重庆市第八中学校2025届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

重庆市第八中学校2024-2025学年上学期九年级开学考数学试题
一、单选题
1．下列有理数中最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．25°
5．若，与的面积比为，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
6．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（ ）
A．63 B．64 C．80 D．81
7．估计的值在（ ）
A．4 到5之间 B．5 到6之间 C．6 到7之间 D．7 到 8 之 间
8．如图，等腰直角三角形，， 将沿射线平移个单位，得到， 连 接， 则的面积是（ ）
A．6 B． C．12 D．
9．如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
10．已知关于的整式，其中a，b，c，d，e为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则M可能分解为一个整式的平方；③若，且a，b，c，d，e均为正整数，则满足条件的M共有4个．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是 边形．
13．反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为 ．
14．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有 个 ．
15．某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为 ．
16．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．
17．如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ．
18．我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002 “智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 ．
三、解答题
19．计算
(1)
(2)
20．学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证：
证明：∵平分，且，
∴ ①
且
∵在四边形中，∴
又∵
∴ ②
∴（ ③ ）
∴
小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ④
21．北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；
九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75；
八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表
平均数 众数 中位数
八年级 77 a 80.5
九年级 77 89 b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；
(3)若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？
22．近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试．为了推进项目进行，现需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车．已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 ．
(1)求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元；
(2)若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆？
23．如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数）
24．如 图 ， 四 边 形 为某工厂的平面图 ， 经 测 量米，且，．（参考数据： ， ）
(1)求的长；（结果精确到1米）
(2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为米， 求被监控到的道路长度为多少米？
25．已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C．
(1)求直线的解析式；
(2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标；
(3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程．
26．在中，绕点C顺时针旋转角度得到．
(1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长；
(2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明；
(3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．
参考答案：
1．A
解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
2．D
解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
3．C
解：反比例函数中，，
A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．A
【详解】如图所示．
根据题意可知．
∵，
∴，
解得．
故选：A．
5．A
解：，
，
故选A．
6．C
解：由所给图形可知，
第①个图形中●的个数为：；
第②个图形中●的个数为：；
第③个图形中●的个数为：；
…，
所以第n个图形中●的个数为．
当时，（个），
即第⑧个图形中●的个数为80个．
故选：C．
7．D
解：∵，，
∴，，
∴，
即在7和8之间，
故选：D．
8．A
解：如图，作于点D，
，
由题意得，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
故选：A．
9．D
解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．B
解：根据，且a，b，c，d，e为整数，的项数至少都是4项，故不可能小于等于，故①正确；
若，则，假设可以分解为；
，
，
，
若，缺少项，若，多了常数项，假设不成立，故②错误；
若，且a，b，c，d，e均为正整数，
则有，
，共三种情况，故③错误；
故选：B．
11．
解：，
故答案为：．
12．/八
解：多边形的每一个内角都等于，
多边形的每一个外角都等于，
边数．
故答案是：．
13．
解：令点P的坐标为，
则，
∴．
又∵点P在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
14．4
解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
，
解得：．
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
15．
最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，
最底层开了80盏灯，记作第一层为80盏．那么第二层开灯的数量就是第一层的盏．第三层开灯的数量盏．
三层停车库共开了380盏灯，
解得∶， （不符合题意，舍去），
故答案为：．
16．
解：分式方程得：，
∵分式方程有整数解，
∴或或或，且，即，
解得：或2或或3或4或或7，
不等式组整理得：，即，
由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：，
∴则符合条件的所有整数a的为和，和为，
故答案为：．
17．
【详解】延长，交于点，过作于，
∵平行四边形中，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，
∴，
解得或（舍去），
∴，即与是同一个点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18． 不是 1480
解：假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），
∴，
∵，
∴或或或，
解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去），
综上所述，不存在正整数m、n使得，
∴1002不是“智慧数”；
∵，
∴
，
∵M为偶数，
∴d为偶数，
∴c为偶数且不为0，
当时，，则，
∵是完全平方数，且，
∴当时，是平方数，
∴，
∴此时M表示的数为1480，
∵，
∴此时M是“智慧数”，符合题意；
当时，，则，
∵是完全平方数，且，
∴此时没有满足条件的b；
当时，，则，
∵是完全平方数，且，
∴此时没有满足条件的b；
当时，，则，
∵是完全平方数，且，
∴当时，是平方数，
∴，
∴此时M表示的数为3226；
∵，
∴当时，则或，
解得或，
∴不存在正整数s、t使得成立，
∴3226不是“智慧数”；
综上所述，M的值为1480，
故答案为：1480．
19．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)见解析
(2)；；；所对的四边形的两条边相等
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵平分，且，
∴ 且
∵在四边形中，，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等，
故答案为：；；；所对的四边形的两条边相等．
21．(1)88，77.5，25
(2)答案不唯一，比如：八年级更高．理由见解答过程
(3)估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有380人
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中88出现的次数最多，
，
九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的数据有5个，
九年级被抽取的学生测试得分中C等级的百分比为：，
，
九年级被抽取的学生测试得分中A等级的人数：（人），
C等级的人数：（人）
D等级的人数：（人）
E等级的人数：（人）
B等级的人数：（人）
九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75；
九年级抽取的学生测试成绩的中位数，
故答案为：，，；
（2）解：八年级学生对事件关注与了解程度更高．理由如下：
八年级测试得分的中位数分大于九年级测试得分的中位数分；
（3）解：（人），
答：两个年级测试得分在C组的人数一共有380人．
22．(1)购进1辆甲车需要15万元，购进1辆乙车需要12万元
(2)最多可以购进甲车6辆．
（1）解：设购进1辆甲车需要x万元，购进1辆乙车需要y万元，
由题意得，，
解得，
答：购进1辆甲车需要15万元，购进1辆乙车需要12万元；
（2）解：设购进甲车m辆，则购进乙车辆，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为6，
答：最多可以购进甲车6辆．
23．(1)
(2)图象见详解；当时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大
(3)
（1）解：四边形为矩形，，
，
根据题意可得，运动的总时间为秒，
动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度同时出发，
，
，
又，
是等边三角形，
当时，，
，
；
当时，，
，
，
综上所述：；
（2）函数图象如图所示，
根据图象可得，当时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大；
（3）
当时，或，
解得或，
由上图可知，当时，
当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t的范围．
24．(1)138米
(2)160米
（1）解：连接，
，且，
为等腰直角三角形，
，；
，
，
为直角三角形，
，
即的长为138米；
（2）解：如图，过点D作于E，设 P、Q为直线上监控到的最远点，
∴；
∵，
∴，
是等腰直角三角形，
，
摄像头能监控的最远距离为米，，
，
，
即被监控到的道路长度为160米．
25．(1)
(2)的最小值为；
(3)或或
（1）解：在中，当时，；当时，，
∴，
把代入中得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵直线轴，
∴点M的横坐标为1，
∵轴，
∴；
如图所示，过点B作，连接，则，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，
∵，
∴，
∴的最小值为；
设直线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（3）解；由（2）知，
∵点M与点Q关于原点对称，
∴，
∵，
∴轴，
如图3-1所示，当点P在x轴上时，
∵，
∴，
∴轴，
∵，
∴点P的坐标为；
如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，
设，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，；当时，，
∴直线与x轴，y轴分别交于，，
∵，
∴，即，
∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，
又∵P在坐标轴上，
∴点P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或．
26．(1)
(2)
(3)8
（1）由旋转可得，，
∴，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2），证明如下：
连接，与交于点，
由旋转可得，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴三点共线，且是等腰直角三角形，
∴，
∴，
整理得；
（3）如图，过作交于，交于，过作交于，延长交于，延长至，使，过作交于，
∵将绕点P逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴点在上，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴为的中点，
∵M为的中点，
∴M与重合，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当三点共线时取得最小值，此时
∴
∴，
∴，，
∴，
∴．