备战2026年中考数学：二次函数压轴题精选练习（含解析）

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备战2026年中考数学：二次函数压轴题精选练习
1．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于A，B两点，点A在点左侧，点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D、F在抛物线上，点的横坐标为,点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点．过点作轴的垂线交直线于点．
①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标；
②如图3，连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗 若是，请求出来；若不是，请说明理由．
2．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F．
①求的边上的高的最大值；
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线经过点A，B．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求直线的函数解析式；
(3)P是x轴上方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点Q，设点P的横坐标为，的长为L．求L关于m的函数解析式，并写出m的取值范围．
4．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与直线交于点
(1)直接写出a、b、k的值；
(2)取点，在抛物线第一象限上取点P，使，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过y轴正半轴上一点P的直线与抛物线交于M、N两点，直线、与抛物线只有一个交点，连接，若存在点Q使得恒成立，求P点坐标．
6．如图，已知抛物线，与轴交于点和，点在点的左边
(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标；
(2)求的正弦值；
(3)若点在轴上使为等腰三角形，请直接写出点坐标．
(4)在抛物线上是否存在点，使与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当线段长度最大时，求点的坐标；
(3)如图2，是否存在点，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点．交轴的负半轴于点．且．
(1)求的值：
(2)如图1．点在线段上，点在的延长线上，，点在第四象限内，若，，求点的坐标：
(3)如图2，在（2）的条件下，点在第四象限的抛物线上，射线交轴于点，线段交于点．若，，求点的坐标．
9．平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B（点B在点A的右侧），且．直线分别交抛物线于点M、N（点M在点N的右侧），与x轴交于点E．
(1)求a的值和点E的坐标；
(2)如图1，当时，点P为抛物线上x轴上方的动点，若，求点P的横坐标n的取值范围；
(3)如图2，，轴于点F，连接，，当平分时，求b的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于， 两点，与轴交于
(1)求抛物线的表达式；
(2)是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点及原点，点为平移后新抛物线上一动点，已知点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
13．如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求m的值．
(2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，．
①求的正切值．
②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值；
(3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值．
《备战2026年中考数学：二次函数压轴题精选练习》参考答案
1．(1)
(2)①四边形面积的最大值为2，此时点D的坐标为；②与的面积之和是定值为2.
【分析】（1）根据可得，利用待定系数法求解即可．
（2）①先利用待定系数法求出直线的表达式为，由点D、F在抛物线上，点M、N在直线上，可得，，，，由，可得，再根据顶点坐标公式即可求得四边形面积的最大值为2，此时点D的坐标为；
②将与的面积用含有m的式子表示出来再求和，即可得到结果．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵．
∴，
∴，
将，代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：由得，
，，
∴，．
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴直线的表达式为．
∵点D、F在抛物线上，且点的横坐标为．点的横坐标为．
∴点的纵坐标为，
点F的纵坐标为，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴点M的横坐标为．点N的横坐标为．
∵点M、N在直线上，
∴点M的纵坐标为，
点N的纵坐标为，
∴，，
∴，
，
∴
，
对称轴为，开口向下，
∵，
∴当时，，
此时，D点的坐标为．
②与的面积之和是定值，理由如下：
∵
，
，
∴，
∴与的面积之和是定值，为2．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握二次函数的性质，以及数形结合的思想是解题的关键．
2．(1)
(2)①；②存在，，．
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可．
（2）①求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案；②分和两种情况进行求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）①设直线的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为：．
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，如图，
设点E为，则，
则，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②存在．
∵
∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
当时，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴点F的纵坐标为3，把代入，
得，
解得，（舍去），
当时，，
∴．
当时，如图：作于点G，
则，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴．
综上所述，符合条件的点F的坐标为，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
3．(1);;
(2)
(3)
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、一次函数解析式的求解以及动点问题中线段长度的函数表示，解题的关键是利用坐标关系确定点的坐标，结合平行线的性质转化线段长度为坐标差的绝对值，并根据动点位置限定自变量的取值范围．
（1）通过抛物线与x轴、y轴交点的坐标特征或直接求解的坐标；
（2）利用待定系数法，将A、B两点坐标代入直线解析式求解参数k和b；
（3）根据平行于x轴的性质确定Q点坐标，通过横坐标差的绝对值表示长度，
结合P在ⅹ轴上方的条件确定m的范围，化简得到分段函数解析式．
【详解】（1）解：对于抛物线
令，则，即，解得，．
∵点A在点C右边，∴，．
令，则，
∴．
故，，．
（2）解：设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，．
∴直线的解析式为．
（3）解：∵点P的横坐标为m，且在抛物线上，
∴．
∵轴，
∴点Q与点P纵坐标相同，代入直线解析式得：
，解得，即
的长．
∵P在x轴上方，抛物线时，且，
∴分两种情况：
当时，；
当时，．
∴
4．(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标是或或
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为，．
把点，代入抛物线，
得：，
解之，得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F，
设点E的坐标为，则点的坐标为，
∴．
∴．
∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为．
（3）解：存在．由抛物线
∴对称轴是直线．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，
∴点Q的横坐标为1．
①当为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或，
∴点P的坐标为或；
②当为对角线时，点到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或．
5．(1)，，
(2)
(3)P点坐标为
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）延长交x轴于点D，过点B作轴于点E，可证得，求得，运用待定系数法求得直线的表达式，再与二次函数表达式联立即可求得答案；
（3）设，直线的表达式为，，，，设直线的表达式为，直线的表达式为，根据直线、与抛物线只有一个交点，得出：，，过点Q作轴，过点M，N分别作的垂线，垂足分别为E，F，可证得，进而得出，即，再由直线与抛物线的表达式联立可得：，即可求得答案．
【详解】（1）解：设，把代入得：，
解得：，
∴，即，
，，
把代入得：，
解得：；
（2）解：延长交x轴于点D，过点B作轴于点E，如图1，
设，
又，
∴，，
∵，轴，
∴，
，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
设直线的表达式为，则，
解得：，
直线的表达式为，
联立得：，
解得：，，
点P的坐标为；
（3）解：设，直线MN的表达式为，，，，
将抛物线平移至顶点为原点，
平移后的抛物线表达式为，
设直线的表达式为，直线的表达式为，
将，代入，得，
解得：，
同理可得：，
直线与抛物线表达式联立得，
整理得：，
直线、与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
过点Q作轴，过点M，N分别作的垂线，垂足分别为E，F，如图2，
则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
又，
整理得：，
∴，
∴，
，
点坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6．(1)顶点坐标为
(2)
(3)点坐标为、、、
(4)点坐标为、、
【分析】本题考查了抛物线顶点坐标求解、三角函数值计算、等腰三角形存在性问题以及三角形面积相等的点的坐标求解．
（1）根据配方法将二次函数化为顶点式，即可求解；
（2）需先求出相关线段长度，再利用三角函数定义求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分情况讨论；
（4）利用面积相等的条件，结合抛物线方程求解．
【详解】（1）解：
所以顶点坐标为；
（2）解：令，则，所以，．
令，即，因式分解得，解得，．
因为点在点左边，所以，，．
根据勾股定理，．
根据正弦函数定义，．
（3）解：设，分情况讨论
情况一：当时，，
则，解得，
所以或．
情况二：当时，，
解得，
因为，所以．
情况三：当时，，
解得，所以．
综上所述，点坐标为、、、；
（4）解：因为与面积相等，所以点纵坐标的绝对值等于点纵坐标的绝对值．
当时，，即，
因式分解得，
解得或，
所以或．
当时，，即，
解得（与点重合，舍去）或，
所以．
综上所述，点坐标为、、．
7．(1)；
(2)M点的坐标为；
(3)存在，点E的坐标为．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形三边关系，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）求出直线的解析式为，设，则，，其中，可得，根据二次函数性质即可求解；
（3）过E作于H，设，则，其中，求出，，可证明是等腰直角三角形，故，，由，列式计算可得答案．
【详解】（1）解：把，，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，可得直线的解析式为，
设，则，，其中，
∴
，
∵，
∴当时，取最大值，
∴当线段长度最大时，M点的坐标为；
（3）解：存在点E，使得，理由如下：
过E作于H，如图：
设，则，其中，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴；
∴点E的坐标为．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，设，由此得到，由对称轴直线得到，联立方程组求解即可；
（2）如图所示，连接，可证是等腰直角三角形，，，四边形是正方形，由此即可求解；
（3）如图所示，延长到点，使得，连接，，，可得，设，结合题意得到，，过点作轴于点，则，则，即，设，由此即可求解．
【详解】（1）解：设，
∴，
已知抛物线，
∴对称轴直线为，即，
联立①②为方程组得，，
解得，，
∴，
把点代入抛物线得，，
解得，；
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得，，
∴抛物线解析式为：，
当时，，
∴，且，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴矩形是正方形，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长到点，使得，连接，
由（2）得到四边形是正方形，
∴，且，
∴，
∴，
设，
∴，，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
过点作轴于点，则，
∴，即，
∵点在第四象限的抛物线上，
∴设，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（舍去），，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合．掌握两点之间的距离，全等三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的计算，数形结合分析思想，合理作出辅助线是解题的关键．
9．(1)，
(2)当或时，
(3)4
【分析】（1）令，求出x的值，则可求A、B的坐标，然后结合，得出，解方程求出a的值即可；令，解方程，即可求出点E的坐标；
（2）先求出，，，令，设中上的高为h，则可求出，当P在直线左侧时，如图，过P作直线平行直线，过E作交直线于，过作轴于H，过M作轴于G，证明，求出，，得出，根据待定系数法求出直线l解析式为，联立方程组求出交点的横坐标，然后数形结合求解即可；当P在直线右侧时，利用类似方法求解即可；
（3）先求出，，结合（1）中，可求出，根据等边对等角得出，设与x轴相交于D，过D作交于H，过N作轴于G，根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，利用平行线的性质和等量代换可得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，证明，则
，得出，然后解方程即可．
【详解】（1）解∶令，
解得，
∴，，
又，
∴，
解得，
∴，
令，解得，
∴；
（2）解：当时，，，
∴，，
联立方程组，
解得或，
∴，
又，
∴，，
令，则，
设中上的高为h，
则，
解得，
当P在直线左侧时，如图，过P作直线平行直线，过E作交直线于，过作轴于H，过M作轴于G，
则，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
联立方程组
整理，得，
解得，，
结合图象知：当时，；
当P在直线右侧时，如图，过P作直线平行直线，过E作交直线于，过作轴于H，过M作轴于G，
同理再求出，直线解析式为，
联立方程组
整理，得，
解得，，
结合图象知：当时，；
综上，当或时，；
（3）解：联立方程组，
解得或，
∴，
对于，令，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设与x轴相交于D，过D作交于H，过N作轴于G
∵平分，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
又轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
化简得，
解得或（不符题意，舍去），
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质， 二次函数的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，合理分类讨论，构造相似三角形是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)存在，正方形的边长为或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可；
（3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∴与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
11．(1)
(2)3
(3)点的坐标为或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数综合、解直角三角形、正方形的判的与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式为，设，则，则，当时，取得最大值为4，；由勾股定理可得，即；再求出直线的解析式为，如图：过E作轴，过作轴，设，则，易得，；，当且仅当，时，有最小值，再求得的长即可；
（3）先求出平移后的解析式为，如图：连接，易证四边形是正方形；如图：连接，则，设时，，进而得到；再通过正切函数列方程求得q，然后求出直线的解析式为，然后与新抛物线解析式联立即可解答；再作关于的对称点，则；然后求得直线的解析式与抛物线联立即可解答．
【详解】（1）解：将于，、代入得：
，解得：，
所以抛物线的表达式为．
（2）解：设的解析式为，
则，解得：，
∴的解析式为，
设，则，
∴．
∴当时，取得最大值为4，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
如图：过E作轴，作轴，设，则，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，时，有最小值，
∴，
∵，
∴．
（3）解∶∵抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点及原点，
∴抛物线沿着水平方向作平移一个平移得到新抛物线，
∵，
∴，
如图：连接，
∵，，，
∴，，，
∴四边形是正方形，
如图：连接，则，设时，，
∴，
如图：过作，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
所以直线的解析式为，
联立，解得：或（舍弃），
∴；
如图：作关于的对称点，则，
同理可得：直线的解析式为：，
，解得：或（舍弃），
∴．
综上，Q的坐标为或．
12．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案；
（3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解．
13．(1)
(2)①，②存在，点坐标分别为，，，，详见解析
【分析】（1）由抛物线的顶点得出，由与y轴交于点得出，进而即可得解；
（2）①如图，过E点作交于点F，利用点的坐标和勾股定理得出的长，再利用正切的定义计算即可得解；②先确只有可能等于，再分当和两种情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：∵点为抛物线的顶点，
∴，
∴，
∴抛物线，
∵抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，
∴，
∴；
（2）解：①如图，过E点作交于点F，
令得得，，
∴，
∵，，轴于点E，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②存在点P，使得与相似，理由如下，
∵点N是第三象限内抛物线上的一动点，
∴，
∴只有可能等于，
如图，设交轴于点，
，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
过C点作轴交直线于点，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴，
当，时，此时，，过点P作轴于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
如图，
当时，，
∴，
∴，
过C点作轴交直线于点，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴，
当，时，此时，，过点P作轴于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
综上所述：点坐标分别为，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，三角函数的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键．
14．(1)
(2)或
(3)的最小值为；
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解；
（2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可；
（3）先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴，解得：，
把代入，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
设，
过点Q作于G，过点A作于H， 如图1，
当与面积相等时，则，
∴，
∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，与直线l交于点M．
∴，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，，
∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，
∴，
∴或．
（3）解：把代入，得，
∴，
设直线解析式为，把代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
把代入 ，得，
∴，
∴，
把向下移动4个单位，得到，连接，如图2，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为2；
设直线解析式为，
把、分别 代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
把代入，得
，
解得：．
【点睛】本题考查等定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，一次函数图象性质，直线的平移，两点间线段最短，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键．
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