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5.3.3 最大值与最小值
知识点 求函数的最大值与最小值的步骤
必备知识 清单破
求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值可以分为两步:
第一步:求f(x)在区间(a,b)上的极值;
第二步:将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.
注意:函数的最大(小)值是相对于函数定义域整体而言的,如果存在最大(小)值,那么最大(小) 值唯一.
知识辨析
1.函数的最值一定是函数的极值吗
2.开区间上的单调连续函数有最值吗
3.若连续函数在区间内存在唯一的极值,则这个极值也一定是函数在区间内的最值,对吗
一语破的
1.不一定.函数的最值是通过比较函数的端点值和极值得到的,若最值不是端点值,则一定是 极值.
2.没有.因为函数是单调函数,所以在区间端点取得最大、最小值,而开区间的区间端点无法 取到,所以无最值.
3.对.若是唯一的极大值,极值点左侧是单调递增区间,极值点右侧是单调递减区间,则极大值 一定是区间内的最大值;若是唯一的极小值,极值点左侧是单调递减区间,极值点右侧是单调 递增区间,极小值一定是区间内的最小值,开闭区间都一样.
有关含参函数的最大(小)值问题,一般有两类:
一类是求含参函数的最大(小)值,对于此类问题,由于参数的取值范围不同可能会导致函数的 单调性变化,从而导致最大(小)值变化,所以解决此类问题常常需要分类讨论,在分类讨论得 到函数的单调性和极值之后,讨论极值与区间端点值的大小得到最值.
另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值问题的逆向 运用,求解此类问题的步骤:
(1)求导数f'(x),并求极值;
(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变化影响着函 数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的方程(组),求解即可.
定点 1 利用导数解决含参函数的最值问题
关键能力 定点破
典例1 已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),求函数y=f(x)在区间[e,e2]上的最小值.
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a- = .
当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在[e,e2]上单调递减,∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e2)=ae2-2.
当a>0时,令f'(x)=0,得x= ,
则f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.
①当 ≤e,即a≥ 时,
f(x)在[e,e2]上单调递增,
∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e)=ae-1;
②当e<
f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f =1+ln a;
③当 ≥e2,即0f(x)在[e,e2]上单调递减,
∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e2)=ae2-2.
综上所述,当a≤ 时,f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e2)=ae2-2;
当 当a≥ 时,f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e)=ae-1.
典例2 已知f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在, 求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解析 由题设知a≠0.
易得f '(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f '(x)=0,得x=0或x=4(舍去).
①当a>0时,x,f '(x),f(x)的变化情况如表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f '(x) + 0 -
f(x) -7a+b ↗ b ↘ -16a+b
由表可知,当x=0时, f(x)取得极大值,也就是函数f(x)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=3,即b=3.
又f(-1)=-7a+3, f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.
②当a<0时,同理可得,当x=0时, f(x)取得极小值,也就是函数f(x)在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=-29,即b=-29.
又f(-1)=-7a-29, f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.
综上可得,存在实数a=2,b=3或a=-2,b=-29满足题意.
1.利用函数的导数求函数的最大(小)值,可以处理有关函数图象、不等式等综合问题,特别是 有关不等式的恒成立问题.
2.处理不等式恒成立问题的方法
(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最大(小)值或数形结合解决有关 不等式的恒成立问题.
(2)将主元与参数分离,将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题来解决.
在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,可转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有f(x)≤a成立, 可转化为f(x)max≤a.
3.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为最大(小)值问题,利用函数的最大(小)值加以证明.
定点 2 利用导数解决与函数最值有关的不等式恒成立问题
典例 已知函数f(x)=ex-ax-a(其中e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若 x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N*,证明: + + +…+ < .
思路点拨 (1)易得f '(x)=ex-a,再分a≤0和a>0两种情况研究f(x)的单调性.
(2)参变分离,转化为a< -1,x∈(0,2]恒成立,构造函数g(x)= -1,x∈(0,2],进而转化为求g(x)的
最小值.
(3)由(1)知x+1≤ex,通过换元得 < ,即 解析 (1)易得函数f(x)的定义域为R,f '(x)=ex-a.
①当a≤0时, f '(x)>0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,令f '(x)>0,得x>ln a,令f '(x)<0,得x所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2) x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,
即不等式(a+1)x即当x∈(0,2]时,a< -1恒成立.
令g(x)= -1(x∈(0,2]),
则g'(x)= .
令g'(x)>0,得1所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.
所以当x=1时,g(x)取得极小值,也是最小值,为e-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,e-1).
(3)证明:当a=1时,由(1)可知对任意实数x都有ex-x-1≥f(0)=0,
即x+1≤ex(当且仅当x=0时,等号成立).
令x+1= (k=1,2,3,…,n),
则 < ,即 故 + + +…+ < (e1+e2+e3+…+en)= < .
规律总结 应用导数进行证明时常用的不等式:
①ln x≤x-1(x>0);
② ≤ln(x+1)≤x(x>-1);
③ex≥1+x;
④e-x≥1-x;
⑤ < (x>1);
⑥ < - (x>0).
1.实际生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 导数是解决生活中优化问题的有力工具.
利用导数解决生活中的优化问题的步骤如下:
定点 3 利用导数解决生活中的优化问题
2.解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.
(2)一般地,可通过求函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值 点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f '(x)=0,则只需根据实际意义判断该值是最大值还是 最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.
典例 某企业研发出一款新产品,计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为180万元, 此外,每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品x(0(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数关系式;(利润=销售收入-固定 研发成本-产品生产成本)
(2)当年产量为多少万台时,该企业的获利最大 并求出此时的最大利润.
解析 (1)当0当2=-10x- +2 870,
所以P(x)=
(2)当0令t=x-2,则t∈(-2,0],I(x)=2(x-1)ex-2+2转化为φ(t)=2(t+1)et+2,
则φ'(t)=2(t+2)et,
当t∈(-2,0]时,φ'(t)>0,φ(t)在(-2,0]上单调递增,
所以φ(t)的最大值为φ(0)=4,即当x=2时,I(x)取得最大值4万元,
此时销售收入远小于投入,企业亏损,所以最大获利一定在2此时P(x)=-10x- +2 870
=- +2 870
≤-2 +2 870
=-600+2 870=2 270,当且仅当10x= ,即x=30(负值舍去)时等号成立,
此时P(x)取得最大值,且最大值为2 270万元,
所以当年产量为30万台时,该企业获利最大,最大利润为2 270万元.
素养解读
高考对导数的综合应用的考查通常难度较大,常考题型一般有三种:不等式恒成立问 题、不等式证明问题、函数的零点问题.这些问题虽然形式不同,但实质是一样的,主要考查 函数的单调性、极值、最值等,利用导数解决此类问题,可以把函数、导函数或者二阶导函 数的图象大致描述出来,利用图象描述和分析数学问题,建立数和形的联系,培养直观想象的 核心素养,这类问题的计算量比较大,在计算时要注意运算技巧的应用,在运算过程中培养学 生数学运算的核心素养,同学们在课下要注意题型归纳、方法总结以及易错、易混淆问题的 梳理等.
素养 在导数的综合应用问题中培养学生直观想象和数学运算的核心素养在导数的综合应
用问题中培养学生直观想象和数学运算的核心素养
学科素养 情境破
例题 已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
典例呈现
主编点评 本题考查的是函数的零点问题,可转化为相应方程有两个不同的实数根,利用数 形结合思想进一步转化为两函数图象的交点个数问题,画函数图象时需要利用导数研究函数 的单调性,判断图象的大致趋势,此外,一些常见函数的求导公式要牢固掌握,这是解题的基础, 计算要认真、准确.
解题思路 (1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),则f'(x)=ex-1,令f'(x)<0,解得x<0,令f'(x)>0,解得x>0,所以f(x) 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f(x)有两个零点,即方程ex-a(x+2)=0有两个实数根,显然x=-2不是方程的根,故a= 有两个
实数根,令h(x)= (x≠-2),则h'(x)= = ,
令h'(x)>0,解得x>-1,令h'(x)<0,解得x<-2或-2所以函数h(x)在(-∞,-2)和(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,
当x<-2时,h(x)<0,而x→-2+时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,画出y= (x≠-2)的大致图象,
如图,
所以当a= 有两个实数根时,有a>h(-1)= ,所以a的取值范围是 .
思维升华
求解导数的综合问题时,首先要构造合理的函数,利用导数研究函数的单调性、极值、 最值等性质,必要时根据这些性质画出函数的大致图象,通过观察函数的变化趋势找到分类 的标准与解题方法,不仅思路清晰而且步骤简捷,数学运算也是很关键的一步,同学们要在数 学运算中学会举一反三,注重反思、归纳,同时规范答题格式与解题技巧.5.3.3 最大值与最小值
基础过关练
题组一 函数最大(小)值的求解
1.函数f(x)=sin x-xcos x在区间上的最小值为( )
A. D.0
2.函数f(x)=sin x+的最大值为( )
A.
3.已知实数x>0,则函数y=xx的值域为( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.,+∞)
4.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数)在区间[-2,2]上有最大值20,那么函数f(x)在此区间上的最小值为( )
A.-37 B.-7 C.-5 D.-11
5.已知函数f(x)=+|x-1|,则f(x)的最小值为 .
6.已知函数f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2.
(1)求m的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.
题组二 函数最大(小)值的应用
7.已知函数f(x)=x3+16ln x-ax在区间[1,3]上单调递减,则a的取值范围是( )
A.(17,+∞) B.
C.[17,+∞) D.
8.若a∈,g(a)表示y=sin x在[0,a]上的平均变化率,则函数g(a)的值域为( )
A.(0,+∞) B.(0,1)
C.
9.若函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x在(1,+∞)上有最小值,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,0) B.(-∞,-1)
C.(0,1) D.(-1,1)
10.若函数f(x)=x3-3x在区间(m,2)上有最小值,则m的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=2x3-ax2+b,若存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1,最大值为1,则符合条件的一组a,b的值为 .
12.若函数f(x)=(2x+a)2·(其中a<0)在区间[1,4]上的最小值为8,则a= .
13.已知函数f(x)=ln x+ax+2(a<0)的最大值为2.
(1)求a的值;
(2)若f(x)≤bx在[1,+∞)上恒成立,求b的取值范围.
题组三 利用导数解决生活中的优化问题
14.已知四个城市坐落在正方形ABCD的四个顶点处,正方形边长为200 km,现要修建高铁连接这四个城市,设计师设计了图中的连接路线(路线由五条实线段组成,且路线上、下对称,左、右对称),则路线总长(单位:km)的最小值为( )
A.300
C.600 D.200+200
15.(多选题)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些 高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究,调查如下:某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下),且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm.则下面结论正确的有(注:1 mL=1 cm3;利润可为负数)( )
A.利润随着瓶子半径的增大而增大
B.半径为6 cm时,利润最大
C.半径为2 cm时,利润最小
D.半径为3 cm时,制造商不获利
16.长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭,是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)+圆柱形,由两个半罩组成,某学校航天兴趣小组制作整流罩模型,近似一个由圆柱和圆锥组成的几何体,如图所示,若圆锥的母线长为6,且圆锥的高与圆柱的高的比为1∶3,则该模型体积的最大值为( )
A.40π
17.已知圆锥的外接球半径为2,则该圆锥的最大体积为 .
18.学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示,为了提升荷花池的观赏性,现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O,C不重合),其中AD,BD,CD段建设架空木栈道,已知AB=100 m,设建设的架空木栈道的总长为y m.
(1)设∠DAO=θ rad,将y表示成θ的函数关系式,并写出θ的取值范围;
(2)试确定观景台的位置,使三段架空木栈道的总长度最短.
能力提升练
题组一 函数最值的求解
1.已知函数f(x)=,则f(x)的值域为( )
A.[-4-2]
C.(-∞,4-]
2.已知函数f(x)=xex,g(x)=-,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),则的最大值为( )
A.e B.1 C.
3.已知函数h(t)=et-1与g(t)=ln(2t-1)+2,若h(t1)=g(t2),则t2-t1的最小值为( )
A.-1 B.-ln 2 C.1-ln 3 D.1-2ln 2
4.设定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)=3x2e-x,且f(0)=0,则下列结论正确的是( )
A.f(x)单调递减 B.f(x)单调递增
C.f(x)有最大值 D.f(x)有最小值
5.已知函数f(x)=x3-2mx2+m2x(m∈R)在x=6处有极小值.
(1)求m的值;
(2)求函数f(x)在[0,t](t>0)上的最大值.
6.设m为实数,函数f(x)=ln x+mx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m=e时,直线y=ax+是曲线y=f(x)的切线,求a+b的最小值.
题组二 函数最大(小)值的应用
7.若函数f(x)=xln(x-1)+a(x-1)在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,+∞) D.[-2,+∞)
8.已知函数f(x)=1--ln x存在两个零点,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(0,e) C.(1,+∞) D.(e,+∞)
9.已知函数f(x)=(3x2-6x+a+3)ex,若存在x0∈R,使得对任意x∈R,都有f(x)≥f(x0),则a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a≤0 C.a>3 D.a<3
10.已知△ABC中,sin(π-A)=3sin Csin,且AB=2,则△ABC面积的最大值为 .
11.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时, f(x)=ex-ax+e3.若存在等差数列x1,x2,x3,x4(x112.设函数f(x)=xex,则函数f(x)的最小值为 ;若 x2∈(0,+∞), x1∈(0,+∞),使不等式+1)恒成立,则正数k的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=ln x+a(1-x),a∈R.
(1)当a=2时,求f(x)在[1,2]上的最值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)≥2a-2成立,求实数a的取值范围.
14.已知函数f(x)=xex-ax2-ax-1.
(1)若a>0,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若x>0,f(x)+ax2-2x-ln x≥0,求实数a的取值范围.
题组三 利用导数解决生活中的优化问题
15.在△ABC中,AB=5,AC=3,tan A=,点M,N分别在边AB,BC上移动,且MN=BN,沿MN将△BMN折起,得到四棱锥B-AMNC,则该四棱锥的体积的最大值是( )
A.
16.如图所示,某小区有一半径为100 m,圆心角为90°的扇形空地.现欲对该地块进行改造,从弧AB上一点P向OB引垂线段PH,从点H向OP引垂线段DH.在△OPH的三边修建步行道,则步行道长度的最大值是 m.在△ODH内修建花圃,则花圃面积的最大值是 m2.
答案与分层梯度式解析
5.3.3 最大值与最小值
基础过关练
1.B f'(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,
当x∈时, f'(x)>0;当x=0时, f'(x)=0;当x∈时, f'(x)>0,
故f'(x)≥0在上恒成立,且仅在x=0处取“=”,则f(x)在上单调递增,
所以f(x)在区间上的最小值为f=-1.故选B.
2.B 由题意得f'(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1),
易知-1≤cos x≤1,则cos x+1≥0,
所以当0, f(x)单调递增;当-1≤cos x<,即2kπ+,k∈Z时, f'(x)≤0,且不恒为0, f(x)单调递减,
故f(x)在x=2kπ+,k∈Z处取得极大值,即最大值,
所以f(x)max=sin,k∈Z.故选B.
3.D 对y=xx的两边同时取自然对数得ln y=xln x(x>0),令f(x)=xln x(x>0),则f'(x)=1+ln x,
令f'(x)>0,得x>,令f'(x)<0,得0故f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)在x=处取得极小值,也是最小值,为f,
故f(x)的值域为,即ln y≥-,得y≥,所以y=xx的值域为[,+∞).故选D.
4.B 由已知得f'(x)=-3x2+6x+9,
令f'(x)=0,得x=-1或x=3(舍去).
当-20, f(x)单调递增,
所以当x=-1时, f(x)取得极小值,即最小值,
又f(2)=22+a>f(-2)=2+a,
所以最大值为22+a=20,所以a=-2,
所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为f(-1)=-7.故选B.
5.答案
解析 由已知得f(x)的定义域为R.当x<1时, f(x)=+1-x, f'(x)=<0恒成立,
所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(x)>f(1)=.
当x≥1时, f(x)=+x-1, f'(x)=>0恒成立,
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=.
综上, f(x)在x=1处取得最小值,为.
6.解析 (1)f'(x)=6x2-2mx-12.
因为f(x)=2x3-mx2-12x+6的一个极值点为2,
所以f'(2)=6×22-2m×2-12=0,解得m=3.
(2)由(1)得f(x)=2x3-3x2-12x+6, f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),x∈[-2,2].
令f'(x)<0,得-10,得-2所以f(x)在(-2,-1)上单调递增,在(-1,2)上单调递减,
所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,也是最大值,为f(-1)=13,又f(-2)=2, f(2)=-14,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-14.
7.C f'(x)=x2+-a,由题意知f'(x)≤0在区间[1,3]上恒成立,即a≥x2+在区间[1,3]上恒成立.
令g(x)=x2+,x∈[1,3],所以g'(x)=2x-,
因为x2+2x+4=(x+1)2+3≥3>0,
所以当10,
所以g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,又g(1)=12+<17,
所以g(x)max=g(1)=17,则a≥17,即a的取值范围是[17,+∞).故选C.
8.D 根据题意得g(a)=,a∈,故g'(a)=,a∈,
令f(a)=a-tan a,则f'(a)=1-<0,所以f(a)acos a,
故g'(a)<0,函数g(a)在上单调递减,所以g(a)>g.
令h(a)=a-sin a,则h'(a)=1-cos a>0,所以h(a)>h(0)=0,即a>sin a,所以<1.
故函数g(a)的值域为.故选D.
9.A 由题意可得f'(x)=,x∈(1,+∞).∵x>1,∴1-2x<0.
若a≥0,则ax+1>0,当x>1时, f'(x)<0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,则f(x)在(1,+∞)上无最值,不合题意,舍去;
若a≤-1,则ax+1<0,当x>1时, f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)在(1,+∞)上无最值,不合题意,舍去;
若-1-,易知->1,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,则f(x)在(1,+∞)上有最小值f,符合题意.故选A.
10.答案 [-2,1)
解析 f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,得x=±1,
当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(-1,1)时, f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
若函数f(x)在(m,2)上有最小值,则其最小值必为f(1),
则1∈(m,2)且f(m)=m3-3m≥f(1)=-2,
即m<1且m(m2-1)-2(m-1)≥0,
则m<1且(m-1)2(m+2)≥0,解得-2≤m<1,
故m的取值范围为[-2,1).
11.答案 a=4,b=1或a=0,b=-1(填写一种即可)
解析 f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),令f'(x)=0,得x=0或x=.若≥1,即a≥3,则f'(x)≤0在区间[0,1]上恒成立,且仅在个别点处取“=”,则f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以
若≤0,即a≤0,则f'(x)≥0在[0,1]上恒成立,且仅在个别点处取“=”,则f(x)在[0,1]上单调递增,所以
若0<<1,即00,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)在x=处取得极小值,也是最小值,为f+b=-1,即a3-27b-27=0①.
因为无法判断f(0)与f(1)的大小,所以f(x)可能在x=0处取得最大值,也可能在x=1处取得最大值,即f(0)=b=1②或f(1)=2-a+b=1③.
由①②得由①③得均不满足0综上,满足题意的a,b的值为a=4,b=1或a=0,b=-1(填写一种即可).
12.答案 -10
解析 由已知得f'(x)=,令f'(x)=0,得x=-或x=-,
∵a<0,∴0<-,
令f'(x)>0,得0-,令f'(x)<0,得-,∴f(x)在上单调递增,在上单调递减.
①当-≥4,即a≤-40时, f(x)在[1,4]上单调递增,∴f(1)=8,解得a=-2±2,均不符合,故舍去.
②当-≤1,即-2≤a<0时, f(x)在[1,4]上单调递增,∴f(1)=8,解得a=-2±2,均不符合,故舍去.
③当-≤1且-≥4,即-10≤a≤-8时, f(x)在[1,4]上单调递减,∴f(4)=8,解得a=-10或a=-6(舍去).
④当1<-,即-40⑤当-<4,即-8综上所述,a=-10.
13.解析 (1)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)=0,得x=-,
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
所以f(x)max=f+1=2,解得a=-.
(2)由(1)知f(x)=ln x-+2,因为x≥1,所以ln x-+2≤bx可化为b≥,
设g(x)=,所以g'(x)=,则g'(x)<0在[1,+∞)上恒成立,即g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=2-,所以b≥2-,因此b的取值范围是.
14.D 设∠EAB=θ,θ∈,则AE= km,EF=(200-200tan θ)km,
所以路线总长(单位:km)为4AE+EF=+200-200tan θ=200.
令f(θ)=,θ∈,
则f'(θ)=,
当θ∈时, f'(θ)<0, f(θ)单调递减,当θ∈时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增,
所以f(θ)的最小值是f,则路线总长(单位:km)的最小值为200+200.故选D.
15.BCD 设每瓶饮料的利润为f(r)分,则f(r)=0.2×,r∈(0,6],
则f'(r)=r(r-2),令f'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).
所以当r∈(0,2)时, f'(r)<0, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低,
当r∈(2,6)时, f'(r)>0, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高,
所以当r=2时,函数f(r)取得最小值,
又f(0)=0, f(6)=,所以当r=6时,函数f(r)取得最大值,
因为f(3)==0,所以当r=3时,制造商不获利.故选BCD.
16.C 设圆锥的高为h(0令f(x)=-x3+36x,0令f'(x)=0,得x=2(负值舍去),
当00,当2则f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,6)上单调递减,故f(x)在x=2处取得极大值,也是最大值,
即当h=2时,V取得最大值,且Vmax=160π,故选C.
17.答案 π
解析 设圆锥的高为h,底面圆的半径为r,
则(h-2)2+r2=22,即r2=4h-h2,
所以该圆锥的体积V=h3,
设f(h)=h3(h>0),则f'(h)=h-πh2,
令f'(h)>0,得0,函数f(h)单调递减,
所以f(h)max=fπ,即该圆锥的最大体积为π.
18.解析 (1)由题意得0<θ<,OC⊥AB,OA=OB=50 m,
则DA=DB= m,DO=50tan θ m,所以DC=(50-50tan θ)m,
所以y=DA+DB+DC=+50-50tan θ=50.
(2)由(1)得y'=,
令y'=0,得sin θ=,即θ=,
当0<θ<时,y'<0,当时,y'>0,
所以当θ=时,ymin=50(+1),此时DO=50tan θ=(m).
所以当D在中轴线OC上且距离AB边 m时,能使三段架空木栈道的总长度最短.
能力提升练
1.D f(x)=,易知sin x≠-1,令sin x=t,t∈(-1,1],则f(x)可转化为g(t)=,t∈(-1,1],
可得g'(t)=,
令g'(t)=0,可得t=-1+或t=-1-(舍去).
当t∈时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
当t∈时,g'(t)<0,g(t)单调递减,
所以g(t)在t=-1+处取得极大值,也是最大值,即g(t)≤g,
当t趋近于-1时,可知g(t)=趋近于-∞,
因此f(x)的值域为(-∞,4-2].故选D.
2.C 由f(x1)=g(x2)=t>0,得x1=t,
即x1,容易判断x1>0,ln>0.
由f(x)=xex,得f'(x)=(1+x)ex,当x>0时, f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x1=ln,则.令h(t)=,t>0,则h'(t)=,令h'(t)>0,得01,所以h(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(t)max=h(1)=.故选C.
3.B ∵t>,2t-1>0,g(t)的值域是R,
设h(t1)=g(t2)=m,则m>=m,ln(2t2-1)+2=m,∴t1=ln m+1,t2=,
∴t2-t1=-ln m-1=em-2-ln m-,
设f(x)=ex-2-ln x-),
则f'(x)=,
设F(x)=f'(x),则F'(x)=>0,∴f'(x)在(,+∞)上单调递增,
又f'(2)=0,∴当2时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(2)=-ln 2-=-ln 2,
∴t2-t1的最小值是-ln 2,故选B.
4.C 因为f'(x)+f(x)=3x2e-x,
所以exf'(x)+exf(x)=3x2,
可得[exf(x)]'=exf'(x)+exf(x)=3x2,
则exf(x)=x3+c(c为常数),
因为f(0)=0,所以e0f(0)=0+c=0,解得c=0,
所以f(x)=, f'(x)=,
当x>3时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当00, f(x)单调递增,当x<0时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当x→+∞时, f(x)→0且f(x)>0,当x→-∞时, f(x)→-∞,
所以f(x)在x=3时有极大值,即最大值,为f(3)=,无最小值.故选C.
5.解析 (1)f'(x)=3x2-4mx+m2=(3x-m)(x-m),
因为f(x)在x=6处有极小值,所以f'(6)=(18-m)·(6-m)=0,解得m=6或m=18,
当m=6时, f'(x)=3(x-2)(x-6),
当x∈(-∞,2)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈(2,6)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(6,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以当x=6时, f(x)取得极小值,符合题意.
当m=18时, f'(x)=3(x-6)(x-18),
当x∈(-∞,6)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈(6,18)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(18,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以当x=6时, f(x)取得极大值,不符合题意,舍去.
综上所述,m=6.
(2)由(1)可知f(x)=x3-12x2+36x,且f(x)在[0,2),(6,+∞)上单调递增,在(2,6)上单调递减, f(8)=f(2)=32.
则当0当2当t>8时, f(x)在[0,2),(6,t]上单调递增,在(2,6)上单调递减,且f(t)>f(8),所以f(x)max=f(t)=t3-12t2+36t.
综上,f(x)max=
6.解析 (1)由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=,
当m≥0时, f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立;
当m<0时,令f'(x)>0,得0-.
故当m≥0时, f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当m<0时, f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)当m=e时, f(x)=ln x+ex,f'(x)=+e.
设切点为(x0,ln x0+ex0),则切线斜率k=f'(x0)=+e,切线方程为y-(ln x0+ex0)=(x-x0),即y=x+ln x0-1,
∴a=+e,b=2ln x0-2,
∴a+b=+2ln x0+e-2,
令g(x)=+2ln x+e-2,
则g'(x)=-(x>0),
令g'(x)<0,得00,得x>,
∴g(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴g(x)min=g=e-2ln 2,
即a+b的最小值为e-2ln 2.
7.D 由已知得函数f(x)的定义域为(1,+∞), f'(x)=ln(x-1)++a+1,
令t=x-1,t>0,则f'(x)可转化为g(t)=ln t++a+1,
函数f(x)在(1,+∞)上单调,即g(t)在(0,+∞)上无变号零点,
易得g'(t)=,当t>1时,g'(t)>0,g(t)单调递增,当0故g(t)min=g(1)=2+a,
要使g(t)在(0,+∞)上无变号零点,需2+a≥0,
∴a≥-2.
故选D.
8.A 由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=,
当a≤0时, f'(x)<0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)不可能存在两个零点,不合题意.
当a>0时,令f'(x)<0,得x>a,令f'(x)>0,得0可得f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),
若f(x)存在两个零点,则f(a)=-ln a>0,解得0当0易得f(e)=-<0,且f,
令m(a)=1-,a∈(0,1),
则m'(a)=>0,
则m(a)在(0,1)上单调递增,可得m(a)可知f(x)在(0,a)和(a,+∞)上均只有一个零点,即0综上所述,实数a的取值范围为(0,1).
故选A.
方法总结 已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数的范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,然后将问题转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,然后在同一平面直角坐标系中画出不同函数的图象,通过数形结合求解.
9.B 由已知得f'(x)=(3x2+a-3)ex,因为对任意x∈R,都有f(x)≥f(x0),所以f(x0)是函数f(x)的最小值,也是极小值,故f'(x)=0有两个实数根,即3x2+a-3=0有两个实数根,则a<3,
令g(x)=3x2+a-3,则g(x)的一个零点为x0,设另一个零点为x1,且x1当x→-∞时, f(x)→0+,
因为f(x0)是最小值,所以f(x0)≤0,
即f(x0)=(3≤0,解得x0≥1,故a=3-3≤0.故选B.
10.答案
解析 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
由sin(π-A)=3sin Csin,得sin A=3sin Ccos,由正弦定理可得a=3ccos,
则S△ABC=acsin B=6sin Bcos,
令t=sin,t∈(0,1),则S△ABC=12t(1-t2)=12(t-t3),
令f(t)=12(t-t3),t∈(0,1),则f'(t)=12(1-3t2),
令f'(t)>0,得0则f(t)在上单调递增,在上单调递减,所以当t=时, f(t)取得极大值,也是最大值,为,
所以△ABC面积的最大值为.
11.答案 e
解析 由题意得当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-(e-x+ax+e3)=-e-x-ax-e3,
故f(x)=
设x1,x2,x3,x4的公差为d(d>0),则x1+x4=x1+x1+3d=0,则x1=-d,
由x1+x4=0且f(x)是奇函数,得f(x1)+f(x4)=0,
设等比数列{f(xn)}(n=1,2,3,4)的公比为q,则f(x1)+f(x1)q3=0,解得q=-1,则f(x1)+f(x2)=0,即2ad-2e3-=0,
令t=d(t>0),则a=,
令g(t)=,t>0,
则g'(t)=,显然g'(1)=0,
令h(t)=,t>0,
则h'(t)=>0,
所以函数h(t),即g'(t)在(0,+∞)上单调递增,因此t=1为g'(t)的唯一零点,
则当01时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
从而g(t)min=g(1)=e,
所以a的最小值为e.
12.答案 -
解析 由已知得f'(x)=ex(x+1),当 x<-1时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x>-1时, f'(x)>0, f(x)单调递增,故f(x)在x=-1处取得极小值,也是最小值,为-.
令g(x)=,x>0,由已知得 x2∈(0,+∞), x1∈(0,+∞),使恒成立,即,
当x>0时,h(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,即h(x)min=2.
易得g'(x)=,当01时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,为g(1)=e,所以,由k>0,可得k≥.
所以正数k的取值范围是.
13.解析 (1)当a=2时, f(x)=ln x+2(1-x),
则f'(x)=-2,x∈(0,+∞),
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
所以f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=0, f(x)min=f(2)=ln 2-2.
(2)因为 x0∈(0,+∞),使得f(x0)≥2a-2,
所以a≤,
令g(x)=(x>0),即a≤g(x)max,
易得g'(x)=,令h(x)=-ln x-1,则h'(x)=-<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,
又h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减,
故g(x)max=g(1)=1,所以a≤1,
即实数a的取值范围是(-∞,1].
14.解析 (1)f(x)的定义域为R, f'(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a),令f'(x)=0,得x=-1或x=ln a.
若a=,则f'(x)≥0,且仅在x=-1处取“=”,故函数f(x)在R上单调递增.
若a>,则当x∈(-∞,-1)∪(ln a,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(-1,ln a)时, f'(x)<0,
故函数f(x)在(-∞,-1)和(ln a,+∞)上单调递增,在(-1,ln a)上单调递减.
若00,当x∈(ln a,-1)时, f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,ln a)和(-1,+∞)上单调递增,在(ln a,-1)上单调递减.
(2)当x>0时, f(x)+ax2-2x-ln x=xex-(a+2)x-ln x-1≥0,所以a≤ex--2,
令g(x)=ex--2,则g'(x)=ex-,
令h(x)=x2ex+ln x,则h'(x)=x(x+2)ex+>0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又h(1)=e>0,h-1<0,
所以 x0∈,使得h(x0)=0,
则当x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,
所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(x0)=-2.
由h(x0)=0得-ln x0=,则ln(-ln x0)=2ln x0+x0,所以ln(-ln x0)+(-ln x0)=ln x0+x0,
易知y=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,
所以-ln x0=x0,即,所以g(x)min=g(x0)=-2=-1,
所以a≤-1,即实数a的取值范围为(-∞,-1].
15.C 由tan A=得cos A=,在△ABC中,由余弦定理得BC==4,故AC2+BC2=AB2,则△ABC是直角三角形,且C为直角,易知当四棱锥B-AMNC的体积最大时,平面MNB⊥平面AMNC,设BM=2x,0在△MNB中,tan B=,S△MNB=·2x·x·tan B=x2,sin∠NMB=sin B=,
点B到底面AMNC的距离h=BMsin∠NMB=,
则V四棱锥B-AMNC=(S△ABC-S△MNB)h=.
令f(x)=,则f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=(负值舍去),当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,故当x=时, f(x)最大,即该四棱锥的体积最大,为.故选C.
16.答案 100(1+
解析 设∠BOP=θ,则PH=100sin θ,OH=100cos θ,
因此△OPH的周长L=100+100(sin θ+cos θ)=100+100,
显然,于是当θ+,即θ=时,Lmax=100+100,
所以步行道长度的最大值是(100+100)m.
由DH⊥OP,得OD=OHcos θ=100cos2θ,
因此△ODH的面积为OH·ODsin θ=5 000sin θcos3θ,
令f(θ)=sin θcos3θ,则f'(θ)=cos4θ-sin θ·3cos2θsin θ =cos2θ(1-4sin2θ),
又0<θ<,所以当00, f(θ)单调递增,当于是当sin θ=,即θ=时, f(θ)max=,
所以花圃面积的最大值为5 000× m2.
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