第2章 圆与方程练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第2章 圆与方程练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 11:23:23 | ||
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文档简介
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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
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)
第2章 圆与方程
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若直线3x+my-2m=0平分圆x2+2x+y2-2y=0,则m=( )
A. B.1
C.-1 D.-3
2.已知直线y=kx+1与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若MN=2,则k=( )
A.0 B.-2
C.2或0 D.-2或0
3.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足PA=2PO,则r的取值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知圆C1:x2+y2-2x-6y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则m+3n=( )
A.20 B.-20 C.10 D.-10
5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在一点P,其关于直线y=x+1的对称点Q在圆C2:(x-4)2+y2=4上,则r的取值范围是( )
A.(3,7) B.[3,7]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
6.已知圆O:x2+y2=4和圆C:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列结论正确的是( )
A.公共弦AB所在直线的方程为x-2y+1=0
B.公共弦AB的长为
C.线段AB的垂直平分线的方程为2x-y=0
D.∠ACB>90°
7.过点(0,2)作直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为( )
A.±
C.±1 D.±
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.3+2 B.5
C.3+
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( )
A.
B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+1
D.x+y的最大值为3+
10.已知点A(-1,0),圆C:(x+3)2+y2=16,点P是圆C上的一点,则下列说法正确的是( )
A.若B(5,0),则
B.
C.设线段PA的中点为Q,则点Q到直线x+y-4=0的距离的取值范围是[3+1]
D.过直线l:x+y-5=0上一点T作圆C的两条切线,切点分别为M,N,则的取值范围是(-16,0]
11.已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法正确的是 ( )
A.若两圆无公共点,则0B.当r=5时,两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,若P,Q分别是圆O与圆C上的点,则PQ的取值范围为[2,8]
D.当0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-4)2+(y-8)2=1,圆C2:(x-6)2+(y+6)2=9,若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心,则圆C的方程是 .
13.在平面直角坐标系xOy中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),定义为点P1,P2之间的极距,已知点P是直线l:2x+y-9=0上的动点,点Q是圆O:x2+y2=5上的动点,则P,Q两点之间的距离最小时,其极距为 .
14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=2,圆C:(x-)2=8,若过第四象限的直线l是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线l的方程为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)在①圆心在直线x-y-1=0上;②M(1,-2)这两个条件中任选一个填在下面横线处,并解答下列问题.
已知圆C过点A(3,0),B(2,), .
(1)求圆C的标准方程;
(2)过直线x+y-7=0上的点P作圆C的切线,若切线长为4,求点P的坐标.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线l:x+y-1=0上,圆M:(x-3)2+(y-4)2=8.
(1)求圆N的标准方程,并判断圆M与圆N的位置关系;
(2)直线MN上是否存在点B,使得过点B分别作圆M与圆N的切线,切点分别为T,S(不重合),满足BS=2BT 若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
17.(本小题满分15分)某公园有一圆柱形建筑物,底面半径为2米,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道相距5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10米的点A处,有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题:
(1)在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处的游客,是否在该摄像头监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
18.(本小题满分17分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(0,1),B(0,4),平面内的动点P满足2PA=PB.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为曲线Γ,若C,D是曲线Γ与x轴的交点,E为直线l:x=4上的动点,直线CE,DE与曲线Γ的另一个交点分别为M,N,直线MN与x轴的交点为Q,求的最小值.
19.(本小题满分17分)已知圆C过点(0,0),(-1,).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线x=5上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F(EF与MN不重合),证明:直线EF过定点.
答案与解析
1.D 方程x2+2x+y2-2y=0可变形为(x+1)2+(y-1)2=2,故圆心为(-1,1),
由题意得圆心(-1,1)在直线3x+my-2m=0上,故-3+m-2m=0,解得m=-3.故选D.
2.A 由圆的方程可知圆心为(1,2),半径为2,又弦长MN=2,
∴圆心到直线y=kx+1的距离d==1,解得k=0.故选A.
3.A 设动点P(x,y),由PA=2PO,得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理得(x+1)2+y2=4,
又圆C上有且仅有一个点P满足条件,所以两圆相切.
圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,
圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,
当两圆外切时,r+2=3,得r=1;当两圆内切时,r-2=3,得r=5.故选A.
4.B 将圆C1的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,圆心为C1(1,3),半径为,
若圆C2平分圆C1的周长,则圆心C1(1,3)在圆C2与圆C1的公共弦上,
将两圆方程作差,得两圆公共弦所在直线的方程为(m+2)x+(n+6)y=0,
将(1,3)代入上述方程,得(m+2)×1+(n+6)×3=0,故m+3n=-20.
故选B.
5.B 圆C1的圆心为C1(-4,1),圆C2的圆心为C2(4,0),设C1(-4,1)关于直线y=x+1的对称点为C3(a,b),则故C3(0,-3),
由题意得以C3为圆心,r为半径的圆与圆C2有公共点,所以|r-2|≤C2C3≤r+2,解得3≤r≤7.故选B.
6.D 对于A,将两圆方程作差,可得x-2y+2=0,
即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故A错误;
对于B,易知O(0,0),则点O到直线AB:x-2y+2=0的距离d=,
由弦长公式得AB=2,故B错误;
对于C,由题意可知线段AB的垂直平分线为直线OC,易知C(-1,2),所以直线OC的方程为2x+y=0,故C错误;
对于D,联立不妨取A(-2,0),B,所以,故<0,所以∠ACB>90°,故D正确.故选D.
7.D 圆x2+y2=2的圆心为(0,0),半径为,
当l的斜率不存在时,l即为y轴,此时A,B,O三点共线,不符合题意,故l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,
则S△AOB=OA·OBsin∠AOB=sin∠AOB=sin∠AOB,
所以当sin∠AOB=1,即∠AOB=时,△AOB的面积最大,
此时△AOB为等腰直角三角形,且O到直线l的距离为1,
即=1,解得k=±.故选D.
8.A 若两圆圆心在切线的两侧或切线恰好过点O1,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,
连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
设O1M=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,
=,
而MA2=A-O1M2=36-x2,
PM2=N-NO2=17-(x+1)2,
∴,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,
∴x+10+的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP,则OP⊥AB,设O1M'=x',则BM'=,
∴,
令m=,则.
由题意知∈(0,1),∴,
令t=x'-10,则x'=t+10,
∴,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴≤-1+.
综上可知,.故选A.
9.ABD 对方程进行变形,得(x-2)2+(y-1)2=1,则该方程表示圆心为(2,1),半径为1的圆.
设=k,则y=kx,所以直线y=kx与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点,
即≤1,整理可得3k2-4k≤0,解得0≤k≤,故A,B正确;
x2+y2可表示圆上的点P(x,y)到原点O(0,0)的距离的平方,设C(2,1),则(OP)max=OC+1=+1,故x2+y2的最大值为(,故C错误;
设x+y=t,则直线x+y-t=0与圆有公共点,所以≤1,解得3-≤t≤3+,所以x+y的最大值为3+,故D正确.故选ABD.
10.AD 设P(4cos α-3,4sin α).
对于A,,故A正确;
对于B,A(-1,0),C(-3,0),所以=(2-4cos α,-4sin α)·(-4cos α,-4sin α)=16cos2α-8cos α+16sin2α=16-8cos α,
当cos α=1,即P(1,0)时,取得最小值,且()min=8,故B错误;
对于C,易得Q(2cos α-2,2sin α),所以点Q到直线x+y-4=0的距离d=∈[3+2],故C错误;
对于D,易知当CT⊥l时,CT有最小值,为,又CM⊥TM,CN⊥TN,所以cos,又cos>0,所以,所以∠MCN∈,所以cos∠MCN∈(-1,0],所以|cos∠MCN=16cos∠MCN∈(-16,0],故D正确.故选AD.
11.BCD 圆O的圆心为O(0,0),半径r1=1;圆C的圆心为C(3,-4),半径为r,则OC==5.
由两圆无公共点,可得OC<|r-1|或OC>r+1,所以r>6或0若r=5,则圆C:(x-3)2+(y+4)2=25,将两圆方程作差,可得两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;
若r=2,则圆C:(x-3)2+(y+4)2=4,易知此时两圆外离,又P,Q分别是圆O与圆C上的点,所以OC-(1+2)≤PQ≤OC+1+2,即2≤PQ≤8,故C正确;
易知当012.答案 (x+2)2+y2=100
解析 由圆的性质可知,线段C1C2的垂直平分线过圆心C,
易知C1(4,8),C2(6,-6),则线段C1C2的中点坐标为(5,1),
直线C1C2的斜率为=-7,所以线段C1C2的垂直平分线的方程为y-1=(x-5),令y=0,得x=-2,即圆心C的坐标为(-2,0),
圆C的半径为CC1==10,
所以圆C的方程为(x+2)2+y2=100.
13.答案
解析 如图1所示,在平面直角坐标系xOy中作出直角三角形P1RP2,则由极距的定义可知,就是直角三角形P1RP2中较短的直角边的长.
图1
又点P是直线l:2x+y-9=0上的动点,点Q是圆O:x2+y2=5上的动点,故要使得PQ最小,则直线OP⊥l,此时PQ=OP-,设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,因为直线l的斜率为-2,所以.过点P作PR∥x轴,过点Q作QR∥y轴,如图2所示,
图2
则△PQR∽△OAP∽△BAO,所以,在Rt△PRQ中,P,Q两点之间的极距即为RQ.
设RQ=t,则RP=2t,所以t2+(2t)2=,解得t=(负值舍去),即P,Q两点之间的距离最小时,其极距为.
14.答案 3x-5y-2=0
解析 由圆的方程可知圆O的圆心为O(0,0),半径为,圆C的圆心为C(),半径为2,连接OC,则kOC=1,OC=.
由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,直线l分别与圆O,圆C切于点A,B,连接OA,BC,过O作OD∥AB交BC于点D,如图.
∵l为圆C的切线,∴BC⊥AB,
又OD∥AB,∴OD⊥CD,
∴tan∠DOC=,
∴k=tan(45°-∠DOC)=,
∴直线l的方程为y=x+b,即3x-5y+5b=0,
又直线l与圆O相切,∴,解得b=±,
又直线l过第四象限,∴b=-,
∴直线l的方程为3x-5y-2=0.
15.解析 (1)若选①,由A(3,0),B(2,)得直线AB的斜率为,且线段AB的中点坐标为,(2分)
∴线段AB的垂直平分线的斜率为,(4分)
故线段AB的垂直平分线的方程为y-,即x-y-1=0,(6分)
又圆心在直线x-y-1=0上,∴联立所以圆心为C(1,0),半径为AC=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(9分)
若选②,设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),(3分)
由圆C过点A,B,M,可得(6分)
所以圆C的方程为x2+y2-2x-3=0,化为标准形式为(x-1)2+y2=4.(9分)
(2)设P(x,7-x),则(x-1)2+(7-x)2=42+4,化简得x2-8x+15=0,解得x=3或x=5,(11分)
∴点P的坐标为(3,4)或(5,2).(13分)
16.解析 (1)∵圆N过点(-1,0),(1,0),∴圆心N在直线x=0上,(1分)
又∵圆心N在直线l:x+y-1=0上,∴∴N(0,1).(3分)
设A(-1,0),∴圆N的半径rN=NA=,∴圆N的标准方程为x2+(y-1)2=2.(5分)
易知圆M的圆心为M(3,4),半径rM=2,
∵MN=,且rM+rN=2,
∴MN=rM+rN=3,∴圆M与圆N外切.(7分)
(2)存在点B满足条件.理由如下:
∵N(0,1),M(3,4),
∴直线MN的方程为x-y+1=0,
不妨设直线MN上存在点B(a,a+1)满足题意,连接MT,NS(图略).
∵BS=2BT,∴BS2=4BT2,∴BN2-),∴BN2-2=4(BM2-8),∴BN2=4BM2-30.(10分)
又BN2=a2+(a+1-1)2=2a2,BM2=(a-3)2+(a+1-4)2=2(a-3)2,
∴2a2=8(a-3)2-30,∴a=1或a=7,∴B(1,2)或B(7,8).(13分)
当B(1,2)时,点B为圆N与圆M的公切点,不符合题意;
当B(7,8)时,满足BS=2BT.
综上所述,存在点B(7,8),满足BS=2BT.(15分)
17.解析 (1)以O为原点,正东方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
因为OA=10米,∠AOx=∠AOy=45°,所以A(10,10),设游客所在位置为B,则B(-4,0),
则直线AB的方程为5x-7y+20=0,(3分)
所以圆心O到直线AB的距离d==2米,故直线AB与圆O相离,
所以游客在该摄像头的监控范围内.(6分)
(2)由图知,过点A的直线与圆O相切或相离时,该摄像头不会被建筑物挡住,易知过点A且和圆相切的直线的斜率存在,
设其方程为y-10=k(x-10),即kx-y+10-10k=0,则圆心O到切线的距离为=2,解得k=或k=,(9分)
所以切线的方程为y-10=(x-10)或y-10=(x-10),即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0,(11分)
易知观景直道所在直线的方程为y=-5,
由解得x=-10,由解得x=-,所以两条切线与直线y=-5的交点分别为(-10,-5),,(13分)
因为=8.75,
所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米.(15分)
18.解析 (1)设P(x,y),则2,化简得x2+y2=4,故点P的轨迹方程为x2+y2=4.(3分)
(2)由(1)知曲线Γ的方程为x2+y2=4,令y=0,得x=±2,不妨设C(-2,0),D(2,0),E(4,t),由已知得t≠0,
则直线CE的方程为y=(x+2),直线DE的方程为y=(x-2),(5分)
联立-4=0,
则xM-2=-,即xM=,
则M,(7分)
联立x2-t2x+t2-4=0,
则xN+2=,即xN=,
则N.(9分)
①当,即t≠±2时,直线MN的斜率kMN=,(11分)
则直线MN的方程为y-,即y=(x-1),令y=0,得x=1,即Q(1,0).(13分)
②当t=±2时,直线MN垂直于x轴,方程为x=1,也过点Q(1,0).
所以直线MN恒过定点Q(1,0).(15分)
在圆x2+y2=4中,易得MQ·NQ=CQ·DQ=3,
所以≥2,当且仅当MQ=时取等号,所以.(17分)
19.解析 (1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则(3分)
所以圆C的一般方程为x2+y2-2x-2y=0,化为标准形式为(x-1)2+(y-)2=4.(5分)
(2)证明:由(1)知C(1,),所以直线MN:y=,将y=代入圆C的方程,得x=-1或x=3,不妨设M(-1,),P(5,y0),E(x1,y1),F(x2,y2),所以kPM=,则3kPM=kPN,(7分)
又kPM=kEM=,
所以9·,(9分)
又E,F在圆C上,所以(y1-)2=4-(x2-1)2,
所以9·,
即,
所以9,整理得2x1x2-7(x1+x2)+20=0,(11分)
当直线EF的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,代入(x-1)2+(y-)2=4中,得(1+k2)x2+(2kb-2b=0,
则x1+x2=-,
所以+20=0,
即b2+(7k-2k+3=0,
即(b+2k-)=0,得b=-2k或b=-5k,(13分)
当b=-2k时,直线EF的方程为y-=k(x-2),过定点(2,),
当b=-5k时,直线EF的方程为y-=k(x-5),过定点(5,),点(5,)在直线x=5上,不成立.(15分)
当直线EF的斜率不存在时,x1=x2,即2-14x1+20=0,解得x1=2或x1=5(舍去),此时直线EF也过定点(2,).
综上所述,直线EF恒过定点(2,).(17分)
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全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若直线3x+my-2m=0平分圆x2+2x+y2-2y=0,则m=( )
A. B.1
C.-1 D.-3
2.已知直线y=kx+1与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若MN=2,则k=( )
A.0 B.-2
C.2或0 D.-2或0
3.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足PA=2PO,则r的取值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知圆C1:x2+y2-2x-6y=0,圆C2:x2+y2+mx+ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则m+3n=( )
A.20 B.-20 C.10 D.-10
5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+4)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在一点P,其关于直线y=x+1的对称点Q在圆C2:(x-4)2+y2=4上,则r的取值范围是( )
A.(3,7) B.[3,7]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
6.已知圆O:x2+y2=4和圆C:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列结论正确的是( )
A.公共弦AB所在直线的方程为x-2y+1=0
B.公共弦AB的长为
C.线段AB的垂直平分线的方程为2x-y=0
D.∠ACB>90°
7.过点(0,2)作直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为( )
A.±
C.±1 D.±
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,O为坐标原点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为( )
A.3+2 B.5
C.3+
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( )
A.
B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+1
D.x+y的最大值为3+
10.已知点A(-1,0),圆C:(x+3)2+y2=16,点P是圆C上的一点,则下列说法正确的是( )
A.若B(5,0),则
B.
C.设线段PA的中点为Q,则点Q到直线x+y-4=0的距离的取值范围是[3+1]
D.过直线l:x+y-5=0上一点T作圆C的两条切线,切点分别为M,N,则的取值范围是(-16,0]
11.已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法正确的是 ( )
A.若两圆无公共点,则0
C.当r=2时,若P,Q分别是圆O与圆C上的点,则PQ的取值范围为[2,8]
D.当0
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x-4)2+(y-8)2=1,圆C2:(x-6)2+(y+6)2=9,若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心,则圆C的方程是 .
13.在平面直角坐标系xOy中,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),定义为点P1,P2之间的极距,已知点P是直线l:2x+y-9=0上的动点,点Q是圆O:x2+y2=5上的动点,则P,Q两点之间的距离最小时,其极距为 .
14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=2,圆C:(x-)2=8,若过第四象限的直线l是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线l的方程为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)在①圆心在直线x-y-1=0上;②M(1,-2)这两个条件中任选一个填在下面横线处,并解答下列问题.
已知圆C过点A(3,0),B(2,), .
(1)求圆C的标准方程;
(2)过直线x+y-7=0上的点P作圆C的切线,若切线长为4,求点P的坐标.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线l:x+y-1=0上,圆M:(x-3)2+(y-4)2=8.
(1)求圆N的标准方程,并判断圆M与圆N的位置关系;
(2)直线MN上是否存在点B,使得过点B分别作圆M与圆N的切线,切点分别为T,S(不重合),满足BS=2BT 若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.
17.(本小题满分15分)某公园有一圆柱形建筑物,底面半径为2米,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道相距5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10米的点A处,有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题:
(1)在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处的游客,是否在该摄像头监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
18.(本小题满分17分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(0,1),B(0,4),平面内的动点P满足2PA=PB.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)记点P的轨迹为曲线Γ,若C,D是曲线Γ与x轴的交点,E为直线l:x=4上的动点,直线CE,DE与曲线Γ的另一个交点分别为M,N,直线MN与x轴的交点为Q,求的最小值.
19.(本小题满分17分)已知圆C过点(0,0),(-1,).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线x=5上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F(EF与MN不重合),证明:直线EF过定点.
答案与解析
1.D 方程x2+2x+y2-2y=0可变形为(x+1)2+(y-1)2=2,故圆心为(-1,1),
由题意得圆心(-1,1)在直线3x+my-2m=0上,故-3+m-2m=0,解得m=-3.故选D.
2.A 由圆的方程可知圆心为(1,2),半径为2,又弦长MN=2,
∴圆心到直线y=kx+1的距离d==1,解得k=0.故选A.
3.A 设动点P(x,y),由PA=2PO,得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理得(x+1)2+y2=4,
又圆C上有且仅有一个点P满足条件,所以两圆相切.
圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,
圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,
当两圆外切时,r+2=3,得r=1;当两圆内切时,r-2=3,得r=5.故选A.
4.B 将圆C1的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,圆心为C1(1,3),半径为,
若圆C2平分圆C1的周长,则圆心C1(1,3)在圆C2与圆C1的公共弦上,
将两圆方程作差,得两圆公共弦所在直线的方程为(m+2)x+(n+6)y=0,
将(1,3)代入上述方程,得(m+2)×1+(n+6)×3=0,故m+3n=-20.
故选B.
5.B 圆C1的圆心为C1(-4,1),圆C2的圆心为C2(4,0),设C1(-4,1)关于直线y=x+1的对称点为C3(a,b),则故C3(0,-3),
由题意得以C3为圆心,r为半径的圆与圆C2有公共点,所以|r-2|≤C2C3≤r+2,解得3≤r≤7.故选B.
6.D 对于A,将两圆方程作差,可得x-2y+2=0,
即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故A错误;
对于B,易知O(0,0),则点O到直线AB:x-2y+2=0的距离d=,
由弦长公式得AB=2,故B错误;
对于C,由题意可知线段AB的垂直平分线为直线OC,易知C(-1,2),所以直线OC的方程为2x+y=0,故C错误;
对于D,联立不妨取A(-2,0),B,所以,故<0,所以∠ACB>90°,故D正确.故选D.
7.D 圆x2+y2=2的圆心为(0,0),半径为,
当l的斜率不存在时,l即为y轴,此时A,B,O三点共线,不符合题意,故l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,
则S△AOB=OA·OBsin∠AOB=sin∠AOB=sin∠AOB,
所以当sin∠AOB=1,即∠AOB=时,△AOB的面积最大,
此时△AOB为等腰直角三角形,且O到直线l的距离为1,
即=1,解得k=±.故选D.
8.A 若两圆圆心在切线的两侧或切线恰好过点O1,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,
连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
设O1M=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,
=,
而MA2=A-O1M2=36-x2,
PM2=N-NO2=17-(x+1)2,
∴,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,
∴x+10+的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP,则OP⊥AB,设O1M'=x',则BM'=,
∴,
令m=,则.
由题意知∈(0,1),∴,
令t=x'-10,则x'=t+10,
∴,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴≤-1+.
综上可知,.故选A.
9.ABD 对方程进行变形,得(x-2)2+(y-1)2=1,则该方程表示圆心为(2,1),半径为1的圆.
设=k,则y=kx,所以直线y=kx与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点,
即≤1,整理可得3k2-4k≤0,解得0≤k≤,故A,B正确;
x2+y2可表示圆上的点P(x,y)到原点O(0,0)的距离的平方,设C(2,1),则(OP)max=OC+1=+1,故x2+y2的最大值为(,故C错误;
设x+y=t,则直线x+y-t=0与圆有公共点,所以≤1,解得3-≤t≤3+,所以x+y的最大值为3+,故D正确.故选ABD.
10.AD 设P(4cos α-3,4sin α).
对于A,,故A正确;
对于B,A(-1,0),C(-3,0),所以=(2-4cos α,-4sin α)·(-4cos α,-4sin α)=16cos2α-8cos α+16sin2α=16-8cos α,
当cos α=1,即P(1,0)时,取得最小值,且()min=8,故B错误;
对于C,易得Q(2cos α-2,2sin α),所以点Q到直线x+y-4=0的距离d=∈[3+2],故C错误;
对于D,易知当CT⊥l时,CT有最小值,为,又CM⊥TM,CN⊥TN,所以cos,又cos>0,所以,所以∠MCN∈,所以cos∠MCN∈(-1,0],所以|cos∠MCN=16cos∠MCN∈(-16,0],故D正确.故选AD.
11.BCD 圆O的圆心为O(0,0),半径r1=1;圆C的圆心为C(3,-4),半径为r,则OC==5.
由两圆无公共点,可得OC<|r-1|或OC>r+1,所以r>6或0
若r=2,则圆C:(x-3)2+(y+4)2=4,易知此时两圆外离,又P,Q分别是圆O与圆C上的点,所以OC-(1+2)≤PQ≤OC+1+2,即2≤PQ≤8,故C正确;
易知当0
解析 由圆的性质可知,线段C1C2的垂直平分线过圆心C,
易知C1(4,8),C2(6,-6),则线段C1C2的中点坐标为(5,1),
直线C1C2的斜率为=-7,所以线段C1C2的垂直平分线的方程为y-1=(x-5),令y=0,得x=-2,即圆心C的坐标为(-2,0),
圆C的半径为CC1==10,
所以圆C的方程为(x+2)2+y2=100.
13.答案
解析 如图1所示,在平面直角坐标系xOy中作出直角三角形P1RP2,则由极距的定义可知,就是直角三角形P1RP2中较短的直角边的长.
图1
又点P是直线l:2x+y-9=0上的动点,点Q是圆O:x2+y2=5上的动点,故要使得PQ最小,则直线OP⊥l,此时PQ=OP-,设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,因为直线l的斜率为-2,所以.过点P作PR∥x轴,过点Q作QR∥y轴,如图2所示,
图2
则△PQR∽△OAP∽△BAO,所以,在Rt△PRQ中,P,Q两点之间的极距即为RQ.
设RQ=t,则RP=2t,所以t2+(2t)2=,解得t=(负值舍去),即P,Q两点之间的距离最小时,其极距为.
14.答案 3x-5y-2=0
解析 由圆的方程可知圆O的圆心为O(0,0),半径为,圆C的圆心为C(),半径为2,连接OC,则kOC=1,OC=.
由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,直线l分别与圆O,圆C切于点A,B,连接OA,BC,过O作OD∥AB交BC于点D,如图.
∵l为圆C的切线,∴BC⊥AB,
又OD∥AB,∴OD⊥CD,
∴tan∠DOC=,
∴k=tan(45°-∠DOC)=,
∴直线l的方程为y=x+b,即3x-5y+5b=0,
又直线l与圆O相切,∴,解得b=±,
又直线l过第四象限,∴b=-,
∴直线l的方程为3x-5y-2=0.
15.解析 (1)若选①,由A(3,0),B(2,)得直线AB的斜率为,且线段AB的中点坐标为,(2分)
∴线段AB的垂直平分线的斜率为,(4分)
故线段AB的垂直平分线的方程为y-,即x-y-1=0,(6分)
又圆心在直线x-y-1=0上,∴联立所以圆心为C(1,0),半径为AC=2,所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(9分)
若选②,设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),(3分)
由圆C过点A,B,M,可得(6分)
所以圆C的方程为x2+y2-2x-3=0,化为标准形式为(x-1)2+y2=4.(9分)
(2)设P(x,7-x),则(x-1)2+(7-x)2=42+4,化简得x2-8x+15=0,解得x=3或x=5,(11分)
∴点P的坐标为(3,4)或(5,2).(13分)
16.解析 (1)∵圆N过点(-1,0),(1,0),∴圆心N在直线x=0上,(1分)
又∵圆心N在直线l:x+y-1=0上,∴∴N(0,1).(3分)
设A(-1,0),∴圆N的半径rN=NA=,∴圆N的标准方程为x2+(y-1)2=2.(5分)
易知圆M的圆心为M(3,4),半径rM=2,
∵MN=,且rM+rN=2,
∴MN=rM+rN=3,∴圆M与圆N外切.(7分)
(2)存在点B满足条件.理由如下:
∵N(0,1),M(3,4),
∴直线MN的方程为x-y+1=0,
不妨设直线MN上存在点B(a,a+1)满足题意,连接MT,NS(图略).
∵BS=2BT,∴BS2=4BT2,∴BN2-),∴BN2-2=4(BM2-8),∴BN2=4BM2-30.(10分)
又BN2=a2+(a+1-1)2=2a2,BM2=(a-3)2+(a+1-4)2=2(a-3)2,
∴2a2=8(a-3)2-30,∴a=1或a=7,∴B(1,2)或B(7,8).(13分)
当B(1,2)时,点B为圆N与圆M的公切点,不符合题意;
当B(7,8)时,满足BS=2BT.
综上所述,存在点B(7,8),满足BS=2BT.(15分)
17.解析 (1)以O为原点,正东方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
因为OA=10米,∠AOx=∠AOy=45°,所以A(10,10),设游客所在位置为B,则B(-4,0),
则直线AB的方程为5x-7y+20=0,(3分)
所以圆心O到直线AB的距离d==2米,故直线AB与圆O相离,
所以游客在该摄像头的监控范围内.(6分)
(2)由图知,过点A的直线与圆O相切或相离时,该摄像头不会被建筑物挡住,易知过点A且和圆相切的直线的斜率存在,
设其方程为y-10=k(x-10),即kx-y+10-10k=0,则圆心O到切线的距离为=2,解得k=或k=,(9分)
所以切线的方程为y-10=(x-10)或y-10=(x-10),即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0,(11分)
易知观景直道所在直线的方程为y=-5,
由解得x=-10,由解得x=-,所以两条切线与直线y=-5的交点分别为(-10,-5),,(13分)
因为=8.75,
所以观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米.(15分)
18.解析 (1)设P(x,y),则2,化简得x2+y2=4,故点P的轨迹方程为x2+y2=4.(3分)
(2)由(1)知曲线Γ的方程为x2+y2=4,令y=0,得x=±2,不妨设C(-2,0),D(2,0),E(4,t),由已知得t≠0,
则直线CE的方程为y=(x+2),直线DE的方程为y=(x-2),(5分)
联立-4=0,
则xM-2=-,即xM=,
则M,(7分)
联立x2-t2x+t2-4=0,
则xN+2=,即xN=,
则N.(9分)
①当,即t≠±2时,直线MN的斜率kMN=,(11分)
则直线MN的方程为y-,即y=(x-1),令y=0,得x=1,即Q(1,0).(13分)
②当t=±2时,直线MN垂直于x轴,方程为x=1,也过点Q(1,0).
所以直线MN恒过定点Q(1,0).(15分)
在圆x2+y2=4中,易得MQ·NQ=CQ·DQ=3,
所以≥2,当且仅当MQ=时取等号,所以.(17分)
19.解析 (1)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则(3分)
所以圆C的一般方程为x2+y2-2x-2y=0,化为标准形式为(x-1)2+(y-)2=4.(5分)
(2)证明:由(1)知C(1,),所以直线MN:y=,将y=代入圆C的方程,得x=-1或x=3,不妨设M(-1,),P(5,y0),E(x1,y1),F(x2,y2),所以kPM=,则3kPM=kPN,(7分)
又kPM=kEM=,
所以9·,(9分)
又E,F在圆C上,所以(y1-)2=4-(x2-1)2,
所以9·,
即,
所以9,整理得2x1x2-7(x1+x2)+20=0,(11分)
当直线EF的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,代入(x-1)2+(y-)2=4中,得(1+k2)x2+(2kb-2b=0,
则x1+x2=-,
所以+20=0,
即b2+(7k-2k+3=0,
即(b+2k-)=0,得b=-2k或b=-5k,(13分)
当b=-2k时,直线EF的方程为y-=k(x-2),过定点(2,),
当b=-5k时,直线EF的方程为y-=k(x-5),过定点(5,),点(5,)在直线x=5上,不成立.(15分)
当直线EF的斜率不存在时,x1=x2,即2-14x1+20=0,解得x1=2或x1=5(舍去),此时直线EF也过定点(2,).
综上所述,直线EF恒过定点(2,).(17分)