第3章 圆锥曲线与方程练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第3章　圆锥曲线与方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若抛物线y2=2mx的准线经过椭圆=1的右焦点,则m=(　　)
A.-2　　　　　B.-1　　　　　C.1　　　　　D.2
2.已知双曲线E与椭圆C:=1的焦点相同,且E的离心率是C的离心率的倍,则双曲线E的标准方程为(　　)
A.x2-=1
C.-y2=1
3.已知双曲线C:=1,若直线y=kx-1与双曲线C有且仅有1个公共点,则实数k的值可能为(　　)
A.
4.已知m∈R,方程(2-m)x2+(m+1)y2=1表示的曲线为C,则以下命题正确的是(　　)
A.当C为双曲线时,m的取值范围是(2,+∞)
B.当m=2时,C为一条直线
C.当m∈时,C是焦点在x轴上的椭圆
D.存在m∈R,使得C为等轴双曲线
5.抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线x=2交C于P,Q两点,C的准线交x轴于点R,若PR⊥QR,则C的方程为(　　)
A.y2=4x　　　　　B.y2=6x　　　　　C.y2=8x　　　　　D.y2=12x
6.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)和抛物线y2=ax交于A,B两点,点P为椭圆的右顶点.若O,A,P,B四点共圆,则椭圆的离心率为(　　)
A.
C.
7.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4,直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是(　　)
A.M1M3·M2M4　　　　　B.FM1·FM4
C.M1M2·M3M4　　　　　D.FM1·M1M2
8.设双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,M(0,3b),若直线l与E的右支交于A,B两点,且F为△MAB的重心,则直线l的斜率的取值范围为　　(　　)
A.∪(∪(,+∞)
C.(-∞,-)∪)∪
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知方程=1,则下列说法正确的有(　　)
A.方程=1可表示圆
B.当k>9时,方程=1表示焦点在x轴上的椭圆
C.当-16D.当方程=1表示椭圆或双曲线时,焦距均为10
10.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,A,B是抛物线C上的两点,O为坐标原点,则(　　)
A.抛物线C的准线方程为x=-2
B.若AF=4,则△AOF的面积为
C.若直线AB过焦点F,且AB=,则点O到直线AB的距离为
D.若OA⊥OB,则OA·OB≥32
11.某文物考察队挖出了一件宋代小文物,该文物外面是红色透明蓝田玉材质,里面是一个球形绿色水晶宝珠,其轴截面(如图)由半椭圆C1:=1(x≥0)与半椭圆C2:=1(x<0)组成,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,若∠F1F0F2=60°,则以下命题正确的是　(　　)
A.半椭圆C1的离心率是
B.半椭圆C1上的点到F0的距离的最小值为2
C.半椭圆C2的焦距为4
D.半椭圆C2的长轴长与短轴长的比值大于半椭圆C1的长轴长与短轴长的比值
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,位于第一象限的A、B两点在抛物线上,且满足BF-AF=4,AB=4.若线段AB的中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为　　　　.
13.定义两个点集S,T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S,Q∈T},其中|PQ|表示P,Q两点之间的距离.已知m,t∈R,在平面直角坐标系xOy中,点集S={(x,y)|(x-)2+(y-a)2=1,a∈R},T={(x,y)|x+my-t=0},若d(S,T)=(0,+∞),则t的值为　　　　.
14.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,过F2作渐近线y=x的垂线,垂足为P.
(1)若∠F1PO=,则双曲线的离心率为　　　　;
(2)过点P作双曲线C的切线,交另一条渐近线于点Q,若S△OPQ=2,则双曲线C的方程为　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)过双曲线E上一点P(2,1)作直线l,分别交l1,l2于点A,B(A,B分别在第一、四象限内),且,求△AOB的面积(O为坐标原点).
16.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(0,2),动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F任作一直线l与C交于A,B两点,直线OA,OB与直线y=-2分别交于点M,N,求证:以线段MN为直径的圆经过点F.
17.(本小题满分15分)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,上顶点为A,椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长,且△AF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若B,C是椭圆上不同的两点,且直线AB和AC的斜率之积为,求△ABC面积的最大值.
18.(本小题满分17分)在一张纸上有一个圆C:(x+)2+y2=4,定点G(,0),折叠纸片使圆C上某一点G1恰好与点G重合,这样每次折叠都会留下一条折痕PQ,设直线PQ与直线G1C的交点为T.
(1)连接TG,求证:|TC-TG|为定值,并求出点T的轨迹E的方程;
(2)设A(-1,0),M为轨迹E上一点,N为圆x2+y2=1上一点(M,N均不在x轴上),直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2,且k2=-k1,求证:直线MN过定点,并求出此定点的坐标.
19.(本小题满分17分)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=和抛物线C2:x2=4y,P(x0,y0)是圆C1上一点,F是抛物线C2的焦点.
(1)M是抛物线C2上一点,当直线PM与圆C1相切,且PM=FM时,求M的坐标;
(2)过P作抛物线C2的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,证明:存在两个x0,使得△PAB的面积等于.
答案与解析
1.A　由已知得椭圆的右焦点为(1,0),抛物线的准线方程为x=-,则-=1,解得m=-2.故选A.
2.C　由题意设双曲线E的方程为=1(a>0,b>0).
易得椭圆C:=1的焦点坐标为(±2,0),离心率为,
∴双曲线E中,c=2,离心率为,即,
∴a=,∴b2=c2-a2=2,故双曲线E的标准方程为=1.故选C.
3.D　易得双曲线的渐近线方程为y=±x.
联立消去y,整理得(1-2k2)x2+4kx-12=0,
当1-2k2=0,即k=±时,直线方程为y=±x-1,与渐近线y=±x平行,直线与双曲线只有一个交点,符合;
当1-2k2≠0时,Δ=(4k)2-4×(1-2k2)×(-12)=0,解得k=±.
所以k=±或k=±.故选D.
4.C　对于A,C为双曲线时,(2-m)(m+1)<0,解得m<-1或m>2,
所以m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞),故A错误;
对于B,当m=2时,方程为3y2=1,解得y=±,所以C为两条直线,故B错误;
对于C,当m∈时,2-m∈,m+1∈,即0<2-m0,
则曲线C:=1为焦点在x轴上的椭圆,故C正确;
对于D,方程可整理为=1,若C为等轴双曲线,则,则=0,无解,所以不存在m∈R,使得C为等轴双曲线,故D错误.故选C.
5.C　由题可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则准线方程为x=-,
当x=2时,y=±2,不妨设P(2,2),
又R,PR⊥QR,所以=-1,解得p=4(二重根),所以C的方程为y2=8x.故选C.
6.B　由题意得O(0,0),P(a,0),设A(x,y),所以=(x-a,y),由O,A,P,B四点共圆以及椭圆的对称性可知,OP为圆的直径,所以,
所以=x2-ax+y2=0,将y2=ax代入得x2-ax=0,
易知x≠0,故x=a,则y2=a2,代入椭圆方程得=1,整理得,所以e2=1-,故e=.故选B.
7.C　易知M1,M4在抛物线上,M2,M3在圆上.联立消去y整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0(k≠0),
设M1(x1,y1),M4(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4.
过点M1,M4分别作直线l':x=-2的垂线,垂足分别为A,B,则FM1=x1+2,FM4=x2+2.
对于A,M1M3·M2M4=(FM1+2)(FM4+2)=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=4+4·,不为定值,故A不正确.
对于B,FM1·FM4=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4+2·,不为定值,故B不正确.
对于C,M1M2·M3M4=(FM1-2)(FM4-2)=x1x2=4,为定值,故C正确.
对于D,FM1·M1M2=FM1·(FM1-2)=(x1+2)x1,不为定值,故D不正确.故选C.
8.C　设D为AB的中点,根据重心性质可得,
由F(c,0),M(0,3b)得D,
因为l与E的右支交于A,B两点,所以点D在双曲线右支的内部,
故有>1,解得.
当l的斜率不存在时,D在x轴上,此时M,F,D三点不共线,不符合题意,舍去;
当l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=3c,y1+y2=-3b,
因为A,B在双曲线上,所以,
即,故kAB=-,
因为M,F,A,B不共线,所以kAB=-≠kMF=-,即c2≠3a2,即e≠,
所以E的离心率的取值范围为∪(,+∞).
kAB=-,
因为e∈∪(,+∞),
所以e2∈∪(3,+∞),
所以∪(6,+∞),
所以kAB=-∈(-∞,-)∪.故选C.
9.BCD　对于A,当方程=1表示圆时,16+k=k-9>0,无解,故A错误;
对于B,方程=1可化为=1,当k>9时,16+k>k-9>0,则该方程表示焦点在x轴上的椭圆,故B正确;
对于C,当-160,9-k>0,方程=1表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确;
对于D,当方程=1表示双曲线时,c2=16+k+9-k=25;当方程表示椭圆时,c2=16+k-(k-9)=25,所以焦距均为10,故D正确.
故选BCD.
10.BD　对于A,抛物线C的准线方程为x=-1,A错误;
对于B,C的焦点为F(1,0),设A(xA,yA),则 xA+1=4,解得xA=3,所以|yA|=2,所以S△AOF=,B正确;
对于C,当直线AB的斜率不存在时,AB=4,不符合题意,故直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x-1),联立整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=,
根据抛物线的定义得AB=x1+x2+2=,解得k=±,
所以直线AB的方程为y=±(x-1),
不妨取直线AB:=0,所以点O到直线AB的距离为,C错误;
对于D,设直线OA的方程为y=k1x,易知k1≠0,
由即A,则OA=,
因为OA⊥OB,所以直线OB的方程为y=-x,可得OB=4,
所以OA·OB=16≥
16=32,
当且仅当,即k1=±1时,等号成立,D正确.故选BD.
11.BC　∵F1,F2是半椭圆C2:=1(x<0)的焦点,∴F1,F2关于原点对称,且F0F1=F0F2,
又∵∠F1F0F2=60°,∴△F1F0F2为正三角形,故OF0=OF1,
∵F1,F2在圆x2+y2=4上,∴OF1=2,∴OF0=2.
易知半椭圆C1:=1(x≥0)的短半轴长与半椭圆C2:=1(x<0)的长半轴长相等,即b=d,
又a2-b2=c2=O=4,∴b2=d2=16,a2=28,
∴半椭圆C1的方程为=1(x≥0),半椭圆C2的方程为=1(x<0).
对于A,半椭圆C1的离心率e=,不正确;
对于B,半椭圆C1上的点到F0的距离的最小值为2,正确;
对于C,半椭圆C2的焦距为F1F2=4,正确;
对于D,半椭圆C1的长轴长与短轴长的比值为,半椭圆C2的长轴长与短轴长的比值为,
∵,∴半椭圆C2的长轴长与短轴长的比值小于半椭圆C1的长轴长与短轴长的比值,不正确.故选BC.
12.答案　y2=8x
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),因为BF-AF=4,所以=4,所以x2-x1=4,
又因为AB=,所以=1,
因为A,B都位于第一象限,所以kAB=1,又线段AB的中点的纵坐标为4,所以y1+y2=8,
所以kAB==1,
所以2p=8,所以抛物线的方程为y2=8x.
13.答案　-
解析　集合S表示以(,a)为圆心,1为半径的圆上的点的集合,
集合T表示直线x+my-t=0上的点的集合.
易知圆心(,a)在双曲线x2-y2=1的右支上,
如图,
由图可知,当直线x+my-t=0与双曲线的渐近线x±y=0平行且距离为1时满足d(S,T)=(0,+∞),即m=±1.
当m=-1时,直线x-y-t=0在双曲线的渐近线x-y=0的左上方且距离为1,
∴=1,t<0,解得t=-;
当m=1时,直线x+y-t=0在双曲线的渐近线x+y=0的左下方且距离为1,
∴=1,t<0,解得t=-.
∴t的值为-.
14.答案　(1)=1
解析　(1)解法一:由已知得F2(c,0),设∠POF2=α,则tan α=,
∵PF2垂直于直线y==b,tan α=,∴OP=a,∴sin α=,cos α=,
在△OF1P中,由正弦定理得,即.
解法二:依题意知F1(-c,0),F2(c,0),可得直线PF2的方程为y=-(x-c),与y=x联立,可得x=,即P,
∴PF1==a,
在△OPF1中,O+OP2-2·PF1·OP·cos∠F1PO,
即c2=3a2+c2+a2-2·a·,化简得3c2=7a2,
∴e=.
(2)设过点P的切线PQ与双曲线切于点M(x0,y0),则=1,由题意设P,
由(1)中解法一可得sin 2α=,
∴S△OPQ=OP·OQsin 2α=|x1x2|,
易得切线PQ的方程为=1,即y=,将其代入b2x2-a2y2=0中,化简得(a2)x2+2a2b2x0x-a4b2=0,
又b2=a2b2,∴-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0,即x2-2x0x+a2=0,∴x1x2=a2,由(1)中解法一知a=b,∴S△OPQ=b·b=2,
∴b=2,a=,故双曲线C的方程为=1.
15.解析　(1)由题意得,则e=,所以双曲线E的离心率为.(3分)
(2)由(1)可得双曲线E的方程为=1,
因为P(2,1)在双曲线上,所以b2=1,故双曲线E的方程为-y2=1,(5分)
设A,
因为,所以,
所以x1=-3,(7分)
则OA=,同理得OB=,(9分)
设直线OA的倾斜角为θ,则tan θ=,则sin∠AOB=sin 2θ=,(11分)
所以S△AOB=OA·OBsin∠AOB=.(13分)
16.解析　(1)∵动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1,
∴动点P到点F的距离等于点P到直线y=-2的距离,(2分)
故点P的轨迹是以点F为焦点的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),
又=2,∴p=4,故动点P的轨迹C的方程为x2=8y.(4分)
(2)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A,则lOA:y=x,(6分)
由得M,同理可得N,(8分)
∴,(10分)
由得x2-8kx-16=0,∴x1x2=-16,(12分)
则+16=0,即FM⊥FN,(14分)
因此,以线段MN为直径的圆经过点F.(15分)
17.解析　(1)由题意得
所以椭圆的标准方程为=1.(3分)
(2)由(1)知点A(0,),
易知直线AB和AC的斜率均存在,所以点B,C与椭圆的上、下顶点均不重合.
若直线BC的斜率不存在,设B(x0,y0)(x0≠0),则C(x0,-y0),
所以kAB·kAC=,
又点B(x0,y0)在椭圆上,所以=1,所以3-,则kAB·kAC=,与题设矛盾,所以直线BC的斜率存在.(5分)
设直线BC的方程为y=kx+m(m≠±),
与=1联立,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
则Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,
设B(x1,y1)(x1≠0),C(x2,y2)(x2≠0),
则x1+x2=-.(7分)
所以kAB·kAC=
=
=k2-k(m-)·,
所以m2-3m+6=0,即(m-2)=0,
所以m=2,故Δ=48(4k2-12+3)>0,即4k2-9>0,
所以直线BC的方程为y=kx+2,(9分)
所以BC=,
又点A(0,)到直线BC的距离d=,(11分)
所以△ABC的面积S=BC·d=.(13分)
令=t(t>0),则4k2=t2+9,所以S=,当且仅当t=,即t=2,即k=±时,等号成立,所以△ABC面积的最大值为.(15分)
18.解析　(1)由题意得TG=TG1,所以|TC-TG|=|TC-TG1|=2,
故|TC-TG|为定值.(2分)
因为2<|CG|=2,所以点T的轨迹是以C,G为焦点,2为实轴长的双曲线,则c=,a=1,所以b==2,(4分)
所以E的方程为x2-=1.(5分)
(2)由已知得lAM:y=k1(x+1),lAN:y=k2(x+1),因为M,N均不在x轴上,所以k1≠0,k2≠0,易知点A(-1,0)在轨迹E上,联立消去y,整理得(4--4=0,
设M(xM,yM),N(xN,yN).(7分)
则-1·xM=,所以xM=,故yM=k1(xM+1)=,
所以M.(10分)
易得点A(-1,0)在圆x2+y2=1上,联立消去y,整理得(1+-1=0,
则-1·xN=,所以xN=,故yN=k2(xN+1)=,(13分)
因为k2=-k1,
所以N.
则直线MN的斜率为
=,(15分)
直线MN的方程为y=(x-1),
所以直线MN过定点(1,0).(17分)
19.解析　(1)由已知得F(0,1),C1(1,-1),设M,则PM=,(2分)
由抛物线的定义,得M到焦点F的距离等于其到抛物线的准线y=-1的距离,所以FM=+1,(4分)
由PM=FM,得+1,
所以xM=或xM=,所以M或M.(6分)
(2)证明:由P(x0,y0)是圆C1上一点,得(x0-1)2+(y0+1)2=,
设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),与x2=4y联立,
得x2-4k1x-4(y0-k1x0)=0(*),则Δ=16+16(y0-k1x0)=0,
整理得-k1x0+y0=0①,(9分)
设直线PB的方程为y-y0=k2(x-x0),同理得-k2x0+y0=0②,
由①②知,k1,k2是方程k2-kx0+y0=0的两根,
所以k1+k2=x0,k1k2=y0,
由(*)式得,xA+xA=4k1,则xA=2k1,
所以A(2k1,),同理得B(2k2,),所以kAB=,(11分)
所以直线AB的方程为y-(x-2k1),即y=x-y0,所以AB=,又P(x0,y0)到直线AB的距离d=,
所以S△PAB=AB·d=,整理得-4y0=3,(14分)
联立得(x0-1)(+19x0-13)=0,所以x0=1或+19x0-13=0,
设f(x0)=≤x0≤,显然f<0, f(1)>0, f>0,易知f(x0)在上单调递增,所以f(x0)=+19x0-13在上有唯一零点.
所以存在两个x0,使得△PAB的面积等于.(17分)