中小学教育资源及组卷应用平台
图形的相似 单元达标检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．点与点两点之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点M为边AD上一点，，BM平分，点E，F分别是BM，CM的中点，若，则AB的长为（ ）
A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm
4．若矩形ABCD四条边的中点依次是E，F，G，H，则四边形EFGH是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形
5．如图，已知（1，2），（2，2），（3，0），（4，－2），（5，－2），（6，0）…，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，0）
C．（2022，－2） D．（2022，2）
6．已知， ，则与面积的比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， ，在下列比例式中，不能成立的是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
9．如图， ，则下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，.已知AB为2米，则线段BE的长为 米.
12．如图，在四边形中中，点G是对角线的中点，点E、F分别是的中点，．则的度数是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是 ．
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在格点上．
（Ⅰ）AC的长是 ；
（Ⅱ）将四边形折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形.请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点的位置是如何找到的 .
15．在平面直角坐标系中，线段ABy轴，其中点A（a+3，3a+2），B（5，-1），则点A的坐标为 ．
16．在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知AB∥CD，AD、BC 交于点E.
（1）写出所有比值等于 的两条线段之比.
（2）若AE=3，DE=6，BC=12，求CE的长.
18．如图，△ABC中，BC=12，S△ABC=36，点D是边AB上一点，过点D作DE//BC交AC于点E，以DE 为边作矩形 DEFG，其中点F、G落在边BC上.
（1）当AD=BD 时，求矩形 DEFG 的面积；
（2）当DE 经过△ABC 的重心时，求矩形 DEFG的面积.
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E，EF∥AC于F．
（1）求证：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：线段DC、DF、DA之间存在什么关系？并说明理由．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1.
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 三点.
（1）求 的面积；
（2）如果在第二象限内有一点 ，且四边形ABOP的面积是 的面积的两倍；求满足条件的P点坐标.
23．如图，在边长为1个单位长度的10×8小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，点A、C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，3），直线L在网格线上．
（1）画出△ABC关于直线L对称的△A1B1C1；（点A1、B1、C1分别为点A、B、C的对应点）
（2）点D是ABC内部的格点，其关于直线L的对称点是D1，直接写出点D，D1的坐标．
（3）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，其关于直线L的对称点是P1，求点P1的坐标．
24．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（－3，1），C（－2，－2）.
（1）将△ABC向右平移2个单位，作出它的图象 ；
（2）写出 的顶点坐标.
25．已知：菱形 和菱形 ， ，起始位置点 在边 上，点 在 所在直线上，点 在点 的右侧，点 在点 的右侧，连接 和 ，将菱形 以 为旋转中心逆时针旋转 角（ ）.
（1）如图1，若点 与 重合，且 ，求证： ；
（2）若点 与 不重合， 是 上一点，当 时，连接 和 ， 和 所在直线相交于点 ；
①如图2，当 时，请猜想线段 和线段 的数量关系及 的度数；
②如图3，当 时，请求出线段 和线段 的数量关系及 的度数；
③在②的条件下，若点 与 的中点重合， ， ，在整个旋转过程中，当点 与点 重合时，请直接写出线段 的长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
图形的相似 单元达标检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．点与点两点之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
2．、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．如图，在中，点M为边AD上一点，，BM平分，点E，F分别是BM，CM的中点，若，则AB的长为（ ）
A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵E，F分别是BM，CM的中点，cm，
∴BC=2EF=6cm．
∵平行四边形ABCD，
∴AD= BC =6cm．
∵，
∴cm．
∵BM平分，
∴，
∵平行四边形ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴cm．
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线的性质可得BC=2EF=6cm，再利用求出，再根据角平分线和平行线的性质可得cm。
4．若矩形ABCD四条边的中点依次是E，F，G，H，则四边形EFGH是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC和BD，
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵矩形ABCD四条边的中点依次是E，F，G，H，
∴EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EF=，HE=
∴EF= HE=HG=FG
∴四边形EFGH是菱形.
故答案为：D.
【分析】画出示意图，连接AC、BD，根据矩形的性质可得AC=BD，易得EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，则EF=AC=HG，HE=BD=FG，推出EF= HE=HG=FG，据此判断.
5．如图，已知（1，2），（2，2），（3，0），（4，－2），（5，－2），（6，0）…，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A．（2022，0） B．（2023，0）
C．（2022，－2） D．（2022，2）
【答案】A
6．已知， ，则与面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7．如图， ，在下列比例式中，不能成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴ ，A选项符合题意），
∴ ，
∴ ，B选项符合题意），
∴ 即 ，C选项符合题意），
无法准断出 .故D选项不能成立.
故答案为：D.
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
8．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】A
9．如图， ，则下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ， ， ，
∴A符合题意；
故答案为：A．
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE于点M，
设BE=a，GH=b，
∵△AHD≌△BEA，
∴AH=BE=a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=GH=EH=EF=b，
∵∠AEB=∠PMB=90°，
∴PM∥AE，
∴BP∶AP=BM∶ME，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∴BM=EM=a，
∴PM是△ABE的中位线，
∴PM=AE=（a-b），
又∵点Q是GH的中点，
∴GQ=GH=b，
∵∠PMF=∠BFC=90°，
∴△PM∥FC，
∴∠MPF=∠GFQ，
∵∠PMF=∠FGQ=90°，
∴△PMF∽△FGQ，
∴PM∶FG=MF∶GQ，
∴PM×GQ=FG×MF，
∵MF=EM-EF=a-b，
∴（a-b）×b=b（a-b），
整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，
∵b≠0，
∴3b-a=0，
∴a=3b，
∴AE=AH-EH=a-b=2b，
∴，
∴AB∶EF=.
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，设BE=a，GH=b，根据全等三角形的性质得AH=BE=a，根据正方形的性质得FG=GH=EH=EF=b，易得PM是△ABE的中位线，根据三角形中位线定理得BM=EM=a，PM=AE=（a-b），根据中点的定义得GQ=GH=b，易得△PM∥FC，然后判断出△PMF∽△FGQ，根据相似三角形对应边成比例得PM×GQ=FG×MF，代入并整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，由于b≠0，故可得a=3b，用勾股定理表示出AB，据此就可求出答案了.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，.已知AB为2米，则线段BE的长为 米.
【答案】
【解析】【解答】E为边AB的黄金分割点，且 ，AB=2，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的定义将数据代入即可求解.
12．如图，在四边形中中，点G是对角线的中点，点E、F分别是的中点，．则的度数是 ．
【答案】或30度
【解析】【解答】解：∵点E，G分别是BC，BD的中点，
∴EG∥CD，，
∴，
∵点F，G分别是AD，BD的中点，
∴FG∥AB，，
∴，
∴
∴
∵AB=CD，
∴GE=GF，
∴，
故答案为：．
【分析】根据中位线的性质可得EG∥CD，FG∥AB，所以，，再利用角的运算求出，再根据GE=GF，可得。
13．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是 ．
【答案】
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在格点上．
（Ⅰ）AC的长是 ；
（Ⅱ）将四边形折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，点D的对应点为Q，得五边形.请用无刻度的直尺在网格中画出折叠后的五边形，并简要说明点的位置是如何找到的 .
【答案】；如图所示，取格点连接HO并延长分别交AD，BC于点F，E，连接BN，DM相交于点Q，则点E，F，为所求.
15．在平面直角坐标系中，线段ABy轴，其中点A（a+3，3a+2），B（5，-1），则点A的坐标为 ．
【答案】（5，8）
【解析】【解答】解：∵ 线段ABy轴，
∴，
即a+3=5，解得a=2，
∴3a+2=8，
∴A（5，8），
故填：（5，8）.
【分析】由平行于y轴直线点的特征，列出等量关系求出a，代入得出A点坐标.
16．在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是 ．
【答案】
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知AB∥CD，AD、BC 交于点E.
（1）写出所有比值等于 的两条线段之比.
（2）若AE=3，DE=6，BC=12，求CE的长.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴；
∴等于 的两条线段之比有： DE：CE，AD：BC.
（2）解：∵，
解得CE=8.
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例的性质列式即可；
（2）根据（1）的比例式，代入有关线段值，求解即可.
18．如图，△ABC中，BC=12，S△ABC=36，点D是边AB上一点，过点D作DE//BC交AC于点E，以DE 为边作矩形 DEFG，其中点F、G落在边BC上.
（1）当AD=BD 时，求矩形 DEFG 的面积；
（2）当DE 经过△ABC 的重心时，求矩形 DEFG的面积.
【答案】（1）解：如图，作，
，
，
四边形DEFG是矩形，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，点O是中线AH、BK的交点，
点O是中线AH、BK的交点，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可得，再通过相似三角形的性质证得，进而求得.
(2)利用重心的性质可得，再利用平行线的性质证得，然后通过相似三角形的性质得到，继而计算出矩形DEFG的面积.
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
【答案】（1）解：设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的 ，
则有MC=2x，NC=8-x，
∴ ×2x（8-x）＝ ×8×10× ，
解得x1=x2=4，
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的 ；
（2）解：设经过t秒，△MCN与△ABC相似，
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
① ，
即 ，
解得t= ；
② ，即 ，
解得t＝ ．
答：经过 或 秒，△MCN与△ABC相似．
【解析】【分析】(1) 设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的 ，则有MC=2x，NC=8-x，再利用三角形的面积公式列出方程求解即可；
(2) 设经过t秒，△MCN与△ABC相似， 分两种情况： ① ，即 ，② ，即 ，再求解即可。
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E，EF∥AC于F．
（1）求证：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：线段DC、DF、DA之间存在什么关系？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵EF//BC
∴∠EFD=∠C=90°
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠EFD=90°
又∵∠EDF=∠ADE
∴△EDF∽△ADE
（2）解：
∵∠C=∠DEB=90°，BD平分∠ABC
∴DE=DC
由（1）得△EDF∽△ADE
∴
∴DE2=DF·DA
∴DC2=DF·DA
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义和平行线的性质可证明∠DFE=∠DEA=90°，则利用相似三角形的判定方法可判断△EDF∽△ADE；（2）由于△EDF∽△ADE，则利用相似比可得到DE2=DF·DA，再利用角平分线的性质定理得到DE=DC，从而得到线段DC，DF、DA之间的关系.
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1.
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .
【答案】（1）解：如图，将点 的横纵坐标都乘以 ，即得到 的坐标，进而顺次连接 ，则△A1B1C1即为所求；
（2）(-2a，-2b)
【解析】【解答】解：（2）根据（1）的变换可知，将 的的横纵坐标都乘以-2，即 (-2a，-2b)
故答案为：(-2a，-2b).
【分析】（1）根据题意和网格纸的特点，得到位似图形与原图形位于O点的两侧，则知位似比为-2，然后将点A、B、C横纵坐标都乘以- 2，即得到A1， B1和C1的坐标，在平面直角坐标系中描出A1， B1和C1，再把这三点顺次连接起来即可；
（2）根据（1）的变换方法，将P的的横纵坐标乘以-2，即可得出结果.
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 三点.
（1）求 的面积；
（2）如果在第二象限内有一点 ，且四边形ABOP的面积是 的面积的两倍；求满足条件的P点坐标.
【答案】（1）解： ， ，
，
；
（2）解： ， ，
， ，
，
又 ，
，
解得： ，
.
【解析】【分析】（1）由点的坐标得出 ，即可求出 的面积；（2）求出 ， ，由 和已知条件得出方程，解方程即可.
23．如图，在边长为1个单位长度的10×8小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，点A、C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，3），直线L在网格线上．
（1）画出△ABC关于直线L对称的△A1B1C1；（点A1、B1、C1分别为点A、B、C的对应点）
（2）点D是ABC内部的格点，其关于直线L的对称点是D1，直接写出点D，D1的坐标．
（3）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，其关于直线L的对称点是P1，求点P1的坐标．
【答案】（1）解：如图，根据轴对称的性质找到点，△A1B1C1即为所求；
（2）解：点D（-2，2），D1的坐标（4，2）
（3）解：根据两点关于直线对称，纵坐标相等，中点的横坐标为，则点P1的坐标（2-a，b）
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用轴对称的性质求解即可；
（3）利用轴对称的性质求解即可。
24．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，2），B（－3，1），C（－2，－2）.
（1）将△ABC向右平移2个单位，作出它的图象 ；
（2）写出 的顶点坐标.
【答案】（1）解：根据平移的意义，将△ABC向右平移2个单位得到的像ΔA′B′C′如图所示：
（2）解：根据平移公式 可以求得ΔA′B′C′的顶点坐标如下： ， ， .
【解析】【分析】（1）利用左减右加，可得到点A，B，C的对应点A＇，B＇，C＇，然后画出△A＇B＇C＇即可.
（2）利用点的坐标平移规律：左减右加，可求出点A＇，B＇，C＇的坐标.
25．已知：菱形 和菱形 ， ，起始位置点 在边 上，点 在 所在直线上，点 在点 的右侧，点 在点 的右侧，连接 和 ，将菱形 以 为旋转中心逆时针旋转 角（ ）.
（1）如图1，若点 与 重合，且 ，求证： ；
（2）若点 与 不重合， 是 上一点，当 时，连接 和 ， 和 所在直线相交于点 ；
①如图2，当 时，请猜想线段 和线段 的数量关系及 的度数；
②如图3，当 时，请求出线段 和线段 的数量关系及 的度数；
③在②的条件下，若点 与 的中点重合， ， ，在整个旋转过程中，当点 与点 重合时，请直接写出线段 的长.
【答案】（1）证明：如图1，在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△BAB′（SAS），
∴DD′＝BB′；
（2）解：①解：如图2中，结论：A′C＝ BM，∠BPC＝45°；
理由：设AC交BP于O，
∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，
∴AA′＝ AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝ AB，
∴ = ，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴ = ，∠A′CA＝∠ABM，
∴A′C＝ BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°；
②解：如图3中，设AC交BP于O，
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′＝ AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC＝ AB，
∴ = ，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴ = ，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C＝ BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°；
③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H，
由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝ AB＝2 ，
在Rt△A′AH中，A′H＝ AA′＝1，A′H＝ AH＝ ，
在Rt△AHC中，CH＝ = = ，
∴A′C＝A′H＋CH＝ ＋ ，
由②可知，A′C＝ BM，
∴BM＝1＋ .
【解析】【分析】（1）证明△ADD′≌△BAB′（SAS）可得结论；（2）①证明△AA′C∽△MAB，可得结论；②证明方法类似①，即证明△AA′C∽△MAB即可得出结论；③求出A′C，利用②中结论计算即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
