专题强化练13练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练13　利用导数研究不等式恒(能)成立问题
1.已知函数f(x)=-1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞)　　　　B.(-∞,-3)
C.(-∞,1]　　　　D.[3,+∞)
2.若函数f(x)=x2-4x+aln x存在两个极值点x1,x2,且不等式f(x1)+f(x2)≥x1+x2+t恒成立,则t的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1]　　　　B.(-∞,-16-8ln 2]
C.　　　　D.(-∞,-13]
3.若关于x的不等式ax(eax+2)≥(x+2)ln x对任意的x∈(0,+∞)都成立,则a的最小值为(　　)
A.
C.
4.(多选题)已知函数f(x)=x(ln x-a),g(x)=ex(x+1),若 x1∈[1,e], x2∈[-1,1],使得f(x1)=g(x2),则a的取值可能是(　　)
A.-
C.-
5.已知函数f(x)=x2-aln x+1,-2≤a<0,若 x1,x2∈[1,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,则实数m的最小值为　　　　.
6.(2024江苏部分学校联考)已知函数f(x)=xln x,g(x)=x3-3x2+a,a∈R.
(1)求f(x)的极值;
(2) x1∈, x2∈[1,3],使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.
7.已知函数f(x)=ex-x2.
(1)若对任意x≥0, f(x)≥ax+1恒成立,求a的取值范围;
(2)若对任意x≥0, f(2x)≥ax2+2x+1恒成立,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练13　利用导数研究不等式恒(能)成立问题
1.C　存在x0>0,使得f(x0)≤0有解,即存在x0>0,使得a≤x0-x0ln x0有解,即a≤(x-xln x)max,x>0,
令g(x)=x-xln x,则g'(x)=1-(ln x+1)=-ln x,
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
∴g(x)max=g(1)=1,∴a≤1.故选C.
方法总结　用分离参数法解决不等式恒(能)成立问题的策略:
(1)分离变量,构造函数,将问题转化为函数的最值问题;
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min;a≥f(x)能成立 a≥f(x)min;a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
2.D　函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=x-4+,x>0,
因为函数f(x)存在两个极值点x1,x2,所以方程x2-4x+a=0有两个不相等的正实数根,
则解得0f(x1)+f(x2)-(x1+x2)=-4x1+aln x1+-4x2+aln x2-x1-x2=(16-2a)-20+aln a=aln a-a-12.
设h(a)=aln a-a-12,0当00,h(a)单调递增,故h(a)min=h(1)=-13.
因为不等式f(x1)+f(x2)≥x1+x2+t恒成立,即f(x1)+f(x2)-(x1+x2)≥t恒成立,所以t≤-13.故选D.
3.B　令f(x)=(x+2)ln x,则f'(x)=ln x++ln x+1.
令g(x)=+ln x+1,则g'(x)=-,
由g'(x)=0可得x=2,
当0当x>2时,g'(x)>0,g(x)在(2,+∞)上单调递增.
所以g(x)在x=2处取得极小值,也是最小值,为g(2)=ln 2+2,
显然ln 2+2>0,
所以g(x)>0,即f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由ax(eax+2)≥(x+2)ln x可知f(eax)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)都成立,
所以eax≥x对任意的x∈(0,+∞)都成立,
由eax≥x,x>0得a≥,x>0,
所以a≥对任意的x∈(0,+∞)都成立,
故只需a≥即可.
令h(x)=,x∈(0,+∞),则h'(x)=,
令h'(x)=0,得x=e,
当00,h(x)单调递增;
当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,为h(e)=,所以a≥,故a的最小值为.故选B.
4.BC　设f(x)在[1,e]上的值域为A,g(x)在[-1,1]上的值域为B,则A B,
易得g'(x)=(x+2)ex,∴当x∈[-1,1]时,g'(x)>0,
∴g(x)在[-1,1]上单调递增,∴B=[0,2e].
易得f'(x)=ln x-a+1(1≤x≤e),
当a≤1时, f'(x)≥0恒成立,且仅在个别点处取“=”,∴f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)min=f(1)=-a, f(x)max=f(e)=e(1-a),即A=[-a,e(1-a)],
∴解得-1≤a≤0,满足条件.
当a≥2时, f'(x)≤0恒成立,且仅在个别点处取“=”,∴f(x)在[1,e]上单调递减,
∴f(x)min=f(e)=e(1-a), f(x)max=f(1)=-a,即A=[e(1-a),-a],
∴解得-2e≤a≤1,不满足条件,舍去.
当1当x∈[1,ea-1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(ea-1,e]时,f'(x)>0, f(x)单调递增,∴f(x)min=f(ea-1)=-ea-1<0,不合题意,舍去.
综上所述,a的取值范围是[-1,0].故选BC.
5.答案　12
解析　因为-2≤a<0,所以函数f(x)在[1,2]上单调递增,不妨设1≤x1≤x2≤2,
则|f(x1)-f(x2)|≤m可化为f(x2)+≤f(x1)+,
设h(x)=f(x)+x2-aln x+1+,则h(x1)≥h(x2),所以h(x)在[1,2]上单调递减,
所以h'(x)=x-≤0在[1,2]上恒成立,即m≥x3-ax在x∈[1,2]上恒成立,
设g(x)=x3-ax,所以m≥g(x)max,1≤x≤2,
因为-2≤a<0,所以g'(x)=3x2-a>0,所以函数g(x)在[1,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=8-2a,
又-2≤a<0,所以8<8-2a≤12,所以g(x)max=12,所以m≥12.
故实数m的最小值为12.
6.解析　(1)f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,得x>,令f'(x)<0,得0所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在x=处取得极小值,为f,无极大值.
(2)由(1)知f(x)=xln x在上单调递增,所以-≤f(x)≤e.
由g(x)=x3-3x2+a,x∈[1,3],得g'(x)=3x2-6x,x∈[1,3],令g'(x)>0,得2所以函数g(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,所以g(x)在x=2处取得极小值,也是最小值,为g(2)=a-4,
因为g(1)=a-2,g(3)=a,所以g(x)max=a,所以a-4≤g(x)≤a.
因为 x1∈, x2∈[1,3],使得f(x1)=g(x2),所以f(x)在上的值域是g(x)在[1,3]上的值域的子集,
所以解得e≤a≤4-,故实数a的取值范围为.
7.解析　(1)易知当x=0时,不等式为1≥1,恒成立,此时a∈R.当x>0时, f(x)≥ax+1恒成立,即≥a恒成立,
记g(x)=,则g'(x)=,当x>1时,g'(x)>0,当0故g(x)min=g(1)=e-2,故a≤e-2.
综上可知,a的取值范围是(-∞,e-2].
(2)记m(x)=f(2x)-(ax2+2x+1)=e2x-4x2-ax2-2x-1(x≥0),则m'(x)=2e2x-8x-2ax-2(x≥0),
记n(x)=m'(x),则n'(x)=4e2x-8-2a,易知n'(x)在[0,+∞)上单调递增,则n'(x)≥n'(0)=-4-2a.
当-4-2a≥0,即a≤-2时,n'(x)≥0,且仅在个别点处取“=”,故m'(x)在[0,+∞)上单调递增,则m'(x)≥m'(0)=0,且仅在个别点处取“=”,故m(x)在[0,+∞)上单调递增,则m(x)≥m(0)=0,满足题意.
当a>-2时,存在x0∈(0,+∞),使得当x∈[0,x0)时,n'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,n'(x)>0,故n(x)在[0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,则n(x)min=n(x0)0,即m'(x)>0,故m(x)在(0,x'0)上单调递减,在(x'0,+∞)上单调递增,则m(x)min=m(x'0)-2舍去.
综上可知,a的取值范围是(-∞,-2].
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