第二十一章 一元二次方程（单元测试.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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第二十一章 一元二次方程
一．选择题（共15小题）
1．（2025 绵阳）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
2．（2025 汇川区三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为　　
A． B． C． D．
3．（2025 河南二模）一元二次方程根的情况是　　
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
4．（2025 阳泉三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　
A． B． C． D．
5．（2025 湖南模拟）明明在解关于的方程时，抄错了的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是　　
A．没有实数根 B．有一个实数根是
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．（2025 吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是　　
A． B． C． D．
7．（2024秋 恩施市期中）用配方法解方程，则配方正确的是　　
A． B． C． D．
8．（2025 武威一模）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
9．（2024春 海淀区校级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
10．（2025 喀什地区一模）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是　　
A． B． C． D．
11．（2025 榆次区三模）关于的方程，下列解法完全正确的是　　
甲 乙 丙 丁
两边同时除以得 整理得 ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， 移项得， ， 或， ，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．（2025 白银模拟）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为　　
A． B．
C． D．
13．（2025 浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为步，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
14．（2025 昌吉州模拟）已知方程的解是，，则另一个方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2025 绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
16．（2025 绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则 　　，
17．（2025 连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　．
18．（2025 顺城区一模）一元二次方程的根是　　．
19．（2025 鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　．
20．（2025 常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是 　　．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 内江）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）填空： 　　， 　　；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
22．（2024秋 姜堰区月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
23．（2025 龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
24．（2025 台江区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
25．（2025 凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
（1）矩形的面积为，求出的长．
（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
第二十一章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2025 绵阳）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根的判别式
【专题】判别式法；运算能力
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键．
2．（2025 汇川区三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根与系数的关系
【专题】运算能力；计算题
【分析】若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此即可求解．
【解答】解：，
，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．
3．（2025 河南二模）一元二次方程根的情况是　　
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】
【考点】根的判别式
【分析】求出△的值，再判断即可．
【解答】解：，
△，
所以方程没有实数根，
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．
4．（2025 阳泉三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解一元二次方程配方法
【专题】运算能力；一元二次方程及应用
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
5．（2025 湖南模拟）明明在解关于的方程时，抄错了的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是　　
A．没有实数根 B．有一个实数根是
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】
【考点】一元二次方程的解；根的判别式
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】根据抄错的符号时得出的根，可求出正确的的值，再判断出根的判别式的正负即可解决问题．
【解答】解：将代入方程得，
，
解得，
所以的正确值为，
则原方程为，
所以△，
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
【点评】本题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．（2025 吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根的判别式
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】根据根的判别式对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：、化简为方程，
，，，
△，
此方程没有实数根，不符合题意；
、，化简为，
，，，
△，
此方程有两个相等实数根，符合题意；
、，化简为方程中，
，，，
△，
此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
、方程，化简为可化为，
，，，
△，
此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根是解题的关键．
7．（2024秋 恩施市期中）用配方法解方程，则配方正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解一元二次方程配方法
【专题】配方法
【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．（2025 武威一模）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【专题】一元二次方程及应用；应用意识
【分析】由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形．
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2024春 海淀区校级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【答案】
【考点】根的判别式
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
【解答】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
10．（2025 喀什地区一模）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】解一元二次方程配方法
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
11．（2025 榆次区三模）关于的方程，下列解法完全正确的是　　
甲 乙 丙 丁
两边同时除以得 整理得 ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， 移项得， ， 或， ，
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】
【考点】一元二次方程的一般形式；解一元二次方程配方法；解一元二次方程公式法；解一元二次方程因式分解法
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以的值错误；
丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一半的平方；
丁利用解一元二次方程因式分解法，计算正确；
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
12．（2025 白银模拟）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作，则方程可以列为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【专题】应用意识；一元二次方程及应用
【分析】第一天为2，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2025 浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为步，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元二次方程
【专题】一元二次方程及应用；应用意识
【分析】设宽为步，则长为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设宽为步，则长为步，
依题意，得：，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2025 昌吉州模拟）已知方程的解是，，则另一个方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【考点】解一元二次方程因式分解法；换元法解一元二次方程
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】根据已知方程的解得出，，求出两个方程的解即可．
【解答】解：方程的解是，，
方程中或，
解得：或，
即，，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键．
15．（2025 绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【专题】运算能力；一元二次方程及应用
【分析】设原来的方程为，再利用根与系数的关系得出关于，及，之间的关系式即可解决问题．
【解答】解：设原来的方程为，
由题知，
，，
所以，，
所以原来的方程为，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
16．（2025 绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则 　　，
【答案】．
【考点】一元二次方程的应用
【专题】应用意识；一元二次方程及应用
【分析】4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍．
【解答】解：根据题意得，
解得，（不合理舍去）．
所以4，5月份两个月平均降价率为．即．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．原来的数量（价格）为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“”，下降用“”．
17．（2025 连云区一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　5　．
【答案】5．
【考点】根与系数的关系
【专题】运算能力；整式
【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，即：，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
18．（2025 顺城区一模）一元二次方程的根是　　．
【考点】解一元二次方程直接开平方法
【专题】计算题
【分析】这个式子先移项，变成，从而把问题转化为求9的平方根．
【解答】解：移项得，
．
【点评】解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
19．（2025 鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　．
【答案】．
【考点】根与系数的关系
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】利用根与系数的关系求解．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
20．（2025 常州二模）已知为方程的一个根，则代数式的值是 　　．
【答案】
【考点】一元二次方程的解
【专题】推理能力；运算能力；一元二次方程及应用
【分析】根据题意可得，整体代入代数式求值即可．
【解答】解：为方程的一个根，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程解的定义是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025 内江）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）填空： 　　， 　　；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案；
（2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可；
（3）把已知变形后代入可得的方程，解出值后再检验即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系得：，，
故答案为：，1；
（2），，
；
关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，即；
（3）由根与系数的关系得：，，
，
，
，
解得：，，
当 时，△；
当 时，△；
．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根系关系，熟练地掌握根系公式是解决本题 的关键．
22．（2024秋 姜堰区月考）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
【考点】一元二次方程的应用
【专题】一元二次方程及应用；应用意识
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2025 龙岩模拟）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔每个售价为元，
依题意，得，
整理，得，
解得，，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
24．（2025 台江区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【考点】根的判别式
【专题】一元二次方程及应用；运算能力
【分析】（1）计算根的判别式得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：△
，
此方程总有两个实数根；
（2），
，，
此方程恰有一个根小于，
，
解得，
即的取值范围为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
25．（2025 凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为米．
（1）矩形的面积为，求出的长．
（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【考点】根的判别式；一元二次方程的应用
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识
【分析】（1）设 ，则，根据矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）矩形的面积不能为，假设矩形的面积能为，设 ，则，根据矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形的面积不能为．
【解答】解：（1）设 ，则，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：的长为；
（2）矩形的面积不能为，理由如下：
假设矩形的面积能为，设 ，则，
根据题意得：，
整理得：，
△，
原方程没有实数根，
假设不成立，即矩形的面积不能为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△时，方程没有实数根”．
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