备战2026年中考数学：二次函数精选练习（含解析）

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备战2026年中考数学：二次函数精选练习
一、单选题
1．已知抛物线（，，为常数，）经过点，开口向下，对称轴为直线．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　）
x … 1 2 …
y … c 0 m …
A．
B．
C．关于x的方程的两个根分别为
D．
3．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．小明同学利用计算机软件绘制函数图象，判断点（m为任意实数）与抛物线（a为常数，）的位置关系，则点P一定不在抛物线上的点的个数是（ ）
A．只有1个 B．只有两个 C．只有3个 D．3个以上
5．下列函数中，值随值的增大而增大的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，中，，，．点从点沿线段向运动，点先从点沿线段运动，到达点后，再沿线段向运动，点和到达点后就停止运动．当点运动的路程为时，点运动的路程为，则在运动过程中面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点．在此过程中的面积与运动时间的函数关系大致是（　　）
A． B．
C． D．
8． 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知．若，则的取值范围是 ．
10．已知，两点都在抛物线上，那么 ．
11．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
12．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为 ．
①； ②； ③；④；⑤时，
13．已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ．
14．“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处．如图，人站在离水面高度的位置，当鱼饵被抛出后，鱼竿所在的位置为直线，此时鱼线形成的图象近似的看成抛物线，若点C到y轴的距离为，则鱼线落在水面上的点到点A的水平距离 ．
15．如图，在中，，，，点在上，点在上，且，将沿着折叠得到，使点和点分布在的异侧，记与的交点为M、N，当四边形的面积最大时，的长是 ．
16．若二次函数 图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．若是的伴随函数，则 ；若函数的伴随函数与x轴两个交点间的距离为4， ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)若，求a的值；
(2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由．
19．已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上位于直线上方的一点，连结．
①如图1，过点P作轴交于点D，交x轴于点E，连结．设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；
②如图2，已知，求点P的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
21．点茶是宋代传统文化技艺．倒茶时的情景（图1）可以抽象为平面图形（图2），并建立平面直角坐标系．已知图中茶壶的壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点，曲线与倒出的茶水可视作在同一条抛物线上．若点所在直线与轴（桌面）平行，且茶碗边沿（厚度忽略不计）点与壶口点所在直线垂直于桌面．已知线段，线段，壶柄与竖直方向的夹角为．茶碗的直径为，高度（含底部碗托）为．已知图2中，点距桌面的高度时，茶水恰好落在茶碗水面中心点．
(1)求点距桌面的高度；
(2)求抛物线的解析式；
(3)为练习点茶技术，小华手持茶壶稳稳向上提起（视作向上平移），要使茶水完全落在茶碗内，求移动过程中点处距桌面的高度的取值范围．
22．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线，交轴于两点，交轴于点．
(1)求的长；
(2)如图，、为第一象限抛物线对称轴右侧两点，连接交轴于，连接交轴于，设的横坐标为，的横坐标为，请用含的式子表示的长；
(3)在（）的条件下，如图，过作轴于，延长、交于，连接，作的角平分线交轴于，若，，，求的值．
《备战2026年中考数学：二次函数精选练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C A A C B
1．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据对称轴，可知，结合该抛物线过，可知，从而知道，判断出A；可知该抛物线与轴的另一个交点是，将其代入抛物线可判断C，根据抛物线与轴的交点个数，可判断B，从开口向下以及对称轴，可判断时，抛物线取得最大值，可判断D，从而得出答案．
【详解】解：开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
过，对称轴为直线，
当时，，
，故C错误；
过，，
，
，
，
，
，故A错误；
过，，
，故B错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，取最大值，
，
，故D正确；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
【详解】解：，
∵，
∴二次函数图象与y轴正半轴相交，
∴当时，；
∵当时，，
∴二次函数的对称轴为，即，
∴，故选项D正确，符合题意；
∵二次函数图象过点，
∴函数的大致图象为：
∴二次函数图象开口向下，
∴，故选项A错误，不符合题意；
∵二次函数图象过点，开口向下，
∴当时，，
∴，故选项B错误，不符合题意；
∵二次函数的对称轴为，函数图象过点，
∴二次函数过x轴的另一个交点为，
∴的两个根分别为，故选项C错误，不符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】此题考查了二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可．
【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①不正确；
∵二次函数的图象经过点，，
∴对称轴为直线，，
∴，，故②正确；
∴当时，图象有最高点，即函数最大值为，
∴当时，，
∴，故③不正确；
∵对称轴为直线，开口向下，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确；
∴正确的为②，共1个，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查二次函数上点的坐标，把代入得到，
根据方程解得情况解答即可．
【详解】解：把代入得到：
，
当且时，a不存在，
即或时，点P一定不在抛物线上，
当时，，则，不符合题意，
即时，点P一定不在抛物线上，
故答案为：C．
5．A
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，∴当时，的值随值的增大而增大，故本选项符合题意；
B、，在每一象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，，故本选项不符合题意；
D、，，的值随值的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，二次函数的应用，根据题意先求得，设运动过程中面积为，分点在上运动，分别求得到的距离，进而根据三角形的面积公式得出与的函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：中，，，
∴，
∵当点运动的路程为时，点运动的路程为，
设运动过程中面积为，
当，即时，在点在上运动，
如图，过点作于点
∵
∵
∴
∵
∴，
∴当，取得最大值，最大值为
当，即时，在上，
如图，过点作于点
∵，，
∴，
∵对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∴在运动过程中面积的最大值为，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，二次函数图象的识别，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，过点A作于T，连接，可证明是等边三角形，得到，，再证明是等边三角形，得到，证明，得到，则可证明是等边三角形，进而可求出，当时，，则，当时，，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于T，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，同时点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
当时，，则，
当时，，则，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围．
【详解】解：如图，
当时，，解得，，则，，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，运用二次函数求最值是解题的关键．
先求出的取值范围，再将化为，再利用二次函数的性质求解最值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，
则，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当，，
当；，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．2
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
由题意知，、是的两个根，结合根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵，两点都在抛物线上，
∴、是的两个根，
∴，
故答案为：2．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．②③④⑤
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
根据对称轴位置及图象开口向上可判断出的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由推出，，得到，即可得到，可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于点在轴的负半轴，
，
，
故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，
，
故结论②正确；
，
，
，
，
，
故结论③正确；
对称轴为直线，
函数的最小值为，
，
，
故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线，
∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1，
∵当时，函数值；当时，，
∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若点，均在对称轴的右侧，
此时，
∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，
∴当时，，
∴，即，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
即，
此时；
若点，均在对称轴的两侧，则
，
即；
综上所述，的取值范围是．
故答案为：
14．10
【分析】根据题意，得，代入解析式，确定，得到解析式，根据，得到，代入解析式得到（舍去），解答即可．
【详解】解：根据题意，得，代入解析式，
解得，
故一次函数的解析式，
当时，
，
故点，
把代入解析式，
解得（舍去），
故抛物线的解析式为，
当时，
，
解得，
故鱼线落在水面上的点到点A的水平距离．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，点到坐标轴的距离意义，解方程，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了折叠的问题，涉及解直角三角形的相关计算，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据折叠的性质以及平行线的性质得到，，由，得到，那么设，则，，继而，，由建立二次函数模型，求最值即可．
【详解】解：如图：
∵翻折，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
整理得：
如图，点C恰好超过点落在直线上，
∵点和点分布在的异侧
∴
又x长度不超过长度：，
∴
∴，
又，
∴当时，四边形的面积最大，即，
故答案为：．
16．
【分析】先求出二次函数的顶点坐标，再把求得的顶点坐标代入一次函数解析式求得p；根据函数与x轴两个交点间的距离为4，列出n的方程求得n，再求出二次函数的顶点坐标，再将其顶点坐标代入一次函数解析式中求得m，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴其顶点坐标为，
∵是的伴随函数，
∴在一次函数的图象上，
∴，
∴；
设函数与x轴两个交点的横坐标分别为，，则，，
∴，
∵函数与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
解得，，
∴函数为：，
∴其顶点坐标为，
∵是的伴随函数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题是一个新定义阅读题，主要考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，求二次函数与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，关键是根据新定义，求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数中便可得结果．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
（1）利用待定系数法将点代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出，根据根与系数的关系可得出的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
，
；
（2）解：由（1）得，二次函数对称轴为，开口向上，
∴当时，的最大值为，
y的最小值为，
∴的最大值与最小值的差为；
（3）解：由题意及（1）得，
整理得，
即，
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
，
化简得，
即，
解得，
∴为方程的两个解，
又∵，
，
即，
，
综上所述，m的取值范围为．
18．(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．
（1）直接将代入计算即可；
（2）先由求出，，，设对称轴为直线，则，计算得到，再分别判断每个因式的正负即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
设对称轴为直线，
则，即，
∵点和是抛物线上的两个点，
∴
∵，
∴，
即
，
∵，，
∴，，
即，
∵，，
∴，
即．
19．(1)
(2)①当时，S有最大值为6；②．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数综合的面积问题、直线与二次函数图象交点坐标求法等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
（1）运用待定系数法解答即可；
（2）①先求出B的坐标，然后再运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，然后表示出S与m的函数关系式，最后运用二次函数的性质求最值即可；
②在上截取，则可得，再说明，然后运用待定系数法求得直线、的解析式，再与抛物线解析式联立确定P点坐标．
【详解】（1）将代入抛物线得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）①令，解得，，
，
设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
直线的解析式为．
点P为抛物线上位于直线上方的一点，可设，
则，，，
，
，
，
，，
当时，S有最大值6 ．
②在上截取，如下图所示：
又，
垂直平分，
，
，
，
又，，
，即，
，
，
设直线的解析式为，
代入点，得，
解得，
直线的解析式为，
，
可设直线的解析式为，
代入点得，，，
直线的解析式为，
解方程，得，，
当时，，
点P的坐标为．
20．(1)点A的坐标为，该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点，此时点的坐标为
(3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式，再令求出点A的坐标即可；
（2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标；
（3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，
把，代入中，
得解得
该抛物线的函数表达式为．
当时， ，解得或，
∴点A的坐标为；
（2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图，
四边形为菱形，，
，且，
，即点的纵坐标为．
由，得，（不合题意，舍去），
故存在这样的点，此时点的坐标为．
（3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图，
设点的坐标为．
，，，
，，，，
，
∵，，
当时，S有最大值，最大值为32，此时，
此时点的坐标为，
即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，二次函数的解析式、平移及实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）延长交轴于点，由及，可得，，又因为，进而求出长即可得出答案；
（2）分别求出，，得出抛物线的对称轴是直线，再利用待定系数法，设抛物线的解析式为，将点、点代入解析式求出、的值，即可得出答案；
（3）设抛物线向上平移个单位，设茶碗边沿点对面的点为，当平移后的抛物线过点时，得，结合题意，从而得出，由的原始高度为，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，延长交轴于点，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
点距桌面的高度为；
（2）由题意：，，
，
，
，
抛物线的对称轴是直线，
茶碗的直径为，高度（含底部碗托）为，
，
设抛物线的解析式为，
将点、点代入解析式得：
，即，
解得：，，
抛物线的解析式为；
（3）设抛物线向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为，
如图所示，设茶碗边沿点对面的点为，
茶碗的直径为，点，
点，
根据题意，当平移后的抛物线过点时，
得，即，
要使茶水完全落在茶碗内，，
的原始高度为，则，
，
则移动过程中点处距桌面的高度的取值范围为．
22．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值；
（3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．
【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
∴，
∴；
（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t，
令抛物线解析式的，得到，
解得，，
∴A的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，得
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点Q的坐标为，
∴
，
∴当时，有最大值，
∴面积的最大值为；
（3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设N点坐标为，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
23．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）令，则，得出，，然后利用两点间的距离即可求解；
（）过作轴于，过作轴于，则有四边形为矩形，所以，故，即有，得，整理得，同理可得，然后通过即可求解；
（）在上取一点，使得，连接，过作于交于，证明，通过计算可得∴，所以，设，由，则，，通过，则有，即，解得，（舍去），故有，，，由（）设，则，，由勾股定理得，即，解得，所以，然后代入得，，解得．
【详解】（1）解：∵交轴于、两点，
∴令，则，
解得，，
∴，，
∴；
（2）解：过作轴于，过作轴于，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
（3）解：在上取一点，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
设，
∴，
又∵，
∴，
∴，
过作于交于，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴，，，
由（）设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
代入得，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
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