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5.3 导数在研究函数中的应用
知识点 导数与函数的单调性的联系
必备知识 清单破
5.3.1 单调性
2.由函数单调性判断导数符号
若函数y=f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上有f'(x)≥0恒成立(但不恒等于0);若函数 y=f(x)在某区间上单调递减,则在该区间上有f'(x)≤0恒成立(但不恒等于0).
知识辨析
1.在区间(a,b)内,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗
2.若函数f(x)在整个定义域内都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增,对吗
3.由f'(x)>0或f'(x)<0能求得f(x)的单调区间,所以函数f(x)的单调区间只能写成开区间,这种说 法对吗
4.“函数的单调区间是(a,b)”和“函数在(a,b)上单调”说法是一致的吗
5.导数的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度,这个说法正确吗
一语破的
1.不一定.比如f(x)=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数f'(0)=0.
2.不对.比如f(x)=- ,虽然在定义域内满足f'(x)= >0,但在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内不具有
单调性.
3.不对.若函数在单调区间的端点处有意义,则区间写成开区间或闭区间都可以,若无意义,则 只能写成开区间.
4.不一致.函数的单调区间是函数单调的完整区间,而在某区间上单调时,这个区间是函数单 调区间的一个子区间.
5.不正确.导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
1.导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负,图象下降” 的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负.解决问题时,一定要分清是原 函数图象还是导函数图象.
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快, 这时,函数的图象就比较“陡峭”;反之,函数的图象就“平缓”一些.
定点 1 导数与函数图象间的关系
关键能力 定点破
典例 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是 ( )
A B C D
C
解析 由题图可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,
则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.
对于函数y=xf'(x),
当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0;
当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,
且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然C符合.故选C.
1.利用导数求函数f(x)单调区间的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;
(4)确定f(x)的单调区间.
注意:单调区间一定是函数定义域的子集.
2.含参函数的单调性问题
研究含参函数的单调性问题,要依据参数对导函数的影响进行分类讨论,通常考虑以下 几方面:
①导函数的类型;
定点 2 利用导数研究函数的单调性
②导函数是否存在零点;
③导函数的零点是否在函数定义域内;
④若导函数在函数定义域内有多个零点,则需比较它们的大小关系.
典例 已知函数f(x)=(x-1)ex- ax2(a∈R),讨论f(x)的单调性.
思路点拨 求f(x)的定义域及f'(x) 对a分情况讨论 确定f'(x)的符号 得到函数的单
调性.
解析 由已知得f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+(x-1)ex-ax=x(ex-a).
若a≤0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,令f'(x)=0,得x=0或x=ln a.
①若a=1,则f'(x)=x(ex-1)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
②若0
当x∈(-∞,ln a)∪(0,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(ln a,0)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,ln a)和(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减.
③若a>1,则ln a>0,
当x∈(-∞,0)∪(ln a,+∞)时,f'(x)>0;
当x∈(0,ln a)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
当0当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>1时,f(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减.
已知f(x)在区间(a,b)上单调,求参数的值(取值范围)的步骤
(1)求导;
(2)将f(x)在(a,b)上单调递增(减)转化为不等式恒成立处理,即f '(x)≥0(f '(x)≤0)在(a,b)内恒成立;
(3)利用最大(小)值解决不等式的恒成立问题,从而确定参数的值(取值范围);
(4)注意验证等号能否取到.
定点 3 已知单调性求参数的值(取值范围)
典例 已知函数f(x)=x3-ax+b.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.
思路点拨 (1)求f'(x) 由f'(x)≥0分离参数a 确定实数a的取值范围.
(2)思路一:f'(1)=0 确定实数a的值.思路二:对参数a进行分类讨论 得到实数a的值.
解析 (1)由题易得f(x)的定义域为R,且f'(x)=3x2-a.
若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
则f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
因为x>1,所以3x2>3,所以a≤3,
即a的取值范围是(-∞,3].
(2)解法一:由题知f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,a=3满足条件,所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,则x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0恒成立,
此时,f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
若a>0,由f'(x)≥0,得x≥ 或x≤- .
因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解题意时,要注意“(1)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”与“(2)函数f(x)的一个 单调递增区间为(1,+∞)”的区别,其中(2)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的一个完整的单调递增 区间,而(1)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的单调递增区间的子区间.
1.利用单调性解不等式的关键是构造函数,研究新函数的单调性及其导函数的结构形式,因此 熟悉以下结论可以达到事半功倍的效果.
(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),即导函数大于某个非零常数 (若a=0,则无需构造),则可构造h(x)=f(x)-ax.
(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=ex·f(x).
(4)对于f'(x)-f(x)>0,构造h(x)= .
(5)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=x·f(x).
(6)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)= .
定点 4 构造函数,利用导数证明(解)不等式
(7)对于 >0,分类讨论:①若f(x)>0,则构造h(x)=ln f(x);②若f(x)<0,则构造h(x)=ln[-f(x)].
2.利用导数证明不等式的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移项,构造函数F(x)=f(x)-g(x),转化为证明F(x)>0.
(2)确定函数的单调性,若F'(x)>0,则F(x)在(a,b)上单调递增;若F'(x)<0,则F(x)在(a,b)上单调递 减.
(3)将单调区间的端点值代入,若函数F(x)单调递增,且F(a)≥0,则当x∈(a,b)时, f(x)-g(x)>0,即
f(x)>g(x);若F(x)单调递减,且F(b)≥0,则当x∈(a,b)时, f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).
典例1 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf '(x),则不等式f(x+ 1)>(x-1)f(x2-1)的解集是 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(0,1)
A
解析 设g(x)=xf(x),
则g'(x)=f(x)+xf '(x).
∵f(x)<-xf '(x),∴g'(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴ 解得x>1.
将原不等式的两边同乘x+1,
得(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),
即g(x+1)>g(x2-1),∴x+1解得x>2或x<-1(舍去),
∴原不等式的解集为(2,+∞).
典例2 求证:当x>1时, +1> .
证明 由题意可知x-1>0,要证 +1> ,即证 (x-1)>2ln x,
即证x- -2ln x>0.
令φ(x)=x- -2ln x,x>1,
则φ'(x)=1+ - = >0,
∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴φ(x)>φ(1)=0,即x- -2ln x>0,即原不等式成立.
规律总结 利用导数研究不等式问题,通常先构造新函数,然后利用导数研究这个函数的单 调性,从而使不等式问题得以解决.5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
基础过关练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.(-2,1) B.(-2,0),(2,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1),(1,+∞)
2.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )
A B C D
3.已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为( )
A.∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪
C.(-∞,0)∪∪(2,+∞)
4.已知函数f(x)的导函数是f'(x)=,则函数f(x)的图象可能是( )
A B
C D
题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是( )
A. B.(0,e) C. D.(e,+∞)
6.(多选题)已知f(x)=,则下列说法正确的是( )
A.曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1
B.f(x)的单调递减区间为(e,+∞)
C.曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1
D.f(x)的单调递增区间为(e,+∞)
7.函数y=,x∈的图象大致是( )
A B
C D
8.函数f(x)=的单调递增区间为 .
题组三 利用导数解决含参函数的单调性问题
9.已知函数f(x)=ax-sin x(a∈R),则“a=1”是“f(x)在上单调递增”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. C.
11.若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.(-∞,0)∪(0,3] D.(-∞,0)∪(0,3)
12.(多选题)若函数f(x)=x2-9ln x在[m-1,m+1]上单调,则实数m的取值范围可以是( )
A.m≥4 B.m≤2 C.113.已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的单调递减区间为,则a= .
14.已知函数f(x)=(x2-2x+a)ex.
(1)若f(x)在[1,5]上单调递增,求a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
题组四 导数与函数的单调性的应用
15.设函数f(x),g(x)在R上的导函数分别为f'(x),g'(x),且f'(x)>g'(x)恒成立,则当x∈(a,b)时,下列不等式中一定成立的是( )
A.f(x)>g(x)
B.f(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
16.已知命题p: θ∈,(cos θ)sin θ≤(sin θ)cos θ,则 p是 命题.(填“真”或“假”)
17.已知正实数x,y满足e1-2x=(2x+y)ey,则x+的最小值为 .
18.已知定义在[-4,4]上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0的解集是 .
能力提升练
题组一 利用导数研究函数的图象变化
1.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则f(x)·f'(x)>0的解集是( )
A.(2,3)∪(5,+∞) B.(-∞,0)∪(1,3)
C.(-1,1)∪(2,3)∪(5,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,5)
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可以为( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
3.(多选题)函数f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的大致图象可能为( )
A B
C D
题组二 导数与函数的单调性及其应用
4.若函数f(x)为定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时, f'(x)>2x,则不等式f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1)的解集为( )
A.∪(1,+∞)
C.(1,+∞) D.
5.已知奇函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-2)=0.当x>0时,3f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
6.已知a=ln 2,c=1-,则( )
A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a
7.(多选题)若函数f(x)=的值域为[2,+∞),则下列结论正确的是( )
A.f(3)>f(2)
B.m≥2
C.f < f
D.logm(m+1)>log(m+1)(m+2)
8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f'(-x)>2f(x),且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为 .
题组三 利用导数解决含参函数的单调性问题
9.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件是( )
A.a>-
C.a>或-
10. x1,x2∈(1,3],当x10,则实数a的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(9,+∞) D.[9,+∞)
11.已知函数f(x)=ex+x2-ax+2(a>0),其中e是自然对数的底数.若函数f(x)与函数f(f(x))的单调区间相同,则实数a的取值范围为 .
12.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若≤f(x)+2x,求a的取值范围.
13.已知函数f(x)=x-1-aln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)=,若当a<0时,对任意x1,x2∈(0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 单调性
基础过关练
1.B 由题图知,当-22时, f'(x)<0,因此f(x)的单调递减区间为(-2,0),(2,+∞).故选B.
2.C 由导函数的图象可得当x<0时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当02时, f'(x)>0, f(x)单调递增,故C中图象符合.故选C.
3.A 由题图可知当x<或x>2时, f(x)单调递增, f'(x)>0,当xf'(x)>0等价于故不等式xf'(x)>0的解集为∪(2,+∞),故选A.
4.B 由题知f(x)的定义域为[-1,1],且f'(x)≥0,则f(x)在[-1,1]上单调递增,又y=1-x2在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,y=在[-1,1]上单调递增,所以由复合函数“同增异减”可知f'(x)在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,即当x∈[-1,1]时, f'(x)的值由小变大再变小,即f(x)的图象从左到右的递增趋势是先慢后快再变慢.故选B.
5.A f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,得x=.
当x∈时, f'(x)<0,当x∈时, f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.故选A.
6.BC 由f(x)=得f'(x)=,
所以曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)==1,又f(1)==0,
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,A错误,C正确;
易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
令f'(x)>0,得0e,
所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,B正确,D错误.
故选BC.
7.A 设f(x)=,x∈,因为f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,排除C;
易得f'(x)=
=,
当00,所以f(x)在上单调递增,故排除B、D.故选A.
8.答案
解析 f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=0或x=.
当x∈(-∞,0)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为.
9.B 当a=1时, f(x)=x-sin x, f'(x)=1-cos x≥0,∴f(x)在R上单调递增,故充分性成立,
当f(x)在上单调递增时, f'(x)=a-cos x≥0,即a≥cos x,∴a≥1,故必要性不成立,
故“a=1”是“f(x)在上单调递增”的充分不必要条件.故选B.
方法总结 若f(x)在区间[a,b]上单调递增,则[a,b]是f(x)的单调递增区间的子集,即f'(x)≥0在区间[a,b]上恒成立;若f(x)在区间[a,b]上存在单调递增区间,则f'(x)>0在区间[a,b]上有解.
10.A 由已知得f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=(x2-2ax+2x-2a)ex,
∵函数f(x)在[-1,1]上单调递减,
∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立,
即x2-2ax+2x-2a≤0在[-1,1]上恒成立,
∴解得a≥,
∴a的取值范围是.故选A.
11.D 由已知得f'(x)=3ax2-6x+1,由f(x)恰好有三个单调区间,得f'(x)有两个不相等的零点,
∴a≠0,且Δ=36-12a>0,∴a<3且a≠0,∴a∈(-∞,0)∪(0,3).故选D.
12.AC 由已知得f'(x)=x-(x>0),
令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0所以f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3),
因为函数f(x)在[m-1,m+1]上单调,
所以或m-1≥3,解得1故选AC.
13.答案 3
解析 由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-a+,∵f(x)的单调递减区间为,∴f'(x)<0的解集为,故方程2x2-ax+1=0的两根分别为和1,
∴,∴a=3.
14.解析 (1)由已知得f(x)的定义域为R, f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+a)ex=(x2+a-2)ex,
因为f(x)在[1,5]上单调递增,所以f'(x)≥0在[1,5]上恒成立,则(x2+a-2)ex≥0在[1,5]上恒成立,
因为ex>0恒成立,所以x2+a-2≥0在[1,5]上恒成立,
即a-2≥-x2在[1,5]上恒成立,即a-2≥(-x2)max,
因为1≤x≤5,所以-25≤-x2≤-1,所以a-2≥-1,则a≥1,故a的取值范围是[1,+∞).
(2)由(1)得f'(x)=(x2+a-2)ex,
当a≥2时, f'(x)≥0, f(x)在R上单调递增;
当a<2时, f'(x)=[x2-(2-a)]ex=(x+)ex,
由f'(x)>0得x<-或x>;
由f'(x)<0得-,
所以f(x)在(-)上单调递减,在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增.
综上,当a≥2时, f(x)在R上单调递增;
当a<2时, f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-)上单调递减.
方法总结 对于f'(x)=g'(x)-a,要想判断f'(x)的正负,首先求出g'(x)的值域,然后分类讨论a与g'(x)的值域的关系,a在g'(x)的值域外, f'(x)恒正或恒负;a在g'(x)的值域内, f'(x)有正有负.
15.C 令F(x)=f(x)-g(x),则F'(x)=f'(x)-g'(x)>0,则F(x)在(a,b)上单调递增,故F(a)则f(x)+g(a)>g(x)+f(a), f(x)+g(b)16.答案 真
解析 p: θ∈,(cos θ)sin θ>(sin θ)cos θ,
由θ∈,得0(cos θ)sin θ>(sin θ)cos θ sin θln(cos θ)>cos θln(sin θ) ,
令f(x)=(00恒成立,故f(x)在(0,1)上单调递增,
又0(sin θ)cos θ,所以 p是真命题.
17.答案 2
解析 将e1-2x=(2x+y)ey变形为e1-2x=ey+ln(2x+y),则1-2x=y+ln(2x+y),即2x+y+ln(2x+y)=1,
令g(t)=ln t+t(t>0),则g'(t)=+1>0恒成立,所以g(t)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1)=1,所以2x+y=1,则x+≥2=2,
当且仅当且2x+y=1,即x=y=时等号成立,故x+的最小值为2.
18.答案 (1,2]
解析 设g(x)=,
则g'(x)=,
因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,故g(x)在[-4,4]上单调递增,
不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0等价于ex-1g(1+x)e1+x-g(2x)e2x<0,
故g(1+x)-g(2x)<0,即g(1+x)因为g(x)在[-4,4]上单调递增,所以-4≤1+x<2x≤4,解得1故不等式的解集为(1,2].
能力提升练
1.C 由题中函数f(x)的图象可知当x<-1时, f(x)>0,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)<0;
当-10;
当10,故f(x)·f'(x)<0;
当20,且单调递增,则f'(x)>0,故f(x)·f'(x)>0;
当30,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)<0;
当x>5时, f(x)<0,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)>0.
故f(x)·f'(x)>0的解集是(-1,1)∪(2,3)∪(5,+∞),故选C.
2.D 对于A,要使函数f(x)有意义,则得x<-3或-3-1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),故A不正确;
对于B,由题图知函数f(x)的图象过原点,而f(0)=≠0,故B不正确;
对于C, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0, f'(x)=,当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,与题图不符,故C不正确;
对于D, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=,当x<-1时, f'(x)<0,当-10,当x>1时, f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,与题图相符,故D正确.故选D.
3.ABC 由已知得f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2+2ax+2.
当Δ=(2a)2-4×3×2≤0,即-≤a≤时, f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增,故C正确;
当Δ=(2a)2-4×3×2>0,即a<-或a>时,设方程3x2+2ax+2=0的两根分别为x1,x2(x10,x1,x2同号,
令f'(x)<0,得x10,得xx2,
所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,故A、B正确,D错误.
故选ABC.
4.D 令g(x)=f(x)-x2,因为f(x)为偶函数,所以g(x)为偶函数,当x∈(-∞,0)时, f'(x)>2x,所以g'(x)=f'(x)-2x>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递增,
由f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1),
得f(3x-1)-(3x-1)2>f(2)-22,
所以g(3x-1)>g(2),故|3x-1|<2,解得-所以不等式的解集为.故选D.
5.A 令F(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则F'(x)=,
因为当x>0时,3f(x)>xf'(x),所以F'(x)<0恒成立,故F(x)在(0,+∞)上单调递减,
又f(x)(x≠0)为奇函数,
所以F(-x)==F(x),故F(x)为偶函数,则F(x)在(-∞,0)上单调递增,且F(-2)=F(2)==0,
当x>0时,若f(x)>0,则F(x)>0,故0当x<0时,若f(x)>0,则F(x)<0,故x<-2,
故使得f(x)>0成立的x的取值范围为(-∞,-2)∪(0,2).故选A.
6.C a2=令g(x)=ln x-(x>1),则g'(x)=,
令f(x)=2-x-1,则f'(x)=-1<0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴f(x)∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,即g(x)∴当x>1时,ln x<,则ln ,即bb>c.故选C.
7.ABD 当x≥1时, f(x)=x+1-ln x,则f'(x)=1-≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=2,且f(3)>f(2),故A正确.
当x<1时, f(x)=-x3-x+2+m,则f'(x)=-3x2-1<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(x)>-13-1+2+m=m.故当x≥1时, f(x)≥2,当x<1时, f(x)>m,因为f(x)的值域是[2,+∞),所以m≥2,故B正确.
令g(x)=,则g'(x)=,当00,所以g(x)单调递增,
所以g(2)又<1, f(x)在(-∞,1)上单调递减,
所以f,故C错误.
令h(x)=,则h'(x)=,x>0且x≠1,
令H(x)=xln x,则H'(x)=ln x+1,令H'(x)>0,得x>,所以H(x)在(1,+∞)上单调递增,
因此当x>1时,xln x<(x+1)ln(x+1),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,
因为m≥2,所以h(m)>h(m+1),即,即logm(m+1)>log(m+1)(m+2),故D正确.故选ABD.
8.答案 (-3,0)∪(3,+∞)
解析 由题意得f(-x)=-f(x),两边求导得-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),
又因为x>0时,f'(-x)>2f(x),所以f'(x)>2f(x),
构造函数h(x)=,所以h'(x)=,
所以当x>0时,h'(x)>0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增.
又因为f(3)=0,所以h(3)=0,故在(3,+∞)上h(x)>0,在(0,3)上h(x)<0,
又因为e2x>0,所以当x>0时,在(3,+∞)上f(x)>0,在(0,3)上f(x)<0,因为f(x)为奇函数,所以当x<0时,在(-∞,-3)上f(x)<0,在(-3,0)上f(x)>0.
综上所述,f(x)>0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
9.D 易得f'(x)=2ax-4a-.
令g(x)=2ax2-4ax-1,易知其图象的对称轴方程为x=1,
由题意可得函数g(x)在区间(1,4)上有零点.
当a=0时,显然不成立;
当a≠0时,
只需
解得a>或a<-.所以f(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件即为的真子集.故选D.
10.D 原不等式等价于,即ln,即3x1-3x2>aln x1-aln x2,即3x1-aln x1>3x2-aln x2,
令f(x)=3x-aln x,x∈(1,3],则 x1,x2∈(1,3],当x1f(x2),故f(x)在(1,3]上单调递减,
即 x∈(1,3], f'(x)=3-≤0,则a≥3x,由x∈(1,3]得3x∈(3,9],所以a≥9,
所以实数a的取值范围是[9,+∞).故选D.
11.答案 (0,e+2]
解析 易得f'(x)=ex+2x-a.
设h(x)=ex+2x-a,则h'(x)=ex+2>0,
所以f'(x)单调递增,
又f'(-1)=-2-a<0, f'(a)=ea+a>0,
所以存在x0∈(-1,a),使得f'(x0)=+2x0-a=0,即a=+2x0.
当x>x0时, f'(x)>0, f(x)在(x0,+∞)上单调递增,
当x设g(x)=f(f(x)),因为函数f(x)与函数g(x)的单调区间相同,
所以函数g(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
又g'(x)=f'(f(x))·f'(x),所以f'(f(x))≥0对任意x∈R恒成立,即f(x)≥x0恒成立.
因为f(x)min=f(x0)=-ax0+2,
所以-ax0+2≥x0,
将a=+2x0代入上式,整理,得(x0-1)(+x0+2)≤0.
因为a=+2x0>0,所以+2>0,所以x0≤1,又h(x)=ex+2x-a在(-∞,1]上单调递增,所以e1+2-a≥+2x0-a=0,所以a≤e+2,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,e+2].
12.解析 (1)f'(x)=,a≠0,
若a<0,则当x∈(-∞,1-a)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(1-a,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;
若a>0,则当x∈(1-a,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(-∞,1-a)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
综上,当a<0时, f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a),单调递增区间为(1-a,+∞);当a>0时,f(x)的单调递减区间为(1-a,+∞),单调递增区间为(-∞,1-a).
(2)原不等式为+2x,即x≥2+2ln x-2xex.
因为x>0,所以.
令t=x+ln x,则其在区间(0,+∞)上单调递增,
令x=,则t=<0;令x=1,则t=1>0,
所以存在唯一的x0∈,使得t=x0+ln x0=0,
令g(t)=et-t-1(t∈R),则g'(t)=et-1.
当t<0时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>0时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
所以g(t)≥g(0)=0,即et-t-1≥0,et≥t+1.故ex+ln x≥x+ln x+1.
故x+ln x-ex+ln x≤x+ln x-(x+ln x+1)=-1,
所以=-2,当且仅当x+ln x=0,即x=x0时,等号成立,
故≥-2,解得a≤-或a>0,
即a的取值范围为∪(0,+∞).
13.解析 (1)f '(x)=1-(x>0),
当a≤0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,令f '(x)=0,得x=a,
当0当x>a时, f '(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增.
(2)当a<0时, f '(x)=1->0在(0,1]上恒成立,则f(x)在(0,1]上单调递增,
g'(x)=-<0在(0,1]上恒成立,则g(x)在(0,1]上单调递减,
不妨设x1≤x2,因为对任意x1,x2∈(0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立,
所以f(x2)-f(x1)≤g(x1)-g(x2)在(0,1]上恒成立,即f(x2)+g(x2)≤f(x1)+g(x1)在(0,1]上恒成立,令F(x)=f(x)+g(x)=x-1-aln x+,则F(x)在(0,1]上单调递减,
所以F'(x)=1-≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x-在(0,1]上恒成立,
令h(x)=x-,x∈(0,1],易知h(x)在(0,1]上递增,
所以h(x)max=h(1)=-3,所以a≥-3.
故实数a的取值范围是[-3,0).
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