苏教版高中数学必修第一册第8章函数应用课时学案（教师用）

第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
新课导入
如图所示，小亮同学正在小河旁“打水漂”，小石子的运动轨迹与时间的关系是不是函数关系？若是，该函数图象与水面的交点的情况如何？
学习目标
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系.
2.了解函数零点存在定理.
3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
4.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
新知学习 探究
一 函数的零点
思考．我们已经学习过二次函数的零点，这里的零点是几何中的“点”吗？
提示 不是，它是指使得的实数.
［知识梳理］
（1）概念:一般地,我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点.
（2）方程的解、函数的图象与轴的交点、函数的零点三者之间的联系.
点拨 （1）函数的零点是实数,而不是点.如函数 的零点是,而不是.
（2）并不是所有的函数都有零点,如函数,均没有零点.
（3）若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
［例1］
（1） 求函数的零点.
（2） 求函数的零点.
【答案】
（1） 【解】当 时,令,解得 或（舍去）;
当 时,令,解得.
所以函数 的零点为 和.
（2） 由，
得，
所以 或，
所以 或.
所以函数 的零点是1或10.
函数零点的求法
（1）代数法：求方程的实数根.
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来.图象与轴交点的横坐标即为函数的零点.
［跟踪训练1］．
（1） 下列图象表示的函数中没有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为 （ ）
A. ， B. ，，1，
C. ，1， D. ，1，
【答案】（1） C
（2） D
【解析】
（1） 选.函数的零点为函数图象与 轴交点的横坐标，其中只有选项 与 轴没有交点，所以没有零点的是.故选.
（2） 选.因为 是定义在 上的奇函数，当 时，，所以
所以
由 解得 或；
由
解得 或（舍去），
所以函数 的零点的集合为，1，.
二 函数零点存在定理
［知识梳理］
条件 函数在区间上的图象是一条①_ _ _ _ _ _ 的曲线,且②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
结论 函数在区间上有零点
【答案】不间断；
点拨 （1）闭区间 上的连续函数，是函数有零点的充分不必要条件.
（2）满足定理条件，则函数 在 上存在零点，但不一定唯一；若函数 在 内单调，则零点唯一.
［例2］ （多选）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
1 2 3 4 5 6 7
1 4 2
在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】由所给的函数值表知，,,,,由函数零点存在定理可知,在区间,,内各至少有一个零点，故选.
确定函数 零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若，则函数在区间内必有零点.
（2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断.
［跟踪训练2］．
（1） 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数的零点所在的区间为，则正整数的值为_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 1
【解析】
（1） 选.方法一：因为，，为 上的连续函数，
所以 在区间 上有零点.
方法二：令，即，
所以原函数的零点所在区间即为函数 和 的图象交点的横坐标所在的区间.在同一平面直角坐标系内画出 和 的图象，如图，
由图象可得函数 和 的图象交点的横坐标所在的区间为.
（2） 因为函数 在 上为增函数，且，，所以 的零点所在的区间为，所以正整数 的值为1.
三 函数零点个数问题
角度1 判断函数零点个数
［例3］ 求函数的零点个数.
【解】 方法一：因为,,
所以 在 上必定存在零点.又显然 在 上为增函数,故函数 有且只有一个零点,零点个数是1.
方法二：
在同一平面直角坐标系中作出 和 的草图.由图象知 的图象和 的图象有且只有一个交点,即 有且只有一个零点.故零点个数是1.
判断函数零点个数的3种常用方法
（1）利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
（2）画出函数的图象,判定它与轴的交点个数,从而判定零点的个数.
（3）转化成两个函数图象的交点问题.
［跟踪训练3］．
（1） 函数的零点的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2） 函数的零点的个数是_ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2） 2
【解析】
（1） 选.当 时，令，解得 或；
当 时，令，解得.综上所述，函数 共有3个零点.
（2） 由题意得，的定义域为,且.如图，在同一平面直角坐标系中画出函数 与 的图象，由图知函数 与 的图象有两个交点.
故函数 的零点有2个.
角度2 根据函数零点个数求参数范围
［例4］ 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】函数 的图象如图所示.
函数 有两个不同的零点，等价于 的图象与直线 有两个不同的交点，
由图知实数 的取值范围为.
根据函数零点个数求参数范围的方法
（1）直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围.
（2）分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数的值域问题加以解决.
（3）数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
［跟踪训练4］．已知函数,且有且仅有两个零点,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.令 得,分别作出函数 和 的图象.当 时,函数 和 的图象如图1所示,由图象可知函数 和 的图象有两个交点,所以 有两个零点,符合题意.
当 时,函数 和 的图象如图2所示，
由图象可知 和 的图象有一个交点,所以 有一个零点,不符合题意.
综上,实数 的取值范围为.
培优点 复合函数的零点问题
复合函数的零点，通常先“换元拆解”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
解复合函数零点问题一般可分为以下三个步骤: （1）换元：令，，为“内函数”，为“外函数”；（2）作图：作出“外函数”的图象与“内函数”的图象；（3）观察图象分析求解.
［典例］
（1） 已知函数则方程的不相等实根共有（ ）
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
（2） 函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 函数 的图象如图所示.由 可知 或，根据图象可知，方程 有3个不相等的实根，方程 有4个不相等的实根，所以方程 的不相等实根共有7个.
（2） 设，令，则.在同一平面直角坐标系内作，的图象（如图）.
当 时，与 的图象有两个交点.
设交点的横坐标为，（不妨设），
则，.
当 时，有一解；
当 时，有两解.
综上，当 时，函数 有三个不同的零点.
［练习1］．已知函数则函数的零点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】选.
作出函数 的大致图象如图所示，由，得.令，则，令，得，令，得.由图象知，，即，各有两个不相等的实数根，所以函数 有4个零点.故选.
［练习2］．已知函数函数，若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 恰好有5个不同的零点，所以方程 有5个根，可得，有 或，不妨设，如图，
可知，,,,可得，故.
课堂巩固 自测
1．下列函数没有零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.函数，没有满足方程 的解，因此没有零点.
2．（多选）若函数的唯一零点同时在区间,,内，则下列说法不正确的是（ ）
A. 函数在区间内有零点
B. 函数在区间或内有零点
C. 函数在区间内无零点
D. 函数在区间内无零点
【答案】ABC
【解析】选.因为函数 唯一的一个零点同时在区间,,内，所以函数 唯一的一个零点在区间 内，可知函数 在区间 内无零点.故，，不正确，正确.故选.
3．函数的零点是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】3,
【解析】令，即，解得 或，所以函数 的零点是3，.
4．若函数在上恰有一个零点，试写出一个实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1（答案不唯一）
【解析】不妨取，则，则,，即得，又 图象（图略）的对称轴为直线，则 在 上单调递增，故 在 上恰有一个零点.
1.已学习：（1）函数零点的概念.
（2）函数零点存在定理及其应用.
2.须贯通：（1）转化法：函数的零点可转化为方程的根，还可转化为函数图象与轴的交点的横坐标.
（2）数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题.
3.应注意：（1）零点不是点，而是数，是函数图象与轴交点的横坐标.
（2）函数零点存在定理的应用条件.
课后达标 检测
A 基础达标
1．函数的零点一定位于区间 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.,
,
即，又 在 上为增函数，故函数 的零点一定位于区间.
2．函数的零点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】选.令，得，画出函数 与 的图象，
可得这两个函数在 上的图象有唯一交点，故 的零点个数为1.故选.
3．已知的零点在区间,上，,则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】选.由题意可知，在 上为增函数，
因为，，
则 的零点在区间,上，可得 又,解得.
4．若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为 的零点所在的区间为，且 在 上为增函数，所以，即，解得.故选.
5．若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.因为函数 有零点，所以方程 有解，
即方程 有解，
因为，
所以，即，
因此.
6．（多选）已知函数的零点在区间上，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】AB
【解析】选.因为 在区间 上单调递增，且零点在区间 上，
所以 即
所以.
结合选项可知 的可能取值为，.
7．已知函数的零点是2，则_ _ _ _ .
【答案】3
【解析】由题意得，解得.
8．函数在定义域内的零点个数为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】由题意可知 的定义域为.在同一平面直角坐标系中画出
函数,的图象,如图所示.
由图可知,函数 在定义域内的零点个数为2.
9．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方法一：由题可知函数 的图象的对称轴方程为,要满足题意，
则 解得.
方法二：令，得，
即当 时，直线 与 的图象有两个交点，
如图，可知.
10．（13分）已知函数.
（1） 当时，求函数的零点；（6分）
（2） 若有零点，求实数的取值范围.（7分）
【答案】
（1） 解：当 时，.令，即，
解得 或（舍去）.
所以，所以函数 的零点为0.
（2） 若 有零点，则方程 有解，
于是，
令，则，且.所以 在 上为增函数，值域为，所以，,即实数 的取值范围是.
B 能力提升
11．已知关于的方程的唯一解在区间,内，则的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】选.由题意得，函数 的唯一零点在区间,内，
由，且，
由零点存在定理可得 在,上有零点，
又因为函数 的唯一零点在区间,内，
则 所以.
12．如图所示，定义域和值域均为的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美.则函数在上最大值是_ _ _ _ ，方程的解的个数为_ _ _ _ .
【答案】3； 4
【解析】观察题图知，函数 在 上的最大值是；
令，由 得，或，
若，根据题图，可知该方程有三个不相等的实数根，
若，根据题图，可知该方程有一个实数根，
所以方程 的解的个数为4.
13．（15分）已知函数.
（1） 当实数分别为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；（5分）
（2） 若函数恰有一个零点在原点处，求的值；（5分）
（3） 若有两个实数根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数的取值范围.（5分）
【答案】
（1） 解：若函数有两个零点，则对应方程 有两个不相等的实数根，易知，即，可解得;
同理，若函数有一个零点，则，可解得；
若函数无零点，则，可解得.
故当 时，函数有两个零点；
当 时，函数有一个零点；
当 时，函数无零点.
（2） 由题意知0是对应方程的根，
故有，解得.
（3） 由题意并结合函数 的图象（图略）可得，
即，则.
故实数 的取值范围为.
14．（15分）定义在上的奇函数和偶函数满足.
（1） 求函数和函数的解析式；（7分）
（2） 设函数，若在内有且只有一个零点，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：由，①
得，
又 为奇函数，偶函数，
即，②
由①②联立，解得，.
（2）
.
①当 时，，得，不符合题意；
②当 时，由当 接近1时，无限接近于0，得若满足题意，则，
即，解得.
综上，满足题意的实数 的取值范围是.
C 素养拓展
15．给定函数，，对于，用表示，中较小者，记为,，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由 解得 或 函数 和 的图
象相交于点 和，
在平面直角坐标系内根据函数 和 的图象，由,，作出 的图象，如图所示，
方程 恰有三个不相等的实数根，则 的图象与直线 有三个交点，由图象可知实数 的取值范围为.故选.
8.1.2 用二分法求方程的近似解
新课导入
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了一处故障，如果沿着线路一小段一小段查找，每查一个点要爬一次电线杆，长的线路大约有200根电线杆. 事实上，维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能把故障排除了.你知道他是如何做到的吗？
学习目标
1.了解二分法的原理及其适用条件．
2.掌握二分法的实施步骤．
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
新知学习 探究
一 二分法的概念
在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖励给选手.某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”.
思考1．如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？
思考2．通过这种方法能猜到具体价格吗？
【答案】思考1 提示 接下来应猜“600”，即区间的中点值.
思考2 提示 可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格.
［知识梳理］
条件 （1）函数在区间上①_ _ _ _ _ _ _ _ ； （2）在区间端点的函数值满足②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
方法 不断地把函数的零点所在的区间③_ _ _ _ _ _ _ _ ,使区间的两个端点逐步④_ _ _ _ _ _ _ _ ,进而得到零点近似值
【答案】连续不断； ； 一分为二； 逼近零点
点拨 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点（曲线通过零点,且在零点两侧函数值异号）,对函数的不变号零点（曲线通过零点,且在零点两侧函数值不异号）不适用 .
［例1］
（1） （多选）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（ ）
A. B.
C. D.
（2） 设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定方程的近似解所在区间为（ ）
A. 或都可以 B.
C. D. 不能确定
【答案】（1） BCD
（2） B
【解析】
（1） 根据二分法的定义，知函数 在区间 上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间 一分为二，逐步得到零点的近似值.对于，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故 错误.对于，，，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故，，正确.故选.
（2） ，，第一次取，有，故第二次取，有，故此时可确定方程的近似解所在区间为.
运用二分法求函数的零点应具备的条件
（1）函数图象在零点附近连续不断;
（2）在该零点左右的函数值异号.
只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数的零点.
［跟踪训练1］．
（1） （多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A. B.
C. D.
（2） 函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） ACD
（2） ,
【解析】
（1） 选.，，当 时，；当 时，，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，故 错误.其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，能用二分法求零点，故,,正确.
（2） 设，则,，取区间 的中点为，，所以可确定 所在的区间为,.
二 二分法求方程近似解的操作流程
［知识梳理］
【答案】
［例2］ （对接教材例3）已知函数.用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确到）.
【解】 因为函数 在区间 上是连续且单调的，
可知其在区间 上的零点即为方程 在区间 上的解，
且，，可得 在 内有且仅有一个零点，
在区间 上利用二分法列表如下：
区间 中点 函数值
2.5
2.75
2.625
因为 与2.625精确到0.1的近似值都是，所以方程 在区间 上的一个近似解为2.6.
二分法求近似解的基本方法
（1）依据函数图象估计零点所在的初始区间（一般采用估计值的方法完成）.
（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
［跟踪训练2］．用二分法求在内的近似解（精确到）.参考数据：
1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75
2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36
解：令，则，.用二分法逐步计算，列表如下：
区间 中点 函数值
1.5
1.25
1.375
因为1.375与 精确到0.1的近似值都为，所以 在 内的近似解可取为1.4.
三 二分法思想的实际应用
［例3］ 工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起，从其外形无法分辨，仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点，现用一台天平，通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币，则最少只需称量（ ）
A. 4次 B. 5次 C. 6次 D. 7次
【答案】C
【解析】将64枚纪念币均分为两组，分别称其质量，假的一定在轻的那一组，再将这一组（共32枚）均分为两组，称其质量，这样一直均分下去，6次就能找出那枚假的，即最少只需称量6次.故选.
二分法的思想方法除了可以用来处理生活中的对称问题,还可以处理一些现实中的不对称问题.要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用.
［跟踪训练3］．“从地到地的海底电缆有15个接点”,现某接点发生故障,需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,则怎样检测最合理
解：如图所示,把从 地到 地的海底电缆抽象成一条线段,图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1,2,3, ,15.先检查最中间的接点,即第8号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点,检查完毕；若其中一端为断路,则故障点必在此端.假设此时左端断路,则检查 号中间的接点,即第4号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点,检查完毕；若其中一端为断路,则故障点必在此端.假设此时左端断路,则检查 号中间的接点,即第2号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点；若左端断路,则故障点为第1号接点；若右端断路,则故障点为第3号接点,到此检查完毕.
课堂巩固 自测
1．已知函数的图象如图，则零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ ）
A. 4,4 B. 3,4 C. 5,4 D. 4,3
【答案】D
【解析】选.图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右两侧函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.
2．用二分法求函数的零点时,第一次所取的区间可选为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.,,,,,则,即初始区间可选.
3．已知函数，，用二分法逐次计算时，若是的中点，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意，，.
4．用二分法求函数的一个零点,其参考数据如下：
的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003
据此数据,可得方程的一个近似解（精确到）可取_ _ _ _ .（答案不唯一）
【答案】1.56
【解析】由题知,,因为 与 精确到0.01的近似值都为,所以原方程的一个近似解可取1.56.
1.已学习：（1）二分法的概念.
（2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解.
2.须贯通：（1）化归思想：把求方程的近似解转化为求函数的近似零点.
（2）逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想.
3.应注意：并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足条件：
（1）在区间上的图象连续不间断；
（2）的函数方可采用二分法求得零点的近似值.
课后达标 检测
A 基础达标
1．已知定义在上的函数的图象是连续不间断的，且有如下对应值表：
0 1 2 3
3.1 0.1
那么函数一定存在零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为，所以 在 内一定存在零点.
2．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.令，易得函数 在 上是增函数，,，所以函数 在区间 上有唯一零点，所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是.故选.
3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表所示.那么方程的一个近似解（精确到）可以是（ ）
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
【答案】C
【解析】选.因为，，所以，所以函数在 内有零点;
因为，所以，所以函数在 内有零点；
因为，所以，所以函数在 内有零点；
因为，所以，所以函数在 内有零点，
又区间 内所有数精确到0.1 的近似数都是，
所以方程 的一个近似解（精确到）可以是1.4.故选.
4．已知函数在区间上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，，，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数在区间，内一定有零点
B. 函数在区间，或，内有零点
C. 函数在区间，内无零点
D. 函数在区间，或，内有零点，或零点是
【答案】D
【解析】选.根据二分法原理，依次“二分”区间后，函数 应在，或，内有零点，或零点是.故选.
5．（多选）用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表.
1.25 1.375 1.422 1.5
0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 方程有实数解
C. 若精确到，则近似解可取为1.4
D. 若精确到，则近似解可取为1.43
【答案】BC
【解析】选.因为 与 都是 上的增函数，
所以 是 上的增函数，
所以 在 上至多有一个零点，由表格中的数据可知，，，
所以 在 上有唯一零点，零点所在的区间为，
所以，错误；方程 有实数解，正确；
,,
又区间 内所有数精确到0.1的近似数都是，则近似解为，正确；
,,
但是1.422与 精确到0.01的近似值不同，所以近似解不为，错误.故选.
6．（多选）下列函数的零点能用二分法求解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于 选项，在 上为增函数，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；对于 选项，在 为增函数，且与 轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解；对于 选项，恒成立，所以不能用二分法求解；对于 选项，，在 上单调递增，上单调递减，且，则零点两侧函数值异号，可用二分法求解.故选.
7．若函数有零点,但不能用二分法求出,则,的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数 有零点,但不能用二分法,所以函数 的图象与 轴相切,所以,所以.
8．已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算，的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为，，
取 的中点，则，
所以，函数 的零点在区间,内，
故 为区间 的中点值，因此，.
9．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是_ _ _ _ .（填写所有正确的序号）
；；；；.
【答案】①②④
【解析】由二分法的步骤可知，因为零点在 内，则有，则 与 符号不同，不妨设，，故①正确；取中点2，因为零点在 内，则有，则，，故②正确；取中点1，因为零点在 内，则有，则由 知，故③错误；取中点，因为零点在 内，则有，则由 知，故④正确；取中点，因为零点在 内，则有，则由 知，故⑤错误，所以与 符号不同的是，，.
10．（13分）已知函数在区间上有一个零点.
（1） 求实数的取值范围；（6分）
（2） 若，用二分法求方程在区间上的解.（7分）
【答案】
（1） 解：若，则，与题意不符；
若，则易得 在 上是一条单调连续的曲线，
因为 在区间 上有一个零点，所以，
解得，
故实数 的取值范围为.
（2） 若，则，
所以，，
，
所以函数 的零点在区间 内，
又，且 在区间 上单调递增，
所以方程 在区间 上的解为.
B 能力提升
11．表示不超过的最大整数,例如,.已知是方程的根,则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】选.令,
当 时,,
当 时,,
即,即表示 在 上有零点或者方程 在 内有根.所以.故选.
12．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确到）时，依次计算得到如下数据:,,,，关于下一步的说法正确的是（ ）
A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
【答案】C
【解析】选.由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，,但 内的数精确到0.1的近似数不相等，故没有达到精确的要求，应该接着计算 的值.
13．用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表：
1.00 1.25 1.375 1.50
则由表中的数据，可得方程的一个近似解（精确到）为（ ）
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
【答案】B
【解析】选.因为，故根据二分法思想，函数 的零点在区间 内，由于1.25与1.375精确到0.1的近似值不同，需要再取其中点，可估算，所以 的零点在区间 内，其精确到0.1的近似值为1.3.
14．（13分）已知函数在上单调递增，用二分法求方程的正根（精确到）.
解：由于函数 在 上单调递增，故在 上也单调递增，
因此 的正根最多有一个.
因为，，
所以方程的正根在 内，取 为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点值 中点函数近似值
0.5 0.732
0.25
0.375 0.328
0.124
因为0.25与 精确到0.1的近似值都为，
所以 的正根约为0.3.
C 素养拓展
15．（15分）已知函数.
（1） 判断的奇偶性；（7分）
（2） 方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由.注：区间的长度为.（8分）
【答案】
（1） 解：要使函数有意义，则 解得，即定义域关于原点对称，
又，
所以 为奇函数．
（2） 由题意知方程 等价于，
可化为，.
设，.
则，，
因为函数 的图象连续不断，且，故方程 在 上必有实根．
又，
所以，
故方程 在 上必有实根．又区间长度，
所以满足题意的区间为.
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
新课导入
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.对于一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
学习目标
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
新知学习 探究
一 三种函数模型的性质
［知识梳理］
类别
在上的增减性 ①_ _ _ _ _ _ _ _ ②_ _ _ _ _ _ _ _ ③_ _ _ _ _ _ _ _
图象的变化趋势 时,增长速度越来越快；时,增长速度越来越慢 随的增大逐渐近似与④_ _ _ _ _ _ 平行 随的增大逐渐近似与⑤_ _ _ _ _ _ 平行
增长速度 （1）随着的增大,增长速度⑥_ _ _ _ _ _ _ _ ,即使 的值远远大于的值,的增长速度最终都会大大超过的增长速度； （2）随着的增大,增长速度⑦_ _ _ _ _ _ _ _ ,在一定范围内,可能会大于,但由于的增长慢于的增长,因此总会存在一个,当时,恒有⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
【答案】单调递增； 单调递增； 单调递增； 轴； 轴； 越来越快； 越来越慢；
点拨 在区间 上,总存在,使得当,,时,成立.
［例1］
（1） 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
0 1.00 2.0 3.0
在四个函数模型,为待定系数中，最能反映,函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
（2） （多选）如图,能使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） C
（2） BC
【解析】
（1） 由题，作出散点图如下，
由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择 反映,函数关系.
（2） 结合图象可知,当 时,.故选.
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
［跟踪训练1］．
（1） 当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是 （ ）
A. B. C. D.
（2） 已知三个变量,,随变量变化的数据如下表：
1 2 4 6 8 …
2 4 16 64 256 …
1 4 16 36 64 …
0 1 2 2.585 3 …
则反映,,随变化情况拟合较好的一组函数模型是（ ）
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
【答案】（1） A
（2） B
【解析】
（1） 选.比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，当 越来越大时，指数函数的图象增长速度最快.故选.
（2） 选.从题中表格可以看出，三个变量,,都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量 的增长速度最慢，呈对数型函数变化.
二 函数模型的选取
［例2］ 某中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.该商品的日销售量（单位：个）与时间（单位：天）部分数据如下表所示：
天 20 25 45 60
个 1 680 1 670 1 690 1 720
给出以下两种函数模型：；.
（1） 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（2） 求该商品的日销售收入的最小值.
【答案】
（1） 【解】由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量先减后增.
若选择①，由表可知，把点，代入，得
即
所以,
把点,代入，，
，故不符合题意，舍去；
故只能选②，把点，代入，
得 解得
求得.
把点，代入，，，所以选择②.
（2） 由（1）知
所以
当 时，在区间 上是单调递减的，
当 时，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时，取得最小值，
且.
故该商品的日销售收入 的最小值为1 764元.
不同函数模型的选取标准
（1）线性函数增长模型适合描述增长速度不变的变化规律.
（2）指数函数增长模型适合描述增长速度急剧的变化规律.
（3）对数函数增长模型适合描述增长速度平缓的变化规律.
（4）幂函数增长模型适合描述增长速度一般的变化规律.
［跟踪训练2］．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金（单位：万元）是销售利润（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润为0万元时，总奖金为0万元；③销售利润为30万元时，总奖金为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择：
A.;
B.;
C..
（1） 请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2） 根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
① 如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
② 总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】
（1） 解：模型，因为，所以匀速增长，
模型，因为，所以先慢后快增长，
模型，
因为，所以先快后慢增长，
所以模型 最符合题意.
（2） 因为销售利润 为0万元时，总奖金 为0万元，所以，即，
又因为销售利润 为30万元时，总奖金 为3万元，
所以，即，
由 解得
所以，
（2） ① 如果总奖金不少于9万元，
即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
② 设，
即，
因为 与 有交点，且 增长速度比 慢，所以当 时，恒在 的下方，
所以 无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
课堂巩固 自测
1．下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.指数函数，在 时呈爆炸式增长，而且 越大，增长速度越快.
2．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用（ ）
A. 一次函数 B. 幂函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数
【答案】D
【解析】选.初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映 与 的关系.
3．在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：
0.5 0.99 2.01 3.98
0.98 2.00
在四个函数模型中，最能反映，函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选.对于，当 时，，与表格相差过大，故排除；
对于，当 时，，与表格相差过大，故排除；
对于，当 时，，与表格相差过大，故排除；
对于，由对数函数性质知，表格里的数与 上的点相差较小，故正确.
4．若，，那么当足够大时，，，的大小关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
1.已学习：幂函数、指数函数、对数函数增长趋势的比较.
2.须贯通：掌握3类不同增长的函数模型:
（1）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.
（2）增长速度较慢的函数模型是幂函数型模型.
（3）增长速度平稳的函数模型是对数型函数模型.
3.应注意：函数值大小关系比较时要注意所给区间.
课后达标 检测
A 基础达标
1．下表是函数值随自变量变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
4 5 6 7 8 9 10
15 17 19 21 23 25 27
A. 一次函数模型 B. 幂函数模型
C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
【答案】A
【解析】选.根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
2．有一组实验数据如下表所示：
1 2 3 4 5
1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.通过所给数据可知 随 的增大而增大，其增长速度越来越快，而，中的函数增长速度越来越慢，而 中的函数增长速度保持不变.
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加的面积分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加的面积（单位：万公顷）关于年数（单位：年）的函数关系较为近似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选.将,2,3，,,分别代入验算得，中的函数能较好的与题中数据对应.
4．（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，以下说法正确的是（ ）
A. 当时，乙走在最前面
B. 当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
【答案】BCD
【解析】选.，，，相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数模型.当 时，，，，不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当 时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当 时，丁走在最前面，当 时，丁走在最后面，正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，正确.
5．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
1.99 3 4 5.1 8
0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个函数模型：
；；；；.
请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_ _ _ _ .（填序号）
【答案】④
【解析】画出散点图如图所示，由图可知上述散点大体在函数 上，故函数 可以近似地反映这些数据的规律.
6．某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（单位：元）与通话时间（单位：分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象填空：
（1） 通话5分钟，需付电话费_ _ _ _ 元；
（2） 如果，则电话费（单位：元）与通话时间（单位：分钟）之间的函数关系式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 6
（2）
【解析】
（1） 由图象知，当 时，，需付电话费6元.
（2） 当 时，关于 的图象是一条直线，且经过 和 两点，故设函数关系式为，
则 解得
故电话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系式为.
7．（13分）函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，，且.
（1） 请指出图中曲线，分别对应的函数；（6分）
（2） 结合函数图象，比较，，，的大小.（7分）
【答案】（1） 解：由题图可知，曲线 对应的函数为，对应的函数为.
（2） 因为，，
所以.
因为，，
所以，所以.
从图象上可以看出，当 时，
，所以.
又，
所以.
B 能力提升
8．某公司为了实现100万元利润的目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合要求的是参考数据：，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.对于函数，
当 时，，不符合题意；
对于函数，
当 时，，不符合题意；
对于函数，不满足单调递增，不符合题意；
对于函数，满足当 时，函数单调递增，且，符合题意.
9．（多选）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，，研发利润率.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A. 投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B. 要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润
C. 要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D. 要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元
【答案】BC
【解析】选.由，所以当投入15万元时，月利润最大，所以需再投入6万元研发经费，选项正确，选项错误；
研发利润率，
又，当且仅当，即 时，利润率最大，所以需再投入研发经费1万元，可获得最大利润率，选项错误，选项正确.故选.
10．如图，与函数，，，，相对应的图象依次为_ _ _ _ .（只填序号）
【答案】②①③⑤④
【解析】①②分别为 和 的图象；
③为 的图象；④⑤分别为 和 的图象.
11．（15分）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度单位：的数据如下：
0 10 40 60
0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.
（1） 当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（7分）
（2） 现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（8分）
【答案】
（1） 解：对于，当 时，函数无意义，所以不符合题意；
又 是减函数，这与 矛盾；故选择.
根据提供的数据，
有
解得
当 时，.
（2） 国道路段长为，所用时间为，设所耗电量为，因为，当 时，；
高速路段长为，所用时间为，
设所耗电量为
，
当且仅当，即 时等号成立.
所以，
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为 时，
该车从 地到 地的总耗电量最少，最少为.
8.2.2 函数的实际应用
新课导入
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.按复利计算利率的一种储蓄，本金为元，每期的利率为，设本利和为，存期为期后的本利和是多少？本节课我们一起探究吧！
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
新知学习 探究
一 给定函数模型解实际问题
思考．回忆一下所学过的函数模型有哪些？
提示
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ，为常数，
反比例函数模型 ，为常数且
二次函数模型 ，，为常数，
指数型函数模型 ，，为常数，，且
对数型函数模型 ，，为常数，，且
幂函数型模型 ，为常数，
［例1］ （对接教材例3）某县黄桃种植户为了迎合大众需求，提高销售量，打算以装盒售卖的方式销售.经市场调研，若要提高销售量，则黄桃的售价需要相应的降低，已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒黄桃的销售价格（单位：元）与销售量（单位：万盒）之间满足关系式
（1） 写出利润（单位：万元）关于销售量（单位：万盒）的关系式；（利润销售收入成本）
（2） 当销售量为多少万盒时，黄桃种植户能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【答案】（1） 【解】由题意得
（2） 当 时，由二次函数性质得，
当 时，由基本不等式得
，
当且仅当，即 时，等号成立，则，
综上，当销售量为15万盒时，黄桃种植户能获得最大利润，最大利润为136万元.
应用已知函数模型解题的两种类型：
（1）直接依据题中的函数解析式解决相关问题；
（2）若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法.
［跟踪训练1］．某书店经过一段时间的营销推广后，数学课外书连续数月的总销量（单位：千本）与前个月，且满足关系式.现已知该书店前2个月和前3个月的数学课外书销售总量分别为4千本和6千本.
（1） 求，的值；
（2） 求该书店第6个月的数学课外书的销售量.
【答案】
（1） 解：依题意得
解得
（2） 由（1）知，
当 时，，
当 时，，
所以第6个月数学课外书的销售量为（千本）.
二 建立函数模型解决实际问题
角度1 一次函数、二次函数模型
［例2］ 在经济学中，函数的边际函数定义为.已知某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差.
（1） 求利润函数及边际利润函数；
（2） 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？
【答案】
（1） 【解】由题意知，，且
，
.
（2） ，
当 或 时，的最大值为74 120元.因为 在 上是减函数，所以当 时，的最大值为2 440元.因此，利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值.
角度2 指数型函数、对数型函数模型
［例3］ 在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中的杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（参考数据：）（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
【答案】C
【解析】设经过 次过滤达到要求，原来水中的杂质为1，
依题意可得，
即，所以，
所以，又，
所以，因为，所以 的最小值为21，故至少要过滤21次.
角度3 建立分式函数模型
［例4］ 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为1 000元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/.设长为（单位：）.
（1） 用表示的长度，并求的取值范围；
（2） 当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】
（1） 【解】由题意可得,矩形 的面积为，因此，
因为，所以.
（2） 设总造价为，由题意可得,，由基本不等式得，当且仅当，即 时，等号成立，所以当 时，总造价 最低，最低总造价为240 000元.
建立函数模型求解实际问题的策略
（1）解题步骤：理解实际问题 建立数学模型 求解数学模型 解决实际问题.
（2）与实际应用相结合的题型也是高考命题的热点，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
［跟踪训练2］．一艘动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间往返运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总重量最大，则每次应拖_ _ _ _ 只小船.
【答案】6
【解析】设每次拖 只小船，每天往返 次，每只小船的载重量为，每天的运货总重量为，由题意设，
则 解得
所以，
所以每日运货总重量为，
所以当,时，取得最大值，即每次应拖6只小船.
课堂巩固 自测
1．某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系式 为自然对数的底数，,为常数.若该食品在 的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.当 时，,当 时，,所以,所以,故当 时，.故选.
2．某品牌电动车有两个连锁店,其月利润（单位：元）分别为,,其中为月销售量（单位：辆）.若某月两店共销售了110辆电动车,则月利润最大为（ ）
A. 11 000元 B. 22 000元 C. 33 000元 D. 40 000元
【答案】C
【解析】选.设两个店分别销售出 辆与 辆电动车,两店的月利润为，则,又，所以当 时,两店的月利润取得最大值,最大值为33 000元.
3．[（2025·苏州月考）]某杂志能以每本12元的价格销售12万本，假设定价每降低1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于200万元，则杂志的价格最低为_ _ _ _ 元.
【答案】5
【解析】设杂志的价格降低了 个1元，则此时价格为 元，卖出 万本，设总销售收入为 万元，
则，
要使，即，即，解得，
当 时，价格最低，为（元）.
4．2026年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元． 每生产（单位:百辆）新能源汽车，需另投入成本（单位:万元），且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
（1） 请写出2026年的利润（单位:万元）关于产量（单位:百辆）的函数关系式；
（2） 当2026年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】
（1） 解：当 时，；当 时，，所以
（2） 当 时，，所以当 时，；
当 时，,当且仅当，即 时，等号成立．
因为，
所以当 时，有最大值,即2026年产量为80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3 540万元．
1.已学习：函数的实际应用.
2.须贯通：函数模型的应用实例主要包括两个方面：
（1）利用给定的函数模型解决实际问题；
（2）建立确定性的函数模型解决实际问题.
3.应注意：建立函数模型忽视定义域.
课后达标 检测
A 基础达标
1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2024年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（ ）
A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年
【答案】D
【解析】选.设第 年的研发奖金为200万元，则由题意可得，
所以，
所以
.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2028年超过200万元.
2．冈珀茨模型是由冈珀茨提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：（当时，表示2024年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2024年初种群数量的一半（参考数据：）（ ）
A. 2031 B. 2030 C. 2029 D. 2028
【答案】B
【解析】选.因为,当 时，，设 年后，该物种的种群数量将不足2024年初种群数量的一半，当 时，，所以,由题可知，是大于0的常数，即，两边取对数可得，，因为，所以，两边取对数可得，，解得，，
故 的最小值为6.
3．某购物网站在今年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】选.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300元时可减免60元”，即每张订单打折前原金额不少于500元.由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，而要购入商品共45件，所以最少需要下的订单张数为4.故选.
4．一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减，则这种放射性元素的半衰期为注：放射性物质的质量衰减为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期,结果精确到，参考数据：，（ ）
A. 5.2年 B. 6.6年 C. 7.1年 D. 8.3年
【答案】B
【解析】选.设半衰期为 年，则有，即，两边同时取对数得，所以（年）.
5．[（2023· 新课标Ⅰ卷）]（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/ 声压级／
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】选.因为 随着 的增大而增大，且，，所以,所以，故 正确；由，得，因为，所以，故 正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故 不正确；因为，所以，故 正确.故选.
6．要建造一段的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地带每米公路的工程量分别是5人/天和3人/天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地带工作的人数是_ _ _ _ .
【答案】28
【解析】设安排到硬土地带工作的人数为，则安排到软土地带工作的人数为，
则在软土地带工作时间为,，在硬土地带工作时间为，要使全队筑路工期最短，需两地带同时完工，即，即，解得，由于,，而，
由于 在 上单调递增，在 上单调递减，
故只有当 时，两地带最接近于同时完工，故需安排到硬土地带工作的人数是28.
7．如图，某房地产开发公司要在矩形上规划出一块矩形地建造住宅区，为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区的界限.由实地测量知，，，，，则当设计矩形住宅区的长_ _ _ _ _ _ _ _ ，才能使其面积最大，最大面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】设，分别交，于，点，
设，则，，
因为，所以，
得，所以,
，
当 时，取得最大值，最大值为.
此时.
8．（15分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量（单位:万件）不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与可变成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的可变成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
（1） 写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万件）的函数解析式；（7分）
（2） 如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？（8分）
【答案】
（1） 解：当年产量不超过14万件时，；
当年产量超过14万件，不超过35万件时，，
因此
（2） 当年产量不超过14万件时，，
当 万件时，年利润 的最大值为24万元；
当年产量超过14万件，不超过35万件时，
,
当且仅当，即 万件时,等号成立，此时年利润 的最大值为30万元.
综上所述,当 万件时，年利润 的最大值为30万元，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片.
B 能力提升
9．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人类大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响.陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（单位：）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文考试时拥有复习背诵记忆的，则他复习背诵时间需大约在明天的（ ）
A. 14：30 B. 14：00 C. 13：30 D. 13：00
【答案】A
【解析】选.令，，，因为，
所以他在考试前半小时复习即可，所以他复习背诵时间需大约在明天的14：30.故选.
10．某辆汽车以（考虑到高速公路行车安全，要求）的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗为,其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为.欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】设每小时的油耗为,由题意可得
,
当 时，,
所以,
解得,
所以.若每小时的油耗不超过，则，即，解得,又,可得,故欲使每小时的油耗不超过，则速度 的取值范围需为.
11．（15分）某群体的人均通勤时间是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间（单位：分钟）为而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题：
（1） 当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（7分）
（2） 求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.（8分）
【答案】
（1） 解：由题意知，当 时，，根据题意令，即，解得（舍去）或，
所以 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
（2） 当 时，
；
当 时，
.
所以
当 时，单调递减；
当 时，单调递增.
说明该地上班族 有小于 的人自驾时，人均通勤时间是单调递减的；
有大于 的人自驾时，人均通勤时间是单调递增的；
当自驾人数为 时，人均通勤时间最少.
阶段提升（十一） 函数的应用
（范围：）
题型一 函数的零点
1．函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.易知 在 上单调递增，且，，，
故由函数零点存在定理可知函数 在区间 上必有零点.
2．用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.根据题意，，且，则，所以根据函数零点存在定理，.
3．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为函数，在 上均为增函数，所以函数 在区间 上为增函数，
因为函数 在区间 上存在零点，
则 解得，
因此，实数 的取值范围是.
4．已知若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】因为当 时，，所以 在 上单调递减，且；当 时，，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又，
可得 的图象如图所示，
因为方程 有三个不同的实数解，即 的图象与直线 有三个交点，则，解得 或，即实数 的取值范围为.
利用函数的零点求参数的取值范围
（1）已知函数零点个数求参数取值范围，可以转化为研究方程实数根的个数或两个函数的交点个数；
（2）已知函数零点所在区间求参数的取值范围，可以结合函数的单调性与零点存在定理列不等式求解.
题型二 函数模型及应用
1．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过秒甲桶中的水只有升，则的值为_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】因为5秒后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数 满足，即，得，若 秒后甲桶中的水只有 升，即，即，得，故.
2．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位:千米/小时）和车流密度（单位:辆/千米）所满足的关系式:研究表明:当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时.
（1） 若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2） 隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位:辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
【答案】
（1） 解：由 可得
当 时，，符合题意;
当 时，令，可得，综上可得.
（2） 由题意得
当 时,为增函数,
所以,当 时，等号成立;
当 时，，
，
故
,
当且仅当，
即 时等号成立.由于，
所以,隧道内车流量的最大值约为2 700辆/小时，此时车流密度约为75辆/千米.
函数模型的应用
（1）明确题意，建立数学模型；
（2）通过数学模型求解相关问题；
（3）将数学结论还原为实际问题.
题型三 一元二次方程的根的分布
角度1 根与0的关系
［例1］
（1） 已知方程有一正根和一负根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若关于的一元二次方程有两个不相等的负实根，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） D
（2）
【解析】
（1） 因为方程 有一正根和一负根，设为，，由根与系数的关系得，解得，所以实数 的取值范围是．
（2） 不妨设一元二次方程 有两个不相等的负实根为，，
所以 解得.
所以实数 的取值范围是．
根的“0”分布
一元二次方程
分布情况 两个负根即两根都小于 两个正根即两根都大于 一正根一负根即一个根小于0，一个根大于
大致图象
得出的结论
大致图象
得出的结论
综合结论（不讨论）
角度2 根与的关系
［例2］ 已知二次函数，求在下列条件下，实数的取值范围．
（1） 零点均大于1；
（2） 一个零点大于1，一个零点小于1.
【答案】
（1） 【解】因为函数的零点均大于1，
所以 解得.
（2） 因为函数的一个零点大于1，一个零点小于1，
所以，解得.
根的“”分布
一元二次方程
分布情况 两根都小于,即， 两根都大于,即， 一个根小于，一个根大于,即
大致图象
得出的结论
大致图象
得出的结论
综合结论（不讨论）
角度3 根与区间的关系
［例3］
（1） 已知函数的两个零点分别在区间和上，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
（2） 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2）
【解析】
（1） 由题意可得 即 则，
所以．
（2） 当 时，，解得，符合题意；当 时，方程 的判别式为，
若，则，此时函数 的零点为，符合题意；
若，则，只需，所以 且；
当 时，，经验证符合题意；当 时，，经验证符合题意,
所以实数 的取值范围为．
根在区间上的分布
一元二次方程
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象各有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象
得出的结论 或
大致图象
得出的结论 或
综合结论不讨论
［跟踪训练］．
（1） 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
（3） 已知，若关于的方程有两个不相等的正实数根，，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】（1） C
（2）
（3）
【解析】
（1） 选.一元二次方程 有一个正根和一个负根的充要条件为（其中,为方程的两个根），即.依题意，选项所表示集合应是集合 的真子集，故选项 正确．
（2） 因为函数 的两个零点都在 内，
所以 即
解得，所以实数 的取值范围为．
（3） 当 时，不成立，舍去；
当 时，若关于 的方程 有两个不相等的正实数根，，则由根与系数的关系
得，，即，又，所以，所以，因为，所以，所以 的取值范围为．
阶段小测（十一）
（时间：120分钟 满分：100分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知1是函数的零点，则为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】选.依题意,，所以.
2．函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选.由 可知，该函数在 上为减函数，
又，而，
由,利用函数零点存在定理，可得函数 的零点所在区间是.
3．已知函数的两个零点中，一个零点大于2，另外一个零点小于2，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选.不妨设函数 的两个零点分别为，，
由于抛物线开口向上，所以由题意有，
整理得，解得，即实数 的取值范围是．
4．已知,,，都是常数，,，若的零点为,，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.由题意设，则，且 的两个根是,.由题意知 的两根是,，也就是 的两根，画出（开口向上）及 的大致图象如图所示，则直线 与 的图象交点的横坐标就是,,的图象与 轴的交点的横坐标就是,，又，，由图得.
5．某品牌手机的大部分零件已实现国产化，技术更是遥遥领先，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1 000提升至，则最大信息传递速度大约增加了（ ）
（参考数值：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.由题意，由参考数值可得，大约增加了.
6．已知，，定义运算“ ”：设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选.因为
由，可得，即，
因为，所以，
解得，
所以当 时，，
当 时，.
即
因为函数 的图象与 轴恰有两个公共点，即函数,的图象恰有两个公共点，在同一平面直角坐标系中，作出函数,的图象，如图所示，
由图象知，
则实数 的取值范围是.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
7．下列方程中，可以用二分法求近似解的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】选.对于，在 上单调递增，且图象在 上连续，
，，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于，在 上连续且单调递增，
又，，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于，，故不可以使用二分法求原方程的近似解；
对于，在 上单调递增，且图象在 上连续，
，，可以使用二分法求原方程的近似解.
8．已知函数,为自然对数的底数，则（ ）
A. 方程至少有1个实数根
B. 方程至多有1个实数根
C. 当时，若，则
D. 当时，方程恰有4个不同实数根
【答案】ACD
【解析】选.作出函数 和函数 的图象如图所示.
当 时，方程 只有1个实数根，
当 时，方程 有2个不相等的实数根，
当 时，方程 只有1个实数根，故 正确，错误；
当 时，因为 每一段都单调递增，且，所以函数 为增函数，故 正确；
当 时，令,则,，当 时，该方程有两个解，
当 时，该方程有两个解，所以方程 有4个不同实数根，故 正确．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．）
9．函数的零点的个数为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】令，得，
即，
作出 与 的图象，由图可知它们有且只有2个交点，所以函数 的零点的个数为2.
10．酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量大于或者等于且小于认定为饮酒驾车，大于或者等于认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过_ _ _ _ 个小时后才能驾驶.（结果取整数. 参考数据:，）
【答案】4
【解析】设至少经过 个小时后才能驾驶，则有，
即，两边同时取对数得，即，
因为，所以，
又,所以，即他至少经过4个小时后才能驾驶.
11．已知函数若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为_ _ _ _ ．
【答案】2
【解析】画出 的图象如图所示，
由于方程 存在三个不同的实数解，所以，由图知，
所以，
即，则，
所以，由图知，所以，所以 的最大值为2.
四、解答题（本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
12．（本小题满分13分）某城市从2020年到2023年产生的包装垃圾量如表：
年份 2020 2021 2022 2023
包装垃圾量万吨 4 6 9 13.5
（1） 有下列函数模型：
；；．试从以上函数模型中，选择一个模型，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾量（单位：万吨）与年份的函数关系，并直接写出所选函数模型的解析式；（6分）
（2） 若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市产生的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：，）（7分）
【答案】（1） 解：由题表数据可画出散点图（图略），可知选择模型①，将,代入,得 解得 所以所选函数模型的解析式为.
（2） 因为.
所以令，得，
所以，
所以
.
所以，因为，
所以从2026年开始，该城市产生的包装垃圾将超过40万吨．
13．（本小题满分15分）已知指数函数，满足.
（1） 求函数的解析式；（5分）
（2） 若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.（10分）
【答案】
（1） 解：设 且，
由，可得，又，所以，所以.
（2） 由（1）知，
又方程 有两个不同的实数解，
所以 有两个不同的实数解，设，
所以 有两个不同的正实数解，
所以
解得，
所以实数 的取值范围为.
14．（本小题满分15分）某公司决定生产一种智能设备，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完.当时，每万台的年销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）满足关系式：；当时，每万台的年销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）满足关系式：.
（1） 写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式（利润销售收入-成本）；（5分）
（2） 当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.（10分）
【答案】
（1） 解：当 时，年销售收入为 万元，当 时，年销售收入为 万元，
故
即
（2） 当 时，，
可知函数在 上单调递增，
所以当 时，,
当 时，，
当且仅当，即 时等号成立，
因为，所以当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1 360万元.
章末综合检测（八）
（时间：120分钟,满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的零点为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】选.根据零点的定义，代入即可得零点为1，故选.
2．函数的零点一定位于区间（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选.因为,,所以,且函数 在区间 上是连续的,所以 在区间 上存在零点，易知 在 上单调递增，所以 的零点一定位于区间.故选.
3．用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ）
A. 0.9 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.4
【答案】B
【解析】选.依题意，函数的零点在 内，因为,精确到0.1的近似数都是，所以所求的符合条件的近似值为0.7.
4．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
【答案】D
【解析】选.当 时，，不存在零点；
当 时，是一次函数，必然单调，
故只需 即可，
即，
解得 ，，.
5．已知火箭的最大速度（单位：）和燃料质量（单位：），火箭质量（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为，燃料质量为，则此时的值为（参考数据：，）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选..
6．已知函数的图象是连续不断的，且的两个相邻的零点是1，2，则“，”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】选.由题意知，，对任意,，而函数 的图象是连续不断的，由，，可得，，充分性成立，反之，，显然可推出，，必要性成立，
故“，”是“，”的充要条件.故选.
7．已知关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】选.记，由题意可知函数 有两个零点，所以，若，则 为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1、一个小于1，则，得，故；若，则 为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1、一个小于1，则，得，故.综上可知,或，即实数 的取值范围是.
8．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，.若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】选.因为，则函数 图象关于直线 对称，
又因为函数 是定义在 上的奇函数，则，
即，则，
故函数 是以4为周期的周期函数，
又因为 和，即，
故函数 关于点 对称，
令，即求方程 的解，
原题等价于两个函数 的图象 有3个交点，
且 的定义域为，
如图所示，
则可得，解得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】选.求函数 的零点，令，即，分别画出函数 与函数 的图象，得到两图象有两个公共点，由图象可知，有两个零点，分别在区间 和区间 上；区间 上的零点显而易见.令，，所以，，，所以，所以，根据函数零点存在定理，在 存在零点.故选.
10．为预防流感病毒，某校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间（单位：）的变化情况如图所示.在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 教室内持续有效杀灭病毒时间为
D. 喷洒药物后开始有效杀灭病毒
【答案】ABD
【解析】选.在药物释放过程中，
由题图知，设，
将点 代入，可得,
所以当 时，,正确.
当 时，将点 代入，解得，此时，正确.
令,解得，即为，正确.
令，解得，即为，所以教室内持续有效杀灭病毒时间为，即,错误.故选.
11．已知函数则方程的根的个数可能为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】ABC
【解析】选.
由 可得 或,函数 的图象如图所示，当 或，即 或 时，方程 只有1个实数根；当，即 时，方程 有3个实数根；
当，即 时，方程 有2个实数根.故选.
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．写出一个同时满足下列两个条件的函数_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
是上的偶函数；在上有三个零点.
【答案】（答案不唯一）
【解析】函数 的零点为0和1，
由翻折变换可知 在 上有三个零点，且为偶函数，
故记，
令，则，
所以，
即.
13．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入（单位：万元）与药品利润（单位：万元）存在的关系为 为常数,其中不超过5万元,已知去年广告投入费用为3万元，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为_ _ _ _ 万元.
【答案】125
【解析】由已知广告投入费用为3万元时，药品利润为27万元，代入 中，即，解得,故函数解析式为，所以当 时，.
14．已知方程的解可视为函数与图象公共点的横坐标.若方程恰有两个实数解，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】方程 的解为函数 与 图象公共点的横坐标.
如图，无论 取何值，函数 图象的右支与 的图象有且仅有一个公共点，
因此只需函数 左支与 的图象再有一个公共点即可.考虑到 的图象是由指数函数 的图象平移所得，则当 时，函数 与函数 的图象只有一个交点，所以结合图形可知,即.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）已知今年某工厂某产品的产量是100万件，如果该产品产量的年平均增长率为.
（1） 计算大约多少年以后该产品的年产量能达到120万件（精确到1年）；（6分）
（2） 受原材料价格上涨影响，如果20年后该产品的年产量不超过120万件，那么该产品产量的年平均增长率应该控制在多少？（参考数据：,,）（7分）
【答案】
（1） 解：由题意知.
设 年后该产品的产量能达到120万件，即，
则,
因此，大约16年后该产品的产量能达到120万件.
（2） 设年平均增长率为.
由题意知，即，
两边取对数得，
,
所以，因此该产品产量的年平均增长率应该控制在 以下.
16．（本小题满分15分）已知函数
（1） 作出函数在上的图象；（4分）
（2） 求；（5分）
（3） 求方程的解集，并说明当整数在何范围时，有且仅有一解.（6分）
【答案】
（1） 解：函数 在 上的图象如图所示.
（2） .
（3） 当 时，由，得；
当 时，由，得；
当 时，由，得；
所以 解集为；
当 有且仅有一解且 为整数时，则 或.
17．（本小题满分15分）已知函数为偶函数.
（1） 求实数的值；（7分）
（2） 设，若函数与的图象有2个不同的公共点，求实数的取值范围.（8分）
【答案】
（1） 解：函数 的定义域为，由函数 为偶函数，
则，即，
整理得，显然 不恒为0，所以.
（2） 由（1）知，，
由函数 与 图象有2个不同的公共点，得方程 有两个不同的实数根，
即方程 有两个不等实数根，设，得，
又 在 上单调递增，令，因此方程 有两个不等正根，而，
因此
解得，
所以实数 的取值范围为.
18．（本小题满分17分）随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员的人数如图所示：
（1） 依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式.
，且，且；（8分）
（2） 为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.（9分）
【答案】
（1） 解：从题图数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
因为函数增长的速度越来越快不选②，
所以选择 且，
代入表格中的三个点可得
解得 将 代入符合，
所以,.
（2） 由（1）可知，,，
故不等式 对 且 恒成立，所以 对 且 恒成立.令，,,，因为 在,上单调递增，所以，所以，所以 的最小值为.
19．（本小题满分17分）设,为实数，函数和.
（1） 若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（8分）
（2） 设，,若存在,，使得，则称和“零点贴近”.当时，函数与“零点贴近”，求实数的取值范围.（9分）
【答案】
（1） 解：令，即，得.
令，易知 在 上单调递减，
，
，
所以 在 上的值域为，
所以实数 的取值范围为.
（2） 当 时，，易知函数 在 上单调递增，
令，易知，所以.
由 得，，解得，即.
要使函数 与“零点贴近”，则函数 在 上有零点，
对于，
，所以函数 有两个不同的零点，
而，所以，即，解得.
故实数 的取值范围是.
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