苏教版高中数学必修第一册第1章集合1.2子集、全集、补集教学课件(共99张PPT)

(共99张PPT)
苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合
1.2 子集、全集、补集
学习目标
1.理解集合之间的包含的含义.(数学抽象)
2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.(逻辑推理)
3.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(数学运算)
情景导入
给出下列三个集合:
A={班上参加足球队的同学},
B={班上没有参加足球队的同学},
S={全班同学},
那么集合S,A,B的关系如何
观察下列各组集合：
(1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；
(2) A＝N，B＝R；
(3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}.
●集合A与B之间具有怎样的关系
●如何用数学语言来表述这种关系
1.子集与真子集
新知探究
观察(1)，可以发现，集合 A 中的每个元素都是集合 B 的元素观察(2)(3)，它们也有同样的特征.
(1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}；
(2) A＝N，B＝R；
(3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}.
这时称 A 是 B 的子集.
子集
定义
如果集合A的_______一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.
任意
概念归纳
A是B的子集
Venn图： 或
符号表示：_________ 或 _________
读法：集合 A _______ 集合 B 或集合
B ________ 集合A
B
A
A (B)
包含于
包含
A B
B A
概念归纳
例如，{1，2，3} N，N R，
{ x∣x 为正方形} {x∣x为四边形}等.
A B可以用 Venn图来表示.
B
A
根据子集的定义，我们知道A A也就是说，任何一个集合是它本身的子集.
对于空集 ，我们规定 A，即空集是任何集合的子集.
概念归纳
【思考】
符号“∈”与“ ”有什么区别
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，
比如 1∈N，－1 N.
②“ ”是表示集合与集合之间的关系，
比如 N R，{1，2，3} {3，2，1}.
③“∈”的左边是元素，右边是集合，
而“ ”的两边均为集合.
例1.判断下列各组集合中，A 是否为 B 的子集.
(1) A＝ {0，1}，B＝{－1，0，1，－2}；
解：因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B 的元素，所以 A 是 B 的子集.
解：因为1∈A，但 1 B，
所以 A不是B 的子集.
(2) A＝ {0，1}，B＝ { x∣x＝2k，k∈N}
思 考
A B 与 B A能否同时成立
能；
A是B的子集；同时B也是A的子集； 此时A＝B；
就是两集合相等的定义.
例2.写出集合 {a，b} 的所有子集.
解： 集合{a，b}的所有子集是 ，{a}，{b}，{a，b}.
集合{al，a2，a3，a4}有多少个子集
真子集
定义
如果集合 A B，并且 A≠B，那么集合 A 称为集合 B 的真子集.
概念归纳
A是B的真子集
Venn图：
符号表示：_________ 或 _________
读法：集合 A ________ 集合 B 或集合B ________ 集A
B
A
A B
B A
真包含于
真包含
概念归纳
【思考】
集合 M，N 是两个至少含有一个元素的集合，试画图说明这两个集合关系有哪几种
提示：有以下五种关系
1 2 3 4 5
例3.下列各组的 3 个集合中 ，哪 2 个集合之间具有包含关系
(1) S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}；
(2) S＝R，A＝ { x∣x≤0，B＝ { x∣x＞0)；
(3) S＝ { x∣x为整数}，A＝ { x∣x 为奇数}，
B＝ { x∣x 为偶数}.
解：在(1)(2)(3)中都有 A S，B S可以用图1-2-2来表示.
集合间关系的性质
(1) 任何一个集合是它本身的子集，即_______.
(2) 对于空集，我们规定 A，即空集是任何集合的子集.
A A
概念归纳
例4指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，
故A与B之间无包含关系.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
典例剖析
(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N?M.
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
解　(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，
如图所示，由图可知A B.
典例剖析
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察.
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.
归纳总结
　例5(1)集合{a，b，c}的所有子集为_______________________________，其中它的真子集有________个.
　解析　集合{a，b，c}的子集有：
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，
其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，
{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
7
典例剖析
(2)写出满足{3，4}?P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
解　由题意知，集合P中一定含有元素3，4，
并且是至少含有三个元素的集合，
因此所有满足题意的集合P为：
{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，
{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
典例剖析
1.假设集合A中含有n个元素，则：
(1)A的子集有2n个；
(2)A的非空子集有(2n－1)个；
(3)A的真子集有(2n－1)个；
(4)A的非空真子集有(2n－2)个.
2.求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
归纳总结
例6.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
解　(1)当B≠ 时，如图所示.
解这两个不等式组得2≤m≤3.
(2)当B＝ 时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
典例剖析
(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，
可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，
“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示.
(2)涉及到“A B”或“A?B且B≠ ”的问题，
一定要分A＝ 和A≠ 两种情况讨论，
不要忽视空集的情况.
归纳总结
1.思考辨析，判断正误
(1)1 {1，2，3}.( )
提示　“ ”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.
(2)任何集合都有子集和真子集.( )
提示　空集只有子集，没有真子集.
(3)若a∈A，则{a}?A.( )
提示　也有可能{a}＝A.
(4)若A B，且B A，则A＝B.( )
×
×
×
√
练一练
B
2.已知集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
解析　根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1},
故选B.
练一练
3.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　)
A.A＝B B.A B C.A B D.B A
解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴B A.
又1∈A且1 B，
∴B是A的真子集，故选D.
D
练一练
4.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B A，则实数m＝________.
解析　∵B A，
∴ 元素3，4必为A中元素，
∴m＝4.
4
练一练
观察例 3 中每一组的 3个集合，它们之间还有什么关系
2.补集与全集
新知探究
在例3中，观察(1)，可以发现，A S，S中的元素－2，－1，1，2 去掉 A 中的元素－1，1后，剩下的元素为－2，2，这两个元素组成的集合就是 B.
观察 (2)(3)，它们也有同样的特征这时称 B 是 A 在 S中的补集.
补集
1. 定义
文字语言
设A S，由_____________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 CsA，读作“_________________”.
S中不属于A
A在S中的补集
概念归纳
符号语言
CsA＝______________________
{ x∣x∈S，且 x A }
图形语言
2. 本质
补集既是集合之间的一种关系，也是集合的基本运算之一.
3. 作用
①依据定义求集合的补集；
②求参数的值或范围；
③补集思想的应用.
概念归纳
全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
所有
概念归纳
例7.设全集U＝R，不等式组 的解集为 A，
试求A 及 UA，并把它们分别表示在数轴上.
2x－1＞0
3x－6≤0

注意:实心点与空心点的区别.
例8.(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则 UM＝(　　)
A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2}
(2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}， UB＝{1，4，6}，
则集合B＝______________.
解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知 UM＝{x|－2≤x≤2}.
A
{2，3，5，7}
(2)A＝{1，3，5，7}， UA＝{2，4，6}，
则U＝{1，2，3，4，5，6，7}， UB＝{1，4，6}，
∴B＝{2，3，5，7}.
典例剖析
求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
总结归纳
例9.设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}， UA＝{5}，求实数m.
解　∵ UA＝{5}，∴5∈U且|3－2m|＝3，
由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0，
∴m＝－2或m＝3.
由|3－2m|＝3，得m＝0或m＝3.
∴m＝3.
典例剖析
集合A与 UA中没有公共元素；若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解，若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析法求参数.
总结归纳
例10.已知集合A＝{x|2a－2解　 RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ .
∵A? RB，
∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论.
①若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}.
典例剖析
如果所给集合是无限集，一般用数轴分析法求出其补集，要注意端点的取舍；结合两集合的子集、真子集关系，要注意分空集与非空集合两种情况讨论.
总结归纳
解析
D
练一练
解析
D
练一练
解析
B
练一练
解析
－1或2
练一练
BD
解析
练一练
解析
B
练一练
解析
A
练一练
解析
B
练一练
解析
B
练一练
解析
{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}
解析
A＝P
练一练
解
练一练
课本练习
1.写出下列集合的所有子集：
（1）{1}；
（2）{1，2}；
（3）{1，2，3}.
课本练习
3.判断下列表述是否正确：





课本练习
解：（1）不正确.（2）不正确.（3）正确.（4）正确.
（5）不正确.（6）不正确.（7）正确.（8）正确.
4.若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z），
则 UA = . UB = .
5. U( UA) = .
6，已知U=R，A={x|x<0}，求 UA.
课本练习
B
A
A
UA={x|x≥0}.
习题1.2
感受·理解
1.如图，试说明集合A，B，C之间有什么包含关系.
3，已知U={x|x是至少有一组对边平行的四边形），A={x |x是平行四边形），求 UA.
解：{x|x 是梯形}.
4.（1）已知U={1，2，3，4），A={1，3}，求 UA ；
（2）已知U={1，3}，A={1，3}，求 UA ；
（3）已知U=R，A={x|x≥2}，求 UA ；
（4）已知U=R.A=（x|-2≤x<2），求 UA.
感受·理解
思考·运用
解：（1）不成立.（2）不成立.（3）成立.
解：（1）{m|m<1}.（2）{m|m≥1}.
思考·运用
探究·拓展
易错点1　混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错
解析
AC
错因分析
易错点2　忽视对空集的讨论而致错
解析
C
错因分析
易错点3　忽略端点的取值情况而致错
解析
C
错因分析
一、选择题
1.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
C
解析　集合N的真子集有23－1＝7(个).
分层练习-基础
知识点一：子集与真子集
2.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子：①{1}∈A；②－1 A；③ A；
④{1，－1} A.其中表示正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　因为A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，所以{1} A，①不正确；－1∈A，②不正确；
A，符合子集的定义，所以③正确；
{－1，1} A，符合子集的定义，所以④正确.
综上可知，正确的式子有2个.
B
分层练习-基础
3.已知集合A＝{x|0A.A∈B B.A B C.B A D.B A
解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2 A，故有A B.
B
分层练习-基础
4.(多选题)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B A的实数m的值可以为(　　 )
ABD
解析　∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，又∵B A，∴当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝ ，满足条件；
分层练习-基础
C
5.已知集合A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}，则集合A的一个真子集为(　　)
A.{x|－2C.{0} D.{ }
解析　A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}＝{－1，0}，
所以A的真子集为 ，{0}，{－1}，故选C.
分层练习-基础
二、填空题
6.集合A＝{x|ax－3＝0，a∈Z}，若A N*，则实数a的所有取值组成的集合为____________.
{0，1，3}
解析　当a＝0时，A＝ ，满足题意；
分层练习-基础
7.已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝____________.
若集合B满足{0} B A，则集合B＝____________.
解析　∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，
∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1，0}.
又{0} B A，∴B＝{－1，0}.
{－1，0}
{－1，0}
分层练习-基础
8.设A＝{x|2解析　因为B A，又B≠ ，
{a|3≤a≤4}
所以3≤a≤4，即a的取值范围是{a|3≤a≤4}.
分层练习-基础
三、解答题
9.判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.
所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A?B.
(2)因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}，
B＝{x|x＝|y|，y∈A}，
所以B＝{0，1，2}，
所以B A.
分层练习-巩固
10.已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B A，求实数a的取值范围.
解　由题意知B的可能情况有B≠ 和B＝ 两种.
①当B≠ 时，∵B A，
②当B＝ 时，由a>2a－1，解得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.
分层练习-巩固
A
11.若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是(　　)
A.C?A＝B B.A C B
C.A＝B?C D.B A C
解析　∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2×2k－1，k∈Z}，
∴C?A＝B，
故选A.
分层练习-巩固
12.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求实数a的取值范围.
②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，
解　①当A无真子集时，A＝ ，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，
解得a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}.
分层练习-巩固
13.已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}.
(1)若 ?M，求实数a的取值范围；
解　由题意得方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4·(－a)≥0，得a≥－1，
∴实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
分层练习-巩固
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围.
解　∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M N，
∴当M＝ 时，Δ＝22－4·(－a)<0，得a<－1；
当M≠ 时，
i)当Δ＝0时，a＝－1，
此时M＝{－1}，满足M N，符合题意.
ii)当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素，
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}.
14.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B?A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由.
解　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}.
∵B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.
又∵B?A，∴a－1＝1，即a＝2.
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C A，
当C＝{1，2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，
∴C＝ 或{1}或{2}或{1，2}.
当C＝ 时，Δ＝b2－8<0，
分层练习-拓展
一、选择题
1.已知全集U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}，集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}，则 UA＝(　　)
A.{x|－1≤x<0或3C.{－1，3，4，5} D.{3，4，5}
C
解析　U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3，4，5}，A＝{x|0≤x<3，x∈N}＝{0，1，2}，
∴ UA＝{－1，3，4，5}.
知识点二：全集和补集
分层练习-基础
2.(多选题)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则下列结论正确的是(　　)
A. UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6}
B. UB＝{x|x＜2或x≥5}
C. UA UB
D. UB UA
解析　由补集的定义知A，B正确；
由子集的定义知C，D都不正确.
AB
分层练习-基础
3.已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A.0或2 B.0 C.1或2 D.2
D
分层练习-基础
4.若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，且 UA＝{x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有(　　)
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
C
解析　 UA＝{x∈N*|1≤x≤3}＝{1，2，3}，
∴A＝{0，4，5}，
∴集合A的真子集共有23－1＝7(个).
分层练习-基础
5.设全集U＝R，集合A＝{x|x<0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若 UA UB，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a>1} B.{a|a≥1}
C.{a|a<1} D.{a|a≤1}
B
解析　由题意知 UA＝{x|0≤x<1}， UB＝{x|x画出数轴并表示出 UA与 UB.
因为 UA UB，
所以结合数轴可得a≥1.
分层练习-基础
－3
二、填空题
6.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________.
解析　∵ UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，
∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
分层练习-基础
7.已知全集U＝R，A＝{x|1≤x解析　因为 UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}.
所以b＝2.
2
分层练习-基础
8.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S＝R时， SA＝__________________；
当S＝{x|－4≤x≤1}时， SA＝_______________________.
解析　∵A＝{x|－1≤x<1}，
∴S＝R时， SA＝{x|x<－1或x≥1}；
S＝{x|－4≤x≤1}时， SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}.
{x|x<－1或x≥1}
{x|－4≤x<－1或x＝1}
分层练习-基础
三、解答题
9.(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 UA和 UB；
(2)U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，求 UB和 AB；
(3)U＝R，A＝{x|1解　(1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以 UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}.
(2) UB＝{x|x是三边不都相等的三角形}；
AB＝{x|x是有且仅有两边相等的三角形}.
(3) UA＝{x|x≤1，或x≥5}，A与 UA在数轴上分别表示如下.
分层练习-巩固
10.已知集合A＝{x|－1解　 RA＝{x|x≤－1或x>3}.
综上可知，实数m的取值范围是
当B≠ 时，要使B RA成立，
分层练习-巩固
11.设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}，
若 UA＝{2，3}，则m＋n＝________.
9
解析　因为 UA＝{2，3}，
所以A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}＝{1，4}，
即方程x2－mx＋n＝0的两个实根为1和4，
得m＝5，n＝4，m＋n＝9.
分层练习-巩固
12.已知全集U＝R，集合P＝{x|x≤0或x≥6}，M＝{x|a解析　∵全集U＝R，∴ UP＝{x|0若M＝ ，即a≥2a＋4，解得a≤－4，符合M UP.
若M≠ ，要使M UP，
{x|0{a|a≤－4或0≤a≤1}
∴a≤－4或0≤a≤1.
分层练习-巩固
13.设全集U＝R，M＝{x|3a解　 UP＝{x|x<－2，或x>1}.
∵M UP，
∴分M≠ 和M＝ 两种情况讨论：
若M＝ ，则3a≥2a＋5，∴a≥5.
分层练习-拓展
14.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤2或x≥5}.
(1)求 UA；(2)若B＝{x|2a－3≤x≤－a}且B UA，求实数a的取值范围.
解　(1)由题意 UA＝{x|2＜x＜5}.
(2)当B＝ 时，有－a＜2a－3，∴a＞1；
综上实数a的取值范围为{a|a＞1}.
1.理解5个概念——(1)子集；(2)真子集；(3)空集；(4)全集；(5)补集.
2.掌握3种方法
(1)会判断两集合的关系，当所给的集合是与不等式有关的无限集时，常借助数轴，利用数形结合思想判断.
(2)会求子集、真子集的个数问题.
(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数范围时，常采用数形结合思想，借助数轴.
课堂小结
3.注意3个易错点
(1) 是任何集合的子集；
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.
(3)混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错
4.掌握1个策略——正难则反
补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思想，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
课堂小结