17.1 用提公因式法分解因式 教案 2025-2026人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 17.1 用提公因式法分解因式 教案 2025-2026人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 186.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-12 21:15:34 | ||
图片预览
文档简介
第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
1.理解因式分解的意义和概念.
2.会找公因式，并能用提公因式法分解因式.
3.通过对因式分解与整式的乘法的观察与比较，培养学生分析问题的能力与综合应用的能力.
重点：理解并掌握因式分解的概念及提公因式法.
难点：正确找出多项式各项的公因式.
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块菜地的面积吗？
方法一：m（a＋b＋c）.
方法二：ma＋mb＋mc.
整式乘法：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc.
探究点一 因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）24x2y＝4x·6xy.
（2）（x＋5）（x－5）＝x2－25.
（3）x2＋2x－3＝（x＋3）（x－1）.
（4）9x2－6x＋1＝3x（3x－2）＋1.
（5）x2＋1＝x.
【解析】根据因式分解的定义进行判断，要注意：等式的右边是整式的乘积的形式.
【解】（1）因式分解是针对多项式来说的，故（1）不是因式分解.
（2）右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解.
（3）是因式分解.
（4）右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解.
（5）右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解.
【方法总结】判断一个由左边到右边的变形是否为因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.
探究点二 用提公因式法分解因式
类型一 公因式
【例2】多项式9a2x2－18a4x3各项的公因式是（ ）
A.9ax B.9a2x2
C.a2x2 D.a3x2
【解析】在9a2x2－18a4x3中，
∵系数的最大公约数是9，相同字母的最低次幂是a2x2，∴公因式是9a2x2.
【答案】B
【方法总结】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：（1）定系数，即确定各项系数的最大公约数；（2）定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；（3）定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂.
类型二 用提公因式法分解因式
【例3】把下列各式分解因式：
（1）x2－10x.
（2）4a（x－y）－2b（y－x）.
（3）（x＋y）（x－y）－x－y.
【解析】（1）直接提取公因式x，分解因式；（2）（x－y）与（y－x）互为相反数，把（y－x）提出负号，转化出公因式；（3）－x－y可转化为－（x＋y），（x＋y）即为公因式，提取公因式即可分解因式.
【解】（1）x2－10x＝x（x－10）.
（2）4a（x－y）－2b（y－x）
＝4a（x－y）＋2b（x－y）
＝2（x－y）（2a＋b）.
（3）（x＋y）（x－y）－x－y
＝（x＋y）（x－y）－（x＋y）
＝（x＋y）（x－y－1）.
【方法总结】用提公因式法分解因式的关键是确定公因式，公因式有单项式，也有多项式，注意符号的变化.
类型三 用提公因式法分解因式的应用
【例4】“回文诗”，是能够回环往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典诗歌中的一种有趣的特殊体裁.如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”.在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”.例如11，343等，则任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数（1除外）.
【解析】设任意一个四位数的“回文数”m的千位、百位、十位和个位上的数字分别为a，b，b，a，则m＝1000a＋100b＋10b＋a＝1001a＋110b＝11×91a＋11×10b＝11×（91a＋10b），∴m是11的倍数.
【解】11
1.下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A.（x＋1）（x－1）＝x2－1
B.x2－2x＋1＝x（x－2）＋1
C.x2－4y2＋1＝（x＋2y）（x－2y）＋1
D.（x－1）（x－2）－2＝x（x－3）
2.用提公因式法分解因式：
（1）ab3－2a2b.
（2）4x3－6x2－2x.
（3）a（x－y）3＋b（y－x）2.
3.求证：817－279－913能被15整除.
17.1 用提公因式法分解因式
1.因式分解的概念：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
2.因式分解与整式乘法的关系.
x2－1（x＋1）（x－1）
3.找公因式的方法：（1）系数的最大公约数；（2）相同字母；（3）相同字母的最低次幂.
即一看系数、二看字母、三看指数.
4.提公因式法分解因式的一般步骤：第一步，找出公因式；第二步，提公因式.
本节课学习了因式分解的概念、公因式的概念及用提公因式法分解因式.
在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历整式乘法和因式分解的互逆变形的过程.在提公因式方面，学生对公因式的认识不足，对提公因式的要求不清楚，造成了学生在分解因式时出现以下错误：（1）公因式找错；（2）公因式找不完整，导致因式分解不彻底.学习过程中存在的问题在以后的教学中有待进一步加强和巩固.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）ab3－2a2b
＝ab·b2－ab·2a
＝ab（b2－2a）.
（2）4x3－6x2－2x
＝2x·2x2－2x·3x－2x·1
＝2x（2x2－3x－1）.
（3）a（x－y）3＋b（y－x）2
＝a（x－y）3＋b（x－y）2
＝（x－y）2·a（x－y）＋（x－y）2·b
＝（x－y）2[a（x－y）＋b]
＝（x－y）2（ax－ay＋b）.
3.证明：817－279－913
＝（34）7－（33）9－（32）13
＝328－327－326
＝326×32－326×3－326×1
＝326×（32－3－1）
＝326×（9－3－1）
＝326×5
＝325×3×5
＝325×15.
故817－279－913能被15整除.
17.1 用提公因式法分解因式
1.理解因式分解的意义和概念.
2.会找公因式，并能用提公因式法分解因式.
3.通过对因式分解与整式的乘法的观察与比较，培养学生分析问题的能力与综合应用的能力.
重点：理解并掌握因式分解的概念及提公因式法.
难点：正确找出多项式各项的公因式.
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块菜地的面积吗？
方法一：m（a＋b＋c）.
方法二：ma＋mb＋mc.
整式乘法：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc.
探究点一 因式分解的概念
【例1】下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）24x2y＝4x·6xy.
（2）（x＋5）（x－5）＝x2－25.
（3）x2＋2x－3＝（x＋3）（x－1）.
（4）9x2－6x＋1＝3x（3x－2）＋1.
（5）x2＋1＝x.
【解析】根据因式分解的定义进行判断，要注意：等式的右边是整式的乘积的形式.
【解】（1）因式分解是针对多项式来说的，故（1）不是因式分解.
（2）右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解.
（3）是因式分解.
（4）右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解.
（5）右边不是整式的乘积的形式，不是因式分解.
【方法总结】判断一个由左边到右边的变形是否为因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.
探究点二 用提公因式法分解因式
类型一 公因式
【例2】多项式9a2x2－18a4x3各项的公因式是（ ）
A.9ax B.9a2x2
C.a2x2 D.a3x2
【解析】在9a2x2－18a4x3中，
∵系数的最大公约数是9，相同字母的最低次幂是a2x2，∴公因式是9a2x2.
【答案】B
【方法总结】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：（1）定系数，即确定各项系数的最大公约数；（2）定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；（3）定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂.
类型二 用提公因式法分解因式
【例3】把下列各式分解因式：
（1）x2－10x.
（2）4a（x－y）－2b（y－x）.
（3）（x＋y）（x－y）－x－y.
【解析】（1）直接提取公因式x，分解因式；（2）（x－y）与（y－x）互为相反数，把（y－x）提出负号，转化出公因式；（3）－x－y可转化为－（x＋y），（x＋y）即为公因式，提取公因式即可分解因式.
【解】（1）x2－10x＝x（x－10）.
（2）4a（x－y）－2b（y－x）
＝4a（x－y）＋2b（x－y）
＝2（x－y）（2a＋b）.
（3）（x＋y）（x－y）－x－y
＝（x＋y）（x－y）－（x＋y）
＝（x＋y）（x－y－1）.
【方法总结】用提公因式法分解因式的关键是确定公因式，公因式有单项式，也有多项式，注意符号的变化.
类型三 用提公因式法分解因式的应用
【例4】“回文诗”，是能够回环往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典诗歌中的一种有趣的特殊体裁.如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”.在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”.例如11，343等，则任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数（1除外）.
【解析】设任意一个四位数的“回文数”m的千位、百位、十位和个位上的数字分别为a，b，b，a，则m＝1000a＋100b＋10b＋a＝1001a＋110b＝11×91a＋11×10b＝11×（91a＋10b），∴m是11的倍数.
【解】11
1.下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A.（x＋1）（x－1）＝x2－1
B.x2－2x＋1＝x（x－2）＋1
C.x2－4y2＋1＝（x＋2y）（x－2y）＋1
D.（x－1）（x－2）－2＝x（x－3）
2.用提公因式法分解因式：
（1）ab3－2a2b.
（2）4x3－6x2－2x.
（3）a（x－y）3＋b（y－x）2.
3.求证：817－279－913能被15整除.
17.1 用提公因式法分解因式
1.因式分解的概念：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
2.因式分解与整式乘法的关系.
x2－1（x＋1）（x－1）
3.找公因式的方法：（1）系数的最大公约数；（2）相同字母；（3）相同字母的最低次幂.
即一看系数、二看字母、三看指数.
4.提公因式法分解因式的一般步骤：第一步，找出公因式；第二步，提公因式.
本节课学习了因式分解的概念、公因式的概念及用提公因式法分解因式.
在教学过程中，教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设丰富有趣的问题情境，并给他们留下充分探索与交流的时间和空间，让他们经历整式乘法和因式分解的互逆变形的过程.在提公因式方面，学生对公因式的认识不足，对提公因式的要求不清楚，造成了学生在分解因式时出现以下错误：（1）公因式找错；（2）公因式找不完整，导致因式分解不彻底.学习过程中存在的问题在以后的教学中有待进一步加强和巩固.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）ab3－2a2b
＝ab·b2－ab·2a
＝ab（b2－2a）.
（2）4x3－6x2－2x
＝2x·2x2－2x·3x－2x·1
＝2x（2x2－3x－1）.
（3）a（x－y）3＋b（y－x）2
＝a（x－y）3＋b（x－y）2
＝（x－y）2·a（x－y）＋（x－y）2·b
＝（x－y）2[a（x－y）＋b]
＝（x－y）2（ax－ay＋b）.
3.证明：817－279－913
＝（34）7－（33）9－（32）13
＝328－327－326
＝326×32－326×3－326×1
＝326×（32－3－1）
＝326×（9－3－1）
＝326×5
＝325×3×5
＝325×15.
故817－279－913能被15整除.
同课章节目录