备战2026年中考数学：多边形压轴题精选练习（含解析）

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备战2026年中考数学：多边形压轴题精选练习
1．【问题提出】
如图1，已知，与交于点C，，若，则 ；
【问题探索】
如图2，将绕点A逆时针旋转一定角度得，连接，．求证：；
【问题解决】
某旅游度假山庄准备开发一块四边形用地，将其设计为“种植体验园”．如图3，已知四边形用地中，，，，点E在边上，且于点E，其中为“蔬菜种植体验区”，四边形为“果树种植体验区”，为了增强游客的体验感，在园区内铺设三条“观光主干道”（道路宽度忽略不计），三条观光主干道围成，点F在边上，满足，米，点G为边中点，按照设计要求，主干道要尽量长，求最大值．
2．已知平分，且．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在、之间，连接、，交于点，使．求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，在线段上取一点，连接，使，过点作交于点，交于点，使得，连接．若，三角形的面积为6，求的长．
3．（1）已知：如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点D，使得，，求的度数．小明通过挖掘已知条件，获取，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小明的思路完成解答，求出的度数．
（2）借鉴小明做题方法给予我们的启示，完成下题．
如图2，中，，E、M为边上的两点，连接使，作，若，试判断的数量关系并证明．
（3）在（2）的条件下，若，设，试判断三条线段的数量关系（用含k、m、的式子表示）．
4．提出问题：
（1）如图①，在中，，，，则___________；
探究问题：
（2）如图②，在等边中，是边高线上一点，在线段上，满足，连接，为的中点，线段与互相平分，连接，，，．
①猜想：与的数量关系是_____________，位置关系是______________；
②将图②中等边内的绕点逆时针旋转一个角度，如图③所示．请问上述结论是否成立？请给出证明；
解决问题：
（3）在（2）—②的条件下，若，请问在转动过程中周长有无最大值？如果有，请求出周长的最大值及此时的长度；如果没有，请说明理由（仅以图③情形为例，推理证明）．
5．综合与探究
如图1，在平行四边形中，，P是边上的一动点，连接，将绕点P顺时针旋转α，得到，连接．
(1)①求证：．
②若四边形为菱形，延长至点M，使得，连接．求证：．
(2)如图2，若四边形为正方形，，连接，则的值是否是该定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，已知点，点，点B在y轴正半轴上，且，绕着O顺时针旋转，得，点A、B旋转后的对应点为，，记旋转角为．
(1)如图1，恰好经过点A时，求此时旋转角的度数，并求出点的坐标；
(2)如图2，若，设直线和直线交于点P，求证：；
(3)若，求（2）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
7．小明同学在进行四边形大单元整合知识时，试图用“特殊到一般”的思想方法研究四边形的边长与对角线的关系，下面是他的探究过程．
【观察发现】
（1）如图，正方形的对角线长为m，则______（用含m的代数式表示）；
【操作探究1】
（2）如图，菱形的对角线长为m，长为n，则______（用含m，n 的代数式表示）；
【操作探究2】
（3）如图，在中，对角线长为m，长为n，猜想的值并说明理由（用含m，n的代数式表示）；
【拓展应用】
（4）在（3）的条件下，设与交于点O，若，，M为边上一点（不含点B），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，当点落在边上时，请直接写出的长．
8．数学活动课上，萱萱同学将大小两个正方形的顶点C重合，按如图的方式摆放，使B、C、E在同一直线上．边与边重合，连接．
(1)初步探究：如图1，连接交于H，连接．她猜测，请证明她的猜想是正确的．
(2)大胆尝试：如图2，将正方形绕点C转动，当点D在上时，交于点N，连接，她通过测量发现，请证明她的结论；
(3)拓展延伸：如图3，将正方形继续绕点C转动，当B、C、F在同一直线上时，取的中点P，连接，若，，求的面积．
9．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：．
阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整．
理由：因为
所以，
所以（①______）
又因为
所以（②______）
（2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F．
①如图2，点D在线段上，试说明：；
②如图3，点D在线段延长线上，若，则______；
③连接，若，的面积为4，直接写出的面积．
10．【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得．
【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______．
【类比】
请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且．
（2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）连接，求线段的最小值；
（4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围．
11．（1）如图①，在矩形中，，，点是矩形内部一点，且满足，则点到的最小距离为________；
（2）如图②，在中，过点作于点，作于点，过点作于点，若四边形的面积为，，求的长；
（3）如图③，小明家有一个边长为10米的正方形空地，点为边上一点且米，小明计划在边上任取一点，以为边在上方修建一个面积为16平方米的矩形草莓种植大棚（即为矩形且面积为16平方米），同时计划利用区域种植葡萄，剩下区域栽种花卉和草坪，由于近几年葡萄的销量不好，所以小明计划在不改变草莓种植面积的条件下，减少葡萄种植区域的面积，请你帮助小明计算出当葡萄种植区域面积最小时的长为多少．
12．问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查．
(1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明；
(2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长；
(3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积．
13．将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立．
(1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）；
(2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G．
①如图①，求证：是等腰直角三角形；
②如图②，连接，求证：平分；
③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积；
(3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______．
14．问题情境：
在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．操作探究：
(1)如图1，若点落在边上，则四边形的形状是______；
(2)若点落在矩形内部．
①如图2，过点作，垂足为，交于点，连接请判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，为边的三等分点，且点在点的左侧．连接并延长，交边于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，，，若，请直接写出的长．
《备战2026年中考数学：多边形压轴题精选练习》参考答案
1．【问题提出】；【问题探索】见解析；【问题解决】米
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的正切函数等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
问题提出：由，可得，得，若，即可求出长；
问题探索：由旋转可推出∠DAE＝∠BAC， ，， 即， 进而可证得结论；
问题解决：延长，交于点Q，取的中点M，作，且，过点N作于H，连接，，，，，利用平行线分线段成比例可得出，，再证得，设正方形的边长为a，则，，再利用，可得，，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：问题提出：如图1，，，
，
，
，
，
故答案为：；
问题探索：如图2，将绕点A逆时针旋转一定角度得，
，，，
，
即，
，
；
问题解决：如图3，延长，交于点Q，取的中点M，作，且，过点N作于H，连接，，，，，
， ，
∴，
，
，
，
M是的中点，
，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
，，
是的中点，，
，
，
点G为边中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为a，则，，
，
，
∵，
∴，
即，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
（当且仅当F，N，G三点共线时取得等号），
的最大值为米．
2．(1)见解析
(2)见解析
(3)1.2
【分析】（1）由角平分线的定义可得，从而得到，即可得证；
（2）过点作，则，由平行线的性质可得，，再由，，得到，即可得证；
（3）设，，由平行线的性质及三角形内角和定理证得，从而得到，设，，则，由得到，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：是角平分线，
，
，
，
；
（2）证明：过点作，

由（1）得：，
，
，，
，，
，
平分；
（3）解：设，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作直线，
，，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
解得：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
3．（1）；（2），证明见解析；（3），理由见解析．
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，证明，结合全等三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和定理求解，即可解题；
（2）作的角平分线，交于点，结合角平分线定义，证明，得到，再证明，最后结合相似三角形性质即可推出的数量关系；
（3）利用（2）中条件，得到，进而得到，过点作于点，过点作于点，证明，结合相似三角形性质推出，利用解直角三角形推出，据此建立等式并整理，即可解题．
【详解】解：（1）为等腰直角三角形，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
，
；
（2）证明：的数量关系为，
作的角平分线，交于点，
则，
，
，
，，
，即，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
由（2）可知，，
即，
，
，
即，
整理得：，即，
，
，
，即
过点作于点，过点作于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
整理得，，
则，
，
同理可得，
，
，即，
，
整理得．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，相似三角形性质和判定，解直角三角形，解题的关键在于灵活运用相关知识．
4．（1）；（2），；②见解析；（3），
【分析】（1）已知中两边的长度以及的度数，过点作于点，构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理求出的长度；
（2）通过观察图形，结合已知条件，利用等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质来猜想并证明与的数量和位置关系．对于旋转后的情况，依然通过证明，得出对应边和对应角的关系，从而判断与的关系是否成立；
（3）根据（2）中得到的与的关系，将的周长转化为与与相关的表达式，再根据点运动情况，分析取最大值时的情况，进而求出周长的最大值及此时的长度．
【详解】解（1）如图：
过点作于点．
在中，，，
根据所对的直角边等于斜边的一半，可得．
再根据勾股定理，．
在中，根据勾股定理可得．
（2）①猜想，．
证明：如图，连接，
是等边三角形，
，，
是边高线上一点，
所在直线垂直平分，，
，
又，
则
由于线段与互相平分，
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
则，
即
是等边三角形
为的中点，
，
，
在中，
②结论仍然成立，理由如下：
如图所示，延长，使，连接，，延长交于点．
，
四边形是平行四边形
，
是等边三角形
，且
∠NAC=∠CBE
则，
即
是等边三角形
为的中点，
，
，
在中，
（3）
即点在以为圆心，4为半径的圆上，如图所示
最大值为，此时周长有最大值，
由（2）可知
【点睛】本题主要在旋转的背景下考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含直角三角形的边的关系，勾股定理等知识点，属于综合类题目，掌握这些知识点灵活运用是解题关键，还要注意分清旋转过程中的变量与不变量．
5．(1)①见解析；②见解析
(2)的值是定值．
【分析】（1）①由平行四边形的性质可得，则；根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理可得即可证明结论；②由线段的和差以及菱形的性质可得，再根据三角形的外角的性质以及等量代换可得，易证可得，结合即可证明结论；
（2）如图，延长至N，使，连接、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，如图：延长交于E，则，易得，最后由勾股定理得出，进而完成解答．
【详解】（1）解：①∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∵将绕点P顺时针旋转α，得到，连接，
∴，，
∴．
∴；
②∵，
∴，即，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵是的外角，，
∴，即，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：的值是定值．
如图，延长至N，使，连接、，
在与中，
，
，
，；
，
∴是线段的线段垂直平分线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
∵四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
∵
；
如图：延长交于E，则，
，
，
四边形内角和为，，，
在中，，
，即
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判的性质，菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
6．(1)；；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据点，点，，求解点B的坐标，确定，证明是等边三角形，得旋转角；如图，过作轴于C，证明是的直角三角形，可得的坐标；
（2）依据旋转的性质可得，即可得出，再根据，四边形的内角和为，即可得到，即；
（3）取的中点，连接，可得点P在以点M为圆心，以为半径的圆上，即可得到当轴时，点P纵坐标的最小值为．
【详解】（1）解：∵点，点，，
∴，
由旋转得：
∴是等边三角形，
∴，
如图，过作轴于C，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，∵，
∴，
∵，四边形的内角和为，
∴，
；
（3）解：点P纵坐标的最小值为．
理由是： 如图，取的中点M，
，
则 连接MP与轴交于点，
∴点P在以点M为圆心，以为半径的圆上．
∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标最小值，
∵，，
∴，
∴点P纵坐标最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，四边形内角和以及圆周角定理的综合运用，锐角三角函数的应用，解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心，以为半径的圆．
7．（1）；
（2）；
（3），理由见解析
（4）或
【分析】（1）由正方形性质得，，即得；
（2）设交于点O，根据菱形性质得，，由，即得；
（3）分别过点A，D作于点E，的延长线于点F，则，根据平行四边形性质得，得，得，得，，设，，根据 ， ， ，得，即得；
（4）过点A作于点G，根据，，得，得，得，根据，，得，当点在上时，，得，可得；当点在上时，连接，设交于点H，根据，，得，得，得四边形是菱形，得，得．
【详解】（1）解：∵正方形的对角线长为m，，
∴，
故答案为：；
（2）解：设交于点O，
∵菱形的对角线长为m，长为n，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：分别过点A，D作于点E，的延长线于点F，
则，如图所示：
∵在中，对角线长为m，长为n，，
∴，
∴，
∴，，
设，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
（4）解：过点A作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
当点在上时，
由折叠知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
当点在上时，
连接，设交于点H，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了四边形综合．熟练掌握正方形性质，菱形性质，平行四边形性质，轴对称性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，先证明得到，再证明得到，进而得到，再根据等角对等边可得结论；
（2）作交于点M，证明得到，利用等腰三角形的性质可得结论；
（3）延长交于点K，连接，先证明得到，，利用勾股定理求得，再证明得到，，进而证明，再利用等腰直角三角形的性质求得 ，，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形和四边形都是正方形
∴，，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴∠
∴；
（2）证明：作交于点M，
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，又
∴；
（3）解：延长交于点K，连接，
∵P为中点
∴
∵
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，又，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键．
（1）根据等角的余角性质和“”求解即可；
（2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可；
②证明得到，，进而求解即可；
③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：（1）因为
所以，
所以（同角的余角相等）
又因为
所以；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
又∵
∴；
②∵，，
∴
∴
∴
又∵
∴，
∴，，
∴；
③当点D在线段上时，如图2，连接，
∵，的面积为4，
∴，
设，，
∵，
∴，，，
∴，则，
∴；
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴不满足，故不符合题意，舍去；
当点D中线段的延长线上时，如图4，连接，
同理可证，
∴，
设，，
∵，
∴，，，
∴，则，
∴，
综上，的面积为8或16．
10．（1）
（2）见解析.
（3）的最小值.
（4）长的范围是
【分析】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、尺规作图、几何图形最值问题（面积最值、线段最值）及矩形的性质，解题的关键是将角度条件转化为圆周角与圆心角的关系，利用圆的性质确定点的轨迹，结合几何图形特征计算最值和范围．
（1）①由圆周角定理得；②利用等腰直角三角形性质求半径；③确定P在中垂线上时面积最大，计算高的长度得面积最大值．
（2）①以为圆心，长为半径画弧交于圆心O（构造）；②以为圆心画圆，交矩形两边得弧，弧上点即为 Q．
（3）①计算圆心O到点D的距离；②利用圆外一点到圆上点的最短距离公式，得最小值半径．
（4）①将面积最小值转化为的最小值，结合圆的半径和勾股定理得；②确定H点位置范围，得出的范围为．
【详解】（1）分别为的圆心角和圆周角，
∴
所在的圆的半径长
当点P在的中垂线上时，面积的最大，
延长交于点G，则，在等腰中，，
则
∴
则面积的最大值
故答案为：．
（2）分别以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，长度为半径作圆O，分别交于点，则上的任意点即为点Q；
（3）当点共线时，最小，连接，过点O作，作于点G，作于点T，由（2）知，，
∴
∴
∴，而圆的半径为4，
则的最小值．
（4）∵的面积
∴而则，
∴
则
即若的面积的最小值为
则长的范围是．
11．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，利用矩形的性质与判定得到，利用直角三角形的斜边上的中线的性质得到，利用可得当点，，三点在一条直线上时，取得最小值为2；
（2）利用平行四边形的性质，矩形的判定定理和直角三角形的全等的判定定理得到，则，再利用平行四边形的面积公式解答即可得出结论；
（3）过点作于点，过点作，交于点，交于点，设，则，利用勾股定理表示出线段，利用相似三角形的判定与性质求得. 利用配方法求得的最大值；利用三角形的面积公式可得当边上的高最小时，的面积最小，则葡萄种植区域面积最小，由此求得的值，再利用解答即可．
【详解】解：（1）取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，如图，
则，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
点是矩形内部一点，且满足，
点在以为直径的圆上运动，
，
，
当点，，三点在一条直线上时，取得最小值为2，
点到的最小距离为．
故答案为：；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵平行四边形的面积，
∴，
∴．
∴；
(3) 过点作于点，过点作，交于点，交于点，如图，
设，则，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
,
,
∴当时，即时，取得最大值为，
∴的最大值为，
∴的最小值为，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由于的底边，
∴当边上的高最小时，的面积最小，
∴当的最小值时，即时，
葡萄种植区域面积最小，此时（米），
∴当葡萄种植区域面积最小时的长（米）．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，圆的有关性质，两点之间的距离，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，配方法，二次函数的性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论；
（3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于，于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
设，则，，
，解得，
，
在中，，，则，
；
（3）解：延长到，使，连接，如图所示：
在四边形中，，，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形．
四边形的面积的面积．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键．
13．(1)6，6；3，0
(2)①详见解析；②详见解析；③；
(3)6
【分析】（1）由算术平方根的意义可得出，则可得出答案；
（2）①取的中点K，连接，证明（），由全等三角形的性质可得出；
②延长，并在延长线上截取，连接，证明（），由全等三角形的性质得出，证明（），可得，即可得到平分；
③由全等三角形的性质可得，同理可得，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案；
（3）由可证，可得，则，即当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵实数a，b使式子，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：6，6，3，0；
（2）①证明：取的中点K，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，K为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴是等腰直角三角形；
②证明：延长，并在延长线上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴（），
∴，
由①知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∴平分；
③∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
解得，
∴，
∴；
（3）在上截取，连接，
∵，
∴（），
∴，
∴，
∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．(1)正方形
(2)①四边形BEMF为菱形，理由见解析；②，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，再由，即可证明四边形为正方形；
（2）①根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论；
②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论；
（3）根据矩形的性质得到，，，根据折叠根据折叠的性质得到，，，过点作，如图所示：求得，根据矩形的性质得到，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
根据折叠可知：，，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
故答案为：正方形；
（2）解：①四边形为菱形；
理由如下：
根据折叠可知：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形；
②；
理由如下：
，为边的三等分点，
，
根据折叠可知：，，
，
，
，
，
，
矩形中，，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
（3）解：四边形为矩形，，，
，，，
根据折叠可知：，，，
过点作，如图所示：
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
设，
则，
根据勾股定理得，即，
解得，
即．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，涉及折叠性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
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