5.3.2 极大值与极小值
基础过关练
题组一 函数极值的概念及求解
1.(多选题)下列关于函数极值的说法正确的是( )
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值可能大于它的极大值
C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
D.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调
2.函数f(x)=sin在区间(0,5)上有( )
A.1个极大值点和1个极小值点
B.1个极大值点和2个极小值点
C.2个极大值点和1个极小值点
D.2个极大值点和2个极小值点
3.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有两个极小值
C.f(0)为f(x)的极小值
D.f(-1)为f(x)的极小值
4.已知函数f(x)=在x=4处取得极值,则f(x)的极大值为 ( )
A. D.-4
5.(多选题)已知函数f(x)=-x3+x+1的导函数为f'(x),两个极值点为α,β,则下列结论正确的是( )
A.f(x)有三个不同的零点
B.α+β=0
C.f(α)+f(β)=1
D.直线y=x+1是曲线y=f(x)的切线
6.函数f(x)=(sin x+cos x)·sin 2x的极小值为 .
7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是8x-y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的极值.
题组二 含参函数的极值问题
8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8,则f(1)= ( )
A.-4 B.16 C.-4或16 D.16或18
9.(多选题)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极小值点,则下列关系可能成立的是( )
A.a>0且a>b B.a>0且a
C.a<0且ab
10.(多选题)若函数f(x)=aex-x2-2x+b有两个不相等的极值点,则实数a的取值可以是( )
A.e B.2 C.1 D.0
11.若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值又有极小值,则下列说法中正确的有 (填序号).
①bc>0;②ab>0;③b2+8ac>0;④ac<0.
12.若函数f(x)=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是 .
13.函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x(a>0).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值.
题组三 函数极值的综合应用
14.已知等比数列{an}的各项均为正数,a5,a6是函数f(x)=x2+ex+1的极值点,则ln a1+ln a2+…+ln a10=( )
A.5 B.6 C.10 D.15
15.已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上无极值,则ω的取值范围是( )
A.(0,5] B.(0,5) C.
16.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 = .
17.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=2c有三个实数根,求实数c的取值范围.
能力提升练
题组 函数极值的综合应用
1.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,且在[0,4π]上仅有一个极大值点,则ω的取值范围为( )
A.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若不等式f(x)<0的解集为{x|xA.-
3.已知函数f(x)=kxln x--kx(k∈R)在(0,e2)上有且只有一个极值点,则k的取值范围是( )
A.[0,e) B.(-∞,0)∪∪{e}
C.(-∞,0)∪ D.(0,e]
4.(多选题)已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)在[0,2π]上有且仅有4个零点,则下列各选项正确的是( )
A.f(x)在上单调递增
B.ω的取值范围是
C.f(x)在(0,2π)上有2个极小值点
D.f(x)在(0,2π)上有3个极大值点
5.(多选题)已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,则下列结论正确的是( )
A.若f(x)无极值点,则f(x)没有零点
B.若f(x)无零点,则f(x)没有极值点
C.若f(x)恰有一个零点,则f(x)可能恰有一个极值点
D.若f(x)有两个零点,则f(x)一定有两个极值点
6.若过点(2,m)有三条直线与函数 f(x)=(x-1)3-3x+1的图象相切,则实数m的取值范围为 .
7.已知函数f(x)=cos2ωx-2sin ωxcos ωx-sin2ωx-(ω>0)在区间上恰有一个极小值点,三个零点,则ω的取值范围是 .
8.已知f'(x)为函数f(x)=x3-mx2+x+m2(m∈R)的导函数,且函数f'(x)有两个不同的零点x1,x2,设g(m)=f(x1)+f(x2),则g(m)的极值为 .
9.已知函数f(x)=2ln x-x2与g(x)=x+有相同的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)若 x1,x2∈,不等式≤1恒成立,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
5.3.2 极大值与极小值
基础过关练
1.BD
2.C 由正弦函数的性质可知,当f(x)取极大值时,2x++2kπ,k∈Z,即极大值点为x=kπ+,k∈Z,
又x∈(0,5),∴x=或x=;
当f(x)取极小值时,2x++2kπ,k∈Z,即极小值点为x=kπ+,k∈Z,又x∈(0,5),∴x=,
故f(x)在区间(0,5)上有2个极大值点和1个极小值点.故选C.
3.B 由题图可得当x∈(-∞,-2)时,xf'(x)>0,
所以f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(-2,0)时,xf'(x)<0,
所以f'(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,
所以f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,
所以f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以当x=-2时, f(x)有极小值;当x=0时, f(x)有极大值;当x=1时, f(x)有极小值,故B正确.故选B.
方法总结 由图象判断函数y=f(x)的极值时,要抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性,两者结合可得极值点.
4.B f'(x)=,依题意可得f'(4)=0,即=0,解得a=4,所以f(x)=,其定义域为R,且f'(x)=,令f'(x)>0,解得x>4或x<-1,令f'(x)<0,解得-15.BD f'(x)=-3x2+1,令f'(x)=0,解得x=±,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
所以当x=-时,函数f(x)有极小值,为f>0,
当x=时,函数f(x)有极大值,为f>0,且两个极值点之和为0,B正确;
当x→+∞时, f(x)→-∞,所以f(x)在R上有且仅有一个零点,A错误;
f(α)+f(β)=1-=2,C错误;
当x=0时, f'(0)=1, f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,D正确.
故选BD.
6.答案 -
解析 设t=sin x+cos x=,则t∈[-],
由t2=(sin x+cos x)2=1+sin 2x,得sin 2x=t2-1.令g(t)=t(t2-1)=t3-t,t∈[-],则g'(t)=3t2-1,
当t∈时,g'(t)<0,当t∈时,g'(t)>0,
所以g(t)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以g(t)的极小值为g,即f(x)的极小值为-.
7.解析 (1)f'(x)=3x2+2ax+b,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3+2a+b,
又f(1)=a+b+3,所以解得a=2,b=1.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-或x=-1,
当x∈(-∞,-1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)极大值 =f(-1)=2, f(x)极小值 =f.
8.A f'(x)=3x2+2ax+b,若函数f(x)在x=-1处有极值8,则f(-1)=8且f'(-1)=0,
即
当a=3,b=3时, f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时x=-1不是极值点,故舍去,
当a=-2,b=-7时, f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1),
当x>或x<-1时, f'(x)>0,当-1故f(x)=x3-2x2-7x+4,故f(1)=-4,故选A.
解题模板 已知函数极值,确定解析式中的参数时,可根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组求解,求解后要注意代入检验.
9.AC 由已知得f'(x)=3a(x-a),
令f'(x)=0,得x=a或x=,
要使x=a为函数f(x)的极小值点,
则当a>0时,满足b,A正确;
当a<0时,满足>a,解得a故选AC.
10.BC f'(x)=aex-x-2,由f(x)有两个不相等的极值点,知f'(x)=0有两个不相等的实数根,即a=有两个不相等的实数根,
记g(x)=,则g'(x)=,
故当x>-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x<-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)的极大值为g(-1)=e,又当x>-2时,g(x)>0恒成立,故011.答案 ②③④
解析 由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=,
∵f(x)既有极大值又有极小值,
∴f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,
又a≠0,∴方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根,设为x1,x2,
于是则b2+8ac>0,ab>0,ac<0,bc<0.故②③④正确.
12.答案 (-∞,-1)
解析 由已知得f'(x)=ex+a.
当a≥0时, f'(x)>0, f(x)在R上单调递增,无极值.
当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a),
当x>ln(-a)时, f'(x)>0,当x所以f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增,
所以函数f(x)存在极小值点x=ln(-a),
由题意得ln(-a)>0,解得a<-1,
所以实数a的取值范围是(-∞,-1).
13.解析 (1)当a=1时, f(x)=ln x+x2-3x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=,
令f'(x)>0,得01;令f'(x)<0,得(2)函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=1或x=.
①当a>时,0<<1,易得函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以函数f(x)在x=处取得极大值,为f,在x=1处取得极小值,为f(1)=-a-1;
②当0所以函数f(x)在x=1处取得极大值,为f(1)=-a-1,在x=处取得极小值,为f;
③当a=时,=1,则f'(x)=≥0恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
综上,当a>时, f(x)的极大值为-ln(2a)-,极小值为-a-1;当014.A 由已知得f'(x)=x2-5x+e,
因为a5,a6是函数f(x)的极值点,所以a5,a6是f'(x)=0的两根,所以a5a6=e,
又{an}是等比数列,所以a1a10=a2a9=…=a5a6=e,
则ln a1+ln a2+…+ln a10=ln(a1a2…a10)=ln e5=5,
故选A.
15.A 由已知得f'(x)=-ωsin(ω>0),
由函数f(x)在区间上无极值,知f(x)在区间上单调,
∴-ωsin≥0或-ωsin≤0在区间上恒成立,
当-ωsin≥0时,sin≤0,
∵0当-ωsin≤0时,sin≥0,
∵016.答案 1
解析 由题意得m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由题图可知,函数f(x)的极大值点是x=2,极小值点是x=-1,即2,-1是f'(x)=0的两个根,
则
∴f'(0)=p=-6m, f'(1)=-6m,∴=1.
17.解析 (1)f'(x)=3x2+2ax+b,
由题意得
此时f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x<-或x>1时, f'(x)>0,当-所以a=-,b=-2.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,且f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
当x=-时, f(x)取得极大值,为f+c,当x=1时, f(x)取得极小值,为f(1)=-+c,
因为方程f(x)=2c有三个实数根,所以-+c,解得-,
所以实数c的取值范围是.
能力提升练
1.D 因为f(x)在上单调递增,
所以所以0<ω≤,
又因为f(x)在[0,4π]上只有一个极大值点,
所以≤4πω<,解得≤ω<.
综上,ω的取值范围为,故选D.
2.C 因为不等式f(x)<0的解集为{x|x则f'(x)=2(x-m)[x-(m+1)]+(x-m)2=(x-m)·(3x-3m-2),
则当x>或x0,当m所以f(x)在,(-∞,m)上单调递增,在上单调递减,
所以f(x)在x=处取得极小值,为f.故选C.
3.C f'(x)=kln x+k-x-k=kln x-x,由题意知f'(x)在(0,e2)上只有一个变号零点,
设g(x)=f'(x)=kln x-x,则g'(x)=,
若k=0,则f(x)=-,此时f(x)在(0,e2)上没有极值点;
若k<0,则g'(x)<0在(0,e2)上恒成立,g(x)单调递减,当x→0+时,g(x)>0,因此g(e2)=2k-e2<0,即k<,所以k<0;
若k≥e2,则g'(x)>0在(0,e2)上恒成立,g(x)单调递增,当x→0+时,g(x)<0,因此g(e2)=2k-e2>0,即k>,所以k≥e2;
若00,g(x)单调递增,当k画图可知g(x)max=g(k)=kln k-k,当x→0+时,g(x)<0,
因为g(x)在(0,e2)上只有一个变号零点,所以g(k)>0且g(e2)≥0,所以得k≥,所以≤k综上,k的取值范围是(-∞,0)∪.故选C.
4.BC 当x∈[0,2π]时,ωx+,
因为f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点,
所以≤ω<,
即ω的取值范围是,故B正确;
设t=ωx+,当x∈(0,2π)时,t∈,由正弦函数的性质知y=sin t在上有两个确定的极小值点,为,有两个确定的极大值点,为,故C正确,D错误;
由B选项分析可知ω∈,不妨取ω=,此时t=ωx+,
而y=sin t在上单调递增,在上单调递减,故A错误.故选BC.
5.AD 由已知得f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,
令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0,
若f(x)无极值点,则Δ=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,对于y=x2+ax+b,Δ=a2-4b≤-4<0,则y=x2+ax+b>0,所以f(x)=(x2+ax+b)ex>0,没有零点,故A正确;
若f(x)无零点,则a2-4b<0,此时a2-4b+4<4,
当a2-4b+4>0时, f'(x)先正后负再正, f(x)先增后减再增,故有极值点,故B错误;
若f(x)恰有一个零点,则a2-4b=0,此时a2-4b+4=4>0, f'(x)先正后负再正, f(x)先增后减再增,有两个极值点,故C错误;
若f(x)有两个零点,则a2-4b>0,此时a2-4b+4>4>0, f'(x)先正后负再正,函数f(x)先增后减再增,有两个极值点,故D正确.故选AD.
6.答案 (-5,-4)
解析 由已知得f(x)=x3-3x2,f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-6x,
设切点坐标为(x0,),
则切线方程为y-(-6x0)(x-x0),
因为切线过点(2,m),所以m-(-6x0)·(2-x0),即m=-2-12x0,
依题意知直线y=m与曲线y=-2x3+9x2-12x有三个交点.
设g(x)=-2x3+9x2-12x,则g'(x)=-6x2+18x-12=-6(x-1)(x-2).
令g'(x)<0,得x<1或x>2;令g'(x)>0,得1所以g(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上单调递减,在(1,2)上单调递增,
当x=1时,g(x)取得极小值,为g(1)=-5;当x=2时,g(x)取得极大值,为g(2)=-4,
故实数m的取值范围为(-5,-4).
7.答案
解析 f(x)=cos2ωx-2sin ωxcos ωx-sin2ωx-
=cos 2ωx-sin 2ωx-,
令2ωx-=t,因为ω>0,且x∈,所以-,记g(t)=-sin t-,
所以原题可转化为g(t)在上恰有一个极小值点,三个零点,则π,
解得<ω≤,故ω的取值范围为.
8.答案 3
解析 由题意可知f'(x)=3x2-2mx+1=0有两个不同的根x1,x2,所以x1+x2=,由Δ>0得m>或m<-.
则g(m)=m2
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-m[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2+m2
=m2
=m2
=-,m∈(-∞,-)∪(,+∞),
则g'(m)=-(2m2-5m-3),m∈(-∞,-)∪(,+∞),
令g'(m)>0,解得3,
所以g(m)在(-∞,-)上单调递减,在(,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,
所以g(m)极大值=g(3)=-4+5+2=3.
9.解析 (1)f'(x)=(x>0),
令f'(x)>0,得01,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故f(x)的极大值点为1,无极小值点.
因为g(x)=x+,所以g'(x)=1-,
依题意得x=1是函数g(x)的极值点,
所以g'(1)=1-a=0,解得a=1,
所以g'(x)=1-,
则当x>1或x<-1时,g'(x)>0,当0所以g(x)在(1,+∞)和(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,
所以函数g(x)在x=1处取得极小值,符合题意,故a=1.
(2)由(1)知g(x)=x+,且g(x)在上单调递减,在(1,3]上单调递增, f(x)在上单调递增,在(1,3]上单调递减.
易得g,故g(1)所以当x∈时,g(x)min=2,g(x)max=.
由f(x)=2ln x-x2得f,f(1)=-1, f(3)=2ln 3-9,
显然f(3)所以当x∈时, f(x)min=2ln 3-9, f(x)max=-1.
①当k>1时,问题等价于f(x1)-g(x2)≤k-1恒成立,
所以k≥f(x1)-g(x2)+1恒成立,
即k≥[f(x1)-g(x2)]max+1,
又f(x1)-g(x2)+1≤-1-2+1=-2,所以k≥-2,故k>1;
②当k<1时,问题等价于f(x1)-g(x2)≥k-1恒成立,
即k≤f(x1)-g(x2)+1恒成立,
即k≤[f(x1)-g(x2)]min+1,
又f(x1)-g(x2)+1≥2ln 3-9-+1=2ln 3-,
所以k≤2ln 3-.
综上,k的取值范围是∪(1,+∞).
19(共17张PPT)
5.3.2 极大值与极小值
知识点 1 函数极值、极值点的概念
必备知识 清单破
1.极大值与极大值点
一般地,若存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有f(x)≤f(x1),则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,称x1为 函数f(x)的一个极大值点.
2.极小值与极小值点
一般地,若存在δ>0,当x∈(x2-δ,x2+δ)时,都有f(x)≥f(x2),则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,称x2为 函数f(x)的一个极小值点.
3.极值与极值点
函数的极大值、极小值统称为函数的极值,函数的极大值点、极小值点统称为函数的极值点.
1.极大值与导数之间的关系
知识点 2 函数的极值与导数的关系
x x1左侧 x1 x1右侧
f '(x) f '(x)>0 f '(x)=0 f '(x)<0
f(x) ↗ 极大值f(x1) ↘
2.极小值与导数之间的关系
x x2左侧 x2 x2右侧
f '(x) f '(x)<0 f '(x)=0 f '(x)>0
f(x) ↘ 极小值f(x2) ↗
知识辨析
1.函数的极值点是平面内的一个点吗
2.导数为0的点一定是函数的极值点吗
3.函数的极大值一定比极小值大吗
4.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调,这种说法正确吗
5.在可导函数的极值点处,该函数图象的切线与x轴一定平行或重合吗
6.函数的极值点一定只能出现在区间内部吗 区间的端点能不能成为极值点
一语破的
1.不是.函数的极值点是一个实数.如f(x)在x=a处取得极值,则实数a是f(x)的一个极值点.
2.不一定.只有导数为0的点的两侧导数值异号时才是极值点,但极值点处导数值必定为0,所 以函数在一点处的导数为0是函数在这点处取得极值的必要不充分条件.
3.不一定.函数的极大值一定大于相邻的极小值,对于不相邻的极大值与极小值不能确定大小 关系.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,但f(x1)4.正确.根据极值的概念,极值点两边导数值不同号,所以函数不单调.
5.一定.由极值的概念可知,可导函数在极值点处的导函数值为0,即函数图象的切线的斜率为 0,所以切线与x轴平行或重合.
6.根据函数极值的定义,若x1为极值点,则存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有f(x)≤f(x1)或f(x)≥
f(x1),极值点x1的左、右两侧应该都存在f(x),故函数的极值点只能出现在区间内部,区间的端点 不能成为极值点.
1.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求函数的导函数f'(x);
(3)由f'(x)=0,求出全部的根;
(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据参数的范围 分类划分区间),把x, f'(x), f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)得结论:若导数在根x0附近左正右负,则函数在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值.
2.有关含参数的函数的极值问题
(1)求含参数的函数的极值,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要考虑以下 几个方面:
定点 1 利用导数解决函数的极值问题
关键能力 定点破
①方程f'(x)=0有无实数根;
②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;
③方程f'(x)=0的实数根的大小.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0, 极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数f'(x);
②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
典例1 已知f(x)=[x2-(a+3)x+a+3]ex-a+1,a∈R,求f(x)的极值.
解析 f(x)的定义域为R,f'(x)=[x2-(a+3)x+a+3+2x-(a+3)]ex=x[x-(a+1)]ex,
令f'(x)=0,得x=0或x=a+1,
①当a=-1时,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增,无极值;
②当a<-1时,列表如下:
x (-∞,a+1) a+1 (a+1,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值f(a+1) ↘ 极小值f(0) ↗
所以f(x)的极大值为f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),极小值为f(0)=4;
x (-∞,0) 0 (0,a+1) a+1 (a+1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值f(0) ↘ 极小值f(a+1) ↗
所以f(x)的极大值为f(0)=4,极小值为f(a+1)=(1-a)(ea+1+1).
综上,当a=-1时,f(x)无极值;
当a<-1时,f(x)极大值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),f(x)极小值=f(0)=4;
当a>-1时,f(x)极大值=f(0)=4,f(x)极小值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1).
③当a>-1时,列表如下:
典例2 (1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的值;
(2)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数
m的取值范围.
思路点拨 (1)求f'(x) 建立关于a,b的方程组 解方程组 求出a,b的值并检验.
(2)由题知f'(x)的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点 列关于m的不等式组 解不
等式组,得到m的取值范围.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意得 整理得
解得 或
当a=-3,b=3时, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得极值,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.
而当a=4,b=-11时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11.
(2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
所以 解得m>3,故实数m的取值范围是(3,+∞).
易错警示 解决利用极值求函数中的参数问题时,注意f'(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条 件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意检验极值的存在条件,防止漏掉检验导致解题 错误.
1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图 象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的 个数问题提供了方便.
2.利用导数解决函数问题中,函数的零点问题是比较复杂的综合问题,常常在高考压轴题中出 现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用,分类讨论、数形结合等思想方法进行有效处理, 解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.
定点 2 利用函数极值解决函数零点(方程的根)问题
典例 已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex(a∈R,且a为常数).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若a=-1,函数f(x)与g(x)= x3+ x2+m的图象有3个不同的交点,求实数m的取值范围.
思路点拨 (1)对f(x)求导 f'(x)>0, f(x)单调递增, f'(x)<0, f(x)单调递减.
(2)构造函数h(x)=f(x)-g(x),则问题转化为函数h(x)有3个不同的零点,求出h(x)的极值,进而得到 关于m的不等式组,求解即可.
解析 (1)当a=1时,f(x)=(x2+x-1)ex,则f'(x)=x(x+3)ex.
令f'(x)=0,得x=0或x=-3,
当x<-3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当-3当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
综上所述,f(x)的单调递减区间为(-3,0),单调递增区间为(-∞,-3),(0,+∞).
(2)a=-1时,f(x)=(-x2+x-1)ex,
令h(x)=f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex- ,则h'(x)=-(x2+x)(ex+1),
令h'(x)=0,解得x=0或x=-1.
列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,+∞)
h'(x) - 0 + 0 -
h(x) ↘ 极小值h(-1) ↗ 极大值h(0) ↘
∴h(x)在x=-1处取得极小值h(-1)=- - -m,在x=0处取得极大值h(0)=-1-m.
若函数f(x),g(x)的图象有3个不同的交点,则h(x)有3个不同的零点,
∴ 即 得- - 