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勾股定理 单元强化提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知直角三角形两边x，y满足，则第三边长为（ ）
A．或5 B．5 C．或 D．或5
2．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）．
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm
3．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬最短的路程（取3）是（ ）．
A．7 B．13 C．11 D．9
4． 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．，，3 C．2，4，5 D．6，8，10
5． 如图所示，在 Rt△ABC 中， ，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则 的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
6． 若三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．100° B．135° C．145° D．125°
8．已知a，b，c 分别是△ABC 的三边长，且满足 则△ABC 是( ).
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
9．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
10．如图，在中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在Rt△ABC中，腰AC＝BC＝1，按下列方法折叠Rt△ABC，点B不动，使BC落在AB上，点A不动，使AB落在AC的延长线上；点C不动，使CA落在CB上，设点A、B、C对应的落点分别为A′、B′、C′，则△A′B′C′的面积是 .
12．设a，b是直角三角形的两条直角边的长，且 ，则直角三角形的斜边长为 .
13．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是 ．
14．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
15．如图，在数轴上点A表示的实数是 .
16．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，有一块凹四边形的绿地，经测量知：，，，，，求这块绿地的面积．
18．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）试说明：△BDC是直角三角形．
（2）求△ABC的周长．
19．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
20．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；
（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．
21．综合与探究
已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．
（1）如图1，当点D在边上时，求的度数．
（2）如图2，当点D在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段，，的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在边的延长线上时，，求线段的长．
22．解答下列问题：
（1）在数轴上作出表示的点；
（2）如图，在中，，是的中点，于点.求证.
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.
（1）填空：线段 ， ， ；
（2）判断 的形状，并说明理由.
24．如图，BF是△ABC的角平分线，E为BC上一点，EF∥AB，过点E作BF的垂线，垂足为G，并交CA的延长线于点D，连结BD.
（1）求证：FG＝BG；
（2）当∠DBC＝90°，CF＝4，EB＝3时，求DE的长.
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形.
（2）若AF＝BF＝ ，BE＝2，求线段DE的长.
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勾股定理 单元强化提升卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．已知直角三角形两边x，y满足，则第三边长为（ ）
A．或5 B．5 C．或 D．或5
【答案】D
2．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）．
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm
【答案】A
3．如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬最短的路程（取3）是（ ）．
A．7 B．13 C．11 D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：侧面展开图如图所示：
可以把A和B展开到一个平面内，则线段的长表示蚂蚁从点A爬到点B处吃食的最短路程．
根据圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长，矩形的宽，
∴在直角三角形中，．
故答案为：B．
【分析】将立体几何转换为平面图形，再利用勾股定理求出AB的长即可。
4． 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．，，3 C．2，4，5 D．6，8，10
【答案】D
5． 如图所示，在 Rt△ABC 中， ，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则 的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
【答案】C
【解析】【解答】解：取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，
设AB=c，AC=b，BC=a，则a2+b2=c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA=OB=OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
由勾股定理得：
，②
由①②得a=b，
∴，
∴，，
∴
故答案为：C.
【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设☉O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值.
6． 若三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴ABC为直角三角形
∴
故答案为：A .
【分析】由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，直接求解面积即可.
7．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．100° B．135° C．145° D．125°
【答案】B
8．已知a，b，c 分别是△ABC 的三边长，且满足 则△ABC 是( ).
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：由条件得
利用平方的非负性可得
∴△ABC 是等腰直角三角形.
故答案为：B.
【分析】将原多项式配方得到再利用平方的非负性可得即可判断得到结论.
9．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
10．如图，在中，，，是上一点，连接．把沿翻折得到，且于点，且，连接，则点到的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在Rt△ABC中，腰AC＝BC＝1，按下列方法折叠Rt△ABC，点B不动，使BC落在AB上，点A不动，使AB落在AC的延长线上；点C不动，使CA落在CB上，设点A、B、C对应的落点分别为A′、B′、C′，则△A′B′C′的面积是 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
过 作 ，
结合题意知： 是等腰直角三角形，
由对折知：
Rt△ABC中，腰AC＝BC＝1，
由对折知：
故答案为： .
【分析】过 作 ，利用轴对称的性质求解 利用勾股定理求解 由 可得答案.
12．设a，b是直角三角形的两条直角边的长，且 ，则直角三角形的斜边长为 .
【答案】2
【解析】【解答】∵（a2+b2）（a2+b2+1）=20，
∴（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0，
∴（a2+b2-4）（a2+b2+5）=0，
解得：a2+b2=4或a2+b2=-5（舍），
则c2=a2+b2=4，
∴这个直角三角形的斜边长为2，
故答案为：2．
【分析】将原方程转化为（a2+b2）2+（a2+b2）-20=0，利用因式分解乘法求出a2+b2的值，再根据a2+b2＞0，就可得出斜边的长。
13．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是 ．
【答案】19
14．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【答案】4．
15．如图，在数轴上点A表示的实数是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由勾股定理，得 斜边的长为
由圆的性质，得：点A表示的数为
故答案为
【分析】根据勾股定理，可得直角三角形中斜边的长，根据圆的性质，可得答案.
16．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．
【答案】3cm
【解析】【解答】解：由题意知AC=6cm，BC=8cm，AD=13cm
在直角△ABC中，BC=8cm，AC=6cm，
则cm，
∴BD=AD-AB=13cm-10cm=3cm．
故答案为：3cm．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差计算BD=AD-AB即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，有一块凹四边形的绿地，经测量知：，，，，，求这块绿地的面积．
【答案】这块空地的面积是．
18．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=13cm，D是腰AB上一点，且CD=12cm，BD=5cm．
（1）试说明：△BDC是直角三角形．
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）解：∵BC=13 cm，CD= 12 cm，BD=5 cm，
∴BC2= BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形．
（2）解：设AB=x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC= x．
∵AC2=AD2 +CD2 ，
∴x2=(x-5)2+122 ，解得x= ．
∴△ABC的周长为2AB+ BC= ×2 +13= 46.8(cm)．
【解析】【分析】（1）由已知条件可得BC2= BD2+CD2，然后根据勾股定理逆定理进行判断；
（2）设AB=x，由等腰三角形的性质可得AB=AC= x，由勾股定理可得x2=(x-5)2+122 ，求解可得x的值，接下来根据周长的概念求解即可.
19．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°．
（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．
（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？
（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．
【答案】（1）解：△CEO与△ODB全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△CEO和△ODB中，
，
∴△CEO≌△ODB（AAS）；
（2）解：∵△CEO≌△ODB，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，
∴DE＝OD OE＝CE BD＝2.4 1.8＝0.6（m），
由题意，点B距地面的高度是1.2m，
所以，点D距地面的高度是1.2m，
点E距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m）
所以，点C距地面的高度是1.8m．
答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的．
（3）0.6
【解析】【解答】解：（3）在Rt△BOD中，（m），
∴OA=3（m），
∴AD=OA-OD=3-2.4=0.6（m）
由（2）得，点D距地面的高度是1.2m，
∴秋千的起始位置A处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m），
答：秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m．
【分析】（1）利用“AAS”证明△CEO≌△ODB即可；
（2）利用线段的和差求解即可；
（3）先利用勾股定理求出OB的长，再利用线段的和差求出AD的长即可。
20．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；
（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．
【答案】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
四边形ABCD是长方形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
是等腰三角形；
（2）解：四边形ABCD是长方形，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即BE的长为5．
【解析】【分析】（1）先证明，再结合可得，从而可得 是等腰三角形；
（2）设，则，利用勾股定理列出方程，求出x的值即可。
21．综合与探究
已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．
（1）如图1，当点D在边上时，求的度数．
（2）如图2，当点D在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段，，的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在边的延长线上时，，求线段的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：存在的数量关系为．
理由：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ， 再求出CD=3，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．解答下列问题：
（1）在数轴上作出表示的点；
（2）如图，在中，，是的中点，于点.求证.
【答案】（1）解：如图，点O在表示0的位置，A在表示4的位置，即OA＝4，
过点A向上（垂直于数轴的方向）取AB＝2，连接OB，则OB＝，
以O为圆心，OB的长为半径画弧，该弧与数轴的交点即为表示的点；
（2）证明：连接，
∵是中点，，
∴，
∵，
∴
.
【解析】【分析】（1）点O在表示0的位置，A在表示4的位置，即OA＝4，过点A向上取AB＝2，连接OB，则OB＝，以O为圆心，OB的长为半径画弧，该弧与数轴的交点即为表示的点；
（2）连接AD，由中点的概念可得BD=CD，然后根据勾股定理进行证明.
23．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.
（1）填空：线段 ， ， ；
（2）判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）；；5
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形.
【解析】【解答】解：（1） ， ，AC＝5.
故答案为： ，2 ，5；
【分析】(1)根据勾股定理分别求出△ABC的三边即可；
(2)分别求出△ABC三边长的平方，然后利用勾股逆定理即可判断.
24．如图，BF是△ABC的角平分线，E为BC上一点，EF∥AB，过点E作BF的垂线，垂足为G，并交CA的延长线于点D，连结BD.
（1）求证：FG＝BG；
（2）当∠DBC＝90°，CF＝4，EB＝3时，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠FBE，
∵EF∥AB，
∴∠EFB＝∠ABF，
∴∠FBE＝∠EFB，
∴FE＝EB，
∵ED⊥BF，
∴FG＝BG
（2）解：由（1）得DE垂直平分FB，
∴DB＝DF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∵EF＝EB＝3，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴∠DFE＝∠DBC＝90°，
∴∠CFE＝90°，
在Rt△CEF中，EF＝3，CF＝4，
∴CE＝ ＝ ＝5，
∴BC＝CE+EB＝8，
∵EF∥AB，
∴∠CAB＝∠CFE＝90°，
设BD＝x，则CD＝4+x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BD2+BC2，
即（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
即BD＝6，
在Rt△BDE中，DE2＝EB2+BD2，
∴DE＝ ＝ ＝3 .
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ABF＝∠FBE，由平行线的性质可得∠EFB＝∠ABF，推出∠FBE＝∠EFB，得到FE＝EB，然后结合ED⊥BF进行证明；
（2） 由（1）得DE垂直平分FB，则DB＝DF，由等腰三角形的性质可得∠DFB＝∠DBF，∠EFB＝∠EBF，推出∠CFE＝90°，由勾股定理求出CE，得到BC的值，由平行线的性质可得∠CAB＝∠CFE＝90°，设BD＝x，则CD＝4+x，在Rt△BCD中，应用勾股定理可得x的值，然后在Rt△BDE中，应用勾股定理进行求解.
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC于点E，交AB于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形.
（2）若AF＝BF＝ ，BE＝2，求线段DE的长.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠DFA，
∴∠D＝∠DFA，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形
（2）解：过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，
∴∠AHF＝∠BEF＝90°，
由（1）知，AD＝AF，
∴DH＝FH，
在△AFH和△BFE中，
，
∴△AFH≌△BFE（AAS），
∴FH＝EF，
∴DH＝FH＝EF，
在Rt△BEF中，
∵BF＝ ，BE＝2，
∴EF＝ ＝3，
∴DE＝3EF＝9.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，根据等角的余角相等可得∠D＝∠BFE，由对顶角的性质可得∠BFE＝∠DFA，进而推出∠D＝∠DFA，得到AD＝AF，据此证明；
（2）过A作AH⊥DE于H，由垂直的概念得∠AHF＝∠BEF＝90°，证明△AFH≌△BFE，得到FH＝EF，进而推出DH＝FH＝EF，由勾股定理求出EF，据此解答.
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