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全等三角形 单元培优测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．是等腰三角形
2．在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．好好学习，天天向上
C．周长和面积相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
4．如图所示，，，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（ ）
A．17 B．22 C．29 D．30
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
8．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．4或8
9．如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（ ）
A．62° B．58° C．52° D．46°
10．某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ．
12．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是 （只填序号）．
13．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度．
14．已知，如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段 BE＋EF 的最小值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为
16．已知等腰三角形的其中两边长为6cm和8cm，则这个三角形的周长为 cm.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知 ， ，AC与BD交于O， .
求证：
（1） ；
（2） .
18．如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
19．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 .
（1）
求证：
（2）
求证：
20．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.
（1）求∠DBC的度数.
（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长.
21．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
22．如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作 交 的延长线于点 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
23．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．
求证：
（1）AE=CF；
（2）AF∥CE．
24．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于O点，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．
（1）如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN与BM，CN之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OM∥BC交AB于点M，交AC于点N．图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出MN与BM，CN之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．
（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作 交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；
（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC的延长线交于点Q．
①试说明：∠CAE＝∠CBE；
②点P是AC延长线上的点，连接PE，且PE＝BE，连接BP，若AE＝8，求△BEP的面积．
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全等三角形 单元培优测试卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，与相交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．是等腰三角形
【答案】C
2．在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．好好学习，天天向上
C．周长和面积相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【答案】D
【解析】【解答】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、好好学习，天天向上，不是命题；
C、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、两点之间线段最短，是真命题；
故答案为：D．
【分析】根据真命题的定义对每个选项一一判断即可。
4．如图所示，，，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（ ）
A．17 B．22 C．29 D．30
【答案】B
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90° ∠ABC＝90° 40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝ （180° 40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′＝50°＋70°＝120°.
故答案为：D.
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB＋∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数.
8．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．4或8
【答案】A
【解析】【解答】当4为等腰三角形的底边长时，腰长= ，则这个等腰三角形的其余两边长分别为6，6；
当4为等腰三角形的腰长时，底边长=16-4-4=8，4、4、8不能构成三角形．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的两条边相等，可得出等腰三角形的底边长。
9．如图，在等腰中，，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则（ ）
A．62° B．58° C．52° D．46°
【答案】C
10．某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
【答案】C
【解析】【解答】解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而b为正整数，
则b＝1，又c为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故答案为：C．
【分析】根据 选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名， 对每个选项一一判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是 ．
【答案】21
12．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是 （只填序号）．
【答案】②
13．已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度．
【答案】50或40
14．已知，如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段 BE＋EF 的最小值是 ．
【答案】9.6
15．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为
【答案】（-4，8）
【解析】【解答】解：分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，由题意可得：
在Rt△OMB和Rt△B'NO中
∴Rt△OMB≌Rt△B'NO（AAS）
∴B'N=OM=8，ON=BM=4
∴点B'的坐标为（-4，8）
故答案为：（-4，8）
【分析】分别过点B作BM⊥x轴，B'N⊥x轴，根据全等三角形的判断定理可得Rt△OMB≌Rt△B'NO，再根据其性质即可求出答案.
16．已知等腰三角形的其中两边长为6cm和8cm，则这个三角形的周长为 cm.
【答案】20或22
【解析】【解答】①腰长为6cm，满足三角形三边关系
这个三角形的周长
②腰长为8cm，满足三角形三边关系
这个三角形的周长
故答案为：20或22.
【分析】分两种情况讨论：①腰长为6cm，②腰长为8cm，利用等腰三角形的性质及三角形三边关系解答即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知 ， ，AC与BD交于O， .
求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AD＝BC，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）
（2）证明：∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA，
∴OA＝OB.
【解析】【分析】（1）根据垂直得：∠DAB＝∠ABC＝90°，根据SAS证明△ABC≌△BAD；
（2）由（1）中的全等得：∠CAB＝∠DBA，根据等角对等边可得结论.
18．如图，在中，平分交于点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
．
（2）解：如图，作交于，
平分，
，
，
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BCD=∠DCE，由平行线的性质可得∠BCD=∠CDE，则∠DCE=∠CDE，据此证明；
（2）作DF⊥BC交BC于F，由角平分线的性质可得AD=DF=4，然后根据三角形的面积公式进行计算.
19．如图，在 中， ， 为边 上的点，且 ， 为线段 的中点，过点 作 ，过点 作 ，且 、 相交于点 .
（1）
求证：
（2）
求证：
【答案】（1）证明： ∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BA
（2）证明： ∵AF∥BC∴∠FAE＝∠AEB∵AB＝AE∴∠B＝∠AEB∴∠B=∠FAE在△ABC和△EAF中∴△ABC≌△EAF（ASA）∴AC＝E
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，易证AD⊥BC，再利用同角的余角相等可证得结论。
（2）利用平行线的性质，可知∠FAE＝∠AEB，再利用等腰三角形的性质，可证得∠B＝∠AEB，就可推出∠B=∠FAE，然后利用ASA证明△ABC≌△EAF，利用全等三角形的性质，可证得结论。
20．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.
（1）求∠DBC的度数.
（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；
（2）解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∵△DBC的周长为14cm，
∴BD+BC+CD＝14cm，
∵BC＝5cm，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝9cm.
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质计算即可；(2)根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
21．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【答案】（1）解：①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴点P，点Q运动的时间 s，
∴ cm/s
（2）解：设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴点P共运动了 ×3=80cm．
△ABC周长为：10+10+8=28cm，
若是运动了三圈即为：28×3=84cm，
∵84﹣80=4cm＜AB的长度，
∴点P、点Q在AB边上相遇，
∴经过 s点P与点Q第一次在边AB上相遇
【解析】【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．
22．如图，在 中， 是边 上一点， 是边 的中点，作 交 的延长线于点 ．
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵E是边AC的中点
∴AE=CE
又∵CF∥AB
∴
在 与 中
∴ ；
（2）解：∵ ，CF=7
∴CF=AD=7
∵E是边AC的中点，CE=5
∴AC=2CE=10
∵AB=AC
∴AB=10
∴ .
【解析】【分析】（1）根据AAS或ASA证明 即可；（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题.
23．已知：如图，点E、F在线段BD上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．
求证：
（1）AE=CF；
（2）AF∥CE．
【答案】（1）证明：∵BF=DE，∴BE=DF．
在△ABE和△CDF中，∵ ，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD．在△AEF和△CFE中，∵EF=FE，∠AEB=∠CFD，AE=CF，∴△AEF≌△CFE，∴∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE
【解析】【分析】（1）先根据BF=DE求出BE=DF，再利用SAS判断△ABE≌△CDF ，由全等三角形的对应边相等即可证明AE=CF .（2）利用全等三角形的对应角相等可得∠AEB=∠CFD ，根据SAS判断△AEF≌△CFE ，由全等三角形的对应角相等可得∠AFE=∠CEF ，再利用内错角相等即可求出AF∥CE .
24．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于O点，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．
（1）如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN与BM，CN之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OM∥BC交AB于点M，交AC于点N．图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出MN与BM，CN之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：图中的等腰三角形有△BMO与△CNO，理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴BM=MO，
同理CN=ON，
∴△BMO是等腰三角形，△CNO也是等腰三角形；
MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM+CN，理由如下：
∵△BMO与△CNO是等腰三角形，
∴BM=MO，CN=ON，
∴MN=MO+NO=BM+CN；
（2）解：图中的等腰三角形有△BOM与△CON，理由如下：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴BM=MO，
同理CN=ON，
∴△BMO是等腰三角形，△CNO也是等腰三角形；
MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM-CN，理由如下：
∵△BMO与△CNO是等腰三角形，
∴BM=MO，CN=ON，
∴MN=MO-NO=BM-CN.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠MOB=∠MBO，由等角对等边得BM=MO，同理CN=ON，故△BMO与△CNO也是等腰三角形；MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM+CN，理由如下：由前面知BM=MO，CN=ON，进而根据线段的和差即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义及平行线的性质得∠MOB=∠MBO，由等角对等边得BM=MO，同理CN=ON，故△BMO与△CNO也是等腰三角形；MN与BM，CN之间有怎样的数量关系是MN=BM-CN，理由如下：由前面知BM=MO，CN=ON，进而根据线段的和差即可得出结论.
25．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．
（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作 交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；
（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC的延长线交于点Q．
①试说明：∠CAE＝∠CBE；
②点P是AC延长线上的点，连接PE，且PE＝BE，连接BP，若AE＝8，求△BEP的面积．
【答案】（1）解：∵ ，
∴∠A＝∠F，
在△ACD和△FCE中，
∵∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△FCE（AAS），
∴AD＝FE．
（2）解：①∵ CA＝CB，AD＝DB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵ ∠ACD+∠ACE＝∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠BCE．
在△ACE和△BCE中，
∵ CA＝CB，∠ACE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠CAE＝∠CBE．
②∵ △ACE≌△BCE，
∴EA＝EB，
又因为EB＝EP，EA＝8，
∴EP＝EB＝EA＝8，
∴∠EAP＝∠EPA，
∵ ∠CAE＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠EPA，
又∵ ∠BQC＝∠PQE，
∴∠PEB＝∠PCB＝90°，
∴
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，可知∠A＝∠F，然后根据”两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等“可判断△ACD≌△FCE，再由全等三角形对应边相等即可说明；
（2）①根据等腰三角形的三线合一定理得CD是∠ACB的角平分线，由邻补角得∠ACE＝∠BCE，根据边角边方法可判定△ACE≌△BCE，即可给出说明；
②根据全等三角形对应的边、角相等，并且等腰三角形的底角相等，可得AE=BE=PE=8，∠CAE＝∠CBE=∠APE，又∠BQC=∠PQE，故得∠BEP=∠BCQ=90°，然后根据直角三角形的面积计算方法即可得到答案.
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