苏教版高中数学必修第一册第1章集合1.1集合的概念与表示教学课件(共97张PPT)

(共97张PPT)
苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合
1.1 集合的概念与表示
学习目标
1.通过实例了解集合的含义；理解元素与集合的属于关系.
2.记住常用数集的表示符号，并会应用.
3.通过集合概念及元素与集合关系的学习，培养数学抽象素养，
提升数学运算素养.
军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学都从四面八方聚集到教官的身边来,不是高一(1)班的同学就会自动走开,这样就把“一些确定的不同的对象”聚集在一起了.这就是我们将要学习的集合问题.
情景导入
在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业：
这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么，什么是集合 如何用数学语言表示集合
新知探究
集合与元素
一、元素与集合
集 合
定义
记 法
一定范围内某些 ________、_______ 对象的全体组成一个集合.
确定的
不同的
常用大写拉丁字母表示，如集合 ______、集合______等.
A
B
概念归纳
元 素
定义
记 法
集合中的 __________ 称为该集合的元素，简称元.
每一个对象
常用小写的拉丁字母a，b，c，···表示.
概念归纳
“中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津上海和重庆这 4 个城市.
“young 中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是 y，o，u，n，g 这5个字母.
“book 中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是 b，o，k 这3个字母.
“1~10 以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是 2，3，5，7这4个数.
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合
提示 (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合,因为“帅哥”没有明确的标准.
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合,因为标准确定.
议一议
【思考】
(1) 集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、 代数式吗
提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.
(2) 根据集合的定义思考：集合中的元素具有哪些特性
提示：确定性、互异性和无序性.
二、常见的数集及表示符号
数集 自然数集 正整
数集 整数集 有理
数集 实数集
符号 __ ______ Z __ R
N
N*或N＋
Q
概念归纳
特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作 N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作 N*或N＋；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作 Z；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作 Q；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作 R.
概念归纳
【思考】
N 与 N＋ (或N*) 有何区别
提示：N＋ (或N*) 是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋ (或N*) 多一个元素0.
三.元素与集合的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与
集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a______A ________ “a属于A”
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________A ________ “a不属于A”
属于
a∈A
不属于
a A
概念归纳
【思考】
元素与集合之间有第三种关系吗
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有
“a∈A”与“a A”这两种结果.
例1.考察下列每组对象,能构成集合的是(　　)
①中国各地最美的乡村;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④第31届奥运会金牌获得者.
A.③④ B.②③④
C.②③ D.②④
答案 B
解析 ①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合,故选B.
典例剖析
B
1.判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合;
(2)平面直角坐标系中第一象限的一些点组成一个集合;
(3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素.
解 (1)正确,(1)中的元素是确定的,可以构成一个集合.
(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个集合.
(3)不正确,方程的解只有1和-2,集合中有2个元素.
练一练
点拨：判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
例2.(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R;② Q;③-1∈N*;④|-5| N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为(　　)
A.2 B.2或4
C.4 D.6
B
B
典例剖析
解析 (1)①π是实数,所以π∈R正确;
③-1不是正整数,所以-1∈N*错误;
④|-5|=5为正整数,所以|-5| N*错误.故选B.
(2)a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2符合题意;a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4符合题意;a=6∈A,6-a=0 A,所以a=6不符合题意.综上所述,a=2或4.故选B.
点拨：判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必定具有这个集合的元素的共同特征.
练一练
例3.已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.
解 由题意可知,a=1或a2=a,
(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.
(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.
综上可知,实数a的值为0.
典例剖析
延伸探究：若本例去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a组成的集合.
解 由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.故实数a组成的集合为{a|a≠±1,a∈R}.
点拨：解含参元素与集合之间关系问题的求解策略
(1)常用到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类标准.
(2)本例题在解方程求得a的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成过程性失分.
例4.已知集合A是由方程ax2-3x-4=0(a∈R)的实数根组成的.
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;
(2)当A中有两个元素时,求a满足的条件;
(3)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.
典例剖析
解 (1)当A中有且只有一个元素时,要分方程ax2-3x-4=0是一元一次方程还是一元二次方程来解决,若方程是一元一次方程,则有且只有一个根;若方程是一元二次方程,则有两个相等的实数根.
(2)集合A中有两个元素,即方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实数根.
分类讨论思想在集合中的应用
求解集合中参数的值常与方程知识相联系,结合集合中元素的特性(确定性、无序性、互异性),通过解方程(组),求出集合中参数的值.
对于“方程ax2+bx+c=0”要分两种情况加以讨论:①当a=0,b≠0时,该方程是一元一次方程.②当a≠0时,该方程是一元二次方程,也只有在这种情况下才能用判别式Δ来确定方程实数根的情况.
点拨：
判断形如ax2+bx+c=0的方程实数根的个数的方法:
(1)当a=0时,原方程可化为bx+c=0的形式,再根据b的取值
讨论方程根的个数:
②若b=0,c=0,则任意一个实数均为方程的实数根;
③若b=0,c≠0,则方程无实数根.
(2)当a≠0时,需根据Δ的值与0的大小关系来确定方程根的个数:
①若Δ=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根;
②若Δ=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;
③若Δ=b2-4ac<0,则方程无实数根.
1.由“look”中的字母组成的集合中元素个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
答案 C
解析 集合中任何两个元素都不相同,所以集合中的元素有3个,分别是l,o,k.故选C.
练一练
2.思考辨析，判断正误
(1)漂亮的花可以组成集合.( )
提示　“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.
(2)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合不是同一集合.( )
提示　集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.
(3)若直线y＝x＋1上的所有点构成集合A，则点(1，2)∈A.( )
(4)若a∈Q，则一定有a∈R.( )
×
×
√
√
练一练
3.已知集合A含有三个元素1,a,a-1,若-2∈A,则实数a的值为(　　)
A.-2 B.-1
C.-1或-2 D.-2或-3
解析 因为集合A含有三个元素1,a,a-1,且-2∈A,所以a=-2或a-1=-2.当a=-2时,A中元素为1,-2,-3,符合题意;当a-1=-2时,a=-1,A中元素为1,-1,-2,也符合题意.故实数a的值为-1或-2.故选C.
练一练
C
B
4.考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加“一带一路”的国家.
A.③④ B.②③④
C.②③ D.②④
解析　①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
练一练
5.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是(　　)
A.x≠0 B.x≠1
C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1
解析　根据集合中元素的互异性，
D
练一练
6.用“∈”或“ ”填空.
7.已知集合M中有两个元素3和a+1,且4∈M,则实数a=　　　　.
答案 3
解析 由题意可知a+1=4,即a=3.
练一练
3
8.集合A中含有三个元素0,1,x,且x2∈A,则实数x的值为　　　　.
答案 -1
解析 当x=0,1,-1时,都有x2∈A,但考虑到集合中元素的互异性,x≠0,x≠1,故x=-1.
-1
练一练
1. 列举法
(1) 方法：将集合的元素_________出来，并置于花括
号_________内.
例如{北京，天津，上海，重庆}，{y，o，u，n，g}.
(2) 注意事项：①元素之间要用_______分隔；
②列举时与元素的_______无关.
四、集合的表示
一一列举
“{ }”
逗号
次序
概念归纳
【思考】
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
例如：{a，b}与 {b，a} 表示同一个集合.
2. 描述法
(1) 形式：{ x∣p(x)}，其中x为集合的代表元素，p(x)
指元素 x 具有的性质.
(2) 本质：它是集合符号语言的具体体现，可将集
合中元素的规律与性质清楚地表示出来.
如：{ x∣x 为中国的直辖市，{ x∣x 为 young 中的字母}，
{ x∣ x＜－3，x ∈ R}.
【思考】
{ (x，y) ∣y＝x2＋2}能否写为{ x∣y＝x2＋2} 或{ y∣y＝x2＋2}呢
提示：不能，(x，y) 表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么.
3. Venn图法
(1) 形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.
(2) 作用：直观地表示集合.
北京，上海，天津，重庆
(1)
y，o，u，n，g
(2)
例如
例如，由方程 x2－1＝0 所有的实数解组成的集合，可以表示为下列形式.
(1) 列举法：{－1，1}(也可以是{1，－1})；
一个集合可以用不同的方法表示.
(2) 描述法：{ x∣x2－1＝0， x∈R} (也可以是
{ x∣x为方程 x2－1＝0 的实数解}).
4. 集合相等
(1) 定义：如果两个集合所含的元素完全相同，那么
称这两个集合相等.
(2) 本质：A与B相等，即A中的元素都是B的元素，
B中的元素也都是A的元素.
例如，{北京，天津，上海，重庆}
＝{上海，北京，天津，重庆}.
例1.用列举法表示下列集合：
(1) 大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合；
解：设大于1且小于 13 的所有偶数组成的集合为 A，
那么A＝ {2，4，6，8，10，12}.
(2) 由1～15 以内的所有质数组成的集合.
7
解：设由 1～15 以内的所有质数组成的集合为 B，
那么 B ＝ {2，3，5，7，11，13}.
例2.用描述法表示下列集合：
(1) 大于1的所有偶数组成的集合；
解： 设大于1的偶数为 x，并且满足条件
x＞1，x＝2k，k∈N，
因此，这个集合表示为
A＝{ x∣x＞1，x＝2k，k∈N}.
(2) 不等式 2x－3＞5 的解集.
解：由 2x－3＞5可得x＞4，故不等式2x－3＞5的解集
为 { x∣x＞4，x∈R }.
例1中的集合的元素都有有限个，例2中的集合的元素都有无限个.
五、集合的分类
(1) 含有__________元素的集合称为有限集；
(2) 含有__________元素的集合称为无限集；
(3) _______________的集合称为空集，记作 .
有限个
无限个
不含任何元素
解
典例剖析
解析
B　
练一练
解析
C
练一练
解析
B
练一练
解析
有限集
无限集
无限集
有限集
练一练
解
练一练
解析
－1
练一练
1. 用“∈”或“ ”填空：
∈
∈
∈
∈
∈
∈


课本练习
2. 用列举法表示下列集合 ：
(1) { x∣ x ＋ 1 ＝ 0}；
解： x＋1＝0
x ＝－1.
∴{ x ∣ x＋1＝ 0} ＝{－ 1}
综上所述，结论是：{－ 1}；
课本练习
(2) { x∣ x 为15的正约数 }；
解：15＝1×15＝3×5.
∴{ x∣x 为15的正约数} ＝{1，3，5，15}
综上所述，结论是：{1，3，5，15};
课本练习
(3) { x∣ x为不大于10 的正偶数}.
解：不大于10 的正偶数是：2，4，6，8，10
∴ { x∣x 为不大于10的正偶数}
＝{2，4，6，8，10}
综上所述，结论是：{2，4，6，8，10}.
课本练习
3. 用描述法表示下列集合：
(1) 数的集合；
(2) 正数的集合；
解：奇数的集合＝ {n＝2k－1∣k∈Z}；
解：正偶数的集合＝{z＝2k∣ k∈N*}；
(3) 不等式 x2＋1≤0 的解集.
解： x ∈ R，x2≥0，
∴ x2＋1≥1，
∴ 不等式 x2＋1 ＜ 0的解集为
＝ { x ∣ x2＋1≤0}.
课本练习
4. 用适当的方法表示下列集合：
(1) 方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合；
解：因为方程 x2＋2x－15＝0的根为 x＝－5 或 x＝3，
所以方程 x2＋2x－15＝0 的根的集合为：
{－5，3}.
课本练习
(2) 不等式 4x－3＜5的解集.
解：不等式 4x－3＜5 的解集为{ x∣x＜2}.
课本练习
5. 用列举法表示下列集合：
(1) { a∣0 ≤ a ＜ 6，a∈N }；
解：∵0≤a＜6 且 a∈N，
∴a ＝ 0，1，2，3，4，5.
∴用列举法表示为{0，1，2，3，4，5}
课本练习
(2) “mathematics 中的字母”组成的集合；
(3) 汉字“永”的笔画组成的集合.
解：∵ mathematics中出现的字母有 a，c，e，h，i，
m，s，t，重复出现的字母只记一次，
∴ 用列举法表示为{a，c，e，h，i，m，s，t}；
解：永字的笔画为“、， ，フ， 丿， ”，
∴用列举法表示为{、， ，フ， 丿， ”}.
课本练习
习题1.1
感受 理解


∈
∈
∈
2.用列举法表示下列集合：
（1）（x | x + 3x-18 = 0，x∈R}；
（2）{x | x为不超过5的自然数}；
（3）{x|-3<2x-1≤3，x∈Z）；
（4）{（x，y）|0≤a≤2，0≤y<2，x，y∈Z）.
解：（1）{3，-6}.
（2）{0，1，2，3，4，5}
（3）{0，1，2}.
（4）{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（2，0）， （2，1）.}
感受 理解
感受·理解
3.用描述法表示下列集合：
（1）不等式 3x +2>5 的解集；
（2）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
（3）二次函数y=x2-2x+3 图象上的点组成的集合.
解：
（1）由 3x+2>5，得 x>1，故不等式 3x+2>5 的解集为{x|x>1，x∈R} .
（2）{（x，y）|x<0，y>0}.
（3）{（x，y）|y=x -2x+3}.
4.用“∈”或“ ”填空：
（1）若A={x|x -x=0}，则1 A，-1 A；
（2）若B={x|1≤x≤5，x∈N}，则1 B，1.5 B；
（3）若C={x|-1∈

∈



5.设a，b 为实数，已知 M ={1，2}，N ={a，b}，且 M = N，
求 a，b的值.
a=1，b=2 或a=2，b=1.
思考·运用
6.已知 A={x|x=3k+1，k∈Z），问：-1，5，三个数中，哪些数是 A的元素？
思考·运用
7.（写作题）我们使用符号“∈”代表短语“是……的元素”（is an element of）.符号“3∈A”表示“3是集合A的元素”.如果“3不是集合A的元素”，那么写成“3 A”.虽然“∈”看起来有点像字母“e”，但这两个符号并不相同，不应混淆.
请查阅有关资料，寻找最先引入符号“∈”的数学家，以及符号“∈”的原始意义等信息，写一篇关于符号“∈”的短文.
探究·拓展
解：“∈”表示一个元素属于某一集合的记号，是意大利数学学家皮亚诺(Peano)在1889年的数学著作中首先使用的.
在数系理论研究方面，皮亚诺作出了重大贡献，在1889年出版的《算术原理新办法》一书中，皮亚诺提出“皮亚诺自然数公理”举世闻名，在书中他还对许多逻辑符号进行了创新在1891年创建了《数学杂志》，皮亚诺在这个杂志上利用数理逻辑符号写下自然数公理，并对它们的独立性进行了证明.皮亚诺于1893年发表《无穷小分析教程》，该书被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉(Euler)和A.L，柯西(GAUCHY)时代以来最重要的19本微积分教科书”之中.皮亚诺撰写的《数学百科全书》中有很多地方引人注目，例如推广微分中值定理;多变量函数一致连续性的判定定理;隐函数存在定理以及其可微性定理的证明;部分可微但整体不可微的函数的例子;当时流行的极小理论的反例等.
探究·拓展
易错点1　忽略集合中元素的互异性而致错
解析
{2，4}　
错因分析
易错点2　不能正确理解集合的表示方法而致错
解析
A　
错因分析
解析
①②③
易错点2　不能正确理解集合的表示方法而致错
错因分析
易错点3　不理解自定义的集合(运算)而致错
解析
D
错因分析
易错点4　不理解集合中元素的确定性而致错
解析
CD
错因分析
解析
B
易错点4　不理解集合中元素的确定性而致错
错因分析
解析
29 970
易错点4　不理解集合中元素的确定性而致错
错因分析
B
一、选择题
1.以下各组对象不能组成集合的是(　　)
A.中国古代四大发明
B.地球上的小河流
C.方程x2－7＝0的实数解
D.周长为10 cm的三角形
解析　因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合.
分层练习-基础
2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
D
分层练习-基础
3.(多选题)下列说法正确的是(　　 )
A.N中最小的元素是1
B.由单词“banana”中的所有字母组成的集合中有3个元素
C.若x∈N，则满足2x－5<0的元素组成的集合中的所有元素之和为3
D.在直角坐标系中，在坐标轴上的所有点组成一个集合
解析　N表示自然数集，最小的元素是0，故A错；B正确，元素分别为字母b，a，n；C中，由2x－5<0且x∈N，知x＝0，1，2，故所有元素之和为3，正确；D正确.
BCD
分层练习-基础
4.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)
A.矩形 B.平行四边形
C.菱形 D.梯形
D
解析　由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.
分层练习-基础
5.由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)
A.1 B.－2 C.－1 D.2
解析　由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确，故选C.
C
分层练习-基础

二、填空题
6.已知集合M中有2个元素x，2－x，若－1 M，则3________M，1________M.(用∈， 填空)
解析　若3∈M，则－1∈M，不合题意，故3 M.当x＝1时，2－x＝1，M中的两元素为1，1，不合题意，故1 M.

分层练习-基础
7.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________.
3
解析　由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3.经验证，
当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，故m＝3.
分层练习-基础

8.用∈， 填空：
(1)0________N*；
(2)π________Q；

∈
∈
分层练习-基础
三、解答题
9.已知集合A中的元素为0，2，4，2－a，若a2－a＋2∈A，求实数a.
解　(1)若a2－a＋2＝0，无解；
(2)若a2－a＋2＝2，即a2－a＝0，∴a＝0或1.
但a＝0时，2－a＝2，不满足元素互异性，舍去，a＝1满足；
(3)若a2－a＋2＝4，即a2－a－2＝0，a＝2或a＝－1.
但a＝2时，2－a＝0，不满足元素互异性，舍去，a＝－1满足；
(4)若a2－a＋2＝2－a，a＝0，由以上可知不满足题意.
综上，a＝1或－1.
分层练习-巩固
10.已知集合A中的元素x满足ax2－3x＋1＝0，a∈R.
(1)若1∈A，求实数a的值；
(2)若A为单元素集合，求实数a的值；
解　(1)∵1∈A，∴a·12－3×1＋1＝0，∴a＝2.
当a≠0时，要使A为单元素集合，则方程ax2－3x＋1＝0有两个相等的实数根，
分层练习-巩固
(3)若A为双元素集合，求实数a的取值范围.
解　若A为双元素集合，则方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＝(－3)2－4a＞0，
分层练习-巩固
2
分层练习-巩固
0
3
且3个元素的和为2＋(－2)＋0＝0.
分层练习-巩固
即a2＋a－1＝0，
(1)若2∈A，任意写出A中的两个元素；
(2)若A为单元素集合，求实数a.
分层练习-巩固
14.对于任意两个自然数m，n，定义 运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m n＝mn，则在此定义下，集合M中满足a b＝18，a∈N，b∈N的元素(a，b)个数为________.
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解析　a b＝18，a∈N，b∈N，若a和b一奇一偶，则ab＝18，满足此条件的有1×18＝2×9＝3×6，故(a，b)有6个；若a和b都为奇数或偶数，则a＋b＝18，满足此条件的有1＋17＝2＋16＝3＋15＝4＋14＝……＝17＋1，故(a，b)有17个，所以集合M中满足a b＝18，a∈N，b∈N的元素(a，b)个数为6＋17＝23.
分层练习-拓展
1.记牢3个知识点
(1)元素与集合的概念，元素与集合的关系.
(2)常用数集的表示.
(3)集合中元素的特性及应用.
2.掌握2种方法
(1)元素与集合关系的判定方法.
(2)解答含有字母的元素与集合关系的问题时，要有分类讨论意识.
3.注意4个易错点
集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助元素的互异性来检验所求参数是否符合要求.
课堂小结