全书综合测评-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第一册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
全书综合测评
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,则其离心率为(　　)
A.3　　　　　B.　　　　　D.5
2.若直线l:ax+by-1=0与圆O:x2+y2=1相离,则过点P(a,b)的直线与圆O的位置关系是(　　)
A.相离　　　　　B.相切　　　　　C.相交　　　　　D.不确定
3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a4a8a9=-3,b4+b8+b9=5π,则tan=(　　)
A.-
4.如图,某市计划修建一条由一段环湖弯曲道路与两条直道平滑连接(相切)的公路.已知环湖弯曲路段近似为某三次函数图象的一部分(如虚线所示),则该三次函数的解析式为　(　　)
A.y=x2-3x
C.y=x2-x
5.已知斜率为的直线与椭圆E:=1(a>b>0)相交于A,B两点,与x轴,y轴分别交于C,D两点,若C,D恰好是线段AB的两个三等分点,则椭圆E的离心率e为(　　)
A.
6.设a=,b=ln 1.02,c=e0.02-1,则(　　)
A.c7.线性分形又称为自相似分形,其图形的结构在几何变换下具有不变性,通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示,若图1中正六边形的边长为1,周长与面积分别记为a1,S1,图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为a2,S2,……,以此类推,图n中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为an,Sn,其中图n中每个正六边形的边长是图(n-1)中每个正六边形边长的,则下列说法正确的是(　　)
A.图4中共有294个正六边形　　　　　B.a3=
C.Sn=　　　　　D.存在正数m,使得an≤m恒成立
8.设实数a>0,对任意的x∈,不等式e2ax-恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.
C.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知数列{an}满足an+1=+2an,a1=2,设bn=log3(1+an),记{bn}的前n项和为Sn,的前n项和为Tn,则(　　)
A.{bn}为等比数列　　　　　B.{an+1}为等比数列
C.Sn=bn+1-1　　　　　D.Tn<2
10.在平面直角坐标系xOy中,已知F是抛物线C:x2=4y的焦点,点P是C上异于原点O的动点,过点P且与C相切的直线l与y轴交于点Q,设抛物线C的准线为m,PH⊥m,H为垂足,则(　　)
A.当点P的坐标为(2,1)时,直线l的方程为x-y-1=0
B.设M(2,2),则PM+PF的最小值为4
C.PQ2=4OQ·HQ
D.∠FPH=2∠FPQ
11.设函数f(x)=ax-xa(a>1)的定义域为(0,+∞),已知f(x)有且只有一个零点,下列结论正确的有(　　)
A.a=e　　　　　
B.f(x)在区间(1,e)上单调递增
C.x=1是f(x)的极大值点　　　　　
D.f(e)是f(x)的最小值
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值等于　　　　.
13.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆M与C的两条渐近线交于O,A,B三点.记四边形OAFB的面积为S1,圆M的面积为S2,则当取得最大值时,C的离心率为　　　　.
14.若存在x0∈[-1,2],使不等式x0+(e2-1)ln a≥+e2x0-2成立,则a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知各项均不为0的数列{an}的前n项和为Sn,且2nan+1=nbSn.
(1)若b=0,求数列的前n项和Tn;
(2)若b=2,求的最大值.
16.(本小题满分15分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点(B在A的左侧),线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当OP=OM时,求l的方程及△POM的面积.
17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ln x-(e=2.718 28……是自然对数的底数).
(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a>1时,证明:f(x)>1-ea.
18.(本小题满分17分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴为双曲线=1的实轴,且椭圆C过点P(2,1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点,直线PA与PB的斜率均存在,分别记为k1,k2,若k1k2=-,试问直线AB是否经过定点 若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由.
19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=xex,g(x)=kx2.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)设F(x)=f(x)-g(x),当x>0时,函数F(x)有两个零点,求实数k的取值范围.
答案与解析
1.A　由条件可知,所以离心率e==3.故选A.
2.C　由直线l与圆O相离可知圆心O(0,0)到直线l的距离大于半径,即>1,所以a2+b2<1,故点P(a,b)在圆O内,所以过点P的直线与圆O相交,故选C.
3.A　由a4a8a9=-3,所以a7=-.
由b4+b8+b9=5π及等差数列的性质可得3b7=5π,所以b7=.
所以tan,故选A.
4.D　由题中函数图象知,该三次函数图象在点(0,0)处与直线y=-x相切,在点(2,0)处与直线y=3x-6相切.
A中,y'=x2+x-2,y'x=0=-2,与该三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛盾,故A不符合题意;
B中,y'=x2+x-3,y'x=0=-3,与该三次函数图象在点(0,0)处的切线斜率为-1矛盾,故B不符合题意;
C中,y'=x2-1,y'x=0=-1,y'x=2=2,与该三次函数图象在点(2,0)处的切线斜率为3矛盾,故C不符合题意;
D中,y'=x2-x-1,y'x=0 =-1,y'x=2=3,故D符合题意.故选D.
5.C　不妨设A在第一象限内,C在x轴负半轴上,且A(x1,y1),B(x2,y2),
∵C,D是线段AB的两个三等分点,
∴C(-x1,0),D,则B,故x2=-2x1,y2=-,
∴直线AB的斜率k==1,
由=0,
整理得,即1=,即1-e2=,所以e=.故选C.
6.D　 a=,b=ln 1.02=ln(1+0.02),c=e0.02-1,
设f(x)=ex-ln(x+1)-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=ex-,
令g(x)=f'(x)=ex-,则g'(x)=ex+,易得g'(x)>0恒成立,
所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)>f'(0)=0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
则f(0.02)=e0.02-ln 1.02-1>f(0)=0,即ln 1.02设h(x)=xln x-x,x∈(1,+∞),则h'(x)=ln x,易得h'(x)>0恒成立,故h(x)在(1,+∞)上单调递增,
则h(1.02)=1.02ln 1.02-1.02>h(1)=-1,整理得ln 1.02>,所以b>a,故a7.C　对于A,易知图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项,7为公比的等比数列,故图4中共有73=343个正六边形,A不正确;
对于B,易知图n中每个正六边形的边长为,所以an=6×,则a3=,B不正确;
对于C,由图n中每个正六边形的边长为,可得图n中每个正六边形的面积为,所以Sn=,C正确;
对于D,易知数列{an}是公比大于1的递增数列,所以不存在正数m,使得an≤m恒成立,D不正确.
故选C.
8.B　e2ax-恒成立,即2axe2ax-xln x≥2x-2e2ax恒成立,
即e2ax(2ax+2)≥x(ln x+2)恒成立,
令f(x)=x(ln x+2),则f(e2ax)≥f(x)恒成立,易得f'(x)=ln x+3,
易知当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
因为a>0,x>,所以e2ax>1,
则e2ax≥x在上恒成立,即2ax≥ln x,即2a≥.
令g(x)=,x∈,
则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e,
故当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
故g(x)≤g(e)=,故2a≥,即a≥.故选B.
9.ACD　由an+1=+2an得an+1+1=(an+1)2,
则log3(an+1+1)=2log3(an+1),即bn+1=2bn,又b1=log3(1+a1)=1,
所以{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,故A正确;
由an+1+1=(an+1)2得=an+1,不是常数,故{an+1}不是等比数列,故B错误;
由A知bn=1×2n-1=2n-1,Sn==2n-1=bn+1-1,故C正确;
易知(n≥2),则Tn<+…+<2(n≥2),
当n=1时,T1==1<2成立,故Tn<2,故D正确.
故选ACD.
10.ACD　对于A,当点P的坐标为(2,1)时,由y=得y'=,所以直线l的斜率为=1,所以l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故A正确;
对于B,易知点M在抛物线C的内部,抛物线C的准线m的方程为y=-1,过点M作MN⊥m,交m于点N,交C于点K,当P与K重合时,PM+PF的值最小,为MN=2+1=3,故B错误;
对于C,不妨设点 P(x0>0),由A知直线l的斜率为,
所以l的方程为y-·(x-x0),整理得2x0x-4y-=0,
令x=0,得y=-,所以Q,因为PH⊥m,所以H(x0,-1),
所以PQ2=,所以4OQ·HQ=4·,故PQ2=4OQ·HQ,故C正确;
对于D,由C知Q(x0>0),
所以PH=FQ=+1,因为PH∥FQ,所以四边形PHQF是平行四边形,
由抛物线的定义可得PF=PH,所以平行四边形PHQF是菱形,故PQ平分∠FPH,所以∠FPH=2∠FPQ,故D正确.故选ACD.
11.ACD　f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程ax=xa在(0,+∞)上只有一个实数根,两边取对数得xln a=aln x,即只有一个正根.
设h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,得x=e.当00,h(x)单调递增,当x>e时,h'(x)<0,h(x)单调递减,故h(x)max=h(e)=,
当x→0+时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0,
所以要使方程只有一个正根,则≤0,解得a=e或01,所以a=e,故A正确.
f(x)=ex-xe,则f'(x)=ex-exe-1,令f'(x)=0,得ex-1=xe-1,两边取对数得x-1=(e-1)·ln x,易知x=1和x=e是此方程的解.
设p(x)=(e-1)ln x-x+1,则p'(x)=-1,当00,p(x)单调递增,当x>e-1时,p'(x)<0,p(x)单调递减,故p(e-1)是p(x)的极大值,又p(1)=p(e)=0,所以p(x)有且只有两个零点,
当0e时,p(x)<0,即(e-1)ln x0,同理,当1所以f(x)在(0,1)和(e,+∞)上单调递增,在(1,e)上单调递减,所以f(x)的极小值为f(e)=0,极大值为f(1),
又f(0)=1,所以f(e)是最小值,故B错误,C、D正确.故选ACD.
12.答案　
解析　由把(1,2)代入方程mx+ny+5=0可得m+2n+5=0,所以m=-5-2n,因此点(m,n)到原点的距离d=,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)到原点的距离的最小值等于.
13.答案　
解析　由题意得tan∠AOF=tan∠BOF=.
因为OF是圆M的直径,所以OA⊥AF,
从而tan∠AOF=,且OA2+AF2=OF2=c2,得OA=a,AF=b.
所以四边形OAFB的面积S1=2·ab=ab.
易求得圆M的面积S2=c2,
所以=ab·.
由二次函数的性质知当时,取得最大值,此时离心率e=.
14.答案　
解析　原不等式可变形为(e2-1)ln a-(e2-1)x0≥-2,
即(e2-1)ln a-(e2-1)ln -2,即(e2-1)ln -2,
令=t,则(e2-1)ln t-2t+2≥0,由x0∈[-1,2],a>0得t∈,
令f(t)=(e2-1)ln t-2t+2,则原问题等价于存在t∈,使得f(t)≥0成立,易得f'(t)=,令f'(t)<0,得t>,令f'(t)>0,得0易得f(1)=0, f(e2)=(e2-1)ln e2-2e2+2=0,
又1<所以当1≤t≤e2时, f(t)≥0,若存在t∈,使得f(t)≥0成立,
只需≤e2或ae≥1,解得≤a≤e4,
所以a的取值范围为.
15.解析　(1)当b=0时,2nan+1=Sn①,则2n-1an=Sn-1(n≥2)②,
①-②得2nan+1-2n-1an=Sn-Sn-1=an,所以2nan+1=(2n-1+1)an,即(n≥2),(2分)
当n=1时,21a2=S1=a1,所以,不满足上式,(3分)
当n≥2时,Tn=+…++…+,
当n=1时,T1=满足上式,(5分)
所以Tn=.(6分)
(2)当b=2时,2nan+1=n2Sn,所以2n(Sn+1-Sn)=n2Sn,
所以,即+1,(8分)
令f(n)=+1(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=,(10分)
令-n2+2n+1≥0,解得1-≤n≤1+,
因为n是正整数,所以n=1或n=2,则f(2)-f(1)>0, f(3)-f(2)>0,
当n≥3时, f(4)-f(3)<0, f(5)-f(4)<0,……, f(n+1)-f(n)<0,
所以 f(n)max=f(3)=.(13分)
16.解析　(1)圆C的方程x2+y2-8y=0可变形为x2+(y-4)2=16,所以圆C的圆心坐标为C(0,4),半径为4.(2分)
设M(x,y),则=(2-x,2-y).(3分)
由题意得=0,即x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
整理得(x-1)2+(y-3)2=2.
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(5分)
(2)由(1)知M的轨迹是以点(1,3)为圆心,为半径的圆,记N(1,3),如图所示.
因为OP=OM,所以O在线段PM的垂直平分线上.(7分)
又点P在圆N上,所以N在线段PM的垂直平分线上,连接ON,所以ON⊥PM.(9分)
易得kON=3,所以直线l的斜率为-,
所以直线l的方程为y-2=-(x-2),整理得x+3y-8=0.(11分)
因为点N到直线l的距离为,
所以PM=2.(13分)
又因为O到直线l的距离为,
所以S△POM=.(15分)
17.解析　(1)当a=1时, f(x)=ln x-,
则f'(x)=,(2分)
令h(x)=ex+ln x,显然h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h=0,
所以当0时,h(x)>0,即f'(x)>0,
所以函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.(5分)
(2)证明:f'(x)=,令g(x)=ex-1+ln x+a,则g'(x)=e+,易知g'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,(7分)
不妨取x=e-a和x=,易得g(e-a)=e1-a-1<0,g=a-1>0,
故 x0∈,使g(x0)=0,即ex0-1+ln x0+a=0,(9分)
当x∈(0,x0)时,g(x)<0,即f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0, f(x)单调递增,
故f(x)在x=x0处取得极小值,也是最小值,所以f(x)≥f(x0)=ln x0-,(11分)
又ex0+ln x0+a-1=0,所以ln x0+a=-ex0+1,
所以f(x0)=ln x0-=ln x0-+1,
令φ(x)=ln x-+1,显然φ(x)在上单调递增,所以φ(x0)>ln e-a-+1=1-a-ea-1,(13分)
要证f(x)>1-ea,即证1-a-ea-1>1-ea(a>1),即证a+ea-1-ea<0,即证ln ea+ea-1-ea<0,
令F(x)=ln x+-x(x>e),则F'(x)=-1,
当x∈(e,+∞)时,F'(x)所以F(x)在(e,+∞)上单调递减,所以F(x)所以ln ea+ea-1-ea<0,故f(x)>1-ea.(15分)
18.解析　(1)由椭圆的长轴为双曲线的实轴得a2=8,(2分)
把点P(2,1)代入C的方程,得=1,解得b2=2,(4分)
所以椭圆C的标准方程为=1.(5分)
(2)①当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(4k2+1)x2+8ktx+4t2-8=0,
则Δ=64k2t2-4(4k2+1)(4t2-8)=16(8k2-t2+2)>0,x1+x2=,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=,(7分)
因为k1k2=-,
所以,
所以2y1y2-2(y1+y2)+2=-x1x2+2(x1+x2)-4,
所以2·-2·+2·-4,
所以2t2-16k2-4t+8k2+2=-4t2+8-16kt-16k2-4,
化简得4k2+3t2+8kt-2t-1=0,即(2k+t-1)(2k+3t+1)=0,
所以t=1-2k或t=-,(10分)
当t=1-2k时,直线AB的方程为y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线AB过定点(2,1)(舍去);
当t=-时,直线AB的方程为y=kx-,此时直线AB过定点.(13分)
②当直线AB的斜率不存在时,设其方程为x=m(m≠2),
由得y2=2-,所以y=±,
所以k1k2=,解得m=2(舍去)或m=,此时直线AB的方程为x=,也过定点.(16分)
综上,直线AB恒过定点.(17分)
19.解析　(1)易得f '(x)=(1+x)ex.
当x∈(-∞,-1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(-1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,(2分)
所以f(x)min=f(-1)=-e-1=-,又当x→-∞时, f(x)→0,当x→+∞时, f(x)→+∞,所以f(x)的值域为.(4分)
(2)由题意得F(x)=xex-kx2=x(ex-kx),x>0.
令h(x)=ex-kx,x>0,则当x>0时,F(x)有两个零点等价于h(x)有两个零点.(5分)
易得h'(x)=ex-k.
当k≤1时,h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=1,所以h(x)在(0,+∞)上没有零点,即F(x)在(0,+∞)上没有零点,不符合题意.(7分)
当k>1时,令h'(x)=0,得x=ln k,当x∈(0,ln k)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(ln k,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(ln k)=k-kln k.(10分)
因为h(x)在(0,+∞)上有两个零点,
所以h(ln k)=k-kln k<0,所以k>e.
易得h(0)=1>0,h(ln k2)=k2-kln k2=k(k-2ln k),(12分)
对于函数y=x-2ln x,y'=1-,
当x∈(0,2)时,y'<0,函数y=x-2ln x单调递减;
当x∈(2,+∞)时,y'>0,函数y=x-2ln x单调递增,(14分)
所以y=x-2ln x≥2-2ln 2=ln e2-ln 4>0,所以h(ln k2)=k(k-2ln k)>0.
所以存在x1∈(0,ln k),x2∈(ln k,ln k2),使h(x1)=h(x2)=0,
所以当k>e时,h(x)在(0,+∞)上有两个零点,即F(x)有两个零点.(16分)
综上,实数k的取值范围是(e,+∞).(17分)