第5章 导数及其应用练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第5章　导数及其应用
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设f(x)在x=x0处可导,则=(　　)
A.-f'(x0)　　　　　B.2f'(-x0)
C.f'(x0)　　　　　D.2f'(x0)
2.若点P为曲线y=f(x)=x3-x2+2x-1上任意一点,且曲线y=f(x)在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围为(　　)
A.0<θ≤≤θ<
C.≤θ<π　　　　　D.≤θ≤
3.已知f(x)=,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是(　　)
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D　
4.在等比数列{an}中,a1 012=2,若函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2 023),则f'(0)=(　　)
A.-22 022　　　　　B.22 022
C.-22 023　　　　　D.22 023
5.已知0<α<β<,a=sin3β-sin3α,b=3ln(sin β)-3ln(sin α),c=3sin β-3sin α,则下列选项正确的是(　　)
A.b>c>a　　　　　B.a>c>b
C.b>a>c　　　　　D.c>a>b
6.已知函数f(x)=ln x-2kx-1,当2≤x1A.
C.
7.已知实数a,b,c,d成等比数列,且函数f(x)=3x-x3的极大值点为b,极大值为c,则ad等于(　　)
A.2　　　　　B.-1
C.-2　　　　　D.1
8.已知函数f(x)=|x|--3,f'(x)是f(x)的导函数,则下列命题错误的是(　　)
A.f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
B.当x∈(-∞,0)时,函数f(x)的最小值为-1
C.f'(x)-f'(-x)=2
D.y=f(x)-f'(x)有两个零点
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
10.已知实数a,b满足等式e2a-eb=2(2b-a),则下列不等式中可能成立的有　(　　)
A.aC.011.已知函数f(x)=2x3-3x,则(　　)
A.f(x)的图象关于原点中心对称
B.f(x)在区间[-2,1]上的最小值为-
C.过点(2,10)有且仅有1条直线与曲线y=f(x)相切
D.若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则实数t的取值范围是(-3,-1)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知函数f(x)=ln(ax+1),且直线y=2x为曲线y=f(x)的一条切线,则a=　　　　.
13.已知函数f(x)=若存在x1≤0,x2>0,使得f(x1)=f(x2),则x1f(x2)的最小值为　　　　.
14.已知函数h(x)=ln x+1-2ax有两个零点,且h(x)的极大值小于1,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)在①f(x)的一个极值点为0;②曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)为奇函数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
已知函数f(x)=ex+ax-1,且　　　　,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.(本小题满分15分)某企业拟建造一个容器(不计厚度,长度单位:m),如图所示,其中容器的中间为圆柱体,左、右两端均为半球体,按照设计要求,容器的容积为 m3,且l≥2r,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱体部分每平方米的建造费用为3万元,半球体部分每平方米的建造费用为c(c>3)万元,该容器的总建造费用为y万元.
(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的总建造费用最少时r的值.
17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ln(mx)-x(m>0).
(1)若f(x)≤0恒成立,求m的取值范围;
(2)若f(x)有两个不同的零点x1,x2,且x2>2x1,求实数m的取值范围.
18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=,g(x)=aln x-,a∈R.
(1)求f'(1)的值;
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值;
(3)当a=1时,求证:对任意x∈(0,+∞),恒有f(x)>g(x)-.
19.(本小题满分17分)设f(x)=xln x-ax2-x(a∈R).
(1)若f(x)≤0恒成立,求a的最小值;
(2)已知f(x)有两个极值点x1,x2,且x1>x2.
(i)求f(x2)的取值范围;
(ii)证明:对一切正整数n,恒有+…+.
答案与解析
1.A　f'(x0).故选A.
2.B　f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以tan θ≥1,因为θ∈[0,π),所以θ∈,故选B.
3.A　f(x)=x2+cos x,则f'(x)=x-sin x,
易知f'(x)的定义域为R,关于原点对称,
∵f'(-x)=x+sin x=-f'(x),
∴f'(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D;
又f'<0,∴排除C.故选A.
4.A　设g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2 023),则f(x)=xg(x), f'(x)=xg'(x),所以f'(0)=g(0).
因为{an}是等比数列,且a1 012=2,所以a1a2 023=a2a2 022=…=a1 011a1 013==22,所以g(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a2 023)=(-1)2 023·a1a2…a2 023=-22 023,所以f'(0)=-22 022.故选A.
5.A　∵0<α<β<,∴0a-c=sin3β-3sin β-(sin3α-3sin α),
令f(x)=x3-3x,x∈(0,1),则f'(x)=3(x+1)(x-1)<0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,故f(sin α)>f(sin β),∴a-c<0,∴ac-b=3[sin β-ln(sin β)]-3[sin α-ln(sin α)],
令g(x)=3(x-ln x),x∈(0,1),则g'(x)=<0,∴g(x)在(0,1)上单调递减,故g(sin α)>g(sin β),∴c-b<0,∴c6.B　由已知可得f(x)在区间[2,8]上单调递减,则f'(x)≤0在区间[2,8]上恒成立,易得f'(x)=-2k,所以2k≥在区间[2,8]上恒成立,
易知函数y=在区间[2,8]上单调递减,所以当x=2时,,
所以2k≥,即k≥,所以k的取值范围是.故选B.
7.A　因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc,
由f(x)=3x-x3得f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x),令f'(x)=0,得x=±1,
当x<-1或x>1时, f'(x)<0,当-10,
所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,
故当x=-1时, f(x)取得极小值,当x=1时, f(x)取得极大值.
因为f(x)的极大值点为b,极大值为c,
所以b=1, f(1)=3-1=2=c,所以bc=2,即ad=2,故选A.
8.C　当x>0时,f(x)=x--3,则f'(x)=1+>0,
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故A中命题正确.
当x<0时,f(x)=-x--3≥2-3=-1,
当且仅当x=-1时取等号,故B中命题正确.
当x<0时,f(x)=-x--3,则f'(x)=-1+,
所以当x>0时, f'(x)-f'(-x)=1+=2,当x<0时, f'(x)-f'(-x)=-1+=-2,故C中命题错误.
当x>0时,f(x)-f'(x)=,
令g(x)=x3-4x2-x-1,则g'(x)=3x2-8x-1,令g'(x)=0,得x=,不妨设x1=,所以当x∈(0,x2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
又g(0)=-1<0,g(5)=125-100-6=19>0,所以g(x)在(0,+∞)上只有一个零点,故y=f(x)-f'(x)在(0,+∞)上只有一个零点;
当x<0时,f(x)-f'(x)=,
令h(x)=-x3-2x2-x-1(x<0),则h'(x)=-3x2-4x-1,
令h'(x)=0,解得x=-1或x=-,不妨设x3=-1,x4=-,
当x∈(-∞,-1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故h(x)的极大值为h<0,极小值为h(-1)=-1<0,
又h(-3)=27-18+2=11>0,所以h(x)在(-∞,0)上只有一个零点,故y=f(x)-f'(x)在(-∞,0)上只有一个零点.
综上,y=f(x)-f'(x)有两个零点,故D中命题正确.故选C.
9.ABD　由题中y=f'(x)的图象知,当-0,因此f(x)在上单调递减,在(0,4)上单调递增,故f(x)在x=0处取得极小值,无极大值,故A、B、D正确,C错误.故选ABD.
10.ACD　e2a-eb=2(2b-a)=4b-2a,则e2a+2a=eb+4b,
令f(b)=e2b+2b-eb-4b=e2b-eb-2b,则f '(b)=2e2b-eb-2,
当b<0时, f '(b)<0, f(b)在(-∞,0)上单调递减, f(b)>f(0)=0,此时e2b+2b>eb+4b,∴e2b+2b>e2a+2a,
令g(x)=e2x+2x,易知g(x)在R上单调递增,
∴g(b)>g(a) a当b>0时,取b=1,则e2a+2a=eb+4b=e+4,此时g(1)=e2+2>e+4=g(a),又g(x)在R上单调递增,∴a<1=b,∴0取b=,则e2a+2a=eb+4b=+1=g(a),
又g(x)在R上单调递增,∴a>=b,∴a>b>0可能成立,D正确.
故选ACD.
11.AD　f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=2(-x)3-3(-x)=-2x3+3x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,其图象关于原点中心对称,故A正确.
易得f'(x)=6x2-3=6,x∈[-2,1],令f'(x)>0,得故f(x)在上单调递增,在上单调递减,
又f, f(-2)=-10,故f(x)在[-2,1]上的最小值为-10,故B错误.
设切点坐标为(x0,2-3x0),则切点处的切线斜率为6-3,则切线方程为y=(6-3x0,即(6=0,
因为切线经过点(2,10),所以2(6=0,即+4=0,即(x0-2)2(x0+1)=0,所以x0=2或x0=-1,故经过点(2,10)会有两条直线与曲线相切,故C错误.
因为切线经过P(1,t),所以-4-3=t,
令g(x)=-4x3+6x2-3,则g'(x)=-12x2+12x=-12x(x-1),
则当00,当x<0或x>1时,g'(x)<0,因此g(x)在(0,1)上单调递增,在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递减,故g(x)极大值=g(1)=-1,g(x)极小值=g(0)=-3,
若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则直线y=t与y=g(x)的图象有三个不同的交点,故-312.答案　2
解析　设直线y=2x与曲线y=f(x)相切于点(x0,ln(ax0+1)),
由f(x)=ln(ax+1)得f'(x)=,故切线斜率为f'(x0)=,
因此切线方程为y-ln(ax0+1)=(x-x0),
依题意得=2,且=ln(ax0+1),联立消去ax0得ln a+-1-ln 2=0,
令g(a)=ln a+-1-ln 2,a>0,则g'(a)=,
当02时,g'(a)>0,所以g(a)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当a=2时,g(a)取最小值,且g(a)min=0,故方程g(a)=0有唯一实数根2,即a=2.
13.答案　-4e2
解析　当x>0时,f(x)=x-ln x,f'(x)=1-,
当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0当x≤0时,f(x)=x+4e,易知f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)≤f(0)=4e.
设f(x1)=f(x2)=t,则1≤t≤4e,由f(x1)=t,x1≤0得x1+4e=t,则x1=t-4e,
则x1f(x2)=t(t-4e)=(t-2e)2-4e2,
因为1≤t≤4e,所以当t=2e时,x1f(x2)取得最小值,为-4e2.
14.答案　
解析　 h(x)的定义域为(0,+∞),h'(x)=.
当a≤0时,h'(x)>0恒成立,即h(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x)至多有一个零点,不合题意;
当a>0时,令h'(x)=0,解得x=,
当x∈时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减,∴h(x)的极大值为h,令ln<1,得a>,
若h(x)有两个零点,则需h=ln >0,解得0此时1<∴h(x)在上各有一个零点,满足题意.
综上,实数a的取值范围为.
15.解析　选择①,由题意得f'(x)=ex+a,
则f'(0)=1+a=0,故a=-1.(3分)
故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,得x=0.(6分)
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,(9分)
所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(11分)
因为f(-1)=所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(13分)
选择②,由题意得f'(x)=ex+a,所以f'(1)=e+a,
由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,
得f'(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1.(3分)
下同条件①.
选择③,由题意得f'(x)=ex+a,所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a.
因为y=f(-x)-f'(x)为奇函数,所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),
所以e-x-ex-ax-1-a=e-x-ex-ax+1+a,所以a=-1.(3分)
下同条件①.
16.解析　(1)设该容器的容积为V m3,则V=πr2l+πr3.
因为V=,所以l=.(3分)
因为l≥2r,所以≥2r,解得0所以y=2πrl×3+4πr2c=2πr×,其定义域为(0,2].(6分)
(2)由(1)得y'=8π(c-2)r-,0因为c>3,所以c-2>0,故>0.(8分)
令y'=0,即r3-=0,则r=,令=m,m>0,
则y'=(r-m)(r2+rm+m2).(10分)
①若0,则当r∈(0,m)时,y'<0,
当r∈(m,2)时,y'>0,所以r=m是极小值点,也是最小值点;(12分)
②若m≥2,即3所以r=2是函数的最小值点.(14分)
综上,若3,则当r=时,总建造费用最少.(15分)
17.解析　(1)f(x)的定义域为{x|x>0},令f(x)≤0,得m≤,
令g(x)=(x>0),则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=1,(3分)
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
所以g(x)min=g(1)=e,所以m≤e,故m的取值范围是(0,e].(6分)
(2)由题得ln(mx1)=x1,ln(mx2)=x2,两式相减得ln=x2-x1.
令t=>2,则ln t=(t-1)x1,故x1=,(9分)
记h(t)=,t>2,则h'(t)=,
令H(t)=1--ln t(t>2),则H'(t)=,
当t∈(2,+∞)时,H'(t)<0,H(t)单调递减,
所以H(t)所以当t>2时,h'(t)<0,所以函数h(t)在区间(2,+∞)上单调递减,故x1=h(t)即0令f(x)=0,得m=,故方程m==g(x)有两个不同的根x1,x2,由(1)知g(x)=在(0,1)上单调递减,
故m=g(x1)>g(ln 2)=,即m的取值范围是.(15分)
18.解析　(1)易得f(x)的定义域为{x|x≠0}, f'(x)=,
所以f'(1)=2.(2分)
(2)易得g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=,
当a≥0时,g'(x)>0,故g(x)在[1,2]上单调递增,
所以g(x)max=g(2)=aln 2-.(4分)
当a<0时,令g'(x)<0,得x>-,令g'(x)>0,得0故g(x)在上单调递减,在上单调递增,
当a≤-1时,-≤1,此时g(x)在[1,2]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=-1;(6分)
当-≤a<0时,-≥2,此时g(x)在[1,2]上单调递增,所以g(x)max=g(2)=aln 2-;(8分)
当-1综上,当a≤-1时,g(x)max=-1;当-1(3)证明:当a=1时,g(x)=ln x-,要证f(x)>g(x)-,x>0,即证xln x当01+cos x-1=cos x>0,所以xln x当x>1时,记h(x)=ex+cos x-xln x-1,则h'(x)=ex-sin x-ln x-1,(14分)
记m(x)=h'(x)=ex-sin x-ln x-1,则m'(x)=ex-cos x-,
由于x>1,所以m'(x)=ex-cos x-≥ex-1->e-1-1>0,
所以当x>1时,h'(x)单调递增,
所以h'(x)>h'(1)=e-sin 1-1>0,
故h(x)在x∈(1,+∞)上单调递增,故h(x)>h(1)=e+cos 1-1>0,故xln x综上,对任意x∈(0,+∞),恒有f(x)>g(x)-.(17分)
19.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),不等式f(x)≤0恒成立,即ln x-ax-1≤0,即在(0,+∞)上恒成立,(2分)
设g(x)=,得g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e2,(3分)
当x∈(0,e2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(e2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)≤g(e2)=,则,解得a≥,
所以实数a的最小值为.(5分)
(2)(i)由已知得f'(x)=ln x-ax,令f'(x)=0,得a=,
因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,
所以方程a=有两个实数根,
令h(x)=,则直线y=a与函数h(x)的图象有两个不同的交点,(7分)
易得h'(x)=,令h'(x)=0,解得x=e,
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
且当x→0+时,h(x)→-∞;当x→+∞时,h(x)→0+,故y=h(x)的图象如图所示.(9分)
因为x1>x2,所以x2∈(1,e),x1∈(e,+∞),且a=,
所以f(x2)=x2ln x2--x2,
设t(x)=-x,x∈(1,e),可得t'(x)=<0,则t(x)在(1,e)上单调递减,所以t(x)∈,即f(x2)的取值范围是.(12分)
(ii)证明:设φ(x)=-x,x∈(1,3],则φ'(x)=,当x∈(1,e)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,当x∈(e,3)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,又φ(1)=-1,φ(3)=-3<-1,所以-x<-1(x∈(1,3]),所以(x∈(1,3]),(15分)
令x=,n∈N*,则x∈(1,3],则ln ,
可得ln ,n∈N*,
所以+…+ln(2n+1).(17分)