备战2026年中考数学：一元二次方程精选练习（含解析）

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备战2026年中考数学：一元二次方程精选练习
一、单选题
1．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．利用“配方法”解方程，配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的一元二次方程（），则该方程根的情况是（ ）
A．方程无实根 B．两根之和为
C．有两个负实数根 D．若两根之积为3，则
4．二次函数的对称轴是直线，与轴的交点纵坐标是2，与轴的一个交点在1和2之间．有下列结论：①；②方程一定有一根在和之间；③方程一定有两个不等实根：④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
6．某水果商店2023年售出1000箱蓝莓，2025年售出1440箱蓝莓，若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．36
8．已知关于x的整式，其中n，均为自然数，且，以下说法：
①若，则方程的解为；
②若，且方程有两个不等实根，则的最大值为9；
③若为整系数多项式，则这样的有19个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．若关于x的方程的一个根是3，则另一个根是 ．
10．若m、n为方程的两个实数根，则的值为 ．
11．某动画电影在首映当日票房为1.2亿元，2天后当日票房达到2.44亿元．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ．
12．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为 ．
13．已知满足，则的最小值为 ．
14．已知关于x的两个方程，．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是 ．
15．如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形中，点在边上，连结，于点F．以为边作矩形，使得经过点，交于点．若与的面积之比为，，则的长为 ．
16．如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ．
三、解答题
17．已知：．
(1)化简P；
(2)若m，n是方程的两个不相等的实数根，求P的值．
18．已知．
(1)化简A；
(2)已知x满足，求A的值．
19．如图，在四边形中，，，点在上，且，两点关于对称，连接交于点．，的延长线相交于点，点，分别为，的中点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的长和宽．
20．通过对物理知识的学习，我们知道发射器从地面竖直向上发射的小球的高度（单位：m）满足关系式，其中（单位：s）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的速度．
(1)若，则小球从发射到落回地面需要____________s．
(2)在（1）的条件下，小球被竖直向上射出后，若先后两次经过离发射点竖直高度为5.8米处，求这两次间隔的时间差．
(3)小丽说：“当时，小球的最大高度是．”你认为她的说法正确吗？请通过计算说明你的理由．
21．【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，…
【规律发现】依此规律，完成以下问题：
（1）图⑤中共有小正方形的个数为______；
（2）图中共有小正方形的个数为______．
【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第（）次测量时移动的距离多（）米，那么该物体在第（）次测量时移动了多少米？
22．北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元／个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个．
(1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？
(3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则的值是多少？
《备战2026年中考数学：一元二次方程精选练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D A A C C
1．C
【分析】本题考查一元二次根的判别式，对于一元二次方程，，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，没有实数根．
【详解】解：中，，有两个不相等的实数根；
中，，有两个不相等的实数根；
中，，有两个相等实数根；
中，，有两个相等实数根，
故选C．
2．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直接运用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，解题关键是熟悉一元二次方程的根的判别式．
先求出一元二次方程的根的判别式，再根据它的符号确定根的情况．
【详解】解：关于的一元二次方程（），
，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，故A错误；
关于的一元二次方程（），
方程有两个不相等的实数根，
∴两根之和为，故B错误；
∵两根之和为，，
∴，
关于的一元二次方程（），
方程有两个不相等的实数根，
两根之积为，
∴有两个正实数根，故C错误；
关于的一元二次方程（），
若两根之积为3，则，解得：或，
∵，
∴，故D正确．
故选：D ．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴公式、二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系 ．熟练掌握二次函数的性质，能利用对称轴和函数与轴交点的关系、函数与方程的转化关系来分析问题是解题的关键．
根据二次函数的对称轴公式、函数的对称性、函数与方程的关系以及函数值的特点来逐一判断各个结论即可．
【详解】解： 对于二次函数，其对称轴公式为． 已知对称轴是直线，即，等式两边同时乘以，可得，移项得到，所以结论正确；
∵二次函数的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间． 设与轴的两个交点坐标分别为，，
∴根据二次函数的对称性，对称轴，
∵，设在和之间，，
∴．
当时，；当时，，
∴另一个交点在和之间，即方程一定有一根在和之间，
故结论正确；
方程的根的情况，可看作二次函数与直线的交点情况．
∵二次函数与轴的交点纵坐标是，即，且二次函数图象是抛物线，开口向上或向下， 无论开口方向如何，直线与二次函数一定有两个不同的交点，
∴方程一定有两个不等实根，故结论正确；
∵对称轴，
∴，且，
当时，，
∵与轴的一个交点在和之间，
∴当时，． 把代入，可得，
∴，故结论正确；
综上，四个结论都是正确的，
故选： D．
5．A
【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
分以下两种情况讨论：
当时，，，
∴点所在的象限是第一象限；
当时，，，
∴点所在的象限是第二象限；
综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限．
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两年销售蓝莓箱数的平均增长率为，那么2024年的销售量为箱，则2025年的销售量为箱，据此列出方程即可．
【详解】解：若将这两年销售蓝莓箱数的平均增长率设为，根据题意，，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，熟练掌握性质定理是解题的关键．
设，则 ． 根据矩形的性质易证，再根据相似三角形的性质得出，然后将值代入化简，求出一元二次方程的解即可得出答案．
【详解】解：设，则 ．
，
．
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
，
即，
即，
解得或 （负值舍去），
∴，，
∴矩形 的面积为．
故选 C．
8．C
【分析】本题主要考查了数字变化规律探究、整式运算、一元二次方程的根的判别式等知识．①根据题意得到，推出，即可求得方程的解为；②方程整理得，利用根的判别式列式计算可求得，，据此计算可求解；③求得，分、1、2、3、4五种情况讨论，即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，
又∵，为自然数，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，①正确；
②若，则，
∵，
∴，
整理得，
∵方程有两个不等实根，
∴，，
∴，，
∵，均为自然数，
∴，
若，则，不符合题意，舍去；
若，则，不符合题意，舍去；
若，则，
又，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为2，
∴的最大值为9，②正确；
③∵均为自然数，且，
∴均从最小的数取起，则，，，，，（舍去），
∴，
当时，，是单项式，不符合题意；
当时，，
∵是多项式，
∴，
∴时，可取2、3、4，有3个；
时，可取3、4，有2个；
时，可取4，有1个；
故：当时，共6个；
当时，，
∴时，取1，可取2、4，有2个；取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个；
时，取2，可取4，有1个；取3，可取4，有1个；
时，可取3，可取4，有1个；
故：当时，共7个；
当时，，
只有，取1，取2，取3，这1种；
同理，当时，，
只有，取1，取2，取3，取4，这1种；
综上，共个，故③错误，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．设方程的另一个根为，得到，即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
10．7
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；由题意得，变形得；由根与系数的关系得，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m、n为方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：7．
11．
【分析】本题主要考查的是一元二次方程中的增长率问题，理解清楚题目意思是解决问题的关键，根据增长率算出2天后的票房为，由题目告知两天后的票房为2.44亿元，列出方程即
【详解】1天后票房为，2天后票房为，故列方程为．
故答案为：
12．0
【分析】本题主要考查了方程的解，以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据方程的解得到，利用根与系数的关系得到，最后代入式子求解，即可解题．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：0．
13．/0.6
【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
解得：，
即，
∴的最小值为，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．设方程的一个根为，则是方程的一个根，得到①，②，利用加减消元法即可求解．
【详解】解：设方程的一个根为，则是方程的一个根，
∴①，，即②，
得，
解得或，
当时，代入①，得，不符合题意，舍去；
当时，代入①，得，
得；
综上，；
故答案为：．
15．
【分析】由题意，结合两个三角形全等的判定定理得到，从而，，由正方形与矩形面积相等，可知，再根据与的面积之比为，设，，则，利用相似三角形的判定与性质得到、，设，则，，由勾股定理求出正方形边长，进而正方形与矩形面积相等，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在正方形中，，，则，
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，，
正方形与矩形面积相等，
，
与的面积之比为，
设，，则，
，
，
，
，则；
，
，
，则；
设，则，，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
，
，
正方形与矩形面积相等，
，即，
，解得或，
在正方形中，当点与点重合时，是等腰直角三角形，则由可知，此时，
当点在边上时，，即，解得，
取，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查结合综合，综合性强，难度非常大，涉及正方形性质、矩形性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识．根据题意，灵活选用相关几何性质，利用三角形面积比，结合三角形相似的判定与性质表示出相关线段长度是解决问题的关键．
16．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可，
【详解】解：过作轴于，如图，
是等腰直角三角形，
是的中点，且，
设，则，代入反比例函数解析式，
得，
解得，
，
，
同理，过作轴于，则是的中点，，
设，则，代入反比例函数解析式，
得，
解得，（负值已经舍去）
，
同理可得，……，，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先计算括号内分式加法，再将除法化为乘法计算，直至化为最简分式；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，再代入（1）中化简的结果，即可求值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴．
将其代入（1）得：．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式化简和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
（1）A括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）利用因式分解法求出方程的解，结合分式有意义的条件，再代入化简后的代数式中计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
∴，
解得：，，
∵分式有意义，
∴，，
∴当时，
原式．
19．(1)见解析
(2)矩形的长为，宽为
【分析】（1）通过图形对称的性质结合三角形中位线定理可得，利用直角三角形斜边上的中线定理得，推出，再通过等腰三角形的性质“三线合一”可得，即可求证；
（2）根据题意可得，解一元二次方程得，通过三角形的中位线定理得，即可求解矩形的长和宽．
【详解】（1）证明：，，
，
，两点关于对称，
，，
，
为的中点，
，，，
，，
，是等腰直角三角形，且，
，
，
为的中点
，
，
四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：，
，
，，
，解得：或（负值，舍去），
，
由（1）得：，
，
矩形的长为，宽为．
【点睛】本题主要考查了图形对称的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题关键．
20．(1)6
(2)5.6秒
(3)不正确，见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，因式分解法求一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，把代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，把代入，得，即可作答．
（3）把代入，得最大高度是，不可能是，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
当时，则，
解得，
故小球从发射到落回地面需要．
故答案为：6
（2）解：∵，
当时，，
∴，
∴，
解得，
则两次间隔的时间差为．
（3）解：不正确．
理由如下：
∵，
当时，，
∵，
∴开口方向向下，在时，则，且为最大高度，
即当时，小球的最大高度是，不可能是．
21．（1）35（2）（３）195
【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律．
（1）根据图例得出规律即可解答；
（2）根据图例得出规律即可解答；
（3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解．
【详解】解：（1）图⑤中共有小正方形的个数为，
故答案为：35；
（2）图中共有小正方形的个数为，
故答案为：；
（3）根据题意得，
整理得，，
解得或（舍去），
∴，
所以，该物体在第（）次测量时移动了195米．
22．(1)；
(2)当销售单价是57元时，网店每天获利8910元；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程．
（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可；
（2）根据每日销售利润为8910元，列出方程，解方程即可；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴，
∴．
即，其中．
（2）根据题意，得，
解得，
，
，
答：当销售单价是57元时，网店每天获利8910元；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，
则
对称轴为
，
，
当时，随的增大而增大，
时，取得最大值，
，
解得．
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