苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数课时学案（教师用）

第6章 幂函数、指数函数和对数函数
6.1 幂函数
新课导入
《九章算术》刘徽注:“凡广纵相乘谓之幂.”后来又将幂推广引申为多次乘方的结果.到了明清时代,既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.今天，我们就来学习幂函数的有关知识.
学习目标
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
2.掌握五种幂函数,,,,的图象特点.
3.借助五种幂函数的图象,掌握五种幂函数的性质,并会应用.
新知学习 探究
一 幂函数的概念
给出函数：,,,,.
思考．这些函数的解析式有什么共同的特征？这类函数解析式的一般形式应如何表示？
提示 解析式都具有幂的形式而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用 表示.
［知识梳理］
一般地,我们把形如①_ _ _ _ _ _ _ _ 的函数称为幂函数,其中②_ _ _ _ 是自变量,③_ _ _ _ 是常数.
【答案】； ；
［例1］
（1） （多选）下列函数中是幂函数的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数为幂函数，则实数_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） AD
（2）
【解析】
（1） 幂函数是形如 为常数 的函数，是 的情形，是 的情形，所以 和 都是幂函数；中 的系数是2，不是幂函数；易知 不是幂函数.
（2） 因为 为幂函数，所以，即.
幂函数的判断及应用
（1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 为常数的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量， 的系数为1.
（2）若一个函数为幂函数，则该函数也必具有 为常数这一形式.
［跟踪训练1］．已知是幂函数，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
【答案】A
【解析】选.因为 是幂函数，
所以 即 则.
二 幂函数的图象与性质
［知识梳理］
1.五种常见幂函数的图象
2．五类幂函数的性质
幂函数
定义域 ①_ _ _ _ ②_ _ _ _ ③_ _ _ _ ④_ _ _ _ _ _ _ _ ⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
值域 ⑥_ _ _ _ ⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ⑧_ _ _ _ ⑨_ _ _ _ _ _ _ _ 且
奇偶性 ⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
单调性 _ _ _ _ 函数 当时，单调递 _ _ _ _ ；当时，单调递 _ _ _ _ _ _ _ _ 函数 _ _ _ _ 函数 当时，单调递 _ _ _ _ ；当时，单调递 _ _ _ _
公共点 经过点 _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； ； ； ； ； ； ； 奇； 偶； 奇； 非奇非偶； 奇； 增； 增； 减； 增； 增； 减； 减；
［例2］
（1） 下列幂函数中，函数为偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知取，四个值，则曲线，，，对应的依次为（ ）
A. ,,,2 B. 2,,, C. ,,2, D. 2,,,
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 中，,则,故 为偶函数，且在 上单调递减，正确；中，的定义域为，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，错误；中，，故 为偶函数，且在 上单调递增，错误；中，，故 为奇函数，错误.故选.
（2） 根据幂函数 的性质，在第一象限内的图象当 时，越大，递增速度越快，故曲线 的,曲线 的;当 时，越大，曲线越陡峭，所以曲线 的，曲线 的.故选.
解决幂函数图象问题应把握的原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为：①在上,指数越大,幂函数图象越靠近轴（简记为指大图低）；②在上,指数越大,幂函数图象越远离轴（简记为指大图高）.
（2）依据图象确定幂指数 与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于或或）来判断.
［跟踪训练2］．（多选）若幂函数 的图象经过点,，则幂函数具有的函数性质有（ ）
A. 的定义域为 B. 的图象过点
C. 在定义域上单调递减 D. 是奇函数
【答案】BD
【解析】选.将,代入 可得，故，故，定义域为，故 错误;，故 正确;在，上单调递减，但在整个定义域上不单调，故 错误；,故 为奇函数，故 正确.
编辑作答空间顺序
三 幂函数性质的应用
角度1 比较幂的大小
［例3］ （对接教材例2）比较下列各组数中两个数的大小.
（1） 与；
（2） 与；
（3） 与.
【答案】
（1） 【解】因为幂函数 在 上单调递增，
又，所以.
（2） 因为幂函数 在 上单调递减，又，
所以.
（3） 因为函数 在 上单调递增，又，所以.
又因为函数 在 上单调递增，且，所以，
所以.
比较幂值大小的方法
（1）若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.
（2）若指数不同,可采用中间值法或估值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小,若中间值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小.
角度2 解不等式
［例4］ 已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的奇函数满足时，.
（1） 求；
（2） 当时，解不等式；
（3） 若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） 【解】 因为 是幂函数，所以有 解得 或，当 时，函数 在区间 上单调递减，不符合题意；当 时，在区间 上单调递增，符合题意，所以，因为函数 是定义域为 的奇函数，则，所以当 时，，,因此
（2） 因为当 时，，所以由，又因为，所以，所以不等式 的解集为.
（3） 当 时，，此时函数单调递增，且，
当 时，，此时函数单调递增，且，而，
因此奇函数 是 上的增函数，于是由
恒成立，又，所以，所以实数 的取值范围为.
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应的幂函数的单调性,将不等式的大小关系,转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数范围,注意分类讨论思想的应用.
［跟踪训练3］．
（1） 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 比较下列各组数的大小：
①与；
②与.
【答案】（1） D
（2） 解：①因为 在 上单调递增且,所以.
②因为 是 上的增函数，且 ,所以 ,所以.
【解析】
（1） 选.幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递增，则 为正偶数，则，则不等式,即，整理得，此不等式等价于 或 解得 或,则满足 的 的取值范围为 或.
培优点 函数的图象与性质
函数是由正比例函数与反比例函数的和构成的，该函数具有以下基本的性质：
（1）函数是奇函数，图象关于原点对称.
（2）函数在，上单调递增，在，上单调递减.
（3）当时，，当且仅当时取等号，即当时，函数在处取得最小值，最小值为2；当时，，当且仅当时取等号，即当时，函数在处取得最大值，最大值为.
一般地，函数有下列性质：
性质
图象
定义域 ，且 ，且
值域 或
单调性 在，上单调递增 在，上单调递增；在，上单调递减
奇偶性 奇函数 奇函数
图象特点 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与 ①关于原点对称； ②图象无限靠近直线与
最值 无最大值，也无最小值 当时，；当时，
［典例］ （多选）下列不等式正确的有（ ）
A. 若，则函数的最小值为2
B. 最小值等于4
C. 当时,
D. 函数最小值为
【答案】CD
【解析】对于，令，则，，，根据 的性质知，在 上单调递增，所以，故 错误；对于，当 时，根据 的性质知，单调递减，所以，故 错误；对于，因为，，所以，当且仅当，即 时，等号成立，故 正确；对于，当 时，，当且仅当，即 时，等号成立，故 正确.
对于函数的最值问题，一是利用基本不等式解决，此时要注意等号能否成立；二是利用函数的奇偶性、单调性等函数性质解决，此时要注意自变量的最值范围及取得最值的条件.
［练习1］．若使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由题意知 使得不等式 成立，只需 即可，当 时，设，故，设，,当 时，单调递增，所以当 时，，即.
［练习2］．函数的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】因为.所以当 时，，
当且仅当，即 时，等号成立.根据“”的性质知，在,上单调递减，在 上单调递增，又，.所以当 时，的值域为,.
课堂巩固 自测
1．已知幂函数 的图象经过点，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】选.因为幂函数 的图象经过点，所以 ，所以.
2．已知,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设,已知,则,在 上单调递减,则,即,故.
3．（教材P142练习T1改编）下列函数既是幂函数又是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.幂函数的图象都经过点，排除；与 不是偶函数，排除，.故选.
4．若是幂函数，且在上单调递增，则的值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】因为 是幂函数，则，则 或，当 时，，不符合题意；当 时，，则 在区间 上单调递增，符合题意，则.
5．若幂函数过点,则满足不等式的实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设幂函数为 ,因为 过点,所以,解得,所以.因为 在 上为增函数,所以由,得,解得.所以满足不等式 的实数 的取值范围是.
1.已学习：（1）幂函数的定义.（2）几个常见幂函数的图象.（3）幂函数的性质.
2.须贯通：利用幂函数图象性质比较大小、解不等式.
3.应注意：幂函数的概念辨析和定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设 ，则，所以，所以.
2．若，则函数的定义域为（ ）
A. B. ， C. , D. ，
【答案】D
【解析】选.易知 的定义域为，则，即，.故选.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由于 和 都是奇函数，故，不满足题意.在 上单调递增，但不是偶函数，故 不满足题意.为偶函数，且在 上单调递增，故 满足题意.
4．已知,若,则下列各式中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】选.因为,所以.又函数 在 上单调递增，所以.故选.
5．如图所示，曲线与分别是函数和在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题图可知，两函数在 上均单调递减，故,.由曲线，的图象可知.故选.
6．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 是偶函数 D. 的单调递增区间为
【答案】ABD
【解析】选.设，则，可得，则，对于 选项，对于函数，有，则函数 的定义域为，正确；对于 选项，，则函数 的值域为，正确；对于 选项，函数 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数，错误；对于 选项，的单调递增区间为，正确.故选.
7．已知幂函数 的部分对应值如表：
1
1
则的单调递增区间是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，所以，即，所以 的单调递增区间是.
8．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，则定义域为，且，，，满足.
9．已知函数，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，幂函数 在 上单调递减，由，得 解得，即不等式的解集为.
10．（13分）已知定义在上的幂函数.
（1） 求；（6分）
（2） 解关于的不等式（7分）
【答案】
（1） 解：由题意得，解得 或，
当 时，，不符合定义域为，舍去；
当 时，，定义域为，符合题意.
所以.
（2） 不等式可化为，即，
当 时，解集为；
当 时，解集为；
当 时，解集为.
B 能力提升
11．已知幂函数的图象与轴和轴没有交点，且关于轴对称，则（ ）
A. 1 B. 0,2 C. ,1,3 D. 0,1,2
【答案】C
【解析】选.因为幂函数 的图象与 轴和 轴没有交点，且关于 轴对称，所以，且 为偶数，由，得，又，所以,0,1,2,3.当 时，，为偶数，符合题意；当 时，，为奇数，不符合题意；当 时，，为偶数，符合题意；当 时，，为奇数，不符合题意；当 时，，为偶数，符合题意.综上所述，,1,3.
12．（多选）已知函数 的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若,则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】选.将点 代入函数 得 ，则，所以，
显然 在定义域 上为增函数，所以 正确.
因为 的定义域为，不关于原点对称，所以 为非奇非偶函数，所以 错误.
当 时，,即,所以 正确.
当 时，
如图，设,
.
易知 成立，所以 正确.故选.
13．（15分）已知幂函数在定义域上不单调.
（1） 函数是否具有奇偶性？请说明理由；（7分）
（2） 若，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意，解得 或，
当 时，，函数 在
上单调递增，不符合题意；
当 时，，
函数 的定义域为，
函数 在 上单调递减，在 上单调递减，
但,，
所以函数 在定义域 上不单调，符合题意，
所以，
因为函数 的定义域关于原点对称，
且，
所以函数 为奇函数.
（2） 由 及 为奇函数，
可得，
即，
而 在 上单调递减且恒小于0，在 上单调递减且恒大于0，
所以
或 或
解得 或.
14．（15分）已知函数.
（1） 若，求的值;（7分）
（2） 若，求函数的最小值.（8分）
【答案】
（1） 解:因为，
所以，
两边平方可得，
所以.
（2） 因为，
所以
，
令，则，
当且仅当，
即 时，等号成立，即，所以，,对称轴方程为，
所以函数 在 上单调递增，
即当 时，，
所以函数 的最小值为.
C 素养拓展
15．（多选）函数与在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选.当，时，为奇函数，定义域为，且在 上单调递减，而 图象开口向下，对称轴为直线，，故 符合，不符合；当 时，函数 的定义域为，且在 上单调递增，图象开口向上，且对称轴为直线，存在，图象和 轴有两个交点，故 符合；当 时，为偶函数，且在 上单调递增，图象开口向上，且对称轴为直线，存在，其图象和 轴没有交点，故 符合.
6.2 指数函数
新课导入
《庄子·天下篇》中写到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完.形象地说明了事物具有无限可分性.你能从函数的角度说明这个问题吗？这就是我们这节所讲的指数函数的图象与性质问题.
学习目标
1.掌握指数函数的图象和性质．
2.会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题．
3.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式．
4.能解决与指数函数有关的综合问题．
第1课时 指数函数的概念、图象及性质
新知学习 探究
一 指数函数的概念
［知识梳理］
一般地,函数①_ _ _ _ _ _ _ _ 叫作指数函数,它的定义域是②_ _ _ _ .
【答案】；
点拨 指数函数的三个特征
（1）指数函数的底数，且；
（2）指数幂的系数为1；
（3）注意区分幂函数和指数函数.
［例1］
（1） （多选）给出的下列函数不是指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 如果函数和都是指数函数，则（ ）
A. B. 1 C. 9 D. 8
【答案】（1） ABD
（2） D
【解析】
（1） 中，的系数是2，故 不是指数函数；中，的指数是，不是自变量，故 不是指数函数；中，的系数是1，幂的指数是自变量，且只有 一项，故 是指数函数；中，的底数为自变量，指数为常数，故 不是指数函数.
（2） 根据题意可得，，则.
已知某函数是指数函数求参数值的方法
（1）依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1,系数等于1列出不等式与方程；
（2）求参数值：解不等式与方程求出参数的值.
注意 解决指数函数问题时，要特别注意底数大于0且不等于1这一条件.
［跟踪训练1］．
（1） 给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
（2） （多选）若函数,且是指数函数，则下列说法正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） C
（2） AC
【解析】
（1） 选.因为指数函数的形式为,且，所以 是指数函数，即 正确；而 中的函数都不满足要求，故 错误.故选.
（2） 选.因为函数 是指数函数，所以,所以,所以,所以,，故，正确.
二 指数函数的图象和性质
思考1．给出指数函数与，如何作出它们的图象？
提示 依次进行列表、描点、连线三个步骤，作出下列图象：
思考2．比较指数函数与的图象,有哪些相同点和不同点？两个函数之间有什么联系？
提示 相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性均相同，都经过；
不同点：单调性、函数值的变化不同；
联系：与这两个底数互为倒数的函数图象关于轴对称.
思考3．再选取底数，，，，在同一个直角坐标系中画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共同的性质？
提示共同的性质：（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减.（2）函数的图象恒过点.
［知识梳理］
的范围
图象
性质 定义域 ①_ _ _ _
值域 ②_ _ _ _ _ _ _ _
定点 ③_ _ _ _ _ _ _ _
单调性 在上是④_ _ _ _ _ _ ；当时, ⑤_ _ _ _ _ _ ;当时,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 在上是⑦_ _ _ _ _ _ ； 当时,⑧_ _ _ _ _ _ _ _ ; 当时,⑨_ _ _ _ _ _
奇偶性 非奇非偶函数
【答案】； ； ； 增函数； ； ； 减函数； ；
［例2］
（1） （对接教材例1）设，，，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知，求的取值范围.
【答案】（1） D
（2） 【解】 ①当 时，函数 在 上是减函数，所以,所以,解得 或;
②当 时，函数 在 上是增函数，所以,所以,解得.综上所述，当 时，的取值范围是;当 时，的取值范围是.
【解析】
（1） 选.因为，又 在 上单调递减，，所以，
所以，
因为 在 上单调递增，编辑作答空间顺序
由，可得，
所以,综上，.故选.
（1）比较大小的3种类型及处理方法
（2）简单的指数不等式的解法
①利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
②解不等式的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即或.
［跟踪训练2］．
（1） 已知,,，则,,的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知指数函数经过点，则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 选.设，则 在 上单调递增，所以，设，则 在 上单调递增，所以，因为，，所以，所以.
（2） 设 且，所以有，解得，即，因此函数 为 上的增函数，因为，所以，解得.
三 指数函数图象
角度1 指数函数图象的特征及辨析
［例3］
（1） 已知,，且的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 或
（2） 如图是指数函数
;;;的图象，则,,,与1的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） C
（2） B
【解析】
（1） 由题中图象知，函数过，，则，所以.又，所以（负值舍去），故，所以.
（2） 方法一：由题中图象可知③④的底数必大于1，的底数必小于1.作直线（图略），在第一象限内直线 与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则,,从而可知，,,与1的大小关系为.
方法二：根据题图可以先分两类：
③④的底数大于1，的底数小于1，再由③④比较,的大小，由①②比较,的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近 轴，从而可知,,,与1的大小关系为.
解决指数函数图象问题的注意点
（1）指数函数，且的图象恒过点.
（2）熟记当底数和时，图象的大体形状.
（3）在轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
［跟踪训练3］．已知,则指数函数,的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由 可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除，，再由 可知应选.
角度2 指数函数的图象变换
［例4］ （对接教材例3）画出下列函数的图象，并说明它们是由函数的图象经过怎样的变换得到的.
（1） ；
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6） .
【答案】
（1） 【解】 如图1所示，的图象是由 的图象向右平移1个单位长度得到的.
（2） 如图2所示，的图象是由 的图象向上平移1个单位长度得到的.
（3） 如图3所示，的图象是由 的 轴右边的图象和其关于 轴对称的图象组成的.
（4） 如图4所示，的图象是由 的图象向下平移1个单位长度，然后将 轴下方的图象对称到 轴上方得到的.
（5） 如图5所示，的图象是由 的图象作关于 轴对称的变换得到的.
（6） 如图6所示，的图象是由 的图象作关于原点对称的变换得到的.
指数函数图象的变换
（1）平移规律：设,
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
④的图象的图象.
（2）对称规律
,且的图象 与的图象关于轴对称
与的图象关于轴对称
与的图象关于坐标原点对称
［跟踪训练4］．函数的图象如图所示,其中,为常数,则下列结论正确的是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】选.从曲线的变化趋势,可以得到函数 为减函数,从而有；从曲线的位置看,是由函数 的图象向左平移 个单位长度得到,所以,即.
课堂巩固 自测
1．若函数是指数函数，则（ ）
A. 或 B.
C. D. 且
【答案】C
【解析】选.因为函数 是指数函数，所以 解得.
2．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，图象过点,是减函数,选项正确.
3．下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为 是增函数，且,所以,故 错误;因为 是减函数，且,所以，故 错误；因为 是增函数，且,所以，故 错误；因为 是减函数,且,所以，故 正确.
4．函数且的图象必过定点_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 且，令，得，，所以 且 的图象必过定点.
5．不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由,
得,解得.
1.已学习：（1）指数函数的概念.
（2）指数函数的图象和性质.
（3）指数函数的图象和性质的应用.
2.须贯通：（1）判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合这一结构形式，即的系数是1，指数是且系数为1.
（2）比较两个指数式值的大小的主要方法
①比较形如与的大小，可运用的单调性.
②比较形如与的大小，一般找一个“中间值”.
（3）解指数不等式要点：
①形如的不等式，借助的单调性求解.
②形如的不等式，可借助图象求解.
3.应注意：忽视指数函数的底数的范围致误.
课后达标 检测
A 基础达标
1．若函数为指数函数，则（ ）
A. 或 B. 且
C. D.
【答案】C
【解析】选.因为函数 为指数函数，
则 解得（负值已舍去）.
2．已知指数函数过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设 且，所以，解得，所以.
3．当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意知,得,即实数 的取值范围是.
4．若,，那么是（ ）
A. 奇函数且在上单调递增
B. 偶函数且在上单调递增
C. 奇函数且在上单调递减
D. 偶函数且在上单调递减
【答案】D
【解析】选.,，定义域关于原点对称，且,所以 是偶函数.当 时，,则 在 上单调递减.故选.
5．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为函数 在区间 上单调递增，所以.因为指数函数 为减函数，所以，所以.
6．（多选）已知实数,满足等式，下列关系式中可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】选.作出函数 与函数 的图象，如图，当 时，根据图象得，故 选项正确；当 时，根据图象得，故 选项正确；当 时，根据图象得，故 选项正确；故不可能成立的是.故选.
7．函数的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】要使函数 有意义，自变量 应满足,
即,
则,解得.
所以函数 的定义域为.
8．函数恒过一个定点，则该点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，得，又，所以函数 恒过定点.
9．若，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 为减函数，所以，所以.
10．（13分）已知指数函数的图象过点，且函数的图象与的图象关于轴对称.
（1） 求函数的解析式;（6分）
（2） 若,求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：设指数函数 且,
因为指数函数 的图象过点，
所以,所以，
所以.
因为函数 的图象与 的图象关于 轴对称，所以.
（2） 由（1）得 为减函数，
因为,
所以,即,解得，所以实数 的取值范围为.
B 能力提升
11．要使函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.函数 的图象与 轴的交点坐标为，且为减函数，要使 图象不经过第一象限，则，解得.
12．（多选）设指数函数,则下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.,故 中的等式正确；,故 中的等式正确；,,故 中的等式错误；,故 中的等式正确.
13．（13分）函数在上的最大值比最小值大,求的值.
解：①当 时，函数 在 上单调递减,所以,,则,解得.
②当 时，函数 在 上单调递增,所以,
,
则,解得.综上所述，或.
14．（15分）已知为定义在上的奇函数，且当时，.
（1） 求；（7分）
（2） 求函数的值域.（8分）
【答案】
（1） 解：因为 在 上为奇函数，
所以.
当 时，，所以，所以,
所以
（2） 当 时，在 上单调递减，所以.
又 为奇函数，
所以当 时，
.
综上，的值域为,,.
C 素养拓展
15．已知函数若存在,,（其中）,使得,则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.作出 的大致图象如图，平行于 轴的直线与 的图象的交点横坐标自左向右依次为,,，
由图可知,,关于 对称，,
所以,则.
由图象知，当 时，,
故 的取值范围是.
第2课时 指数函数及其性质的应用
新知学习 探究
一 指数型函数图象的应用
［例1］
（1） （多选）若直线与函数,且的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A. 2 B. C. D.
（2） 若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） CD
（2）
【解析】
（1） 由题意，直线 与函数,且 的图象有两个公共点，
当 时，的图象如图1所示，由图得，所以；
当 时，的图象如图2所示，由图可得，
所以，结合 可得 无解.
综上可知 的取值范围为.
故选.
（2） 由题意,的图象与 轴有交点，可得方程 有解，所以，
因为，所以，所以实数 的取值范围是.
（1）利用指数函数的图象可以直观得到函数的定义域、值域、对称性、单调性及最值等性质；
（2）利用指数函数的图象还可以解决一些比较大小，求方程的根或解不等式等问题.
［跟踪训练1］．若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意知，与 的图象有两个不同的交点，又 如图所示，
所以.
二 指数型函数的单调性、值域（最值）
［例2］ 判断的单调性,并求其值域.
【解】 令,
.
因为 在 上单调递减,在 上单调递增,
又因为 在 上为减函数,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
因为,
所以,,
所以,
所以函数 的值域为.
母题探究．将本例中函数变为,试讨论的单调性.
解：函数 的定义域为
令,则.
因为 在 上为减函数,在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
函数 的单调性的处理技巧
（1）关于指数型函数的单调性由两点决定,一是底数还是；二是的单调性,它由两个函数,复合而成.
（2）求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成,,通过观察和的单调性,求出的单调区间.
［跟踪训练2］．已知函数.当时，求的最大值和最小值.
解：令，
由，可设，当 时，取得最小值，最小值为，
又，，
故 的最大值为170，最小值为.
三 指数函数的实际应用
［例3］ 某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度（单位：）与时间（单位：）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为,,且,,是常数，如图所示，
（1） 根据图象写出关于的函数表达式；
（2） 据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长.
【答案】
（1） 【解】因为当 时，血液中的药物浓度 与时间 成正比，且过点，所以，
当 时，与 的函数关系式为,,且,,是常数，且过点 和，
所以 所以
所以，
所以
（2） 当 时，
令，得；
当 时，令，得．
因此当 时，药物有效，有效时长为．
解决指数函数应用题的步骤
（1）审题：理解题意,弄清楚关键字词和字母的意义,从题意中提取信息；
（2）建模：根据已知条件,列出指数函数的解析式；
（3）解模：运用数学知识解决问题；
（4）回归：还原为实际问题,归纳得出结论.
［跟踪训练3］．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量大约变为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意，锶89的半衰期约为50天，即，则，所以质量为 的锶89经过30天衰减后，质量大约为.故选.
课堂巩固 自测
1．函数的增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由已知得,的定义域为.
设,.
因为 在 上为减函数,
又因为 在 上为减函数,
所以 在 上为增函数,所以选.
2．设为实数，已知函数的图象关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】选.由题意知，为奇函数，故，即，故，解得.
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】令，.
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 在 上单调递减，
所以有，解得.
4．已知函数在区间上的值域为，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】作出函数 的图象如图，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又，,，
所以若函数 在区间 上的值域为，则实数.
1.已学习：（1）指数函数的图象和性质的应用.
（2）指数函数的实际应用.
2.须贯通：（1）对于形如的函数，可以利用复合函数的单调性（同增异减），确定的单调性.
（2）建立函数模型求解实际问题.
3.应注意：（1）指数函数图象性质的综合应用，不可分割.
（2）实际问题的意义.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知函数的图象恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】选.
因为 的图象恒过定点，所以，所以，所以 为减函数，且过点,，大致图象如图所示,
所以函数 的图象不经过第三象限.
2．若函数在上是减函数,则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.由于底数,所以函数 的单调性与 的单调性相同.因为函数 在 上是减函数,所以 在 上是减函数,所以,即,从而实数 的取值范围是.故选.
3．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造.三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.设排污量平均每年降低的百分率是,则，则,所以,得.
4．函数在区间上的最小值为（ ）
A. B. C. D. 13
【答案】B
【解析】选.令，，所以，对称轴为直线，所以.故 的最小值为.故选.
5．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分且不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由于函数 在 上单调递减，函数 在区间 上单调递减，所以函数 在 上单调递增，则，解得，所以函数 在区间 上单调递减的充要条件为，那么其成立的一个充分且不必要条件可以是.故选.
6．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 实数
B. 函数在定义域上单调递减
C. 函数的值域为
D. 若，则对任意实数，有
【答案】BCD
【解析】选 选项，由题意得，即，解得，经检验，当 时，为奇函数，所以，错误；选项，，因为 在 上单调递增，所以 在定义域 上单调递减，正确；选项，当 时，，,故，即，由 为奇函数，故当 时，，又，故函数 的值域为，正确；选项，因为 为奇函数，所以，故，正确.故选.
7．若函数的值域为，且满足，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可知，函数 的值域为，且函数 为偶函数，满足条件的其中一个函数为.
8．函数的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ ，
值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】令，，在 上单调递增，在 上单调递减，又 是减函数，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，因为，所以，所以所求函数的值域为.
9．函数则函数的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，，在 上单调递增，
所以；
当 时，在 上单调递减，所以；
当 时,，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以.
综上所述，.
10．（13分）有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次.
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解：设该种树的最初栽植量为,甲方案在10年后的木材产量为
.
乙方案在10年后的木材产量为
.
因为,所以,即,
所以10年内乙方案可以得到较多的木材.
B 能力提升
11．[（2025·徐州期末）]已知函数的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
【解析】选.由 得，又当 时，，所以定点为，所以，
，
当且仅当 时，等号成立.
12．（多选）函数，存在实数使得，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】选.
作出函数 的图象如图所示：
因为存在实数 使得，由图可知,，即，正确；因为函数 在 上为增函数，则，所以，正确；，错误；，错误.故选.
13．若方程有唯一实数解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】作出函数 和直线 的图象，如图，由题意知，直线 与函数 的图象的交点只有一个，所以 或.
14．（15分）设函数是定义在上的奇函数.
（1） 求的值，并判断的单调性（无需写出证明过程）；（7分）
（2） 若，且在上的最小值为，求的值.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意可知，解得，
此时，符合题意，即.因为,均在 上单调递增，故 在 上单调递增.
（2） 因为，解得，即,
所以，
令，由（1）可知当 时，，则，
由二次函数的性质可知，当 时，，解得，
当 时，，与前提矛盾舍去.
综上，.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数的定义域为，且为奇函数.
（1） 求，的值；（4分）
（2） 求该函数的值域；（5分）
（3） 若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（6分）
【答案】
（1） 解：由题知，，解得，
即，
又由，可得，解得，所以，经检验,符合题意，所以,.
（2） 由（1）知，，可得函数 在 上为减函数，
又因为，可得，
所以，所以，
所以函数 的值域为.
（3） 对于任意，不等式 恒成立，因为函数 为奇函数，可得，又因为函数 在 上为减函数，可得，即 恒成立，又由，所以，所以实数 的取值范围为 ,.
6.3 对数函数
新课导入
河南汝阳发现了大型恐龙黄河巨龙的化石.同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗 让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧!
学习目标
1.理解对数函数的概念，会求与对数函数有关的定义域问题.
2.掌握对数函数的图象和性质.
3.会进行与对数函数有关的图象变换.
4.会利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小和求解不等式.
5.会求与对数函数有关的实际问题.
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
新知学习 探究
一 对数函数的概念
已知细胞分裂个数与分裂次数满足.
思考1．反过来，是关于的函数吗？
思考2．如果用表示自变量，用表示函数，那么这个函数是什么？
【答案】思考1 提示 是关于的函数.
思考2 提示 这个函数是.
［知识梳理］
一般地,函数①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫作对数函数,它的定义域是②_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
角度1 对数函数的概念
［例1］
（1） 下列函数中是对数函数的有（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知对数函数的图象过点，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） B
（2）
【解析】
（1） 只有 符合对数函数的特征.故选.
（2） 设对数函数，
因为 的图象过点，所以，所以，.所以，
.
判断一个函数是对数函数的方法
注意 对数函数解析式中只有一个参数,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出.
［跟踪训练1］．若点和在同一个对数函数的图象上,则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设对数函数为.则由题意可得,即,所以,即,所以,故由 在函数图象上可得,
所以.
角度2 对数函数的定义域
［例2］ （对接教材例1）
（1） 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
（2） 函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 要使函数 有意义，则需满足 解得 且，所以函数 的定义域为.
（2） 要使函数 有意义，则 解得，
所以函数 的定义域为.
（1）求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则
①分母不能为0；
②根指数为偶数时,被开方数非负；
③对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
（2）求函数定义域的步骤
①列出使函数有意义的不等式（组）；
②化简并解出自变量的取值范围；
③确定函数的定义域.
［跟踪训练2］．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，所以定义域满足 解得.故选.
二 对数函数的图象及性质
思考1．请同学们利用列表、描点、连线的作图步骤，在同一直角坐标系下作出对数函数和的图象.
提示
思考2．通过观察函数和的图象，你能说出这两个对数函数的图象有什么关系吗？
提示 关于轴对称.
［知识梳理］
的范围
图象
性质 定义域 ①_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
值域 ②_ _ _ _
定点 ③_ _ _ _ _ _ _ _
单调性 在上是④_ _ _ _ _ _ ；当时,⑤_ _ _ _ _ _ ; 当时,⑥_ _ _ _ _ _ 在上是⑦_ _ _ _ _ _ ;当时,⑧_ _ _ _ _ _ ;当时,⑨_ _ _ _ _ _
【答案】； ； ； 减函数； ； ； 增函数； ；
［例3］
（1） 如图，若曲线，分别为函数和的图象，则（ ）
编辑作答空间顺序
A. B.
C. D.
（2） （对接教材例4）函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】（1） B
（2） A
【解析】
（1） 作直线（图略），则直线 与曲线，的交点的横坐标分别为,,易知.
（2） 由 得，则函数 的定义域为，排除；又，所以 为偶函数，则图象关于 轴对称，排除；当 时，，排除;因为 为偶函数，且当 时，易知函数 单调递减，中图象符合.
对数函数图象的特点
（1）当时，底数越小，图象越靠近轴.
（2）当时，底数越大，图象越靠近轴.
［跟踪训练3］．
（1） 若函数的图象过定点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知对数函数的大致图象如图所示,已知的取值为,,,,则曲线,,,对应的的值依次是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） ,,,
【解析】
（1） 选.令，则，此时，故定点 的坐标为.
（2） 当 时,对数函数 的图象是上升的，底数越大，图象越靠近 轴；当 时,对数函数 的图象是下降的，底数越小，图象越靠近 轴.故曲线,,,对应的 的值依次是,,,.
三 反函数
［知识梳理］
当,时,称为的①_ _ _ _ _ _ .反之,也称为②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的反函数.
一般地,设，分别为函数的定义域和值域，如果函数存在反函数,那么它的反函数记作,习惯上改写为③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的形式.
【答案】反函数； ；
点拨 指数函数 和对数函数 互为反函数,两者的定义域和值域正好互换,并且图象关于直线 对称.
［例4］ 若函数的图象过定点,则函数的反函数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为对数函数 的图象过定点,
所以函数 的图象过定点,所以,
所以,
所以函数 的反函数是.
求反函数的步骤
（1）反解：把作为已知解出,得;
（2）互换：交换,得;
（3）改写：写出反函数的定义域即原函数的值域,标在解析式后边的括号内.
［跟踪训练4］．若函数是函数的反函数，则的值为（ ）
A. 16 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】选.函数 的反函数是，即.所以.
课堂巩固 自测
1．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.要使函数式有意义,需
解得 且,
故该函数的定义域为.
2．已知函数的图象恒过定点,则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.令，得，则，即函数图象恒过定点，故选.
3．（多选）下列函数中为对数函数的是（ ）
A. B.
C. D. 是常数
【答案】CD
【解析】选.对于，真数是，故 不是对数函数；
对于，，真数是，不是，故 不是对数函数；
对于，的系数为1，真数是，故 是对数函数；
对于，函数的系数为1，底数，真数是，故 是对数函数.故选.
4．若函数为对数函数，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
【答案】3； 2
【解析】由题意得 解得.
所以，所以.
1.已学习：（1）对数函数的概念；（2）对数函数的定义域；（3）对数函数的图象及性质.
2.须贯通：（1）判断是否是对数函数，关键是看函数是否具有的形式.
（2）在对数函数中，底数对其图象直接产生影响，要学会分类讨论.
（3）涉及对数函数定义域问题，常从真数和底数两个角度分析.
3.应注意：讨论和对数函数有关的复合函数的性质时，易忽视函数定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下列函数中为对数函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.函数，的真数不是，,不是对数函数，故,不符合题意；函数 是对数函数，故 符合题意；函数 的底数含有参数，而 的值不能保证 是不等于1的正数，故 不符合题意.故选.
2．已知函数与互为反函数,则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.由题意得,即.
3．函数则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】选.，.
4．已知函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为函数 与函数 互为反函数，所以函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，又 的图象经过点,所以函数 的图象一定经过点.
5．函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.要使函数有意义，则 解得，即函数的定义域为.
6．（多选）在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系中不正确的是（ ）
A. ,
B. ，
C. ，
D. 当时，
【答案】ABC
【解析】选.由题图可知,，所以，不正确；当 时，，所以 不正确；当 时，，，所以，所以 正确.
7．已知函数恒过定点，则_ _ _ _ _ _
【答案】
【解析】因为函数 恒过定点，
所以函数 恒过定点，
可得,，
则.
8．函数的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】要使 有意义，只需满足 即
解得 且，
所以 的定义域为.
9．函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时,,其值域为；当 时,,其值域为,
所以函数 的值域为.
10．（13分）设函数的定义域为.
（1） 若,,求实数的取值范围;（6分）
（2） 若函数的定义域为,求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：由题意,得
解得.故实数 的取值范围是.
（2） 由题意,得 在 上恒成立,则,解得.
故实数 的取值范围是.
B 能力提升
11．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由函数 的定义域为，
所以 恒成立，令.
当 时，,即 不恒成立，舍去；
当 时，若 恒成立，
则需 解得.
综上所述，实数 的取值范围是.
12．（多选）下列四个函数的图象过相同定点的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】选.对于，函数 的图象必过；对于，由 知函数 的图象必过; 对于，由 知函数 的图象必过; 对于，由 知函数 的图象必过,所以，，选项中函数的图象过相同的定点.
13．[（2025·苏州月考）]（13分）已知函数的定义域为，集合.
（1） 求定义域；（5分）
（2） 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意得
解得 或，所以函数 的定义域 或.
（2） 由题意得，集合，
因为“”是“”的充分条件，可得，
所以 或 解得 或，所以实数 的取值范围为 或.
14．（13分）若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
解：由，得，在同一坐标系中作 和 的草图，如图所示.要使 在 内恒成立，
只要 在 内的图象在 图象的上方，于是.
因为当 时，，
所以只要当 时，，所以，即.
又，所以.
即实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．如果函数在其定义域内存在实数，使得为常数成立，则称为“对的可拆分函数”.若为“对1的可拆分函数”，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】,
【解析】根据题意可知，必有，
函数 的定义域为,
则在其定义域 内存在实数，使，
即，
即，
所以，
则
，
又,，
则，，
即.
第2课时 对数函数及其性质的应用
新知学习 探究
一 对数函数的图象及应用
［例1］ （对接教材例4）已知满足，试画出函数的图象.
【解】 因为，
所以，即，
故
所以函数 的图象如图所示.
母题探究1．在本例中，若条件不变，试画出函数的图象.
解：因为，所以 的图象如图所示.
母题探究2．在母题探究1的条件下, 若，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由于，结合图象可知
当 时，实数 的取值范围为.
对数函数图象的变换方法
（1）作的图象时，保留的图象不变，当时，的图象与的图象关于轴对称.
（2）作的图象时，保留在轴及上方的图象不变，把轴下方的图象以轴为对称轴翻折上去即可.
（3）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律.
（4）与关于轴对称，与关于轴对称，与关于原点对称.
［跟踪训练1］．
（1） 已知，且，函数与的图象是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知函数，若且，则_ _ _ _ .
【答案】（1） A
（2） 1
【解析】
（1） 选.由函数 得，即，故函数 的图象应该在 轴的左侧，排除，选项；
对于，由 的图象看，函数单调递减，所以，但从 的图象看，，所以有矛盾，选项错误；
对于，当 时，与 的图象都吻合，故 选项正确.故选.
（2） 画出 的图象如图，
因为，且，
所以 且，，
所以，即.
二 对数函数单调性的应用
角度1 利用对数函数的单调性比较大小
［例2］
（1） 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
（2） 与的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 因为，，所以.
（2） 因为，.又函数 在 上为增函数，所以，从而，因此.
（1）同底数的对数值比较大小：
①同底数的对数式，直接利用对数函数的单调性.
②若底数为同一个参数的对数式，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
（2）对于不同底的对数，可以估算范围，如，从而利用换底公式或借助中间值比较大小.
角度2 解对数不等式
［例3］
（1） 解不等式;
（2） 解关于的不等式：.
【答案】
（1） 【解】原不等式等价于
解得.
所以原不等式的解集为.
（2） 原不等式化为.当 时，函数 在定义域内是增函数，所以 总成立；
当 时，函数 在定义域内是减函数，由，得，即.所以原不等式的解集为，.
两类对数不等式的解法
（1）形如的不等式.
①当时,可转化为；
②当时,可转化为.
（2）形如的不等式可变形为.
①当时,可转化为；
②当时,可转化为.
注意 解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则.
［跟踪训练2］．
（1） 已知,,，则（ ）
A. B. C. D.
（2） 解关于的不等式.
【答案】（1） A
（2） 解：当 时,不等式可化为，则，即，设，不等式化为，解得 或，故 或；当 时，不等式可化为，解得.综上,当 时,不等式的解集为,当 时，不等式的解集为.
【解析】
（1） 选.由题意可得，，.因为函数 在 上为增函数.
所以，则.故选.
三 对数函数的实际应用
［例4］ 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为（单位：万元），销售利润为（单位：万元）.
（1） 写出奖金关于销售利润的解析式；
（2） 如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】
（1） 【解】由题意知
（2） 由题意知，,
即,所以,解得.所以老江的销售利润是34万元.
对数函数应用题的解题思路
（1）依题意，找出或建立数学模型;
（2）依实际情况确定解析式中的参数;
（3）依题设数据解决数学问题;
（4）得出结论.
［跟踪训练3］．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式.已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为10时，大约为（参考数据：）（ ）
A. 50 B. 52 C. 54 D. 56
【答案】B
【解析】选.由题知，
解得 所以，由，得.故选.
培优点 与对数函数有关的复合函数问题
角度1 单调区间问题
［典例1］
（1） 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. , C. , D.
（2） 已知在上是关于的减函数，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） D
（2） ，
【解析】
（1） 由，得 或，则原函数的定义域为 或，令，其对称轴为直线，该函数在 上单调递增，又函数 在定义域内单调递增，所以函数 的单调递增区间是.故选.
（2） 由，得，且，因此函数 是减函数，而，则，由 在 上是减函数，得函数 在 上是增函数，且，
因此 解得，
所以实数 的取值范围是，.
求对数型函数 单调区间的方法
形如的函数的单调性，首先要确保，当时，的单调性在的前提下与的单调性一致.当时，的单调性在的前提下与的单调性相反.
角度2 值域（最值）问题
［典例2］
（1） 函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
（2） 函数的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） ，设，则原式，故函数的最小值为.故选.
（2） 因为，对于函数，则有，
所以，.
与对数有关的复合函数值域（最值）的求法
（1）对于形如,且的复合函数,求其值域（最值）的步骤如下：
①分解成,两个函数;
②根据已知定义域，求的取值范围;
③利用的单调性求复合函数的值域（最值）.
（2）对于形如,且的复合函数,求其值域（最值）的步骤如下:
①分解成,两个函数;
②根据范围，求的值域;
③利用的单调性求复合函数的值域（最值）.
［练习1］．函数,，的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】显然，所以，令，因为，，
所以，则令，当且仅当，即 时，有.
［练习2］．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，在 上单调递增，符合题意；
当 时，由函数 在定义域内单调递增，则函数 在 上单调递增且大于0恒成立，
所以 解得.
综上，实数 的取值范围是.
课堂巩固 自测
1．若 ,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题得,,,所以.故选.
2．（多选）已知函数在上单调递增，则的取值可能为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】CD
【解析】选.因为函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
则 解得.故选.
3．某科技研发公司2025年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加.则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（参考数据：，，，）（ ）
A. 2031年 B. 2032年 C. 2033年 D. 2034年
【答案】C
【解析】选.设 年后该公司全年投入的研发资金为 万元，则，令，解得，将，代入，解得，又，故 的最小值为8，即到2033年，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元.
4．已知对数函数的图象过点,则不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设,
因为,所以,所以,
所以,因为,所以,所以 解得,所以原不等式的解集为.
1.已学习：（1）对数函数的图象及应用；（2）对数函数单调性的应用；（3）对数函数的实际应用.
2.须贯通：（1）解对数不等式，其依据是对数函数的单调性，若底数是字母且范围不明确，一般要分和两种情况讨论.
（2）解决与对数函数相关问题时，要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合，分类讨论.
3.应注意：混淆图象变换中的翻折和对称变换.
课后达标 检测
A 基础达标
1．如图为函数的图象，其中,为常数，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ,
【答案】D
【解析】选.由题图可知,函数，是常数 是减函数，所以,当 时，,即.故选.
2．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由函数 单调递增可知，,又,故,故选.
3．如果,那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由 得,,即.故选.
4．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】选.当 时，，所以 在 上单调递减；
当 时，，所以 在 上单调递减.
其中，所以 在 上单调递减.
因为，所以，即，
解得 或，
所以实数 的取值范围是 或.
5．[（2024· 新课标Ⅰ卷）]已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为函数 在 上单调递增，且当 时,，所以 在 上单调递增，所以，即；当 时，，所以函数 在 上单调递增.若函数 在 上单调递增，则，即.综上，实数 的取值范围是.故选.
6．（多选）函数的图象一定过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】ABC
【解析】选.因为，所以，所以对数函数 经过点，经过第一、四象限，函数 的图象就是把函数 的图象向左平移2个单位长度，所以函数 的图象经过第一、二、三象限.故选.
7．已知，那么实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】当 时，由 得，故；
当 时，由 得，故.
综上可知，实数 的取值范围是.
8．若函数的定义域为，则值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为，
易证 在 内单调递增，
可知 在 内的最小值为，最大值为，
所以值域为.
9．已知奇函数在上是增函数，.若，，，则，，的大小关系为_ _ _ _ _ _ _ _ .（用“ ”连接）
【答案】
【解析】由 为奇函数知，为偶函数.
因为 在 上是增函数且，所以当 时，，
所以 在 上单调递增，且.
又，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，故，所以.
10．（13分）20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为.其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅.
（1） 假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时“标准地震”的振幅是，计算这次地震的震级；（6分）
（2） 5级地震给人的震感已比较明显，则8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（7分）
【答案】
（1） 解：.
即这次地震的震级为4级.
（2） 由题意得
所以，即.
所以.
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍.
B 能力提升
11．函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由 的定义域为，且，得 是偶函数，由此知，错误.又当 时，在 上单调递增，所以 错误，正确.
12．已知偶函数的定义域为，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.因为 是定义域为 的偶函数且，所以不等式 等价于，
又函数 在 上单调递减，所以，所以 或，
所以 或，即满足 的 的取值范围是.
13．（多选）两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：，，，，其中“同形”函数是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】AC
【解析】选.由题知，，
，
，
，
对于，可将函数 的图象向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度得到 的图象，故满足定义，正确；对于，可将函数 的图象向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度得到 的图象，故满足定义，正确；对于，，因为函数 为分段函数，由两部分图形组成，不能单独平移得到其他函数图象，故不满足定义，故,错误.
14．（15分）已知函数.
（1） 求函数的定义域;（4分）
（2） 判断并证明函数的奇偶性;（5分）
（3） 判断函数的单调性（只写出结论即可），并求当时，函数的值域.（6分）
【答案】
（1） 解：由，即，解得，
所以函数 的定义域为.
（2） 函数 为奇函数，证明如下：
由（1）知函数 的定义域为,关于原点对称，
，所以 为奇函数.
（3） ，
由函数 在定义域 上单调递增，函数 也是增函数，
所以由复合函数单调性知，
在其定义域内为增函数.
当 时，，
即函数 的值域为.
C 素养拓展
15．（15分）已知定义在上的函数，且是偶函数.
（1） 求的解析式；（7分）
（2） 当时，记的最大值为，若存在，使，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：记，
因为 为偶函数，所以 恒成立，
即 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，所以，
所以.
（2） 因为 和 在 上都单调递增,
所以 在 上单调递增，
所以,所以 在 上有解，
所以 在 上有解，
即 在 上有解，
因为 在 上单调递增，
所以,
所以,所以.
即实数 的取值范围为，.
阶段提升（八） 幂函数、指数函数和对数函数
（范围：6.1～6.3）
题型一 幂、指、对函数的图象及其应用
1．[（2025·淮安期中）]已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）
A. B. 9 C. D. 3
【答案】C
【解析】选.因为函数 且 的图象恒过定点，又 时，所以，又点 在幂函数 的图象上，设幂函数为，代入点，可得，解得，
所以幂函数为，
所以.
2．如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在题图基础上作出函数 的图象，如图，
当 时，
，
所以 与 的交点为，由图可知 的解集为.
3．已知过原点的直线与的图象交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线与函数交于点，过点作轴的垂线与函数交于点，当平行于轴时，点的横坐标为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】设,,，则，而,，由 轴，得，解得，于是，整理，即，解得，所以点 的横坐标为2.
幂函数、指数函数、对数函数的图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
题型二 幂、指、对函数的性质及其应用
1．已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的定义域是
C. 在上为减函数 D. 为奇函数
【答案】C
【解析】选.设幂函数 ，
由，解得，
所以，选项错误；
的定义域是，选项错误；
在 上为减函数，选项正确；
由定义域可知，函数 为非奇非偶函数，选项错误.
2．已知，且，若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意可得
即 解得，
所以实数 的取值范围为.
3．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数.
（1） 求的值；
（2） 若当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） 解：因为函数 的图象关于原点对称，所以函数 的定义域关于原点对称.因为，所以.易知，令，得，，所以，即，经验证,满足题意.
（2） 因为.所以当 时，.又当 时，恒成立，所以.即实数 的取值范围是.
熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根.函数恒成立或能成立问题往往等价转化为求函数最值问题.
题型三 幂、指、对函数在实际中的应用
1．用打点滴的方式治疗“支原体感染”的病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度.
（1） 求出函数的解析式；
（2） 一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？
（参考数据：,,结果保留一位小数）
【答案】
（1） 解：由题图可知，图象经过，两点，将两点代入，
则 解得
所以.
（2） 由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度为15时为最迟停止注射时间，
故，
解得，
浓度从15降到4为最长间隔时间，
故，
即，
两边同时取以2为底的对数，则，
即
，
所以，
所以病患开始注射后,最迟隔 停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔 开始进行第二次注射.
2．六安瓜片是中国历史名茶、中国十大名茶之一，六安瓜片的口感与水的温度有关.经验表明，六安瓜片用的水泡制，等到茶水温度降至时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的六安瓜片达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测一次茶水温度，温度随时间变化的数据如下：
放置时间/ 0 1 2 3 4
茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：，.
（1） 上述两种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式;
（2） 根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的六安瓜片达到最佳饮用口感的放置时间（精确到）.（参考数据：，）
【答案】
（1） 解：根据题中表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，所以选
，，，
则 解得
所以.
（2） 由，得，
两边同时取以10为底的对数得，，
.
故最佳饮用口感的放置时间为.
函数应用题的解题思路：（1）依题意，找出或建立数学模型.（2）根据实际情况确定解析式中的参数.（3）依题设数据解决数学问题.（4）回归实际问题，得出结论.
阶段小测（八）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由 得，定义域是.
2．若“，”是真命题，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意，，恒成立，因为，所以，所以.
3．已知,，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为，即，且，，所以.
4．函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.令，解得，图象过定点.由题意，，且，所以 的图象由 的图象向上平移一个单位长度得到.
5．已知幂函数的图象过点，，则下列关于说法正确的是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 在上单调递减 D. 定义域为
【答案】C
【解析】选.设幂函数 ,,由题意得，，故，定义域为，错误；定义域不关于原点对称，即 为非奇非偶函数，，错误；由于，故 在 上单调递减，正确.
6．已知，，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.令，，则，又，所以原函数可变为，，所以，，所以 的值域为.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
7．已知函数，且的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的图象不经过第四象限
【答案】BD
【解析】选.对于，由题图可知函数单调递减，则，故 错误；对于，当 时，，由题图可得，解得，故 正确；对于，，由 是增函数，则，故 错误；对于，由，，则函数 是增函数，当 时，，故 正确.
8．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 对定义域内的任意两个不相等的实数,，恒成立
D. 若实数,满足，则
【答案】ABD
【解析】选，所以函数 的定义域为，
，所以，正确；由 得，正确；令，由上知其定义域为，，则，是奇函数，当 时，是增函数，是增函数，因此复合函数 是增函数，从而 是 上的增函数，又 是增函数，所以 是增函数，那么当 时，必有，即，错误；由于，因此由 得，又 是增函数，所以，即，正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.）
9．若幂函数的图象不过原点，则实数的取值为_ _ _ _ .
【答案】1或2
【解析】由已知可得 解得 或.
10．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.经过不懈努力，猪血木不仅实现了人工繁育，还被引种到广州、深圳等地.某地引种猪血木1 000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，则该地的猪血木数量超过2 000株至少需要经过_ _ _ _ 年.（参考数据：,，结果保留整数）
【答案】8
【解析】设至少需要经过 年该地的猪血木数量超过2 000株，由题意得，则，解得.
因为，
所以，即.
11．已知正实数，满足，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由，有，
令函数，因为 和 都是增函数，则 是增函数，
所以，则，即，又因为，，
所以，当且仅当，即 时，等号成立.
故 的最小值为.
四、解答题（本题共3小题，共43分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
12．（本小题满分13分）已知函数，且.
（1） 若函数的图象过和两点，求的解析式；（6分）
（2） 若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值.（7分）
【答案】
（1） 解：，，又，解得，，
所以.
（2） 当 时，在区间 上单调递减，此时,，所以，解得 或0（舍去）；
当 时，在区间 上单调递增，
此时，，，所以，解得 或0（舍去）.
综上，或.
13．（本小题满分15分）已知函数,.
（1） 当时，求的取值范围；（7分）
（2） 通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意知函数 的定义域为，的定义域为，
由 得，
故，解得，
又，故 的取值范围为.
（2） 证明：因为当 时，，，,
当 时，由 可得，即，
当 时，由 可得，即，
故 得证.
14．（本小题满分15分）已知函数.
（1） 设，判断并证明函数的奇偶性；（7分）
（2） 求关于的不等式的解集.（8分）
【答案】
（1） 解：函数 为奇函数，
证明如下：
由 可得，
，
所以 的定义域为，关于原点对称，，
,所以,函数 为奇函数.
（2） 由题意得，，
，
则，
所以，
又，所以，
即，，解得，所以原不等式的解集为.
章末综合检测（六）
（时间：120分钟,满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】选.因为 为幂函数，所以，解得 或，
又 的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
2．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选，令，
所以，
所以.故选.
3．设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，，，
所以.故选.
4．声音的强弱通常用声强级（单位：）和声强（单位：）来描述，二者的数量关系为（,为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意可得
故
则当 时，有，解得.故选.
5．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.令，由 得，，所以函数的定义域为.
又因为 为减函数，在 上单调递减，在 上单调递增，
由复合函数的单调性可知，的单调递增区间是.
6．已知,.若,那么与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.由指数函数和对数函数的单调性知,函数 与 在 上的单调性相同,可排除,.再由关系式 可排除.故选.
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意知 解得
.
8．已知实数，满足，则（ ）
A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0
【答案】A
【解析】选.因为，所以，
所以，令，可知 为 上的增函数，
，即，
所以，所以，
则，所以 有最大值1.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A. 函数为偶函数
B. 函数在上单调递增
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数与的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】选.对于，定义域为,关于原点对称，又，，由于，
所以 为偶函数，正确;
对于，，由于函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，因此 在 上单调递增，正确;
对于，由于函数 为定义域上的偶函数，当 时，在区间 上单调递增，错误;
对于，由于函数 与 互为反函数，所以两者图象关于直线 对称，正确.故选.
10．已知函数若的值域为，则的取值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】AB
【解析】选.在同一坐标系中画出函数 及 的图象，
结合图象，若，当 时，
，
当 时，，其中，
故 的值域为，不符合题意，故舍去；
当 时，易得当 时，
，
当 时，，
此时，故 的值域为，符合要求；
当 时，易得 时，
，
当 时，，
故 的值域为，符合要求.
综上所述，的取值可以是3,4，不能是5或6.故选.
11．已知函数的图象关于轴对称，且，，都有.若不等式对恒成立，则的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】选.因为函数 的图象关于 轴对称，
所以 的图象关于直线 对称，又，，都有，
所以函数 在 上单调递增，
因为不等式 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
令，则，
则，
所以，对 恒成立，
因为，，，
故，所以，正确，，错误.故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数则的值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为函数
所以，
所以.
13．已知定义在上的奇函数，当时，.当时，_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为 为定义在 上的奇函数，且当 时，，则，解得，
即当 时，，
当 时，，
.
14．已知正数，满足，则_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为正数，满足，其中 恒成立，故，
变形得到，
令，，
任取，且，
则，即，
故 在 上单调递增，
故，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）已知函数为定义在上的偶函数，当时，.
（1） 求的解析式；（6分）
（2） 求方程的解集.（7分）
【答案】
（1） 解：因为函数 为定义在 上的偶函数，当 时，，
所以任取，则，
此时，
所以
（2） 当 时，令，
即，
令，则，解得 或，
当 时，，
当 时，，
根据偶函数对称性可知，当 时，符合题意的解为，.
综上，原方程的解集为，，1，.
16．（本小题满分15分）已知对数函数的图象经过点.
（1） 求函数的解析式；（7分）
（2） 如果不等式成立，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为函数 的图象过点，
所以,即,
因为,所以.
所以函数 的解析式为.
（2） 由（1）得,
不等式 等价于,
即,
即 解得.
所以实数 的取值范围是.
17．（本小题满分15分）已知函数.
（1） 当时，求该函数的值域；（7分）
（2） 若不等式在上有解，求的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：因为，由对数函数单调性可知，当 时，，
令，，即可得
，，
易知 的图象开口向上，对称轴为直线，
由二次函数性质可知当 时，，当 时，，
所以可得当 时，函数 的值域为.
（2） 当 时，可得，令，，
可得，即 在 上有解，
整理可得 在 上有解，
易知函数 在 上单调递增，当 时，，
所以 的取值范围是.
18．（本小题满分17分）“强国必先强农，农强方能国强”，某乡镇将自身定位为“生态水果特色小镇”，为乡村的全面振兴探索出了适合自己的道路.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元，且,，
（1） 求实数，的值;（8分）
（2） 已知这种水果的市场售价大约为30元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大 最大利润是多少 （9分）
【答案】
（1） 解：因为，，
所以
解得
（2）
当 时，，
令,则，
在 上单调递减，在 上单调递增，
,，所以，
根据对数型函数的单调性，
可知当 或 时，；
当 时，
，
当且仅当 即 时，等号成立.
因为，所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为645元.
19．（本小题满分17分）已知函数，.
（1） 若，函数在上的最大值，求的值；（8分）
（2） 对任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：当 时，，
所以函数 的对称轴为直线，由，
①当，即 时，
,解得 或（舍去），所以;
②当，即 时，
,解得（舍去）.
综上,.
（2） 由题意知，，
的对称轴为直线，
当，即 时，，
当，即 时，
，
当，即 时，.
综上,
因为 在 上单调递增，
所以，
所以当 时显然不成立，当 时，成立，
当 时，令，
解得，故.
综上，实数 的取值范围是.
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