中小学教育资源及组卷应用平台
解直角三角形 单元质量检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，是一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为110°，若屏幕的长度为，则上方边界处到桌面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．9或12 D．12
3．我校数学社团学生小明想测量学校对面斜坡 上的信号树 的高度，已知 的坡度为 ，且 的长度为65米，小明从坡底 处沿直线走到学校大台阶底部 处， 长为20米，他沿着与水平地面成 夹角的大台阶行走20米到达平台 处，又向前走了13米到达平台上的旗杆 处，此时他仰望信号树的顶部 ，测得仰角为 ，则信号树 的高度约为（ ）（小明的身高忽略不计）
（参考数据： ， ， ， ， ）
A．45米 B．30米 C．35米 D．40米
4．如图，在中，，，，点D在上，且满足，是的中线，与交于点F，则的面积是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
5．已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根；
C．没有实数根 D．无法确定
6．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆高，测得.则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC =3，CG=2，则CF的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．2 D．3.5
8．在直角坐标平面内有一点P（3，4），OP与x轴正半轴的夹角为 ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
9．若的一边a为4，另两边b、c分别满足，，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10
10．在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ．
12．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 ．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA= ，那么AC= ．
14．如图， 是 Rt 斜边 上的中点， 是边 延长线上一点， ， 则线段 的长为
15．某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为 45°B处的俯角为 22°，则A，B之间的距离是 m.(tan22°取0.4)
16．某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡度为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．乌鲁木齐市丝绸之路度假区里，建有多条高速滑雪观光缆车，可以将游客从山下送达到海拔2500米的山顶，这也是中国滑雪度假区里距离最长、海拔落差最大的滑雪观光缆车．如图，当观光缆车的吊箱从点到点的行程为200米，从点到点的行程为240米，已知缆车行驶路线与水平面的夹角，路线与水平面的夹角，那么缆车从点到点垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米；参考数据：，，，）
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中.
19．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
20．若关于 二元一次方程组 的解 的值大于0.
（1）求a的取值范围；
（2）若 的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求 的值.
21．如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角 = ，在离建设物CD 25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角 = （B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据： ）
22．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
23．如图，在△ABC中，，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AB＝5，，求AE的长．
24．
（1）计算：
（2）已知 ，先化简，再求 的值.
25．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
（1）求∠A+∠C的度数；
（2）判断四边形ABCD是否“勾股四边形”，并说明理由．
（3）若AB＝1，直接写出对角线BD长度的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
解直角三角形 单元质量检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，是一台笔记本电脑，屏幕与键盘所成夹角为110°，若屏幕的长度为，则上方边界处到桌面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：屏幕与键盘所成夹角为110°，
，
在中，，则，
，
，即，
解得，
故答案为：B．
【分析】
根据补角的定义可得，在中由得，从而由利用的余弦函数即可得解答．
2．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．9或12 D．12
【答案】D
【解析】【解答】情况一：当等腰三角形三边长为2、2、5时
∵2+2＜5，不符合三角形三边关系
∴不存在
情况二：当等腰三角形三边长为2、5、5时
周长为：2+5+5=12
故答案为：D．
【分析】存在2种情况，一种是等腰三角形的两个腰为2，另一种是等腰三角形的两个腰为5，但是有一种情况不符合三角形三边关系．
3．我校数学社团学生小明想测量学校对面斜坡 上的信号树 的高度，已知 的坡度为 ，且 的长度为65米，小明从坡底 处沿直线走到学校大台阶底部 处， 长为20米，他沿着与水平地面成 夹角的大台阶行走20米到达平台 处，又向前走了13米到达平台上的旗杆 处，此时他仰望信号树的顶部 ，测得仰角为 ，则信号树 的高度约为（ ）（小明的身高忽略不计）
（参考数据： ， ， ， ， ）
A．45米 B．30米 C．35米 D．40米
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，延长GF交AC于点M，过F作FH⊥CF于点H，
BD的坡度为 ，即
设 米， 米，
由勾股定理得 ，即
解得
则BC=60米，CD= 米
在Rt△EFH中，∠FEH=30°
∴EH= EF= 米，EH= FH= 米
∴MG=MF+FG=CD+DE+EH+FG=25+20+ +13= 米
在Rt△AMG中，∠AGM=50°，
∴AM= 米
又∵BM=BC-MC=BC-FH=60-10=50米
∴AB=AM-BM= 米
故答案为：D.
【分析】延长GF交AC于点M，过F作FH⊥CF于点H，首先由BD的坡度和长度求出BC与CD，然后在Rt△EFH中，利用30度的三角函数值求出FH与EH，结合已知条件可得到MG，再在△AMG中求出AM，减去BM即为AB的高度.
4．如图，在中，，，，点D在上，且满足，是的中线，与交于点F，则的面积是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴为直角三角形，，
∵，是的中线，
∴，
∴，
∴，
过点F作于H，交于G，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理的逆定理结合题意得到，再根据等腰三角形的性质得到，则，过点F作于H，交于G，根据相似三角形的判定和性质结合题意的，进而根据三角形的面积即可求解。
5．已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根；
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∵a、b、c是三角形三边的长，
∴，
∴，
∴原方程没有实数根，
故答案为：C．
【分析】先求出判别式，由三角形三边关系可知△＜0，继而得解.
6．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆高，测得.则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵高，，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】易证△AEB∽△ADC，然后将已知数据代入进行计算.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC =3，CG=2，则CF的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．2 D．3.5
【答案】A
【解析】【解答】解：由作图的过程可知，DE为BC的垂直平分线，
∴FC=FB，GC=GB，
∵CG=2，∴BC=4，
∴AB=，
∵FB=FC，∴∠B=∠FCB，
∵∠B+∠A=90°，∠FCB+∠FCA=90°，
∴∠A=∠FCA，
∴FA=FC=FB=2.5.
故答案为：A.
【分析】先由作图的过程得出DE为BC的垂直平分线，则CB的长可求，再根据勾股定理求出AB的长，最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求出CF的长.
8．在直角坐标平面内有一点P（3，4），OP与x轴正半轴的夹角为 ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由点P（3，4）可得点P到x轴、y轴的距离为4、3，则 ，
∵OP与x轴正半轴的夹角为 ，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】先求出OP的长，再利用三角函数中的正弦的定义求解即可。
9．若的一边a为4，另两边b、c分别满足，，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10
【答案】C
10．在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ．
【答案】
12．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题可知：
．
不成立，
由三角形的三边关系可知它的第三边长为3，
三角形周长为2+3+3=8．
故答案为：8．
【分析】将方程左边进行因式分解后求出方程的两个根，利用三角形的三边关系可以判断出三角形的第三边长是3，由此即可求出周长．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA= ，那么AC= ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，
在 Rt△ABC中 ， ∠C=90°，AB=6，cosA= ，
∴cosA =
，
∴AC=2.
故答案为：2.
【分析】利用锐角三角函数的定义表示出cosA，然后把AB的长代入即可求出AC的长.
14．如图， 是 Rt 斜边 上的中点， 是边 延长线上一点， ， 则线段 的长为
【答案】8
【解析】【解答】
解：连接CM，
∵∠ACB=90°， M为AB的中点，
∴CM=BM =AM =8，
∴∠B=∠MCB=2∠D，
∵∠MCB=∠D+∠DMC，
∴∠D=∠DMC，
∴DC=CM=8，
故答案为：8 .
【分析】根据直角三角形斜边上中线得到BM=CM，推出∠B=∠MCB， 根据三角形外角性质求出∠D=∠DMC，推出DC=CM，即可求出答案 .
15．某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为 45°B处的俯角为 22°，则A，B之间的距离是 m.(tan22°取0.4)
【答案】180
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：PD∥BC
∴∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°
在Rt△PAC中，
在Rt△PBC中，
∴AB=BC-AC=180
故答案为：180
【分析】由题意可得：PD∥BC，根据直线平行性质可得∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°，再根据正切定义可得AC，BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．某人上坡沿直线走了50 m，他升高了 m，则此坡的坡度为 .
【答案】1：1
【解析】【解答】根据勾股定理，他水平方向前进了xm，
则此坡的坡度为：
故填：1：1
【分析】根据坡度的定义，坡度表示斜坡的倾斜程度，是斜坡的垂直高度与水平宽度的比；垂直高度已知，根据勾股定理可求水平宽度，最后化成最简整数比即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．乌鲁木齐市丝绸之路度假区里，建有多条高速滑雪观光缆车，可以将游客从山下送达到海拔2500米的山顶，这也是中国滑雪度假区里距离最长、海拔落差最大的滑雪观光缆车．如图，当观光缆车的吊箱从点到点的行程为200米，从点到点的行程为240米，已知缆车行驶路线与水平面的夹角，路线与水平面的夹角，那么缆车从点到点垂直上升的距离是多少米？（结果精确到1米；参考数据：，，，）
【答案】缆车从点到点垂直上升的距离是217米
18．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）解：
（2）解：
∵，
∴原式=
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，再合并即可.
（2）先将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为分式乘法，约分化简，利用同分母分式减法进行计算，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.
19．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】（1）解：在Rt△ADF中，由勾股定理得，
AD＝ ＝ ＝15（cm）
（2）解：AE＝AD+CD+EC＝15+30+15＝60（cm），
如图②，过点E作EH⊥AB于H，
在Rt△AEH中，sin∠EAH＝ ，
则EH＝AE sin∠EAH＝AB sin75°≈60×0.97＝58.2（cm）．
答：点E到AB的距离为58.2 cm．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可直接求出AD的长。
（2）由AE=AD+CD+CE求出AE的长，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，利用解直角三角形求出EH的长即可。
20．若关于 二元一次方程组 的解 的值大于0.
（1）求a的取值范围；
（2）若 的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求 的值.
【答案】（1）解： ，得 ，
∵ 的值大于0
∴ ，解这个不等式组，得a>1；
（2）解：∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9，
∴2（a-1）+a+2=9，或2（a+2）+a-1=9，
由2（a-1）+a+2=9
解得：a=3，
∴x=2，y=5，
∴2，2，5不能组成三角形，
由2（a+2）+a-1=9，
解得：a=2，
∴x=1，y=4，
∴1，4，4能组成等腰三角形，
∴a的值是2.
【解析】【分析】（1）先解方程组，用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系的式子中，得到关于a的不等式组求解即可；（2）首先用含a的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形.
21．如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角 = ，在离建设物CD 25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角 = （B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据： ）
【答案】（1）解：如图，设AB为x．
中， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
， ，
则 ，
解得： ．即办公楼的高20m．
（2）解：由（1）可得 ．
在 中， ．
∴ ，
即A、E之间的距离约为48m．
【解析】【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°= ，求出即可；（2）利用Rt△AME中，cos22°= ，求出AE即可
22．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理算BC的长，在Rt△BCD，由∠CDB的正弦函数算BD的长，由绳子长度不变得BC+AB=BE+BD，从而代值计算可算出BE的长，最后根据CE=BC-BE可算出答案.
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
23．如图，在△ABC中，，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA．
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AB＝5，，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵AE∥BC，CE∥DA
∴四边形AECD是平行四边形
∵AD⊥BC
∴是矩形
（2）解：∵，AD⊥BC
∴
∵AB＝5
∴，
根据矩形的性质，
【解析】【分析】（1）先证出四边形AECD是平行四边形，再结合AD⊥BC，即可得到是矩形；
（2）先求出，再结合AB的长，求出BC和BD的长，最后利用线段的和差求出AE的长即可。
24．
（1）计算：
（2）已知 ，先化简，再求 的值.
【答案】（1）解：
=
=
=0；
（2）
=
=
=
∵ ，
∴原式= .
【解析】【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，去绝对值，进行负整数指数幂和零次幂的运算，最后进行实数的加减混合运算即可；
（2）首先对第一个分式的分子、分母进行因式分解，然后根据异分母分式减法法则对其进行化简，由特殊角的三角函数值可得x=4×=2，然后代入计算即可.
25．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．
（1）求∠A+∠C的度数；
（2）判断四边形ABCD是否“勾股四边形”，并说明理由．
（3）若AB＝1，直接写出对角线BD长度的最大值．
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°，
∴∠A+∠C=360°-60°-30°=270°．
（2）解：存在AD2+CD2=BD2，所以四边形ABCD是“勾股四边形”，理由如下：
如图，连接BD，以BD为边向上作等边三角形△BDE，连接AE，
∵∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠EBA+∠ABD=60°，∠DBC+∠ABD=60°
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
∴△EBA≌△DBC（SAS）
∴AE=CD，∠BAE=∠C，
∴∠BAE+∠BAD=∠C+∠BAD=270°，
∴∠EAD=90°，
∴
∴AD2+CD2=BD2
∴四边形ABCD是“勾股四边形”．
（3）解：A，C，D三点不共线，可以过A，C，D三点画一个圆，求BD长度的最大值转换成求圆外一点B到圆上一点D的最大值，当BD过圆心时，BD的长度最大，
如图，由题意可得，△ABC为等边三角形，△OAC也是等边三角形，BD⊥AC，
∴AC=OA=OD=AB=1
∵∠ADC=30°，
∴∠AOE=30°，
在Rt△OAE中，，
∴
此时BD的长为即为对角线BD长度的最大值，为 ．
【解析】【分析】（1）在四边形ABCD中，由四边形内角和定理求解即可；
（2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）由题可得△ABC为等边三角形，△OAC也是等边三角形，BD⊥AC，可得AC=OA=OD=AB=1，再利用含30° 角的直角三角形的性质可得，此时BD的长为即为对角线BD长度的最大值，为 。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
