18.5 第1课时 分式方程及其解法 教案 2025-2026人教版数学八年级上册

18.5　分式方程
第1课时　分式方程及其解法
1.理解分式方程的概念.
2.了解解分式方程的基本思路和解法.
3.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的检验方法.
重点：解分式方程的基本思路和解法.
难点：理解分式方程可能无解的原因.
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间与以最大航速逆流航行60km所用时间相等.设江水的流速为xkm/h，根据题意可列方程为　　　　　　.
＝
这个方程是我们以前学过的吗？它与一元一次方程有什么区别？
探究点一　分式方程的定义
【例1】在方程x＋＝2，＝，－＝4，x－2＝0，＝，＝，4x－5＝0，－＝x（a，b为非0常数）中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？
【解析】利用整式方程与分式方程的区别解答.
【解】方程x＋＝2，＝，－＝4，＝是分式方程.
方程x－2＝0，＝，4x－5＝0，－＝x（a，b为非0常数）是整式方程.
【方法总结】要判断一个方程是否为分式方程，关键是看分母中是否含有未知数.
探究点二　解分式方程
类型一　直接解分式方程
【例2】解分式方程：
（1）－＝4.
（2）－＝1.
【解析】（1）方程的两边同乘2x，把分式方程化为整式方程；（2）方程的两边同乘x2－1，把分式方程化为整式方程.注意不要漏乘.
【解】（1）方程两边都乘2x，
得600－480＝4×2x，
解得x＝15.
检验：当x＝15时，2x≠0，
∴x＝15是原分式方程的解.
（2）方程两边都乘（x＋1）（x－1），
得（x＋1）2－4＝（x＋1）（x－1），
解得x＝1.
检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0，
∴x＝1不是分式方程的解，原分式方程无解.
【方法总结】解分式方程的关键是找分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出整式方程的解，最后把解代入最简公分母进行检验.
类型二　根据分式方程的解的情况求字母的范围
【例3】关于x的方程＝－1的解是正数，则a的取值范围是　　　　　　.
【解析】根据解分式方程的步骤可得，分式方程的解为x＝.
∵方程的解是正数，∴x＞0且x≠2，即＞0且≠2，解得a＞－1且a≠－.
【解】a＞－1且a≠－
【方法总结】先求出分式方程的解，再根据条件和隐含条件求出a的取值范围.
1.关于x的分式方程＝1的解为正数，则a的取值范围为（　　）
A.a≥－1 B.a＞－1
C.a≤－1 D.a＜－1
2.解方程：＋＝－1.
第1课时　分式方程及其解法
1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2.解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
3.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母——将方程两边同乘最简公分母；
（2）解整式方程；
（3）检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
本节课学习了分式方程的概念和分式方程的解法.
　　本节课学习了分式方程的概念和解法.要给学生留思考的时间和更多的思维空间，让学生把分式方程和整式方程区分开，再由学生通过动手动脑来获得知识.教师主要在做题方法上指导，思维方式上点拨，让学生明白解分式方程实际上是解整式方程以及理解验根的原因.教师要把本节课的重点内容（解分式方程的思路，步骤，如何检验等）用多媒体形式给学生展示出来，还要向学生强调在解分式方程过程中容易出现的问题.
答案
课堂训练
1.B
2.解：去分母，得－（x＋2）2＋16＝4－x2，
去括号，得－x2－4x－4＋16＝4－x2，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，（x＋2）（x－2）＝0，
∴x＝2不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解.