专题强化练10练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练10　导数的运算法则及其应用
1.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.若y=cos,则y'=
B.若y=sin x2,则y'=cos x2
C.若y=x2ex,则y'=(x2+2x)ex
D.若y=ln(2x+1),则y'=
2.若直线x-2y+2-2ln 2=0与曲线f(x)=ax-ln x相切,则实数a=(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.e
3.已知幂函数f(x)=(2m2-m)在区间(0,+∞)上单调递增,曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴、y轴分别相交于A、B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为2,则点P的坐标为(　　)
A.(2,2)　　　　B.(4,2)　　　　C.　　　　D.(2,8)
4已知奇函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且f(1-x)-f(1+x)+x=0恒成立,则f'(2 023)=(　　)
A.1　　　　B.
5.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)和g(x),g'(x)是g(x)的导函数且定义域为R.若g(x)为偶函数, f(x)+g'(x)-5=0, f(x)-g'(4-x)-5=0,则下列选项正确的是(　　)
A.f(4)=5　　　　B.g'(-4)=1
C.f(1)+f(3)=10　　　　D.g'(-2)+f(2)=10
6.(多选题)当我们将导数的概念推广至方程F(x,y)=0时,有时会无法解出y=f(x).为此,数学家提出了一种新的方法,使得对于任意方程F(x,y)=0,都能够对其中一个变量求导.例如,对于方程ey+xy-e=0,将y看作x的函数,两边同时对x求导,得(ey+xy-e)'=(0)',即y'ey+xy'+y=0,解得y'=,下列说法正确的是(　　)
A.对于方程y5+2y-3x7-x=0,y'=
B.对于方程sin y-y+x=0,y'=
C.对于方程y=
D.对于方程xy=ex+y,y'=-
7.设函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π),若y=f(x)+f'(x)是偶函数,则φ=　　　　.
8.设f0(x)=cos x,f1(x)=f'0(x), f2(x)=f'1(x),……, fn+1(x)=f'n(x)(n∈N),若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+f3(A)+…+f2 022(A)=0,则sin A=　　　　.
9.已知a,b,c∈R,函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的导函数为f'(x).
(1)若b=c,求曲线y=f(x)在点(b, f(b))处的切线方程;
(2)求的值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练10　导数的运算法则及其应用
1.AC　对于A,y'=-sin,A正确;
对于B,y'=cos x2·2x=2xcos x2,B错误;
对于C,y'=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,C正确;
对于D,y'=,D错误.故选AC.
2.B　直线x-2y+2-2ln 2=0,即y=x+1-ln 2,
对f(x)=ax-ln x求导,得f'(x)=a-,
设切点坐标为(x0,ax0-ln x0),则切线斜率为f'(x0)=a-,切线方程为y-(ax0-ln x0)=(x-x0),即y=x+1-ln x0,
由题意可得故选B.
3.B　依题意得2m2-m=1,解得m=1或m=-,
当m=-时, f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,不合题意;当m=1时, f(x)=,在(0,+∞)上单调递增,符合题意.
对f(x)=求导,得f'(x)=,设P(x0,),
则曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-(x-x0),整理得y=,令x=0,得y=;令y=0,得x=-x0,
所以S△OAB=·|-x0|·=2,解得x0=4,所以点P的坐标为(4,2).故选B.
4.B　设g(x)=f(x)-x,则g(x)为R上可导的奇函数,g(0)=0,
由f(1-x)-f(1+x)+x=0得f(1-x)-(1+x),即g(1-x)=g(1+x),
所以g(x+2)=g(1+x+1)=g(-x)=-g(x),
g(x+4)=g(x+2+2)=-g(x+2)=g(x),
又g(1-x)=g(1+x),即-g(1-x)=-g(1+x),
所以g(-1+x)=g(-1-x),等式两边对x求导,
得g'(-1+x)=-g'(-1-x),令x=0,得g'(-1)=-g'(-1),所以g'(-1)=0.
由g(x+4)=g(x),两边对x求导,得g'(x+4)=g'(x),所以g'(x)的周期为4,
所以g'(2 023)=g'(-1)=0,
因为g(x)=f(x)-x,所以g'(x)=f'(x)-,
所以f'(2 023)=g'(2 023)+.故选B.
5.AC　因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),两边求导得-g'(-x)=g'(x),又g'(x)的定义域为R,关于原点对称,所以g'(x)为奇函数,
因为f(x)+g'(x)-5=0, f(x)-g'(4-x)-5=0,
所以f(x)-5=-g'(x)=g'(4-x),故g'(-x)=g'(4-x),所以g'(x)=g'(4+x),
即g'(x)的周期为4且g'(0)=g'(4)=0,则g'(-4)=g'(0)=0,故B错误;
在f(x)+g'(x)-5=0中,令x=4,得f(4)+g'(4)-5=0,所以f(4)=5,故A正确;
在f(x)+g'(x)-5=0中,令x=1,得f(1)+g'(1)-5=0,
在f(x)-g'(4-x)-5=0中,令x=3,得f(3)-g'(1)-5=0,
两式相加得f(1)+f(3)-10=0,即f(1)+f(3)=10,故C正确;
在f(x)-5=-g'(x)=g'(4-x)中,令x=2,得g'(2)=-g'(2),则g'(2)=0,所以g'(-2)=-g'(2)=0,则f(2)-5=0,即f(2)=5,所以g'(-2)+f(2)=5,故D错误.故选AC.
6.BCD　对于A,由y5+2y-3x7-x=0,得5y4·y'+2y'-21x6-1=0,则y'=,A错误;
对于B,由sin y-y+x=0,得y'cos y-y'+1=0,则y'=,B正确;
对于C,由y=(x>4),
得y2=(x>4),
所以2y·y'
=,所以y'=
=
=
=
=,C正确;
对于D,由xy=ex+y得y+xy'=ex+y·(1+y'),
所以y'=-,D正确.故选BCD.
7.答案　
解析　∵f(x)=sin(x+φ),
∴f'(x)=x+φ),
∴f(x)+f'(x)=sin(x+φ)
=2sin,
∵y=f(x)+f'(x)为偶函数,∴φ+,k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z.又0<φ<π,∴φ=.
8.答案　
解析　由题意得, f1(x)=f'0(x)=-sin x,f2(x)=f'1(x)=-cos x, f3(x)=f'2(x)=sin x, f4(x)=f'3(x)=cos x,f5(x)=f'4(x)=-sin x,……,所以{fn(x)}是周期为4的周期数列,且f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
所以f1(A)+f2(A)+f3(A)+…+f2 022(A)=f1(A)+f2(A)=-sin A-cos A=0,即tan A=-1,又A是△ABC的内角,所以A=135°,故sin A=.
9.解析　(1)若b=c,则f(x)=(x-a)·(x-b)2,
所以f'(x)=(x-b)2+(x-a)·2(x-b),
则f'(b)=(b-b)2+(b-a)·2(b-b)=0,即曲线y=f(x)在点(b, f(b))处的切线的斜率为0,
又f(b)=(b-a)(b-b)2=0,
所以所求切线方程为y=0.
(2)由f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)得f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)·[(x-b)(x-c)]'=(x-b)(x-c)+(x-a)·(x-c)+(x-a)(x-b),
所以f'(a)=(a-b)(a-c), f'(b)=(b-a)(b-c), f'(c)=(c-a)(c-b),
因此
=
=
=
=-=0.
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