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5.2 导数的运算
知识点 1 基本初等函数的求导公式
必备知识 清单破
原函数 导函数
f(x)=xα(α为常数) f '(x)=αxα-1
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a
f(x)=ex f '(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=
原函数 导函数
f(x)=ln x f '(x)=
f(x)=sin x f '(x)=cos x
f(x)=cos x f '(x)=-sin x
特别提醒 几个常用函数的导数
(1)若f(x)=C(C为常数),则f '(x)=0.
(2)若f(x)= ,则f '(x)=- .
(3)若f(x)= ,则f '(x)= .
设函数f(x),g(x)均可导,且其导数分别为f'(x),g'(x),则
知识点 2 函数的和、差、积、商的求导法则
和的导数 [f(x)+g(x)]'=f '(x)+g'(x)
差的导数 [f(x)-g(x)]'=f '(x)-g'(x)
积的导数 [Cf(x)]'=Cf '(x)(C为常数),[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
商的导数 '= (g(x)≠0)
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=
g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.
知识点 4 简单复合函数的导数
知识辨析
1.[f(x0)]'=f'(x0),对吗
2.(ax)'=xax-1(a>0,且a≠1),对吗
3.若f'(x)=1,则f'(x)的原函数一定是f(x)=x吗
4.已知函数f(x)=x- x2-ln x,则f'(-1)=3,正确吗
一语破的
1.不对.f(x0)是一个常数,所以[f(x0)]'=0,而f'(x0)是当x=x0时f'(x)的函数值,不一定为0.
2.不对.(ax)'=axln a(a>0,且a≠1),而(xa)'=axa-1(a是常数).求导时不要混淆指数函数和幂函数的求 导公式.
3.不一定.若f'(x)=1,则f(x)=x+c(c为常数).
4.不正确.函数f(x)的定义域为{x|x>0},所以f'(-1)的值不存在.
利用导数的四则运算法则求导的策略
(1)若待求导的函数是两个函数商的形式,则可先对函数进行适当变形,再求导.
(2)对于多个整式乘积形式的函数,可以考虑展开,化为和、差形式,再求导.
(3)对于三角函数,可考虑先进行恒等变形,再求导.
定点 1 利用导数的四则运算法则求导
关键能力 定点破
典例 求下列函数的导数.
(1)y=ln x+ ;
(2)y=(2x2-1)(3x+1);
(3)y=x-sin cos ;
(4)y= .
解析 (1)y'= '=(ln x)'+ '= - .
(2)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3.
(3)因为y=x-sin cos =x- sin x,
所以y'= '=x'- '=1- cos x.
(4)y'= '= =- .
1.复合函数求导的步骤
定点 2 复合函数的导数
(1)通常是将复合函数分解为基本初等函数;
(2)求导时分清是对哪个变量求导;
(3)计算结果尽量简单.
2.求复合函数的导数的注意点
典例 求下列函数的导数:
(1)y= ;
(2)y=(1-2x)3;
(3)y=sin ;
(4)y=22x+1.
解析 (1)函数y= 可以看作函数y= 和u=3x+1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x= '·(3x+1)'= '·3=-3 =-3(3x+1 .
(2)函数y=(1-2x)3可以看作函数y=u3和u=1-2x的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(u3)'·(1-2x)'=-6u2=-6(1-2x)2.
(3)函数y=sin 可以看作函数y=sin u和u= -3x的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(sin u)'· '=-3cos u=-3cos =3sin 3x.
(4)函数y=22x+1可以看作函数y=2u和u=2x+1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(2u)'·(2x+1)'=2·2uln 2=2·22x+1ln 2=4x+1ln 2.
切线问题的处理思路
(1)对函数进行求导;
(2)若已知切点,则直接求出切线斜率、切线方程;
(3)若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求出切点坐标.
在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找出切点是关键.
定点 3 利用导数运算解决切线问题
典例 (1)若直线l:y=kx+b 与曲线f(x)=ex-1和g(x)=ln(x+1)均相切,则直线l的方程为 ;
(2)若点P是曲线y=x2-ln x-1上任意一点,则点P到直线y=x-3距离的最小值为 .
y=x
解析 (1)设直线l与曲线f(x),g(x)分别相切于点A(x1, ),B(x2,ln(x2+1)),
由f'(x)=ex-1,g'(x)= ,可得k= = ,故曲线f(x)在点A处的切线方程为y- = (x-x1),即y
= x+ (1-x1),
曲线g(x)在点B处的切线方程为y-ln(x2+1)= (x-x2),即y= x+ln(x2+1)- ,由
得 ln(1+x2)=ln(1+x2)- ,
故 = ln(1+x2),故x2=0或ln(1+x2)=1,
若ln(1+x2)=1,则x2+1=e,则 = < ,不合题意,舍去,故x2=0,此时直线l的方程为y=x.
(2)由题意可得,当点P到直线y=x-3的距离最小时,曲线y=x2-ln x-1在点P处的切线平行于直线y =x-3,设P(x0,y0).
因为y=x2-ln x-1,所以y'=2x- ,
所以y' =2x0- =1,
解得x0=1或x0=- (舍去),
则y0=12-ln 1-1=0,即P(1,0).
故点P到直线y=x-3距离的最小值为 = .5.2.3 简单复合函数的导数
基础过关练
题组一 复合函数的求导法则
1.已知f(x)=,则f'(x)=( )
A.
2.(多选题)下列求导正确的是( )
A.(e3x)'=3e2x
B.(2sin x-3)'=2cos x
C.
D.(xcos x)'=cos x-xsin x
3.设函数f(x)=xsin 2x,则f'= .
4.设函数f(x)=,若f'(0)=1,则a= .
5.已知函数f(x)=-x2+3xf'(1)+6ln(2x+1),则f(1)= .
6.求下列函数的导数:
(1)y=(x2+3x+3)ex+1;
(2)y=;
(3)y=ln;
(4)y=sin2.
题组二 复合函数求导的综合运用
7.已知曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,则k的值为( )
A.4 B.2 C.-3 D.-6
8.已知f(x)=(a≠0)是奇函数,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是( )
A.y=0 B.y=x
C.y=2x D.y=ex
9.某海湾拥有世界上最大的海潮.假设在该海湾某一固定点处,大海水深d(单位:m)与午夜后的时间t(单位:h)之间的关系为d(t)=10+4cost,则下午5:00时该固定点的水位变化的速度(单位:m/h)为( )
A.
10.(多选题)关于双曲正弦函数sinh x=和双曲余弦函数cosh x=,下列结论正确的是( )
A.sinh(-x)=-sinh x
B.(cosh x)'=-sinh x
C.cosh(-1)D.sinh2x-cosh2x=1
11.若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+的取值范围是 .
能力提升练
题组 复合函数的导数及其应用
1.已知ω是正整数,函数f(x)=sin(ωx+ω)在(0,ωπ)内恰好有4个零点,其导函数为f'(x),则f(x)+f'(x)的最大值为( )
A.2 B.
C.3 D.
2.将函数g(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移(0<φ<π)个单位长度得到函数f(x)的图象, f(0)=, f'(x)为f(x)的导函数,且f'(0)<0,若当x∈[0,π]时, f(x)的取值范围为,则ω的取值范围为( )
A.≤ω<1 B.≤ω≤1
C.≤ω<≤ω≤
3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=ln|x|图象上的两个不同点,且曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,则x1-x2的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
4.若函数y1=sin 2x1+,y2=x2+3,则的最小值为( )
A.
C.
5.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x+1),且f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数,则g'(7)+g(17)=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若 m∈R, a,b∈R,使得=f(m)成立,则称函数f(x)满足性质Ω,下列函数不满足性质Ω的是( )
A.f(x)=x2+3x B.f(x)=
C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=cos(1-2x)
7.设函数f(x)的定义域为R, f'(x)为f(x)的导函数, f(x+1)-f(2-x)=2x-1,则= .
8.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.
答案与分层梯度式解析
5.2.3 简单复合函数的导数
基础过关练
1.D f(x)=,则f'(x)=.故选D.
2.BD (e3x)'=3e3x,故A错误;(2sin x-3)'=2cos x,故B正确;,故C错误;(xcos x)'=x'cos x+x(cos x)'=cos x-xsin x,故D正确.故选BD.
3.答案 -π
解析 由已知得 f'(x)=sin 2x+2xcos 2x,
所以f'=sin π+2×cos π=-π.
4.答案 1
解析 由题意可知f'(x)=,由f'(0)=1,得=1,所以a=1.
5.答案 6ln 3-4
解析 f'(x)=-2x+3f'(1)+,则f'(1)=-2+3f'(1)+4,得f'(1)=-1,
所以f(x)=-x2-3x+6ln(2x+1),故f(1)=6ln 3-4.
6.解析 (1)因为y=(x2+3x+3)ex+1,
所以y'=(x2+3x+3)'·ex+1+(x2+3x+3)·(ex+1)'
=(2x+3)ex+1+(x2+3x+3)ex+1=ex+1(x2+5x+6).
(2)因为y=,
所以y'=
=.
(3)因为y=ln,所以y'=.
(4)因为y=sin2,
所以y'=.
7.B 由y=x+kln(1+x)得y'=1+,所以y'x=1=1+,即曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线斜率为1+,又直线x+2y=0的斜率为-,所以-=-1,解得k=2.故选B.
8.C ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)==0,可得(eax-1)(eax-e2x)=0,
∵a≠0,∴eax-1=0不恒成立,则eax=e2x,可得a=2,∴f(x)==ex-e-x,
则f(0)=0, f'(x)=ex+e-x,故f'(0)=2,可知切点坐标为(0,0),切线斜率为2,∴切线方程为y=2x.
故选C.
9.A 由d(t)=10+4cost,得d'(t)=-t,所以下午5:00时该固定点的水位变化的速度为d'(17)=-(m/h).故选A.
10.AC sinh(-x)==-sinh x,
∴A中结论正确;
(cosh x)'==sinh x≠-sinh x,
∴B中结论错误;
cosh 2-cosh(-1)=>0,∴cosh 2>cosh(-1),∴C中结论正确;
sinh2x-cosh2x==-1,
∴D中结论错误.故选AC.
11.答案 [2,+∞)
解析 设切点为(x0,y0),由y=ln(x+a)得y'=,所以解得b=ae-2,
因为b>0,所以a>,
则a+≥2=2,当且仅当a=,即a=1时取等号,故a+的取值范围为[2,+∞).
能力提升练
1.B 设f(x)的周期为T,则T=.
因为f(x)在(0,ωπ)内恰好有4个零点,
所以<ωπ-0≤,即<ωπ≤,所以3<ω2≤5,
又ω∈N*,所以ω=2,即f(x)=sin(2x+2),则f'(x)=2cos(2x+2),
所以f(x)+f'(x)=sin(2x+2)+2cos(2x+2)=sin(2x+2+φ)≤,其中tan φ=2,φ∈.故选B.
2.D 由题意得f(x)=sin=sin(ωx+φ),
则f'(x)=ωcos(ωx+φ),f(0)=sin φ=, f'(0)=ωcos φ<0,
∵ω>0,∴cos φ<0,又0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=sin.
当x∈[0,π]时,ωx+,
∵f(x)∈,∴π≤πω+,解得≤ω≤.故选D.
3.D 当x>0时, f(x)=ln x, f'(x)=,
当x<0时, f(x)=ln(-x), f'(x)=-,
因为曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,
所以f'(x1)·f'(x2)==-1,即x1x2=-1,
又x1>x2,所以x1>0>x2,
因此x1-x2=x1+≥2=2,
当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立,
所以x1-x2的取值范围为[2,+∞).故选D.
4.D (x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值即点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离的平方的最小值.
由题可得y'1=2cos 2x1,令y'1=1,则cos 2x1=,
又x1∈,所以x1=,所以y1=,
故函数y1=sin 2x1+处的切线与直线y2=x2+3平行.
易得切点到直线y2=x2+3的距离为,
易知到直线y2=x2+3的距离的平方,
所以.
故选D.
5.C ∵g(3+x)为偶函数,∴g(3+x)=g(3-x),
又g(x)=f'(x+1),∴f'(x+4)=f'(-x+4),
对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导,得f'(2+x)+f'(2-x)=4,∴f'(4+x)+f'(-x)=4,即f'(4-x)+f'(-x)=4,∴f'(4+x)+f'(x)=4,则f'(8+x)=f'(x),∴函数f'(x)的周期为8,
在f'(2+x)+f'(2-x)=4中,令x=0,得f'(2)=2,
∴g(17)=f'(18)=f'(2)=2,
∵g(3+x)=g(3-x),
∴g'(3+x)=-g'(3-x),∴g'(7)=-g'(-1)①,
又f'(8+x)=f'(x),∴g(7+x)=g(x-1),∴g'(7+x)=g'(x-1),∴g'(7)=g'(-1)②,
由①②可得g'(7)=0,∴g'(7)+g(17)=2,故选C.
6.C 由题意得f(x)的值域是f'(x)值域的子集.
对于A,由二次函数的性质知f(x)=x2+3x的值域为,∵f'(x)=2x+3,∴f'(x)的值域为R,
则 R,A满足性质Ω;
对于B, f(x)的值域为(0,1],且f(x)=
当x≥0时, f'(x)=∈[-2,0),当x<0时, f'(x)=∈(0,2),
显然f(x)的值域是f'(x)值域的子集,B满足性质Ω;
对于C,∵-x+1∈R,∴f(x)=e-x+1的值域为(0,+∞),
∵f'(x)=-e-x+1,∴f'(x)的值域为(-∞,0), f(x)的值域不是f'(x)值域的子集,C不满足性质Ω;
对于D,∵1-2x∈R,∴f(x)=cos(1-2x)的值域为[-1,1],∵f'(x)=2sin(1-2x),∴f'(x)的值域为[-2,2],则[-1,1] [-2,2],D满足性质Ω.故选C.
7.答案 89
解析 由f(x+1)-f(2-x)=2x-1,得f'(x+1)+f'(2-x)=2,所以f'(x)+f'(3-x)=2,令x=,则2f'=2,即f'=1,易知f'=2,
则+f'+…++1=89.
8.解析 f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,
则a=f'=3-2sin +2cos =1.
∵点P在曲线y=x3上,∴b=a3=1,
∴点P的坐标为(1,1).
由y=x3得y'=3x2.
设切点坐标为(x0,),则切线的斜率为3,
∴切线方程为y-(x-x0).
又P(1,1)在切线上,∴1-(1-x0),
∴2+1=0,
∴(x0-1)2(2x0+1)=0,∴x0=-或x0=1,
∴切点的坐标为或(1,1),
∴满足题意的切线方程为y+或y-1=3(x-1),即3x-4y+1=0或3x-y-2=0.
115.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
基础过关练
题组一 利用导数公式求函数的导数
1.已知函数f(x)=,则f'(3)=( )
A.
2.(多选题)已知函数f(x)=,且f'(m)=-1,则m的值可以为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.下列运算正确的是( )
A. B.(4x)'=x·4x-1
C.(x-5)'=-
4.已知函数f1(x)=sin x, fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 020=( )
A.-
5.已知函数f(x)=xα的图象过点(2,8),则f'(1)= .
6.已知f(x)=,g(x)=mx,且g'(3)=,则m= .
题组二 导数公式的应用
7.(多选题)设b为实数,则直线y=2x+b能作为
下列函数图象的切线的有( )
A. f(x)= B. f(x)=x4 C. f(x)=ex D. f(x)=sin x
8.已知直线l经过点(0,b),且与直线y=2x平行,若l与曲线y=x2相切,则b=( )
A.- B.-1 C.1 D.
9.已知函数f(x)及其导函数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,下列函数中没有“巧值点”的是( )
A. f(x)=x B. f(x)=ex C. f(x)=cos x D. f(x)=
10.若曲线y=ln x上恰有三个不同的点到直线y=x+a的距离为,则实数a的值为( )
A.-3 B.-2 C.1 D.-3或1
11.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg ,则a1+a2+a3+…+a2 022 = .
12.若曲线f(x)=logax(a>1)与曲线g(x)=在公共点处有相同的切线,则a= .
13.已知直线l分别与曲线f(x)=ln x,g(x)=ex相切于点(x1,ln x1),(x2,),则的值为 .
答案与分层梯度式解析
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
基础过关练
1.A 由题意得f'(x)=.
故选A.
2.AB 由题意得f'(x)=-,则f'(m)=-=-1,∴m=±1.故选AB.
3.D '=0,A错误;(4x)'=4xln 4,B错误;(x-5)'=-5x-6,C错误;(log2x)'=,D正确.故选D.
4.C 由题意得f2(x)=f'1(x)=cos x, f3(x)=f'2(x)=-sin x, f4(x)=f'3(x)=-cos x, f5(x)=f'4(x)=sin x,
……,则fn+4(x)=fn(x),故f2 020(x)=f4(x)=-cos x,所以f2 020.故选C.
5.答案 3
解析 将点(2,8)代入f(x)=xα可得8=2α,即α=3,所以f(x)=x3,则f'(x)=3x2,故f'(1)=3.
6.答案 -9
解析 由f(x)=得f'(x)=-,所以f'(3)=-,
由g(x)=mx得g'(x)=m,
所以m=g'(3)==-9.
7.BC 若直线y=2x+b为函数y=f(x)图象的切线,则f'(x)=2有解.
对于A, f'(x)=-<0, f'(x)不可能等于2,不符合题意;
对于B, f'(x)=4x3,令4x3=2,解得x=,符合题意;
对于C, f'(x)=ex,令ex=2,解得x=ln 2,符合题意;
对于D, f'(x)=cos x∈[-1,1],故f'(x)不可能等于2,不符合题意.故选BC.
8.B 设切点为(m,m2),对y=x2求导,得y'=2x,因为l与曲线y=x2相切,且与直线y=2x平行,所以l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切点为(1,1),又l过点(0,b),所以2=,解得b=-1.故选B.
方法总结 利用导数解决切线问题时,要知道切点既在直(切)线上,又在曲线上,把切点的横坐标代入所求的导数中,得切线的斜率.
简记:在直在曲,代横得k.
9.D 对于A, f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故f(x)=x有“巧值点”;
对于B, f'(x)=ex,令f(x)=f'(x),则x∈R,故f(x)=ex有“巧值点”;
对于C, f'(x)=-sin x,令cos x=-sin x,
则sin x+cos x=0,即=0,
所以x+=kπ,k∈Z,解得x=kπ-,k∈Z,
故函数f(x)=cos x有“巧值点”;
对于D, f(x)的定义域为{x|x>0},则f'(x)=-<0,而f(x)>0,所以f(x)=f'(x)无解,故f(x)=没有“巧值点”.故选D.
10.A 设直线l与直线y=x+a平行,且与曲线y=ln x相切于点P(m,n),
易知y=ln x的定义域为(0,+∞),且y'=,所以y'x=m=,故l的斜率为,
所以=1,解得m=1,则n=ln 1=0,故P(1,0),
所以l的方程为y=x-1,
若曲线y=ln x上恰有三个不同的点到直线y=x+a的距离为,则直线l到直线y=x+a的距离为,
则,解得a=1或a=-3,
当a=1时,直线y=x+a即为y=x+1,与曲线y=ln x没有交点,曲线y=ln x上只有一个点到直线y=x+1的距离为,不符合题意;
当a=-3时,直线y=x+a即为y=x-3,与曲线y=ln x有两个交点,曲线y=ln x上恰有三个不同的点到直线y=x-3的距离为,一个点为点P,剩余的两个点在直线y=x-3的右下方,符合题意,故a=-3.
故选A.
11.答案 lg 2 023
解析 由y=xn+1,得y'=(n+1)xn,所以曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线的斜率为n+1,
则切线的方程为y-1=(n+1)(x-1).
令y=0,得x=,即xn=,
因此an=lg =lg(n+1)-lg n,n∈N*,
所以a1+a2+a3+…+a2 022=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+(lg 4-lg 3)+…+(lg 2 023-lg 2 022)=lg 2 023-lg 1=lg 2 023.
12.答案
解析 由题意得f'(x)=,
设f(x)与g(x)的图象的公共点为(x0,y0),
则
则则ln x0=2,所以x0=e2,
∴ln a=,故a=.
解题模板 用导数解决公切线问题的一般步骤
已知曲线C1:y=f(x)在点A(x1, f(x1))处的切线为l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理得y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1);曲线C2:y=g(x)在点B(x2,g(x2))处的切线为l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2),则有
曲线C1:y=f(x)与曲线C2:y=g(x)公切线的条数等价于方程组解的个数.
13.答案 1
解析 由题意得f'(x)=,g'(x)=ex,
曲线y=f(x)在点(x1,ln x1)处的切线方程为y-ln x1=(x-x1),曲线y=g(x)在点(x2,)处的切线方程为y-(x-x2),则得ln x1-1=ln (1-x2),
所以,可得=1.
75.2.2 函数的和、差、积、商的导数
基础过关练
题组一 函数的和、差、积、商的导数
1.下列求导运算正确的是( )
A. B.(x2+3x)'=2x+3xlg 3
C.(xcos x)'=-sin x D.
2.已知函数f(x)=sin x+cos x,x∈(0,π),若f'(x0)=0,则x0=( )
A.
3.已知函数f(x)=3f'(1)x-x2+ln x+(f'(x)是f(x)的导函数),则f'(1)=( )
A.1 B.2 C.
4.已知函数f(x)=x(x-3)(x-32)(x-33)(x-34)(x-35),则f'(0)=( )
A.315 B.314 C.-314 D.-315
5.求下列函数的导数.
(1)y=3cos x-4sin x+2ex;
(2)y=log2x-3x;
(3)y=x2sin x+;
(4)y=ln x+.
题组二 求导法则的综合应用
6.已知曲线f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在点(1, f(1))处的切线与直线x+y-1=0垂直,则ab的最大值为 ( )
A.1 B.
7.已知函数f(x)=ln x+x的零点为x0,过原点作曲线y=f(x)的切线,切点为P(m,n),则mx0=( )
A. D.e2
8.函数f(x)=xsin x的导函数f'(x)在定义域[-π,π]上的图象大致为 ( )
A B C D
9.已知点P是曲线x2=4y上的一个动点,则点P到直线x+y+4=0的距离的最小值是 .
10.(2024江苏高邮调研)已知函数f(x)=x3+x-2.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程;
(2)若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
能力提升练
题组 导数的四则运算法则及其应用
1.设f'(x)为f(x)的导函数,若f(x)=(x+1)ex-f'(0)x,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为( )
A.y=-x+1 B.y=-2x+1
C.y=2x+1 D.y=x+1
2.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且 x∈R,都有f'(x)=ex(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数), f(0)=1,则( )
A.f(x)=ex(x+1) B.f(x)=ex(x-1)
C.f(x)=ex(x+1)2 D.f(x)=ex(x-1)2
3.已知将函数f(x)=xex+1的图象绕原点按顺时针方向旋转后得到曲线y=g(x).若g(x)≥m,则实数m的取值范围是( )
A. B.(-∞,0]
C.(-∞,] D.(-∞,1]
4.若函数f(x)=x2-ax与g(x)=ln x+2x的图象在公共点处有相同的切线,则实数a=( )
A.-2 B.-1 C.e D.-2e
5.(多选题)函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x)-f(-x)=2x, f'(1+x)+f'(1-x)=0,则(注:f(1-x)的导数为-f'(1-x))( )
A.y=f(x)+x为偶函数
B.f(x)的图象关于直线x=1对称
C.f'(0)=1
D.f'(x+2)=f'(x)+2
6.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的导函数为f'(x),关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|17.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数, f ″(x)是f'(x)的导数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=,则f(x)的“拐点”为 , f+…+f= .
8.已知函数f(x)=(1-x)ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)过点A(a,0)作曲线y=f(x)的切线,若切线有且仅有1条,求实数a的值.
答案与分层梯度式解析
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
基础过关练
1.D ,故A错误;
(x2+3x)'=(x2)'+(3x)'=2x+3xln 3,故B错误;
(xcos x)'=x'·cos x+x·(cos x)'=cos x-xsin x,故C错误;
,故D正确.故选D.
2.A 由已知得f'(x)=cos x-sin x,∴f'(x0)=cos x0-sin x0=0,即tan x0=1,又x0∈(0,π),∴x0=.故选A.
3.C 由题意可得f'(x)=3f'(1)-2x+,所以f'(1)=3f'(1)-2+1,则 f'(1)=,
故选C.
4.D 设φ(x)=(x-3)(x-32)(x-33)(x-34)(x-35),则f(x)=xφ(x),则f'(x)=φ(x)+xφ'(x),∴f'(0)=φ(0)=-3×32×33×34×35=-31+2+3+4+5=-315,故选D.
5.解析 (1)由y=3cos x-4sin x+2ex,
可得y'=-3sin x-4cos x+2ex.
(2)由y=log2x-3x,可得y'=-3xln 3.
(3)由y=x2sin x+,可得y'=2xsin x+x2cos x+=2xsin x+x2cos x-.
(4)由y=ln x+,可得y'=.
6.C f'(x)=ax+b,所以f'(1)=a+b.
因为曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线x+y-1=0垂直,所以f'(1)=1,即a+b=1,
则ab≤,当且仅当a=b=时等号成立.故选C.
7.B 由已知得P(m,ln m+m), f'(x)=+1,则切线方程为y=(x-m)+ln m+m,
因为切线过原点,所以0=(-m)+ln m+m,解得m=e,则P(e,e+1),由ln x0+x0=0,可得x0=-ln x0,故mx0=ex0·=ex0·=e.故选B.
8.C 导函数f'(x)的定义域为[-π,π],关于原点对称,又f'(x)=sin x+xcos x,∴f'(-x)=-sin x-xcos x=-f'(x),∴f'(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A、B;f'(π)=0-π=-π<0,排除D.故选C.
9.答案
解析 设直线l与直线x+y+4=0平行且与曲线y=x2相切,切点为(x0,y0),由y=x2,得y'=x,所以y'x0=-1,
则x0=-2,故切点坐标为(-2,1),
所以点P到直线x+y+4=0的距离的最小值即为(-2,1)到直线x+y+4=0的距离,即.
10.解析 (1)由题意得f'(x)=3x2+1,则f'(1)=3×12+1=4.
故曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y-0=4(x-1),即4x-y-4=0.
(2)设切点为(x0,+x0-2),则f'(x0)=3+1,
故切线l的方程为y-(+1)(x-x0).
由切线l经过原点,得-(+1),
所以x0=-1,故切点为(-1,-4),
故切线l的方程为y+4=4(x+1),即y=4x.
能力提升练
1.D ∵f(x)=(x+1)ex-f'(0)x,
∴f'(x)=ex(x+2)-f'(0),
令x=0,得f'(0)=2-f'(0),∴f'(0)=1,
∴f(x)=(x+1)ex-x,∴f(0)=1,
∴曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y-1=x-0,即y=x+1.故选D.
2.D 由f'(x)=ex(2x-2)+f(x),
得=2x-2,
即'=2x-2,所以=x2-2x+c(c为常数),
所以f(x)=ex(x2-2x+c),又因为f(0)=1,所以c=1,
所以f(x)=ex(x-1)2.故选D.
易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导函数求原函数时,结论不唯一,如本题中由'=2x-2可以得到=x2-2x+c(c为常数),解题时容易将c遗漏导致解题错误.
3.A 因为f(x)=xex+1,所以f'(x)=(x+1)ex.
由题意知g(x)的最小值为f(x)=xex+1图象上的点到直线y=x的距离的最小值.
设直线l与直线y=x平行,且与曲线y=f(x)切于点P(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=(x0+1)=1,解得x0=0,从而P(0,1),
因此f(x)=xex+1图象上的点到直线y=x的距离的最小值为点(0,1)到直线y=x的距离,即为,因此m≤.故选A.
4.B 由已知得f'(x)=2x-a,g'(x)=+2,设f(x)与g(x)的图象的公共点的坐标为(x0,y0),
依题意有
由①得a=2x0--2③,把③代入②得+ln x0-1=0,
令h(x)=x2+ln x-1,显然h(x)在(0,+∞)上单调递增,易得h(1)=0,因此在+ln x0-1=0中,x0=1,此时a=-1,经检验,符合题意,所以a=-1.故选B.
5.BC 对于A,假设y=f(x)+x为偶函数,则f(-x)-x=f(x)+x,变形为f(x)-f(-x)=-2x,与f(x)-f(-x)=2x矛盾,故假设不成立,y=f(x)+x不是偶函数,A错误;
对于B,假设f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x)若f(x+a)=f(-x+b),则f(x)的图象关于直线x=对称,
两边求导得f'(1+x)=-f'(1-x),即f'(1+x)+f'(1-x)=0,假设成立,B正确;
对于C,对f(x)-f(-x)=2x两边求导,得f'(x)+f'(-x)=2,
令x=0,得f'(0)+f'(0)=2,解得f'(0)=1,C正确;
对于D,由B选项知f(1+x)=f(1-x),用-x-1代替x,得f(-x)=f(x+2),
又f(x)-f(-x)=2x,故f(x)-f(x+2)=2x,即f(x+2)-f(x)=-2x,两边求导得f'(x+2)-f'(x)=-2,
所以f'(x+2)=f'(x)-2,D错误.故选BC.
6.答案 0;
解析 ∵关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|10,且ax2+bx+c=0的两根为1和2,
由根与系数的关系得-=2,则b=-3a,c=2a,∴f(x)=a(x2-3x+2),则f'(x)=a(2x-3),
∴f'=-2a+2a=0.
,当且仅当a=2时等号成立,即.
7.答案 ;2 022
解析 由已知得f'(x)=x2-x+3, f ″(x)=2x-1,令f ″(x)=0,得x=,又f=1,故f(x)的“拐点”为,即函数f(x)图象的对称中心是,
∴f(1-x)+f(x)=2.
∴f+…+f
=f+…+f=×(2×2 022)=2 022.
8.解析 (1)f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex,
所以f'(1)=-e,又f(1)=0,
故曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=-e(x-1),令x=0,得y=e,令y=0,得x=1,则切线与两坐标轴的交点坐标分别为(1,0),(0,e),故围成的三角形的面积为.
(2)设切点为(x0,(1-x0)),由(1)得f'(x)=-xex,则切线斜率k=-x0,故切线方程为y-(1-x0)·(x-x0),
又直线过点A(a,0),所以-(1-x0)(a-x0),化简得-(a+1)x0+1=0.
由切线有且仅有1条,得Δ=[-(a+1)]2-4=0,化简得a2+2a-3=0,即(a+3)(a-1)=0,解得a=-3或a=1.
10
