17.2 第1课时 利用平方差公式分解因式 教案 2025-2026人教版数学八年级上册

17.2　用公式法分解因式
第1课时　利用平方差公式分解因式
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
重点：用平方差公式分解因式.
难点：综合运用提公因式法和平方差公式分解因式.
如图，在边长为am的正方形上剪掉一个边长为bm的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形.根据此图形变换，你能得到什么公式？
探究点　用平方差公式分解因式
类型一　判定能否用平方差公式分解因式
【例1】下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A.－a2－4b2 B.－1＋25a2
C.－9a2 D.1－a4
【解析】根据平方差公式的结构特征判断.不能用平方差公式分解因式的是－a2－4b2.
【答案】A
【方法总结】能用平方差公式分解因式的多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
类型二　利用平方差公式分解因式
【例2】用平方差公式分解因式：
（1）25x2－y2.
（2）（a－b）2－9b2.
【解析】根据平方差公式的特点分解因式即可.
【解】（1）原式＝（5x）2－
＝.
（2）原式＝（a－b）2－（3b）2
＝（a－b＋3b）（a－b－3b）
＝（a＋2b）（a－4b）.
【方法总结】熟悉平方差公式的特点.在用平方差公式分解因式时，分解的结果要彻底.
类型三　用平方差公式分解因式的应用
【例3】小宇是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应昌、爱、我、 数、学、南这六个字.现将3a（x2－1）－3b（x2－1）分解因式，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A.我爱数学 B.爱南昌
C.南昌数学 D.我爱南昌
【解析】∵3a（x2－1）－3b（x2－1）＝3（x2－1）（a－b）＝3（x＋1）（x－1）（a－b），
且3，x＋1，x－1，a－b分别对应我、南、昌、爱，
∴呈现的密码信息可能是我爱南昌.
【答案】D
1.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A.x2＋y2 B.－x2－y2
C.x2－y2 D.x2－xy
2.分解因式：
（1）x4－x2.
（2）a3（x＋y）2－4a3c2.
3.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.
例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52.则8，16，24这三个数都是“奇特数”.
（1）填空：40　　　　　“奇特数”，2020　　　　　“奇特数”.（填“是”或“不是”）
（2）设两个连续奇数是2n－1和2n＋1（其中n是正整数），由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？
（3）如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为199.求阴影部分的面积.
第1课时　利用平方差公式分解因式
1.平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2.分解因式注意事项：
①有公因式要先提取公因式；②再运用公式分解因式；③每个因式要化简，分解要彻底.
本节课学习了用平方差公式分解因式，要熟记平方差公式的特点.
　　本节课采取由浅入深的方法，让学生大胆探索，经历用平方差公式分解因式的过程，使学生对新知识不产生任何的畏惧感.通过例题的讲解、练习的巩固、错题的纠正，让学生逐步掌握运用公式进行因式分解.要掌握平方差公式的特点，要针对各种题型不同的特点，采用特定的解法.摆脱题海战术，使整节课充分体现“自主、合作、探究、交流”的教学理念.
答案
课堂训练
1.C
2.解：（1）原式＝x2（x2－1）
＝x2（x＋1）（x－1）.
（2）原式＝a3[（x＋y）2－4c2]
＝a3（x＋y＋2c）（x＋y－2c）.
3.解：（1）是　不是
（2）是.理由如下：
∵（2n＋1）2－（2n－1）2
＝[（2n＋1）＋（2n－1）][（2n＋1）－（2n－1）]
＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数.
（3）S阴影＝1992－1972＋1952－1932＋…＋72－52＋32－12
＝（199＋197）（199－197）＋（195＋193）（195－193）＋…＋（7＋5）（7－5）＋（3＋1）（3－1）
＝（199＋197＋195＋193＋…＋7＋5＋3＋1）×2
＝×2
＝20000.