苏教版高中数学必修第一册第1章集合课时学案（教师用）

第1章 集合
1.1 集合的概念与表示
新课导入
在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类.例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有更清晰的认识.
学习目标
1.了解集合与元素的概念.
2.理解元素与集合的关系，掌握常见数集的表示方法.
3.理解集合中元素的特性，并能利用它们进行解题.
新知学习 探究
一 元素与集合
研究下面的例子，回答问题：
（1）2025级聪明的学生；
（2）的近似值；
（3）直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点；
（4）所有奇数.
思考1．以上各例的研究对象是什么？
思考2．哪个例子中的对象划分标准不确定？
思考3．（3）、（4）例子中的对象有什么共同特征？
【答案】思考1 提示 分别研究学生、近似值、点、奇数.
思考2 提示（1）、（2）所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰.
思考3 提示 两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对象的全体.
［知识梳理］
1．元素
【答案】每一个对象； ，，
2．集合
【答案】确定的； 不同的； ,,
［即时练］
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”.
（1） 集合中的元素一定是数.（ ）
（2） 参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会闭幕式的全体人员是一个集合.（ ）
（3） 由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合.（ ）
（4） 一个集合中可以找到两个相同的元素.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） √
（4） ×
2．（多选）下列对象能构成集合的有（ ）
A. 接近于2 025的所有正整数 B. 小于的实数
C. 未来10年内的房价趋势 D. 点与点
【答案】BD
【解析】选.对于，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；
对于，小于 的实数是确定的，能构成集合；
对于，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；
对于，点 与点 是两个不同的点，是确定的，能构成集合.
3．英文单词的所有字母组成的集合共有_ _ _ _ 个元素.
【答案】6
【解析】英文单词 中不同的字母有，，，，，，共6个，故所有字母组成的集合共有6个元素.
一组对象能构成集合的两个条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素.
（2）该组中各个对象是不同的.
二 元素与集合之间的关系
［知识梳理］
1．常用的数集及其记法
常用的数集 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； 或； ； ；
2．元素与集合的关系
关系 语言描述 记法 读法
属于 是集合的元素 ⑥_ _ _ _ 属于
不属于 不是集合的元素 ⑦_ _ _ _ 或 不属于
【答案】；
［例1］
（1） 已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（ ）
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
（2） 用符号“ ”或“ ”填空：
_ _ _ _ ；_ _ _ _ ；_ _ _ _ ；
_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） ；；；
【解析】
（1） 由，解得，因为，，故，且.
（2） 因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，
所以；；；.
判断元素和集合之间关系的方法
（1）直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
（2）推理法:首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 若是16和24的公约数组成的集合，用符号“ ”或“ ”判断下列元素与集合的关系：
8_ _ _ _ ；3_ _ _ _ ；2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） BD
（2） ；；【解析】
（1） 选.因为 为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，所以，错误；，正确；，错误；，正确.
（2） 根据题意，集合 中的元素有1，2，4，8，所以;;.
三 集合的表示
观察下列两个集合：
（1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合；
（2）十二生肖组成的集合.
思考．上述集合与除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式吗？如何表示？
提示 可以，两个集合可以这样表示，如红色，黄色}；鼠，牛，虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}.
［知识梳理］
1．列举法：将集合的元素①_ _ _ _ _ _ _ _ 出来，并置于花括号“”内的表示集合的方法叫作列举法.
【答案】一一列举
2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的形式，这样表示集合的方法称为描述法.
【答案】
3．为了直观地表示集合，我们常画一条③_ _ _ _ 的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为④_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】封闭； 图
4．集合的分类
按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集.
（1）一般地，含有⑤_ _ _ _ 个元素的集合称为有限集，含有⑥_ _ _ _ 个元素的集合称为无限集.
（2）不含⑦_ _ _ _ 元素的集合称为空集，记作⑧_ _ _ _ .
【答案】有限； 无限； 任何；
5．集合相等
如果两个集合所含的元素⑨_ _ _ _ _ _ _ _ （即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素），那么称这两个集合相等.
【答案】完全相同
［例2］ （对接教材例1、例2）用适当的方法表示下列集合：
（1） 由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
（2） 方程的实数根组成的集合；
（3） 方程组的解集；
（4） 二次函数的图象上所有的点组成的集合.
【答案】（1） 【解】小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为.
（2） 方程 的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为,}.
（3） 解方程组 得
故解集可用描述法表示为，
也可用列举法表示为.
（4） 二次函数 的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中，满足，由于点有无数个，则用描述法表示为，}.
（1）用列举法表示集合的注意点
①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.
②这里“”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等.
（2）利用描述法表示集合的注意点
①写清楚该集合代表元素的符号.
②所有描述的内容都要写在花括号内.
注意 用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质.
［跟踪训练2］．用适当的方法表示下列集合：
（1） 方程的根的集合；
（2） 不等式的解集；
（3） 方程，，的解集；
（4） 平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合.
【答案】（1） 解：由 可得 或，所以方程 的根的集合为,.
（2） 由 可得,
所以不等式 的解集为，.
（3） 描述法：，，;
列举法：因为方程的解为 或 或 或
用列举法表示为，，，.
（4） 平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标为负，纵坐标为负，即，，故第三象限内的点的集合为，，，.
四 集合中元素的特性及应用
［例3］ [（2025·连云港月考）]已知集合中含有两个元素和，若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】若，
则 或，
当 时，，
不符合集合中元素的互异性，
所以；
当 时，，
因为，所以，
此时集合 中含有两个元素1，，符合集合中元素的互异性.
综上所述，.
母题探究．若本例条件变为“已知集合中含有两个元素1和，若”，求实数的值.
解：由 可知，或.
当 时，此时，与集合中元素的互异性矛盾，所以；当 时，或（舍去），当 时，经检验，符合题意.综上可知，.
集合中元素的特性的应用策略
应用集合中元素的特性时，我们要利用集合中元素的确定性（元素相同）找到解题的“突破口”；还要注意检验元素是否满足互异性.
［跟踪训练3］．
（1） 已知集合,1,，,1,，若，则（ ）
A. 或3 B. 0或1 C. 3 D.
（2） 若一个集合含有两个元素和，则实数需满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 且
【解析】
（1） 选.由 有，解得，.
当 时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去.
当 时，，满足题意.综上所述，.
（2） 由集合中元素的互异性可得，解得 且.
课堂巩固 自测
1．下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A. 数学必修第一册课本中所有的难题
B. 小于8的所有素数
C. 直角坐标平面内第一象限的一些点
D. 所有小的正数
【答案】B
【解析】选.对于，“难题”的标准不确定，不能构成集合；
对于，小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合；
对于，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
对于，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合.
2．（多选）（教材P7T1改编）下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.对于，是实数，
即，正确；
对于，，错误；
对于，是无理数，所以，正确；
对于，不是 的元素，错误.
3．已知集合，用列举法表示集合_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，可得，，由，可得,3,6，则,2,5，则.
4．已知集合,，若，则实数的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，则 或.当 时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，或，
当 时，不满足集合中元素的互异性；
当 时，,，符合题意.
综上所述，.
1.已学习：（1）集合的概念、元素与集合的关系.
（2）用列举法和描述法表示集合.
2.须贯通：利用集合中元素的特性确定集合；求参数时注意元素的互异性以及分类讨论思想的应用.
3.应注意：重视集合中元素的互异性；注意点集与数集的区别.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 上课迟到的学生 B. 小于 的正整数
C. 著名的运动健儿 D. 所有有理数
【答案】C
【解析】选.上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；
小于 的正整数分别为1,2,3，所以能构成集合；
著名的运动健儿标准不明确，所以不能构成集合；
任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.
2．若集合,，则集合中的元素个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】选.由,，即，所以集合 中的元素个数为5.
3．已知集合是由大于且小于1的实数构成的集合，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选，故 错误；，故 错误；1不小于1，故 错误；，故 正确.
4．[（2025·潍坊期中）]若的三边长，，可构成集合，则不可能是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】选.由题意，根据集合元素的互异性，可得，，互不相等，故 一定不是等腰三角形，所以 不可能是等腰直角三角形.
5．用列举法表示集合为（ ）
A. , B.
C. , D.
【答案】A
【解析】选.解方程，得 或，所以集合 用列举法表示为,.故选.
6．（多选）已知集合,,，，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】BD
【解析】选.由，得 或 或，
解得 或 或，
所以当 时，，，不符合集合中元素的互异性，故 舍去；
当 时，，，，满足题意；
当 时，，，，满足题意.
综上所述，或.
7．已知，，，则实数_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】若，则，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若，则，可得 或（舍去），经检验，满足要求.综上，.
8．若,,1,2,，,，用列举法表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为,,1,2,，,，所以.
9．已知集合中有两个元素和，集合中有两个元素0和，若，则_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】由于，且,
所以 解得，且符合题意.
10．（13分）用适当的方法表示下列集合：
（1） 从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（4分）
（2） 方程 的解集；（4分）
（3） 由二次函数图象上所有点组成的集合.（5分）
【答案】
（1） 解：当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；
当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；
当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.
由于元素个数有限，故用列举法表示为
，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，.
（2） 由算术平方根及绝对值的意义，可知，
解得
因此该方程的解集为.
（3） 此集合应是点集，是二次函数 图象上的所有点，
故用描述法可表示为，.
B 能力提升
11．（多选）下列四个说法中正确的是（ ）
A. 方程 的解集为,
B. 由所确定的实数集合为,0,
C. 集合,,}可以表示为,,
D. 集合中含有3个元素
【答案】BC
【解析】选.选项,方程的解为 解集为，故 错误；
选项,由 知，，
当，同为正数时，；
当，一正一负时，；
当，同为负数时，，
故由 所确定的实数集合为,0,，故 正确；
选项,,,，
，当 时，；当 时，；当 时，，
故集合}可以表示为,,，故 正确；
选项，,，
当 时，；当 时，；当 时，；当 时，，
故集合,0,1,中含有4个元素，故 错误.故选.
12．若集合，则_ _ _ _ ；_ _ _ _ .（填写“ ”或“ ”）
【答案】；
【解析】由
解得
不满足,
故；
由 解得
满足,故.
13．（13分）已知集合.
（1） 若中只有一个元素，求实数的值，并把这个元素写出来；（6分）
（2） 若中至多有一个元素，求实数的取值范围.（7分）
【答案】（1） 解：当 时，,此时,此时 中仅有一个元素，满足题意.当 时，,解得,此时方程为,即,则 中仅有一个元素.综上可知，当 时，元素为；当 时，元素为.
（2） 由（1）得，当 中有1个元素时，或;当 中没有元素时， ,即,且,解得.综上可知，当 中至多有一个元素时，实数 的取值范围为.
14．（15分）已知集合,，，集合，,,且集合中再没有其他元素属于，能否根据上述条件求出实数的值？若能，则求出的值，若不能，则说明理由.
解：能.因为，所以 或，若，则，此时,9,，,0，，显然 且，与已知矛盾，故舍去.若，则，当 时，,5,，，，，中有两个，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去；当 时，，,，，,，符合题意.综上所述，满足条件的 存在，且.
C 素养拓展
15．[（2025·苏州月考）]（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，,1,2,3,4，给出如下四个结论中，正确的是（ ）
A.
B.
C. 若整数,属于同一“类”，则
D. 若，则整数,属于同一“类”
【答案】ACD
【解析】选.对于，，因此，正确；对于，，因此，错误；对于，由,是同一“类”，令，，，,,1,2,3,4,因此，,，正确；对于，若，则令,，即,，不妨令,，,1,2,3,4，于是,,，因此整数,属于同一“类”，正确.
1.2 子集、全集、补集
新课导入
本年开学季，某校新招的高一18个班的新生组成集合，其中高一（1）班的50位新生组成集合,那么，集合与集合有什么关系？这就是本节课我们所要学习的集合间的关系.
学习目标
1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
3.能理解用图表示集合的基本关系，体会图对理解抽象概念的作用.
新知学习 探究
一 子集与真子集
某国际赛事中，假设全部参赛运动员组成集合，中国参赛运动员组成集合.
思考1．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？
思考2．集合中的任何一个元素都是集合中的元素吗？
【答案】思考1 提示 不一定.
思考2 提示 都是.
［知识梳理］
类别 定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合的①_ _ _ _ _ _ _ _ 元素都是集合的元素（若,则）,那么集合称为集合的子集 ②_ _ _ _ 或③_ _ _ _ ，读作“集合包含于集合”或“集合包含集合”
真子集 如果,并且④_ _ _ _ _ _ ,那么集合称为集合的真子集 ⑤_ _ _ _ 或⑥_ _ _ _ ，读作“真包含于”或“真包含”
子集性质 （1）任何一个集合是它本身的⑦_ _ _ _ ,即⑧_ _ _ _ . （2）对于集合,,,如果,且,那么⑨_ _ _ _ _ _ . （3）空集是任何集合的⑩_ _ _ _ ，是任何非空集合的 _ _ _ _ _ _ .
【答案】任意一个； ； ； ； ；??； 子集； ； ； 子集； 真子集
［例1］ （对接教材例1、例3）判断下列各组集合中,是否为的子集.
（1） ，0,，,，0,1，；
（2） ，；
（3） ，；
（4） ，，，}.
【答案】（1） 【解】因为,,,即集合 的每一个元素都是 的元素，所以 是 的子集.
（2） 集合 的元素是数，集合 的元素是有序实数对，故 不是 的子集.
（3） 集合，用数轴表示集合，，如图所示，由图可知 是 的子集.
（4） 集合,1,3,，集合,3,5,，故 不是 的子集.
母题探究．本例中，对于集合是集合的子集的情况，指出哪些是真子集？
解：中，集合 是集合 的真子集.
（1）判断集合关系的方法
①观察法：一一列举观察.
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
③数形结合法：利用数轴或图.
（2）求有限集的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集： 和集合本身.
②按集合中含有元素的个数由少到多分类，一一写出，保证不重不漏.
常用结论 假设集合中含有个元素，则有：的子集有个；的非空子集有个；的真子集有个.
［跟踪训练1］．
（1） 下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 写出集合的所有非空子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） ，，，,，,，，,1,
【解析】
（1） 选. 是无理数，所以 选项错误；空集是任何集合的子集，所以 选项正确.
集合 与集合 的元素不相同，所以没有包含关系，所以 选项错误.
，所以 选项错误.
（2） ,1,，
其所有非空子集有，，，,，,，，,1,.
二 补集
思考．在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识.
提示 能.
［知识梳理］
1．全集
（1） 定义:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的①_ _ _ _ _ _ _ _ ,那么就称这个集合为全集.
（2） 记法:全集通常记作②_ _ _ _ .
【答案】（1） 所有元素
（2）
2．补集
定义 文字语言 设，由中③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的所有元素组成的集合称为的子集的补集
符号语言 ④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
图形语言
性质 ,; ⑤_ _ _ _ _ _ ; ⑥_ _ _ _ ，⑦_ _ _ _
【答案】不属于； ,且； ； ；
［例2］
（1） 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知全集，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ，或
【解析】
（1） 因为集合，，所以.
（2） 将集合 和集合 分别表示在数轴上，如图所示.
由补集的定义可知，或.
求集合的补集的方法
（1）定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.
（2）图法：借助图可直观地求出全集及补集.
（3）数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.
［跟踪训练2］．
（1） [（2025·南通月考）]已知全集,,0,,，则（ ）
A. , B. , C. , D. ,
（2） 已知全集，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） ，或
【解析】
（1） 选.因为,,0,，,所以,.
（2） 借助数轴（图略）得，或.
三 根据子集或补集求参数
［例3］ 已知集合,或,.
（1） 求；
（2） 若,求实数的取值范围.
【答案】
（1） 【解】因为,或，
所以.
（2） 因为,
所以 ，
因为,
所以
解得.
即实数 的取值范围为.
母题探究．本例中集合，不变，若，求实数的取值范围.
解：若，则 或，即 或，故实数 的取值范围为，或.
由子集或补集求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据子集或补集的定义，建立方程求解，此时应注意分类讨论.
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实心点还是空心点.
（3）不能忽视集合为 的情形，当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
［跟踪训练3］．
（1） 已知集合，.若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知集合,或，若中恰好含有2个整数，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.当 时，满足，此时，解得；
当 时，由 得
解得.
综上所述，实数 的取值范围为.
（2） 根据题意，知，则.若 中恰好含有2个整数，则.
课堂巩固 自测
1．已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为,，则，，，，故 正确，，，均错误.
2．（教材（4）改编）若全集，集合，则（ ）
A. ,或 B. ,或
C. ,或 D. ,或
【答案】B
【解析】选.全集，集合，则，或.
3．（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A. 0 B. C. 2 D.
【答案】ABD
【解析】选.由，得到 或，即,，因为，由，当 时，无解，此时 ，满足题意；
当 时，得到，所以 或，得到 或.
综上所述，实数 的值为0，，.
4．已知集合,，,，则与之间最适合的关系是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，集合 是能被3整除的整数组成的集合，集合 是能被6整除的整数组成的集合，所以.
5．若全集且，则集合的真子集共有_ _ _ _ 个.
【答案】7
【解析】因为 且,，所以，共有3个元素，所以 的真子集有（个）.
1.已学习：（1）子集、真子集.（2）全集和补集.
2.须贯通：利用图理解子集与全集、补集的概念；利用数形结合、分类讨论思想求解参数问题.
3.应注意：不要忽略空集的情况；求参数的取值范围时，注意端点的取舍.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由已知，因此，错误，表达方式错误，正确.
2．已知全集，，则（ ）
A. ，或 B. ，或
C. ，且 D. ，且
【答案】A
【解析】选.因为全集，，所以，或.
3．若全集，且，，则集合的真子集共有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个
【答案】A
【解析】选.由题意得，
所以，
其真子集有（个）.
4．设集合，，若，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选.依题意，有 或.当 时，解得,此时,,，不满足;当 时，解得,此时,,,0,，满足.所以.故选.
5．已知全集，，或,,且,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，或,
所以,
因为 且,所以.
6．（多选）设全集，，，，，则的值是（ ）
A. 2 B. 8 C. D.
【答案】AB
【解析】选.由题意得，,5,7,，所以，解得 或.
7．[（2025·天津期中）]已知集合，则写出集合的所有子集_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 ，，，
【解析】因为，
所以集合 的子集有： ，，，.
8．若是集合的真子集，则的值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意知集合
为空集，则，即.
9．已知集合，集合，若全集，且，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，，如图所示.
因为，所以.
10．（13分）已知集合,且,,,,.是否存在实数，使得 若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在这样的实数.
对于集合,因为,且,
即,
所以，且.
对于集合，因为,且,
所以当 时，;
当 时，;
当 时，.
当 时,要使,
则,即,矛盾；
当 时，要使，
则有,即；
当 时，要使,则有,
即,无解.
综上所述，存在，使得.
B 能力提升
11．已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】选，
则，即，
所以满足条件的集合 有,,,,，,，共7个.
12．已知全集,,是的非空子集，且，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.依据题意画出 图，
观察可知，.
13．[（2025·连云港期中）]已知集合,,,的所有非空真子集的元素之和为，则_ _ _ _ .
【答案】290
【解析】集合,,,的所有非空真子集有，，，，,，,，,，,，,，,，,,，,,，,,，,,，
所以有，
解得.
14．[（2025·德州期末）]（13分）已知集合，.
（1） 若集合,,且,求实数的值；（6分）
（2） 若集合,且,求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由集合，,,且,
所以可得 此时方程组无解；
或 解得.
所以实数 的值为5.
（2） 当集合,
且 时,若 ，
则 解得；
当 时，若，则，，此时,，不满足；
若，则，此时，满足.
综上可知，实数 的取值范围为 或.
C 素养拓展
15．（15分）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且.类似地，对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作.据此回答下列问题：
（1） 在下列各图中用阴影表示出集合；（5分）
（2） 若，，求；（5分）
（3） 若集合，，集合，有 ，求实数的取值范围.（5分）
【答案】
（1） 解：如图所示：
（2） 根据题意知，.
（3） 因为 ，所以.
又，
，
且，
所以，即.
所以实数 的取值范围是.
1.3 交集、并集
新课导入
学校举行秋季运动会，高一（1）班的同学们积极踊跃报名参赛，有的跳远，有的跳高，有的接力，有的百米 ，班主任统计发现，第一组的同学每人至少报了一个项目，那如何统计参赛一项、两项甚至三项的同学呢？这节我们就学习集合间的运算问题.
学习目标
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.
2.能使用图表示集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
3.掌握区间是表示集合的另一种方法，并会用区间表示集合.
新知学习 探究
一 交集
观察集合，2，，，3，，，，，，回答下面的问题.
思考1．集合与集合有公共元素吗？公共元素组成的集合是什么？
思考2．集合，，中的元素与集合，有什么关系？
思考3．集合与集合，有什么区别？
【答案】思考1 提示 有公共元素，组成的集合是，.
思考2 提示 既属于，又属于.
思考3 提示 集合中的元素是由既属于，又属于的所有元素组成的，集合，中的元素是由既属于，又属于的其中一个元素组成的.
［知识梳理］
文字语言 由所有属于集合①_ _ _ _ 属于集合的元素构成的集合,称为与的交集,记作②_ _ _ _ _ _ ,读作“交”
符号语言 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
图形语言
的性质 ④_ _ _ _ _ _ ；,,
【答案】且； ； ,且；
［例1］
（1） [（2024·天津卷）]已知集合，2，3，，，3，4，，则（ ）
A. ，2，3， B. ，3，
C. ， D.
（2） 设集合,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） B
（2） A
【解析】
［例1］
则由交集的定义可得.选.
（1） 因为,,所以.
（2） 在数轴上表示出集合 与，如图.
编辑作答空间顺序
交集运算的方法和注意点
（1）求集合交集的运算方法有定义法、数形结合法.
（2）若，是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示.
常用结论 若，则；若，则；； .
［跟踪训练1］．
（1） 已知集合,,,2,，则（ ）
A. , B. C. D.
（2） 已知集合，集合，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 选.因为,,,2,，故.
（2） 集合，集合，所以.
二 并集
请同学们观察下列三组集合：
①，，，，，0，1，；
②是偶数，是奇数，是整数}；
③，，，3，，，2，3，.
思考1．集合中的元素与集合，中元素的关系是什么？
思考2．①中集合的元素个数等于集合，的元素个数的和吗？③中呢？
【答案】思考1 提示 集合中的元素是由所有属于或属于的元素组成.
思考2 提示 ①中等于，③中不等于.
［知识梳理］
文字语言 由所有属于集合①_ _ _ _ 属于集合的元素构成的集合,称为与的并集,记作②_ _ _ _ _ _ _ _ ,读作“并”
符号语言 ③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
图形语言
的性质 ；,,,
【答案】或者； ； ,或
［例2］
（1） 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知集合，，，则集合可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 由集合的并运算，得.
（2） 因为，则,，且集合，，所以，,结合选项可知，，错误，正确.
并集的运算技巧
（1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.
（2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解.但要注意端点值的取舍.
（3）在进行集合运算时，若条件中出现或，应转化为，然后用集合间的关系解决问题，并注意 的情况.
常用结论,.
（2）若,则,反之也成立，即若，则.
［跟踪训练2］．
（1） （多选）满足，，3，的集合可能是（ ）
A. B. ， C. ， D. ，3，
（2） 若集合,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ABD
（2）
【解析】
（1） 选.由，，3，，知，3，，且 中至少有1个元素5.故选.
（2） 在数轴上表示出集合 与，如图所示，故.
三 交集与并集的综合应用
角度1 集合的交、并、补的综合运算
［例3］
（1） [（2024·全国甲卷）]已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知全集，集合，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ，或；
【解析】
（1） 由题意可得,,则.故选.
（2） 根据题意，画出数轴，
由图1可得，或.
由图2可得，或.
所以，或，
.
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于图来求解.
（2）如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意端点值问题.
角度2 根据交集与并集运算求参数
［例4］ 已知集合,集合,且,求实数的取值范围.
【解】 当 ，即 时，,满足；
当 时，要使,即，
只需 解得.
综上可知，实数 的取值范围是.
母题探究1．把本例条件“”改为“”，试求实数的取值范围.
解：由，可知.
所以 即
所以 .所以实数 的取值范围为 .
母题探究2．把本例条件“”改为“”,求的值.
解：由题意可知
解得.
利用集合间的关系求参数的一般步骤
（1）若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系.
（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）.
（3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围.
［跟踪训练3］．
（1） 设全集，，3，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知集合，,}.若 ，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.由题意得，题图中阴影部分所表示的集合是.
（2） 因为，,}且 ，
所以.
四 区间的表示方法
［知识梳理］
设，，且.
区间 集合 名称 数轴表示
①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 闭区间
②_ _ _ _ _ _ _ _ 开区间
③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 左闭右开区间
④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 左开右闭区间
⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 开区间
⑥_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 开区间
⑦_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 开区间
【答案】； ； ； ； ； ；
［例5］ 把下列数集用区间表示：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ，或.
【答案】（1） 【解】.
（2） .
（3） .
（4） ，或.
用区间表示数集的方法
（1）区间左端点值小于右端点值.
（2）区间两端点之间用“，”隔开.
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
［跟踪训练4］．
（1） 不等式的所有解组成的集合表示成区间是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知区间，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ,
【解析】
（2） 由，得.
培优点 容斥原理及其应用
在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合，， ，，将中的元素个数记为.
关于集合中的元素个数有下面的关系（也称容斥原理）
二元容斥原理；
三元容斥原理.
［典例］ 为提升学生学习双语的热情某教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”、“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了均不擅长的同学的人数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集，
则，，，，
所以，
所以，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为.
［练习］．小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为_ _ _ _ .
【答案】46
【解析】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为,,，
喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，
喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图，
则
后三个方程相加得，与第一个方程消去 得，
所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为.
课堂巩固 自测
1．已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由,即可得.
2．（多选）图中阴影部分用集合表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】选.根据题图可知，阴影部分表示的集合是，
所以,正确,错误，
而，不符合题意，错误.
3．（教材P16T6改编）设全集,集合，,,},则（ ）
A. ,} B. ，}
C. ,｝ D.
【答案】A
【解析】选.通解（列举法）： ,,1,4,7,10,, ,,2,5,8,11,,所以
,,,1,2,4,5,7,8,10,11,,所以 ,,0,3,6,9,,其元素都是3的倍数，即,｝.故选.
优解（描述法） 集合 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.故选.
4．已知集合,,，全集为实数集.
（1） 求，；
（2） 若 ，求实数的取值范围.
【答案】
（1） 解：因为，
，
所以.
因为，
所以，或，
所以，或.
（2） 如图所示，当 时， .
所以实数 的取值范围为.
1.已学习：（1）交集、并集的概念、运算及性质.
（2）区间及其表示.
2.须贯通：利用图或数轴进行集合的运算；求参数用到分类讨论思想.
3.应注意：由交集、并集的关系求解参数时要注意对空集及区间端点的讨论.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】选.由题意集合，，根据并集的定义可知，.
2．已知集合，，0，1，，，则（ ）
A. ，，0， B. ，1，
C. D.
【答案】C
【解析】选.由于，所以，排除，；由于，所以，排除.故选.
3．已知实数集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，则，
又，则.
4．[（2025·常州期中）]设全集，集合，,，则集合中的元素个数有（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】选.因为全集，，
所以，
又因为,，故.
因此，集合 中的元素个数为3.
5．已知集合,，且 ,则实数应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为集合,, ,所以.
6．（多选）如图所示，全集，,，则下列说法正确的是（ ）
A. 阴影部分表示的集合是的子集
B. 阴影部分表示的集合是的子集
C. 阴影部分表示的范围是
D. 阴影部分表示的范围是
【答案】BC
【解析】选.由题图可知，阴影部分表示的集合是，且 是 的子集，故 错误，正确；
因为，所以，又，所以，故 正确，错误.
7．设全集，，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，，
所以.
又因为，
所以.
8．已知集合,，,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，联立 解得 所以.
9．已知集合,,且,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .（用区间表示）.
【答案】
【解析】因为，画出数轴（图略）可知表示实数 的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，
所以.
10．（13分）已知集合,
（1） 求,；（6分）
（2） 求,（7分）
【答案】（1） 解：由条件可得,.
（2） 或，
所以,
或.
B 能力提升
11．（多选）已知集合,，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是或
【答案】AB
【解析】选.，
当 时，，
则，故 正确；
或，，故 正确；
当 时，，不是 的子集，故 错误；
当 时，，即有 无解，故 错误.
12．某校有26名学生参加了数学小组，17名学生参加了物理小组，10名学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购_ _ _ _ 张车票.
【答案】32
【解析】依题意，得如图所示的 图，
参加数理化竞赛的学生共有（人），所以需要预购32张车票.
13．（13分）已知，，其中.
（1） 当时，求和；（6分）
（2） 若，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
所以，.
（2） 若，则，则 解得.故实数 的取值范围是.
14．（13分）已知集合，.若 ，求实数的取值范围.
解：因为 ，所以，
①当 时，，即，成立；
②当 时，由，有，解得，
所以实数 的取值范围为.
C 素养拓展
15．（多选）设全集，不大于的最大整数为，如.已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A. 或 B.
C. D.
【答案】AD
【解析】选.因为，所以 或，故 正确；
又因为，即，故 错误，
可得，，故 错误,正确.
阶段提升（一） 集 合
（范围：1.1～1.3）
题型一 集合的基本概念
1．若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（ ）
A. 菱形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 正方形
【答案】C
【解析】选.由，，，为集合 中的4个元素，得，，，两两不相等，而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等，则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，，，不符合题意；又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，符合题意.
2．已知集合,，若且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由 且，得 解得.
3．设，若集合,,中的最大元素为3，则_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】因为集合,，中的最大元素为3，
所以,,,
所以 或.
当 时，不合题意，舍去；
当 时，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当 时，集合,1,中的最大元素为3，符合题意，
所以.
4．已知集合，,,，则集合的元素个数为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】当 时，，2，4，分别为0,,,均不能满足；
当 时，可满足，
，,,均不满足；
当 时，可满足，,，,均不满足，所以,，故集合 的元素个数为2.
处理集合概念问题的关注点
（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.
（2）看这些元素满足什么限制条件.
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验是否满足集合中元素的互异性.
题型二 集合的基本关系
1．若集合有且仅有1个子集，则的值可以为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由集合 有且仅有1个子集可知，是 ，
当 时，，不符合题意；
当 时，由 可得，结合选项可知，符合题意.
2．已知非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是_ _ _ _ .
【答案】7
【解析】由题意，令，则原问题等价于：如果，，则.
根据集合元素的互异性与无序性，集合 可以是：或 或 或 或 或 或.故适合条件的集合 有7个.
3．已知集合，，若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 解得，
所以，且，
当 时，符合，
则，解得；
当 时，要使，
则 解得，
综上所述，实数 的取值范围为.
处理集合间关系问题的关键点
已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”,尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏.
题型三 集合的基本运算
1．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]已知集合，,,0,2,,则（ ）
A. , B. C. ,, D. ,0,
【答案】A
【解析】选.因为,,,0,2,，且注意到，从而,.
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题得，，，或，或，所以，故 错误；
或，故 错误；
或，故 错误；
，故 正确.
3．已知集合，集合，若 ，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为集合，
所以，
由于 ，
所以.
4．若集合，，，，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，得，则，解得，
，又，则，结合,得，
因此方程 有等根2，则,，即,，
所以.
集合运算问题的关注点
（1）运算口诀:交集元素仔细找，属于且属于;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集是大范围，去掉中元素,剩余元素成补集.
（2）数形结合法:利用图或数轴解决集合的运算问题，能将复杂问题直观化.
提醒 要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解.
题型四 集合的新定义
［典例］
（1） 若，则，就称是“伙伴关系”集合，集合,,0,1,2,的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是（ ）
A. 31 B. 7 C. 3 D. 1
（2） [（2025·南京期中）]对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作，若,，,,,2,3,，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2） ,
【解析】
（1） 若，则；
若，则；
若，则，
则,,,,,,2,,,1,,,2,,,,2,0,,为“伙伴关系”集合，共7个.
（2） 因为,，,,,2,3,,所以，即，所以，
所以，,,
所以,.
解决集合新定义问题的策略
（1）紧扣“新”定义,首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在.
（2）按照新定义、新运算规则和要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算,从而达到解决问题的目的.
［跟踪训练］．
（1） （多选）当一个非空数集满足“如果，,则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题，正确的是（ ）
A. 0是任何数域的元素
B. 若数域有非零元素，则
C. 集合,}是一个数域
D. 有理数集是一个数域
（2） 设集合,，集合，若中恰有2个元素，且定义,，则的子集个数是_ _ _ _ .
【答案】（1） ABD
（2） 8
【解析】
（1） 选.对于，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故 正确；
对于，根据当 时，，则，即，进而，， ，，故 正确；
对于，对，，但，不满足题意，所以集合,}不是一个数域，故 不正确；
对于，若，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以 正确.
（2） 因为集合 且 中恰有2个元素，
则，
所以，
又,，
所以，,0,，
又,，
所以,,，
所以 的子集有 个.
阶段小测（一）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合,则的真子集的个数为（ ）
A. 32 B. 31 C. 25 D. 24
【答案】B
【解析】选.集合 共有5个元素，所以集合 共有 个真子集.
2．已知集合，，则（ ）
A. B. ，4，
C. ，2，3， D. ，3，4，
【答案】C
【解析】选.依题意得，对于集合 中的元素，满足,2,3,4,5,9，则 的取值为0,1,2,3,4,8，即，于是.
3．已知全集，集合，,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为全集，，，
所以，
则.
4．已知集合,，,,,},若，,则（ ）
A.
B.
C.
D. 不属于，，中的任意一个
【答案】C
【解析】选.因为,,
所以,,,，
所以,，
所以.
5．已知集合，，且，则实数的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由，，
因为，所以，则，
即实数 的取值集合是.
6．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
【答案】B
【解析】选.由题得，，
由题意可知若 则 且，若 则 且，
若 则，若 则，而元素5没有限制，则 或.
综上，集合 可为，，，，，，，.
所以集合 的个数为8.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．下列各个选项中，满足,0,1,的集合有（ ）
A. , B. , C. ,0, D. ,0,1,
【答案】AC
【解析】选.因为，即有,,0,1,，
所有满足条件的集合 为,，,0,，,1,.
8．已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. 不存在实数使得 B. 当时，
C. 当时， D. 存在实数使得
【答案】AD
【解析】选.若集合，则有 此方程组无解，所以不存在实数 使得集合，故 正确.当 时， ，不满足，故 错误.若，则当 时，有，解得；当 时，有 此方程组无实数解，所以若,则有,故 错误，正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．设，，若，则实数_ _ _ _ .
【答案】4
【解析】由 得，解得 或，由，可得,故.
10．已知集合或，，若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由 得，
即，
因为，所以.
11．某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为_ _ _ _ .
【答案】26
【解析】作出 图，如图所示，
可知有5人只参加奥数小组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加编程小组和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥数小组和书法小组但不参加编程小组的有3人，三种都参加的有3人，则该班学生人数为.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知集合，集合.
（1） 求，，；（6分）
（2） 设集合，且，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：因为，，
所以，，，
则.
（2） 因为,
所以，
所以 解得，
即实数 的取值范围为.
13．（本小题满分15分）设，，.
（1） ，求的值；（7分）
（2） 若 且 .求的值.（8分）
【答案】
（1） 解：由，，
则2和3为方程 的根，
则 解得.
（2） 因为，,，
由 且 ，得，
所以，解得 或，
当 时，由（1）知，，,，不符合题意；
当 时，,，，,，符合题意.
综上所述，.
14．（本小题满分15分）若集合具有以下性质：且；②若,，则，且当时，，则称集合为“闭集”.
（1） 试判断集合,0,是否为“闭集”，并说明理由；（4分）
（2） 设集合是“闭集”，求证：若,，则；（5分）
（3） 若集合是一个“闭集”，则当时，是否成立，并说明理由.（6分）
【答案】
（1） 解：,0,，，,,,但，
所以集合 不是“闭集”.
（2） 证明：依题意，集合 是“闭集”，
所以,,,,.
（3） 依题意集合 是一个“闭集”，
若，则；
若，则；
若 且，
则,,，
所以,.
所以当 时，成立.
章末综合检测（一）
（时间：120分钟,满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由 表示自然数集，知，故 正确；由 表示有理数集，知，故 正确；由 表示实数集，知，故 错误；由 表示整数集，知，故 正确.故选.
2．已知集合且，则的非空真子集的个数为（ ）
A. 14 B. 15 C. 30 D. 31
【答案】A
【解析】选.因为 且，
则该集合的非空真子集个数为.故选.
3．已知集合，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为集合，，
所以集合.
4．已知集合,,,,.若,,0,4,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由,,0,4,知，
解得.
5．已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.集合，是 的子集，且，
对于，，故 不正确；
对于， ，故 正确；
对于，，不包括属于 且不属于 的部分，故 不正确；
对于， ，其交集为属于 且不属于 的部分，故 不正确.
6．设全集，集合，则满足的集合共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】选.由题意知，，1,，且3,，即1,，且3,，则，所以集合 可以是，，，，共4个.
7．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有1 440名学生喜欢足球或游泳，900名学生喜欢足球，名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为（ ）
A. 630 B. 690 C. 840 D. 936
【答案】B
【解析】选.喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为，，
依题意，集合，，中元素个数分别为：,,，
则，
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有690名.
8．对于数集，，定义,,，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.根据新定义得，3，，，2，3，4，，则可知所有元素的和为，即为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】选.题图中阴影部分所表示的集合中的元素属于，不属于，故其表示集合 或.
10．若集合，，且，则实数的值为（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】ABC
【解析】选.由题意得,，，
当 时， ，满足，符合题意；
当 时，，令，
则，符合题意，
令，则，符合题意.
综上，，或.
11．已知集合，，下列命题正确的是（ ）
A. 不存在实数使得 B. 存在实数使得
C. 当时， D. 存在实数使得
【答案】AD
【解析】选.选项，由相等集合的概念可得 解得 得此方程组无解，故不存在实数 使得集合，因此 正确；
选项，由，得 即 此不等式组无解，因此 错误；
选项，当，即 时，，符合题意；当 时，要使，需满足 解得，不满足，故这样的实数 不存在，则当 时，不正确，因此 错误；
选项，由 选项分析可得存在实数 使得，因此 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知集合,,，若，则_ _ _ _ .
【答案】1或2
【解析】由,,，，
若，则，，此时,2,，符合集合中元素的互异性；
若，则 或，
当 时，，不符合集合中元素的互异性，
当 时，，此时,4,，符合集合中元素的互异性.
综上可得，或.
13．已知集合,，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为集合，,0,,,，
所以.
14．已知全集，集合，，，或，且，则实数的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】，或
【解析】全集，集合，，
所以，或，
所以.
集合，或，且，
所以 或，
解得 或，即实数 的取值范围为，或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）已知全集为，集合，.
（1） 求；（6分）
（2） 求分
【答案】（1） 解：由已知，，则.
（2） 因为全集为，
则 或，或，
故 或.
16．（本小题满分15分）已知集合,,,.
（1） 若,求实数的取值范围；（7分）
（2） 若 ,且,求所有的值构成的集合.（8分）
【答案】
（1） 解：因为,
又,所以 所以.
故实数 的取值范围为.
（2） 因为 ,所以 或 或 或,
解得 或 或，均满足.又,
所以,3,.
17．（本小题满分15分）已知集合,，,，且.
（1） 若，求实数组成的集合；（7分）
（2） 若，求，的值.（8分）
【答案】
（1） 解：若，可得，因为，所以.
当 时，；当 时，则；
当 时，.
综上，实数 组成的集合为.
（2） 由题意得，，所以，解得，即，解得 或，所以，
所以，所以，解得.
18．（本小题满分17分）已知集合,,若,求实数的取值范围.
解：若，则,又,,所以集合 有以下三种情况：
当 时，有,即,
解得 或;
当 是单元素集合时，有，
即,得 或.
若,则，不满足题意，
若，则，满足题意;
当，时，有，4是方程 的两根，
得
解得.此时，,.
综上可知，当 时，实数 的取值范围是 或 或.
所以当 时，实数 的取值范围为.
19．（本小题满分17分）若集合中含有三个元素,,,同时满足,,为偶数，那么称集合具有性质.已知集合,2,3, ,,对于集合的非空子集，若中存在三个元素,,，使得,,均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
（1） 判断集合，2，3，5，7，是否具有性质，并说明理由；（8分）
（2） 若集合，4，具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”.（9分）
【答案】
（1） 解：集合 不具有性质，理由如下.
从集合 中任取三个元素,,，当这三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③；当这三个元素中有一个为2，另外两个为奇数时，若，则 恒成立，不满足条件②；若,则由，得，则,即，不满足条件②.综上，集合，2，3，5，7，不具有性质.
（2） 证明：根据题目中的定义得 是偶数，所以 是奇数.当 时，由,得,即，矛盾，不符合题意.当 时，由，得,所以.所以集合，4，.令,,,得,,,显然,,,所以集合 是集合 的“期待子集”.
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