx和Δy一定是正数吗
2.Δx无限趋近于0与Δx=0的意思相同吗
3.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变化,对吗
4.f'(x)与f'(x0)表达的意思相同吗
5.运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0,那么该时刻物体一定停止运动吗
一语破的
1.不一定.Δx可正、可负,但不能为0;Δy可正、可负、可为0(当f(x)为常数函数时,Δy=0).
2.不相同.Δx无限趋近于0是一种极限思想,它无限逼近于0,但是不等于0.
3.不对.只能说明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在区间[x1,x2]内可以有变化.
4.不相同.f'(x)表示函数f(x)的导函数,是一个变量,而f'(x0)表示f'(x)在x=x0处的函数值,是确定的值.
5.不一定.瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻变化得快慢,瞬时加速度为0时,速度不一定为0.
定点 1 平均变化率与瞬时变化率
关键能力 定点破
平均变化率:对于函数y=f(x),在自变量x从x0变化到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0), 则称 = 为函数f(x)在点x0附近的平均变化率.
瞬时变化率:在上述过程中,当Δx无限趋近于0,即x1无限趋近于x0时,称 = 为
f(x)在x=x0处的瞬时变化率.
平均变化率与瞬时变化率是两个不同的概念,但可以用平均变化率的值来估算瞬时变化率的 值,当Δx无限趋近于0时,平均变化率无限趋近于的常数即为瞬时变化率.
典例 已知自由落体的物体的运动方程为s= gt2,求:
(1)物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;
(2)物体在t0时刻的瞬时速度.
解析 (1)物体在t0到t0+Δt这段时间内路程的增量Δs= g(t0+Δt)2- g ,因此,物体在这段时间
内的平均速度 = = = g· = g·(2t0+Δt).
(2)物体在t0时刻的瞬时速度v= = g(2t0+Δt)=gt0.
方法技巧 求瞬时速度的步骤:(1)求平均速度 ,(2)令Δt→0,求出瞬时速度.
1.导数定义的等价形式
y'= ;
y'= ;
y'= .
注意:自变量之差与函数值之差要相互对应.
2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率: = ;
定点 2 求函数在某点处的导数
(3)取极限,得导数:f'(x0)= .
典例 (1)下列各式中正确的是 ( )
A.y' =
B.y' =
C.y' =
D.y' =
(2)已知函数f(x)在x=x0处可导,若 =1,则f'(x0)= ( )
A.1 B. C.3 D.0
C
B
解析 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数可表示为y' = ,其中Δy是函数值的差,Δx是自变
量的差,显然A、B、D都不符合;对于C,Δx→0等价于x→x0,所以y' = .故选C.
(2) =3 =3f'(x0)=1,所以f'(x0)= .故选B.
易错警示 导数的定义有多种等价形式,其本质结构都是f'(x0)= ,应用时注意Δx与Δy的
取值要对应.
1.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程
(1)点P(x0, f(x0))为切点;
(2)切线斜率k=f'(x0);
(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.曲线y=f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程
(1)点P可能是切点,也可能不是切点;
(2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关,此时求切线方程的一 般步骤如下:
①设出切点(x1, f(x1));
②求出函数f(x)在点(x1, f(x1))处的导数f'(x1);
定点 3 求曲线的切线方程
③写出切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0,f(x0))代入,求得x1;
④将x1代入切线方程,化简得到最终方程.
3.注意
(1)直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线的切线,如图中的直线l1.
(2)当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如图中的直线l2,其中N 是切点.
典例 已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(1,-2).
(1)求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)过点P的切线方程.
思路点拨 (1)在点P处的切线,则P为切点 切线斜率f'(1) 切线方程.
(2)过点P,则P不一定是切点 设出切点坐标(x0, -3x0) 切线斜率f'(x0) 利用P在切线
上求出x0 切线方程.
解析 (1) = =3x·Δx+3x2+(Δx)2-3,
当Δx→0时, →3x2-3,
∴f'(x)=3x2-3,则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为f'(1)=0,
∴所求切线的方程为y=-2.
(2)设切点坐标为(x0, -3x0),则由(1)知切线的斜率为f'(x0)=3 -3,
∴切线的方程为y-( -3x0)=(3 -3)(x-x0),又切线过点P(1,-2),
∴-2-( -3x0)=(3 -3)(1-x0),
整理得(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=- .
∴所求切线的斜率为0或- ,故切线的方程为y=-2或9x+4y-1=0.
易错警示 求曲线的切线方程时,首先要区分是“在某点处”还是“过某点”.如果是“过 某点”,那么应先设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出 切线方程.5.1.2 瞬时变化率——导数
基础过关练
题组一 曲线的割线、切线的斜率
1.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=f(x)的图象上,若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为,则下面叙述正确的是( )
A.曲线y=f(x)的割线AB的倾斜角为
B.曲线y=f(x)的割线AB的倾斜角为
C.曲线y=f(x)的割线AB的斜率为-
D.曲线y=f(x)的割线AB的斜率为-
2.过曲线y=上一点(2,-2)及其附近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时,割线的斜率为( )
A.
3.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点O,则实数c的值为 .
题组二 瞬时速度与瞬时加速度
4.已知某质点运动的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=,则该质点在t=3 s时的瞬时速度为( )
A. m/s B.- m/s C. m/s D.- m/s
5.某堆雪在融化过程中,其体积V(单位:m3)与融化时间t(单位:h)近似满足函数关系:V(t)=H(H为常数),其图象如图所示.记这堆雪从开始融化到结束的平均融化速度为(m3/h),则
瞬时融化速度等于(m3/h)的时刻是( )
A.t1 B.t2 C.t3 D.t4
6.宁启铁路线新开行的“绿巨人”动力集中复兴号动车组列车的最高速度为160 km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内,速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v=6.6t+0.6t2,则出站后“绿巨人”的速度首次达到48 m/s时的加速度为( )
A.12.6 m/s2 B.14.6 m/s2 C.14.8 m/s2 D.16.8 m/s2
7.某质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=t4+3t2-t,当t=t0 s时,该质点的瞬时加速度大于9 m/s2,则t0的取值范围是( )
A. C.(1,+∞) D.
8.某物体的运动方程为s=(位移s的单位:m,时间t的单位:s),求:
(1)物体在[3,5]这段时间内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1 s时的瞬时速度.
题组三 导数的定义及应用
9.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为( )
A.f'(x0)=
B.f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f'(x0)=
10.设函数f(x)在x=1处的导数为3,则=( )
A.1 B.3 C.6 D.9
11.已知f(x)=x2-1,则f'(1)=( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
12.设函数f(x)在R上可导,且f'(1)=2 021,则= .
题组四 导数的几何意义
13.曲线f(x)=x3+1在点(-1, f(-1))处的切线方程为( )
A.y=-3x-1 B.y=3x+1
C.y=3x+3 D.y=-3x-3
14.如图,已知函数f(x)的图象在点P(2, f(2))处的切线为l,则f(2)+f'(2)=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.1
15.已知函数f(x)的图象如图所示, f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是( )
A.0B.0C.0D.0<16.已知函数f(x)可导,且=1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为 ( )
A.45° B.60° C.120° D.135°
17.(多选题)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m, f(m))处的切线为lm,则( )
A.lm的斜率的最小值为-2
B.lm的斜率的最小值为-3
C.l0的方程为y=1
D.l-1的方程为y=9x+6
18.已知函数g(x)与f(x)=x2(x∈[0,+∞))的图象关于直线y=x对称,将g(x)的图象先向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到h(x)的图象,若P,Q分别为函数f(x),h(x)图象上的点,则这两点间距离的最小值为 .
19.已知函数f(x)=x3.
(1)用导数的定义求函数f(x)在x=2处的导数;
(2)过点(2,8)作曲线y=f(x)的切线,求切线的方程.
答案与分层梯度式解析
5.1.2 瞬时变化率——导数
基础过关练
1.B 函数f(x)从x1到x2的平均变化率为,则割线AB的斜率为,倾斜角为.故选B.
2.B ,当Δx=0.5时,,故选B.
3.答案 4
解析 把x=-2代入y=x2-x+c中,得y=6+c,即P(-2,6+c),所以抛物线在点P处的切线斜率为-,
易知抛物线在点P及其附近一点(-2+Δx,6+c+Δy)的割线的斜率k==Δx-5,
当Δx趋近于0时,k趋近于-5,故抛物线在点P处的切线斜率为-5,故-=-5,解得c=4.
4.D ,
所以.故选D.
5.C 由题意得平均融化速度,表示V(t)的图象与坐标轴交点所连直线的斜率,
观察可知在t3处,瞬时融化速度(即切线的斜率)与平均融化速度相等,故选C.
6.A 设t0 s时,“绿巨人”的速度首次达到48 m/s,
则48=6.6t0+0.6,即+11t0-80=0,
解得t0=5或t0=-16(舍去),
=(12.6+0.6Δt)=12.6,
即速度首次达到48 m/s时的加速度为12.6 m/s2,
故选A.
7.B 由题意可得
s'(t)=
=[(Δt)3+4t·(Δt)2+6t2Δt+3Δt+4t3+6t-1]
=4t3+6t-1,
设f(t)=4t3+6t-1,
则f'(t0)=
=+12t0·Δt+6]=12+6,
因为当t=t0 s时,该质点的瞬时加速度大于9 m/s2,所以f'(t0)=12+6>9,所以t0>,所以t0的取值范围是.故选B.
8.解析 (1)由已知得物体在[3,5]内的运动方程为s=3t2+2,
所以平均速度为=24(m/s).
(2)要求物体的初速度v0,即求物体在t=0 s时的瞬时速度,
因为
==3Δt-18,
所以物体在t=0 s时的瞬时变化率为(3Δt-18)=-18,所以物体的初速度为-18 m/s.
(3)因为
==3Δt-12,
所以物体在t=1 s时的瞬时变化率为(3Δt-12)=-12,即物体在t=1 s时的瞬时速度为-12 m/s.
9.A
10.A ×3=1.故选A.
易错警示 导数的定义有多种等价形式,其本质结构都是f'(x0)=,应用时注意Δx与Δy的取值要对应.
11.C 由f(x)=x2-1,
得f'(1)=(2+Δx)=2.
故选C.
12.答案 1
解析 由导数定义可知f'(1)==2 021,
所以×2 021=1.
13.C 由题可得f(-1)=-1+1=0, f'(-1)=[(Δx)2+3-3Δx]=3,
所以曲线f(x)=x3+1在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.故选C.
14.D 由题图可得切线l过点(0,4)和(4,0),故切线斜率为=-1,切线方程为=1,所以f'(2)=-1,切点坐标为(2,2),则f(2)=2,所以f(2)+f'(2)=2-1=1.故选D.
15.B f'(1)和f'(3)分别表示曲线f(x)在x=1和x=3处的切线的斜率,表示直线AB的斜率,观察题图可知016.A 由=1,可得f'(1)=1,则曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率为1,
设曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),则tan θ=1,可得θ=45°.故选A.
17.BCD f'(m)=
=[3m2-6m+3mΔx-3Δx+(Δx)2]=3m2-6m=3(m-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3.
因为f'(0)=0, f(0)=1,所以l0的方程为y=1.
因为f'(-1)=9, f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6.故选BCD.
18.答案
解析 将直线y=x先向右平移1个单位,再向下平移1个单位可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴,即直线y=x-1-1,即y=x-2,
所以P,Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的最小值的2倍,易知当点P到直线y=x-2的距离最小时, f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y=x-2,设P(x0,y0),
则=Δx+2x0,当Δx→0时,→2x0,故函数f(x)=x2的图象在点P处的切线斜率为2x0,故2x0=1,解得x0=,则y0=,
所以点P到直线y=x-2的距离的最小值为,
所以P,Q两点之间距离的最小值为2×.
方法技巧 曲线上的点到直线距离的最小值即为曲线上与该直线平行的切线的切点到该直线的距离.
19.解析 (1)由已知得
==(Δx)2+6Δx+12,
所以[(Δx)2+6Δx+12]=12,则f'(2)=12.
(2)设切点为(x0,),则切线的斜率k=f'(x0)=,
故切线方程为y-(x-x0),
将点(2,8)代入得8-(2-x0),即+4=0,得(x0+1)(x0-2)2=0,
所以x0=-1或x0=2,
所以切线方程为3x-y+2=0或12x-y-16=0.
1