专题强化练11练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练11　导数与函数的单调性及其应用
1.已知定义在(-2,2)上的函数f(x)满足f(x)+e4xf(-x)=0,且f(1)=e2, f'(x)为f(x)的导函数,当x∈[0,2)时, f'(x)>2f(x),则不等式e2xf(2-x)A.(1,+∞)　　　　B.(1,2)　　　　C.(0,1)　　　　D.(1,4)
2.若f(x)为R上的奇函数, f'(x)为其导函数,当x>0时,xf'(x)+3f(x)>0恒成立,则不等式x3f(x)+(2x-1)3f(1-2x)<0的解集为(　　)
A.　　　　
B.(1,3)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)　　　　
D.∪(1,+∞)
3.已知a,b,c∈(1,+∞),且ea=9aln 11,eb=10bln 10,ec=11cln 9,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　　　B.c>a>b　　　　C.b>c>a　　　　D.c>b>a
4.若对任意的x1,x2∈(m,+∞),且x11恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.
C.[e,+∞)　　　　D.[e2,+∞)
5.已知函数f(x)=aexln x,若对任意的x∈(0,1), f(x)A.
C.
6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,h(x)=f(x)-g(x).
(1)若函数h(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的实数,且aeb-bea=ea-eb,证明:ea+eb>2.
答案与分层梯度式解析
专题强化练11　导数与函数的单调性及其应用
1.D　设g(x)=(-2所以g(x)是奇函数.
当x∈[0,2)时, f'(x)>2f(x),g'(x)=>0,所以g(x)在[0,2)上单调递增,则g(x)在(-2,2)上单调递增,
不等式e2xf(2-x)所以不等式e2xf(2-x)方法总结　利用导数关系构造函数的一些常见结构:
(1)遇到f'(x)+g'(x),构造函数F(x)=f(x)+g(x);
(2)遇到f'(x)-g'(x),构造函数F(x)=f(x)-g(x);
(3)遇到f'(x)g(x)+f(x)g'(x),构造函数F(x)=f(x)·g(x);
(4)遇到f'(x)g(x)-f(x)g'(x),构造函数F(x)=(g(x)≠0);
(5)遇到xf'(x)+nf(x),构造函数F(x)=xn·f(x);
(6)遇到f'(x)+f(x),构造函数F(x)=ex·f(x);
(7)遇到f'(x)+kf(x),构造函数F(x)=ekx·f(x).
2.D　令g(x)=x3f(x),则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[xf'(x)+3f(x)],
由题意知当x>0时,g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(x)为奇函数,所以g(-x)=(-x)3f(-x)=-x3·[-f(x)]=x3f(x)=g(x),即g(x)为偶函数,
由x3f(x)+(2x-1)3f(1-2x)<0,得x3f(x)<(2x-1)3f(2x-1),即g(x)1,
故原不等式的解集为∪(1,+∞).故选D.
3.D　由题知=9ln 11,=10ln 10,=11ln 9,记f(x)=,x∈(1,+∞),则f'(x)=,
当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
要比较a,b,c的大小关系,只需比较f(a), f(b), f(c)的大小关系,即比较9ln 11,10ln 10,11ln 9的大小关系,
记g(x)=(20-x)ln x,x>1,则g'(x)=-ln x+-1,
记h(x)=-ln x+-1,x>1,则h'(x)=-<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,
又h(8)=-ln 8+-ln 8<-ln e2<0,
所以当x∈(8,+∞)时,h(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(11)4.D　由题意得m≥0.
因为>1,且0所以x1ln x2-x2ln x1所以,即.
构造函数f(x)=,x∈(0,+∞),
因为当m易得f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e2,
所以当x∈(e2,+∞)时, f'(x)<0, f(x)在(e2,+∞)上单调递减,所以m≥e2.故选D.
5.A　由f(x)0,
所以构造函数g(x)=,则g'(x)=,所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
若0设h(x)=,则h'(x)=,所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)>h(1),即>e,所以≤e,即a≥,所以≤a≤1.
若a>1,则 x∈(0,1), f(x)=aexln x<0综上,实数a的取值范围为a≥.故选A.
6.解析　(1)h(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax2-2x,易知其定义域为(0,+∞),h'(x)=,
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上有解.
令p(x)=-ax2-2x+1,
当a=0时,p(x)=-2x+1,令p(x)<0,解得x>,则当x∈时,不等式-ax2-2x+1<0成立,符合题意;
当a>0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向下,则-ax2-2x+1<0在(0,+∞)上必定有解,符合题意;
当a<0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向上,对称轴为直线x=->0,令Δ=4+4a>0,解得a>-1,即-1综上,a的取值范围是(-1,+∞).
(2)由(1)可知,h'(x)=,p(x)=-ax2-2x+1,由函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,得p(x)≤0在[1,4]上恒成立.
当a=0时,p(x)=-2x+1,当x∈[1,4]时,p(x)<0恒成立,符合题意;
当a>0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=-<0,则函数p(x)在[1,4]上单调递减,则p(x)max=p(1)=-a-2+1=-a-1,令-a-1≤0,解得a≥-1,所以a>0;
当a<0时,函数p(x)为二次函数,且其图象开口向上,对称轴为直线x=->0,
要使p(x)≤0在[1,4]上恒成立,只需
即得a≥-≤a<0.
综上,a的取值范围是.
7.解析　(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时, f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
(2)证明:将aeb-bea=ea-eb变形为,
令ea=m,eb=n,则上式变为,即f(m)=f(n),
于是原题转换为证明m+n>2.
不妨设m1.
要证m+n>2,即证n>2-m>1,
由于f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以即证f(n)由于f(m)=f(n),所以即证f(m)令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),
则g'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-
=-
=-
=->0,
所以g(x)在区间(0,1)上单调递增,所以g(x)2成立,所以ea+eb>2.
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